Álgebra Linear 2 UERJ

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Álgebra Linear II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Christina Waga 
Prof. Regina Freitas 
Versão 08 
 
i 
CONTEÚDO 
 
 
Produto Interno 
 
Autovalores, autovetores e autoespaços 
 
Diagonalização 
 
Teorema de Hamilton-Cayley 
 
Classificação de Operadores 
 
Teorema Espectral 
 
Formas Bilineares e Quadráticas 
 
Formas Canônicas 
 
 
 
 
1 
PRODUTO INTERNO 
Definição 
Considere V um espaço vetorial real. O produto interno sobre V é uma função 
 
〉〈
→×〈〉
v,uuv
VV
 ),( 
 :
a
R
 
 
que satisfaz as seguintes propriedades: 
 
PI1. (Positiva Definida) Para todo, 0,, ≥〉〈∈ vvVv e Vvvv 0==〉〈 se somente e se 0, 
 
PI2. (Simétrica) Para quaisquer 〉〈=〉〈∈ vuuvVuv ,,,, . 
 
PI3. (Aditividade) Para quaisquer 〉〈+〉〈=〉+〈∈ wuwvwuvVwuv ,,,,,, . 
 
PI4. (Homogeneidade) Para quaisquer Vuv ∈, e para todo 〉〈=〉〈∈ uvkukvk ,,,R . 
 
 
Exemplos: 
1) Produto usual, canônico ou Euclidiano no Rn. 
∑
=
=〉〈
n
i
iinn yxyyyxxx
1
2121 ),...,,(),,...,,( 
 
2) 2R:V 
ytxztzyx 3),(),,( 21 +=〉〈 
 
3) 3R:V 
212121222111 52,,,,,( zzyyxxzyxzyx ++=〉〈 
 
 
 
Norma de um Vetor 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Define-se a função norma como sendo 
R→V: tal que 〉〈= vvv , . Assim, 〉〈= vvv ,2 . 
Com esta definição, a norma de vetores depende do produto interno considerado. 
 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Um vetor Vv∈ é denominado vetor 
unitário quando 1=v . 
Seja um vetor Vv∈ , Vv 0≠ . O vetor Vv
vv
v
∈=⋅1 é denominado vetor normalizado, e sempre 
um vetor unitário, isto é, 1=
v
v . 
 
 
2 
Distância entre dois Vetores 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Define-se a função distância 
R→×VVd : tal que uvuvd −=),( . Assim, 〉−−〈=−= uvuvuvuvd ,),( , e 
〉−−〈= uvuvuvd ,),( 2 . 
 
Ângulo entre dois Vetores 
Seja V um espaço vetorial munido com um produto interno. O ângulo θ entre dois vetores 
Vuv ∈, é tal que 
uv
uv
 
,cos 〉〈=θ com πθ ≤≤0 . 
 
Ortogonalidade 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Dois vetores Vuv ∈, são denominados 
vetores ortogonais quando 0, =〉〈 uv . 
Notação: uv⊥ 
 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e o conjunto VvvA n ⊆= },...,{ 1 . 
O conjunto A é dito conjunto ortogonal quando 0, =〉〈 ji vv , para todo nji ,...,1, = , ji ≠ . 
Se em um conjunto ortogonal todos os vetores são unitários o conjunto é denomindado conjunto 
ortonormal. 
Desta forma, se uma base do espaço vetorial for um conjunto ortogonal, será denominada base 
ortogonal. Uma base ortogonal formada por vetores unitários é chamada base ortonormal. 
Exemplo: O conjunto )}5,3,6(),3,1,2(),0,2,1{( −− é ortogonal em relação ao produto interno usual. 
 
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor 
sobre um Subespaço. 
O processo de ortogonalização de Gram-Schmidt resolve o problema de a partir de uma base 
qualquer de um espaço vetorial, obter uma base ortogonal. O processo será apresentado para os 
espaços vetoriais do R2 e R3, e, finalmente, generalizado. 
 
• Processo para o espaço R2 
Considere },{ 21 vvA = uma base de R2. 
Sejam 11 vu = e 122 kuvu −= . 
Assim, 0, 12 =〉〈 uu isto é, o vetor 2u , obtido em função de 1v e 2v , é ortogonal ao vetor 1u . 
Interpretação geométrica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2v
11 vu = 
1ku2u
3 
O escalar R∈k é tal que: 0, 12 =〉〈 uu 
0, 112 =〉−〈 ukuv 
0,, 1112 =〉〈−〉〈 ukuuv 
0,, 1112 =〉〈−〉〈 ukuuv 
∴=〉〈−〉〈 0,, 1112 uukuv 〉〈
〉〈=
11
12
,
,
uu
uv
k 
Logo, },{ 21 uuB = é uma base ortogonal com 11 vu = e 1
11
12
2122 ,
, u
uu
uvvkuvu 〉〈
〉〈−=−= . 
 
 
O vetor 1ku é a projeção ortogonal do vetor 2v no subespaço vetorial gerado pelo vetor 1u . 
 
1
11
12
12][ ,
,
1
u
uu
uvkuvproj u 〉〈
〉〈== 
 
Exemplo: Ortogonalizando a base )}5,3(),2,1{( pelo processo de Gram-Schmidt. 
)2,1(11 == vu 


 −=−=〉〈
〉〈−=〉〈
〉〈−=
5
1,
5
2)2,1(
5
13)5,3()2,1(
)2,1(),2,1(
)2,1(),5,3()5,3(
,
,
1
11
12
22 uuu
uvvu 
Assim o conjunto ( ){ }5152 ,),2,1( é uma base ortogonal do R2. 
 
O vetor ( )5265135131 ,)2,1( ==ku é a projeção ortogonal do vetor )5,3( no subespaço vetorial [ ])2,1( . 
 
• Processo para o espaço R3 
Seja },,{ 321 vvvA = uma base do R3. 
Sejam os vetores 11 vu = e 1
11
12
22 ,
, u
uu
uvvu 〉〈
〉〈−= . 
O vetor 3u é obtido em função dos vetores 321 e , vvv e ortogonal tanto ao vetor 1u quanto ao vetor 
2u . Assim, )( 221133 ukukvu ⋅+⋅−= com 0, 13 =〉〈 uu e 0, 23 =〉〈 uu . 
Interpretação geométrica para esta situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2u
1u 
22uk 
11uk 
3u
3v
4 
O escalar R∈1k é tal que: 0, 13 =〉〈 uu 
0),( 122113 =〉+−〈 uukukv 
0, 122113 =〉−−〈 uukukv 
0,,, 12211113 =〉〈−〉〈−〉〈 uukuukuv 
Mas, 0, 1221 =〉〈∴⊥ uuuu 
∴=〉〈−〉〈 0,, 11113 uukuv 〉〈
〉〈=
11
13
1 ,
,
uu
uv
k 
O escalar R∈2k é tal que: 0, 23 =〉〈 uu 
0),( 222113 =〉+−〈 uukukv 
0, 222113 =〉−−〈 uukukv 
0,,, 22221123 =〉〈−〉〈−〉〈 uukuukuv 
Mas, 0, 2121 =〉〈∴⊥ uuuu 
∴=〉〈−〉〈 0,, 22223 uukuv 〉〈
〉〈=
22
23
2 ,
,
uu
uv
k 
Então, 11 vu = 
1
11
12
22 ,
, u
uu
uvvu 〉〈
〉〈−= 
2
22
23
1
11
13
3221133 ,
,
,
,
u
uu
uv
u
uu
uv
vukukvu 〉〈
〉〈−〉〈
〉〈−=−−= 
Logo, },,{ 321 uuuB = é uma base ortogonal do R3, com 11 vu = , 1
11
12
22 ,
, u
uu
uvvu 〉〈
〉〈−= e 
2
22
23
1
11
13
3221133 ,
,
,
,
u
uu
uv
u
uu
uv
vukukvu 〉〈
〉〈−〉〈
〉〈−=−−= . 
 
O vetor 2211 ukuk + é a projeção ortogonal do vetor 3v no subespaço vetorial gerado pelos vetores 
21 e uu . 
2
22
23
1
11
13
22113],[ ,
,
,
,
21
u
uu
uu
u
uu
uu
ukukvproj uu 〉〈
〉〈+〉〈
〉〈=+= 
 
 
• Generalização 
Seja },...,,{ 21 nvvvA = uma base de um espaço vetorial V n-dimensional munido de um produto 
interno. 
Considere os vetores: 
11 vu = 
1
11
12
22 ,
, u
uu
uvvu 〉〈
〉〈−= 
2
22
23
1
11
13
33 ,
,
,
,
u
uu
uv
u
uu
uv
vu 〉〈
〉〈−〉〈
〉〈−= 
....................................................................................... 
1
11
1
2
22
2
1
11
1
,
,
...
,
,
,
,
−
−−
−
〉〈
〉〈−−〉〈
〉〈−〉〈
〉〈−= n
nn
nnnn
nn uuu
uv
u
uu
uv
u
uu
uv
vu 
Então },...,,{ 21 nuuuB = é uma base ortogonal de V. 
5 
Como V
v
vv
v
∈=⋅1 é um unitário, o conjunto 



=
n
n
u
u
u
u
u
u
C ,...,,
2
2
1
1 , obtido da normalização 
dos vetores da base ortogonal B, é denominado base ortonormal. 
 
 
Complemento Ortogonal 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno e S um subespaço vetorial de V. O 
complemento ortogonal de S é o conjunto } para todo ,0,|{ SssvVvS ∈=〉〈∈=⊥ . 
 
Exemplos: 
1) }0|),,{( =∈= xzyxS 3R . 
Encontrar um vetor ortogonal ao subespaço vetorial S significa encontrar um vetor ortogonal aos 
vetores de uma base de S. 
Seja )}1,0,0(),0,1,0{( uma base de S. 
Assim, )}1,0,0(),,( e )0,1,0(),,(|),,{( ⊥⊥∈=⊥ zyxzyxzyxS 3R . 
∴=〉〈=〉〈 0)1,0,0(),,,( e 0)0,1,0(),,,( zyxzyx 
0 e 0 == zy . 
Então, }0 e 0|),,{( ==∈=⊥ zyzyxS 3R . 
 
2) },),,,3{( R∈−= zyzyzyS . 
Uma base para S é )}1,0,1(),0,1,3{( − . 
}0)1,0,1(),,,( e 0)0,1,3(),,,(|),,{( =〉−〈=〉〈∈=⊥ zyxzyxzyxS 3R . 
Assim, 

=+−
=+
0
03
zx
yx
. 
}),,3,{( R∈−=⊥ zzzzS . 
 
 
Observe que, se S é um subespaço vetorial de V, seu complemento ortogonal ⊥S também é 
subespaço
vetorial de V. 
É importante ainda ressaltar que o único vetor comum a a e ⊥SS é o vetor nulo V0 , Assim, 
}{ VSS 0=∩ ⊥ . 
O subespaço vetorial ⊥+ SS é na verdade o próprio espaço vetorial V. 
Portanto, VSS =⊕ ⊥ . 
Pelo Teorema da Dimensão, ⊥⊥ +=⊕= SSSSV dimdim)dim(dim . 
 
 
6 
Exercícios 
1) Verifique que funções RRR 22 →×〈〉 : definidas abaixo são produtos internos. 
a) ytxztzyx 32),(),,( +=〉〈 
b) ytxztzyx −=〉〈 ),(),,( 
c) xztzyx 4),(),,( =〉〈 
d) 1),(),,( ++=〉〈 ytxztzyx 
e) tyzxtzyx 222),(),,( +=〉〈 
f) tyzxtzyx 22),(),,( +=〉〈 
g) 2222),(),,( tyzxtzyx +=〉〈 
h) 2211),(),,( lklktzyx −=〉〈 onde },{ 21 vvA = é uma base qualquer do espaço vetorial R2, 
2211),( vkvkyx ⋅+⋅= e 2211),( vlvltz ⋅+⋅= . 
i) ytyzxtxztzyx 522),(),,( +−−=〉〈 
 
 
2) Calcule a norma de )2,5,1( − considerando: 
a) o produto interno usual no R3. 
b) ztyrxwtrwzyx 3
2
1),,(),,,( ++=〉〈 . 
 
3) Calcule )1,2( em relação ao: 
a) produto interno usual. 
b) ytxztzyx 43),(),,( +=〉〈 . 
 
4) Considere o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual. Determine R∈k tal que 
41)1,,6( =−k . 
 
5) Mostre que 1=
v
v para todo Vv∈ . 
 
6) Sejam Vvu ∈, um espaço vetorial euclidiano tais que 3=v e 5=u . Determine R∈k de 
modo que 0, =〉⋅−⋅+〈 ukvukv . 
 
7) Seja R2 munido do produto interno usual e )5,3( e )2,1( == uv . 
a) interprete geometricamente vuuvuv −−+ e , . 
b) calcule ),( e ),( vuduvd . 
 
8) Seja o espaço vetorial R2 com produto interno usual. Seja que 3=v , 4=u e 52=+ uv . 
Indique o ângulo entre v e u. 
 
9) Verifique se os vetores )3,2( − e )2,3( são ortogonais em relação aos seguintes produtos internos 
no R2: 
a) ytxztzyx +=〉〈 ),(),,( 
b) ytxztzyx 34),(),,( +=〉〈 
 
7 
10) Se v e u são vetores ortogonais então 222 uvuv +=+ ? Justifique. (Generalização do 
Teorema de Pitágoras) 
 
11) Normalize o conjunto )}5,3,6(),3,1,2(),0,2,1{( −− . 
 
12) Verifique se as bases abaixo são ortogonais no R² e no R³, respectivamente, para o produto 
interno usual. 
a) )}5,3(),2,1{( 
b) 


 



 −

 −
3
2,
3
2,
3
1,
3
2,
3
1,
3
2,
3
1,
3
2,
3
2 
 
13) Encontre um vetor unitário no R3 que seja ortogonal aos vetores )0,1,1( − e )1,1,2( − . 
 
14) Seja V um espaço vetorial euclidiano. Mostre que se Vuv ∈, são ortogonais e tais que 
1== uv então 2=− uv . 
 
15) Ortogonalize a base )}1,1,0(),0,2,1(),2,1,1{( − do R3. 
 
16) O conjunto )}1,1,0(),2,0,1{(=A é uma base de um subespaço vetorial do R3. Obtenha uma base 
ortogonal B a partir de A. 
 
17) Encontre a projeção ortogonal do vetor )1,1,1( − no subespaço vetorial ][B do exercício 
anterior. 
 
18) Seja },),,,3{( R∈−= zyzyzyS um subespaço vetorial do R3. Indique ⊥S , ⊥∩ SS e ⊥+ SS . 
 
19) A partir da base )}5,2(),3,1{( indique duas bases ortonormais do R2. 
 
20) Ortogonalize pelo processo de Gram-Schmidt as seguintes bases do R3. 
a) )}1,2,1(),0,1,1(),1,1,1{( − 
b) )}1,4,0(),2,7,3(),0,0,1{( − 
 
21) Seja o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual e seja S o subespaço vetorial gerado 
pela base ortogonal )}3,0,4(),0,1,0{( −=B . Determine a projeção do vetor )1,1,1( no subespaço 
S. 
 
22) Seja o espaço vetorial R3 com o produto interno zrytxwrtwzyx 32),,(),,,( ++=〉〈 . 
Utilize o processo de Gram-Schmidt para transformar a base )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{( numa 
base ortogonal. 
 
23) Seja o espaço vetorial R3 munido do produto interno usual e )}2,4,2(),,3,2,1{( −−=A . 
Determine: 
a) o subespaço vetorial S gerado pelo conjunto A . 
b) o subespaço vetorial ⊥S . 
 
24) Considere o subespaço vetorial }0|),,{( =−∈= zxzyxS 3R com o produto interno 
zrytxwrtwzyx 432),,(),,,( ++=〉〈 . Determine ⊥S , uma base e sua dimensão. 
8 
25) Considere o espaço vetorial )(RnMat com as operações usuais. Verifique se a função 
)(, tBAtrBA ⋅= define um produto interno. 
 
26) Considere o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [ ] R⊆ba, com as operações 
usuais. Verifique se a função ∫=
b
a
dxxgxfxgxf )()()(),( é um produto interno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 
2) a) 30 b) 275 
3) a) 5 b) 4 
4) 2±=a 
6) 53±=a 
7) 13),(),( == vuduvd 
8) )arccos( 24
5−=θ 
11) { }),,(),,,(),0,,(
70
5
70
3
70
6
14
3
14
1
14
2
5
2
5
1 −− 
13) ( )333333 ,, − 
15) { ( , , ), ( , , ), ( , , )11 2 112 32 421 221 121− − − } 
 
 
16) { ( , , ), ( , , )1 0 2 125 15− } 
17) ( )313131][ ,, −−=′ vproj B 
18) a) Sim b) {0V} c) R3 
19) { })0,,(),,,(),1,1,1( 3132212121 −− 
20) a) {(1,1,1),(-1,1,0),( 16 16 26, ,− )} 
 b) {(1,0,0),(0,7,-2),( 0 3053 10553, , )} 
21) ( )253254][ ,1, −=vproj B 
22) { )0,,(),,,(),1,1,1( 3132212121 −− } 
23) a) }0|),,{( 3 =++∈= zyxzyxS R 
 b) }),,,{( R∈=⊥ zzzzS 
24) }),,0,2{( R∈−=⊥ zzzS 
 base : {(-2, 0, 1)} 
 1dim =⊥S 
 
 
9 
Apêndice D – Teoremas 
Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno. Para quaisquer Vwuv ∈,, e R∈21,, kkk . 
 
Teo51. 〉〈=〉⋅〈 uvkukv ,, 
 
Teo52. 〉〈+〉〈=〉+〈 wvuvwuv ,,, 
 
Teo53. 〉〈=〉⋅⋅〈 uvkkukvk ,, 2121 
 
Teo54. 0, =〉〈 Vv 0 
dem.: 〉〈+=〉〈 VV vv 00 ,0, (1) 
〉〈+〉〈=〉+〈=〉〈 VVVVV vvvv 00000 ,,,, (2) 
De (1) e (2): 〉〈+〉〈=〉〈+ VVV vvv 000 ,,,0 . 
Pela Lei do Corte para adição em R, 0, =〉〈 Vv 0 . 
 
Teo55. Se para todo VuVu 0≠∈ , , 0, =〉〈 uv então Vv 0= . 
dem.: (RAA) Seja Vv 0≠ . 
Considere uv = . 
Assim, 0,, >〉〈=〉〈 vvuv . 
Mas, 0, =〉〈 uv . Contradição. 
Logo, Vv 0= . 
 
Teo56. Se para todo VuVu 0≠∈ , , 〉〈=〉〈 uwuv ,, então wv = . 
 
Teo57. 〉〈−〉〈=〉−〈 wuwvwuv ,,, . 
 
Teo58. 0≥v e Vvv 0== se somente e se 0 . 
 
Teo59. vkvk ⋅=⋅ . 
 
Teo60. Desigualdade de Cauchy-Schwarz: uvuv , ≤〉〈 . 
dem.: Se VV uv 00 == ou então vv VV ===〉〈 0, 00 . 
Considere Vv 0≠ , Vu 0≠ e ukvw ⋅+= . 
0,, >〉⋅+⋅+〈=〉〈 ukvukvww 
 =〉⋅+⋅+〈 ukvukv , =〉⋅⋅〈+〉⋅〈+〉⋅〈+〉〈 ukukvukukvvv ,,,, 
=〉〈+〉〈+〉〈+〉〈 uukvukuvkvv ,,,, 2 =〉〈+〉〈+〉〈+〉〈 uukuvkuvkvv ,,,, 2 
=〉〈+〉〈+〉〈 uukuvkvv ,,2, 2 =+〉〈+ 222 ,2 ukuvkv 
Assim, 0,2, 222 >+〉〈+=〉⋅+⋅+〈 vkuvkuukvukv . 
Um polinômio do 2º grau em k com coeficiente de maior grau 2u positivo, possui 
discriminante negativo ou nulo. 
∴≤−〉〈 04),2( 222 vuuv ∴≤−〉〈 04,4 222 vuuv ∴≤−〉〈 0, 222 vuuv 222, vuuv ≤〉〈 
Logo, uvuv , ≤〉〈 
 
10 
Corolário60: 〉〉〈〈≤〉〈 uuvvuv ,,, 2 , isto é, 222, vuuv ≤〉〈 . 
 
Teo61. Desigualdade Triangular: uvuv +≤+ . 
dem.: 〉〈+〉〈+〉〈=〉++〈=+ uuuvvvuvuvuv ,,2,,2 
〉〈++〉〈≤〉〈+〉〈+〉〈 uuuvvvuuuvvv , 2,,,2, 
222 )( 2, 2, uvuuvvuuuvvv +=++=〉〈++〉〈 
Assim, 22 )( uvuv +≤+ . 
Logo, uvuv +≤+ . 
 
Teo62. i) 0),( ≥uvd e 0),( =uvd se e somente se uv = 
ii) ),(),( vuduvd = 
iii) ),(),(),( uwdwvduvd +≤ 
 
Teo63. vV ⊥0 . 
 
Teo64. Se uv ⊥ então vu ⊥ . 
 
Teo65. Se uv ⊥ , para todo VuVu 0≠∈ , então Vv 0= . 
 
Teo66. Se wv ⊥ e wu ⊥ então wuv ⊥+ . 
 
Teo67. Se uv ⊥ então uvk ⊥⋅ . 
 
Teo68. (Generalização do Teorema de Pitágoras) Se uv ⊥ então 222 uvuv +=+ . 
 
Teo69. Se },...,{ 1 rvv é um conjunto ortogonal de vetores não nulos então },...,{ 1 rvv é um conjunto 
linearmente independente. 
 
Teo70. Sejam VS ≤ , },...,{ 1 rvv uma base de S e Vv∈ tal que para todo ri ,...,1= , ivv ⊥ então 
para todo Ss ∈ , sv ⊥ . 
 
Teo71. Sejam },...,{ 1 nvv uma base ortonormal de V e Vv∈ . Então nn vvvvvvv ⋅++⋅= ,..., 11 . 
 
Teo72. (Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt) 
Sejam Vvv r ⊆},...,{ 1 um conjunto de vetores linearmente independente. Existe um conjunto 
ortogonal (ortonormal) Vuu r ⊆},...,{ 1 que é uma base do subespaço gerado pelo conjunto
},...,{ 1 rvv . 
 
Teo73. ∅≠⊥S . 
 
Teo74. VS ≤⊥ . 
 
Teo75. SS =⊥⊥ )( 
 
Teo76. }{ VSS 0=∩ ⊥ . 
11 
 
Teo77. ⊥⊕= SSV 
 
Corolário77: VSS dimdimdim =+ ⊥ 
 
Teo78. Seja V um R-espaço vetorial munido de um produto interno e um dado vetor Vu∈ . A 
função R→Vfu : tal que >=< vuvf ,)( é um funcional. 
 
Teo79. Seja V um R-espaço vetorial munido de um produto interno. A função *: VVT → tal que 
vfvT =)( é uma transformação linear. 
 
Teo80. Sejam V um R-espaço vetorial munido de um produto interno e R→Vf : um funcional. 
Então existe um único vetor Vv∈ tal que >=< uvuf ,)( , para todo Vu∈ , isto é, a função 
*: VVT → tal que vfvT =)( é um isomorfismo. 
 
Corolário80. Se nV =dim então nV =*dim . 
 
 
12 
AUTOVALORES E AUTOVETORES 
Definição 
Seja VVT →: um operador linear. Um vetor VvVv 0≠∈ , , é dito autovetor, vetor próprio ou 
vetor característico do operador T, se existir R∈λ tal que vvT ⋅= λ)( . 
O escalar λ é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do operador linear T 
associado ao autovetor v. 
 
Exemplos: 
1) : 22 RR →T 
 )8,3(),( yxxyx −a 
 )2,1( é autovetor de T associado ao autovalor 3=λ , pois )2,1(3)6,3()2,1( ⋅==T . 
2) : 33 RR →T 
 )32,2,(),,( zyzyzyxzyx ++++a 
 )2,1,1( é autovetor de T associado ao autovalor 4=λ , pois )2,1,1(4)8,4,4()2,1,1( ⋅==T e 
)1,1,1( − é autovetor de T associado ao autovalor 1=λ , pois )1,1,1(1)1,1,1()1,1,1( −⋅=−=−T . 
 
Seja v é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor λ então Vkv∈ também é um 
autovetor de T associado ao autovalorλ , para todo 0, ≠∈ kk R . 
 
Exemplo: Seja o operador linear )8,3(),( yxxyxT −= . 
O vetor )2,1(=v é autovetor associado ao autovalor 3=λ . 
Como )4,2(3)12,6()4,2())2,1(2( ⋅===⋅ TT , o vetor )4,2( é também autovetor de T associado a 
3=λ . 
 
Seja λ é um autovalor do operador linear T. O conjunto })(|{ vvTVvV λλ =∈= de todos os 
autovetores associados a λ juntamente com o vetor nulo V0 , é denominado autoespaço 
correspondente ao autovalor λ . 
 
Exemplo: Considere o operador )8,3(),( yxxyxT −= . 
O autoespaço { } { }RR 2 ∈==∈= xxxyxyxTyxV ),2,(),(3),(|),(3 corresponde ao autovalor 3=λ . 
13 
Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 
Seja o operador linear VVT →: tal que nV =dim . 
Por definição, vvT ⋅= λ)( , com VvVv 0≠∈ , e R∈λ . 
Considere o operador identidade VVIV →: tal que vvIV =)( . 
Assim, )()( vIvT Vλ= . 
Então, VV vIvT 0=− )()( λ . 
Pela definição de multiplicação por escalar em transformações lineares, VV vIvT 0=− ))(()( λ . 
Pela definição de adição de transformações, VV vIT 0=− ))(( λ . 
Então, o vetor VvVv 0≠∈ , , deve pertencer ao núcleo do operador )( VIT λ− , isto é, 
)( VITKerv λ−∈ , com Vv 0≠ . 
Portanto, o operador linear )( VIT λ− não é injetivo, consequentemente, não é bijetivo, nem 
invertível. 
O fato do operador linear não ser invertível é equivalente ao do determinante de sua matriz 
associada, dada uma certa base, ser zero. 
A equação 0)]det([ =− nA IT λ , onde nI é a matriz identidade de ordem n, é denominada de 
equação característica. 
O polinômio )]det([ nA IT λ− é denominado polinômio característico de T, e suas raízes em R são 
os autovalores do operador linear T. 
 
Exemplo: Seja 22 RR →:T tal que )8,3(),( yxxyxT −= e considere a base canônica do R2. 
Assim, 


−= 18
03
][T e 


=


= λ
λλλ
0
0
10
01
2I 
Então, 



−−
−=


−



−=− λ
λ
λ
λλ
18
03
0
0
18
03
][ 2IT 
)1)(3(
18
03
det)]det([ 2 λλλ
λλ −−−=



−−
−=− IT 


−=
=∴=−−−∴=−
1
3
0)1)(3(0)]det([
2
1
2 λ
λλλλIT 
Logo, 1 e 3 21 −== λλ são os autovalores do operador linear T. 
 
14 
Tendo encontrado os autovalores iλ , com Vi dim1 ≤≤ . 
Os autovetores são os vetores VvVv 0≠∈ , tais que VV vIT 0=− ))(( λ . 
Considere uma base A para o espaço vetorial V e a equação matricial 1][)]([ ×=⋅− nAnA vIT 0λ , 
onde 1×n0 é a matriz nula de ordem 1×n . 
Substituindo cada autovalor iλ encontrado na equação matricial, obtém-se um sistema de equações 
lineares. 
Resolvendo-se cada um destes sistemas, os autovetores associados a cada um do autovalores são 
obtidos, e, consequentemente, os autoespaços 
i
Vλ . 
 
Exemplo: Seja 22 RR →:T tal que )8,3(),( yxxyxT −= com autovalores 1 e 3 21 −== λλ e a 
base canônica do R2. 
Para 31 =λ : 122 ][)3]([ ×=⋅− 0vIT 
 
0
0
10
01
3
18
03 ∴


=


⋅






−



− y
x ∴


=


⋅






−



− 0
0
30
03
18
03
y
x


=

⋅


− 0
0
48
00
y
x
 
xyyx 2048 =∴=− 
}),2,{(3 R∈= xxxV 
 
Para 12 −=λ : 122 ][))1(]([ ×=⋅−− 0vIT 
∴


=


⋅






+



− 0
0
10
01
18
03
y
x ∴


=


⋅



0
0
08
04
y
x

 =∴=
=
0
08
04
x
x
x
 
}),,0{(1 R∈=− yyV . 
 
 
 
15 
Multiplicidade de Autovalores 
Sejam V um espaço vetorial, T um operador linear em V e R∈iλ , com Vi dim1 ≤≤ , um autovalor 
deste operador. 
O número de vezes que )( iλλ − aparece como um fator do polinômio característico de T é 
denominado de multiplicidade algébrica de iλ , cuja notação é )( iam λ . 
A dimensão do autoespaço 
i
Vλ é denominada a multiplicidade geométrica de iλ , cuja notação é 
)( igm λ . 
 
Exemplos: Considerando a base canônica do R3. 
1) 33 RR →:T tal que )422,242,224(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++= 








=
422
242
224
][T e 








−
−
−
=−
λ
λ
λ
λ
422
242
224
)(][ 3IT 
0)8()2(03236120)]det([ 233 =−−∴=−+−∴=− λλλλλλIT 
},),,,{( e 2 21 R∈−−== zyzyzyVλ 
}),,,{( e 8 82 R∈== zzzzVλ 
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e seu 
autoespaço possui dimensão igual a 2, 2)2( =gm . Já o autovalor 8 ocorre única vez como raiz, 
1)8( =am , e )8(1dim 8 gmV == . 
 
2) 33 RR →:T tal que )2,2,3(),,( zyyxzyxT += 








=
210
020
003
][T e 








−
−
−
=−
λ
λ
λ
λ
210
020
003
)(][ 3IT 
0)3()2(0121670))(]det([ 2233 =−−∴=−+−∴=⋅− λλλλλλ IT 
}),,0,0{( e 2 21 R∈== zzVλ 
}),0,0,{( e 3 32 R∈== xxVλ 
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e 
)2(1dim 2 gmV == . O autovalor 3 ocorre única vez como raiz, 1)3( =am , e )3(1dim 3 gmV == . 
 
 
16 
Diagonalização de Operadores Lineares 
Dado um operador linear VVT →: , existem representações matriciais de T relativas as bases de V. 
Dentre estas representações, a considerada mais simples é uma matriz diagonal. 
Como a cada base corresponde uma matriz, a questão se resume na obtenção de uma certa base, 
cuja representação matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz diagonal. 
Assim, esta base diagonaliza o operador linear T. 
Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. 
O operador linear T é denominado um operador linear diagonalizável se existir um base A de V tal 
que AT ][ é uma matriz diagonal. Esta base é composta pelos autovetores do operador linear T. 
Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Se existem n 
autovalores distintos n,λ,λ K1 então o operador linear T é diagonalizável.
Exemplo: Seja o operador linear 33 RR →:T tal que )2,2,4(),,( zxyxzxzyxT +−+−+= e a 
base canônica do R3, então 








−
−=
102
012
104
][T . 
11 =λ , }),0,,0{(1 R∈= yyV e )0,1,0(1 =v 
22 =λ , }),,,2{(2 R∈−= zzz
zV e )2,2,1(2 −=v 
33 =λ , }),,,{(3 R∈−= zzzzV e )1,1,1(3 −=v 
Sendo )}1,1,1(),2,2,1(),0,1,0{( −−=A uma base de autovetores, 








=
300
020
001
][ AT 
 
 
Se existem nr < autovalores distintos rλλ ,,1 K e suas multiplicidades algébricas e geométricas 
forem iguais, isto é, para todo ri ,...,1= , )()( igia mm λλ = , então o operador linear T é 
diagonalizável. 
Exemplo: Seja o operador 33 RR →:T tal que ),,(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++= e a 
base canônica do R3, então 








=
111
111
111
][T . 
01 =λ , },),,,{(0 R∈−−= zyzyzyV e )}1,0,1(),0,1,1{(1 −−=A 
32 =λ , }),,,{(3 R∈= zzzzV e )}1,1,1{(2 =A 
Sendo )}1,1,1(),1,0,1(),0,1,1{(21 −−=∪= AAA uma base de autovetores, 







=
300
000
000
][ AT 
17 
Exercícios 
1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: 
a) 

=−
31
22
][para )1,2( T . 
b) 







 −
=−
121
232
011
][para )3,1,2( T . 
 
2) Os vetores )1,2( e )1,1( − são autovetores de um operador linear 22 RR →:T associados aos 
autovalores 51 =λ e 12 −=λ , respectivamente. Determinar )1,4(T . 
 
3) Determinar o operador linear 22 RR →:T cujos autovalores são 11 =λ e 32 =λ associados 
aos autoespaços }),,{(1 R∈−= yyyV e }),,0{(3 R∈= yyV . 
 
4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2. 
a) )4,2(),( yxyxyxT +−+= 
b) ),(),( xyyxT −= 
 
5) Dado o operador linear T no R2 tal que )2,53(),( yyxyxT −−= , encontrar uma base de 
autovetores. 
 
6) Verificar se existe uma base de autovetores para: 
a) 33 RR →:T tal que )32,2,(),,( zyzyzyxzyxT ++++= 
b) 33 RR →:T tal que )22,2,(),,( zyxyxxzyxT ++−−= 
c) 33 RR →:T tal que )34,32,(),,( zyzyxxzyxT +−−+−= 
 
7) Seja 22 RR →:T tal que )2,54(),( yxyxyxT ++= . Encontrar uma base que diagonalize o 
operador T. 
 
8) O operador linear 44 RR →:T tal que ),,,(),,,( yxtzyzyxtzyxtzyxT ++++++++= 
é diagonalizável? 
 
 
Respostas 
1) a) Sim b) Não 
2) )32,4(),( yxyxyxT ++= e 
 )11,8()1,4( =T 
5) )}0,1(),1,1{( − 
 
6) a) b) Sim c) Não 
3) )32,(),( yxxyxT += 
4) a) autovalores: 2 e 3 
 b) não possui autovalores reais 
 
7) )}2,5(),1,1{(−=A e 

−=
60
01
][ AT 
 
 
 
 
 
18 
Apêndice E – Teoremas 
 
Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. 
 
Teo81. Se VvVv 0≠∈ , é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor R∈λ então 
para todo 0, ≠∈ kk R , o vetor kv é também um autovetor de T associado ao autovalorλ . 
dem.: =)(kvT 
=)(vkT por TL2 
=)( vk λ por hipótese 
=vk )( λ por EV5 
=vk)(λ comutatividade da multiplicação em R 
)(kvλ por EV5 
 
 
Teo82. Seja λ um autovalor de T. Então { }VV 0∪λ é um subespaço vetorial de V. 
 
Teo83. Sejam os autovetores v e v′ do operador linear T associados, respectivamente, aos 
autovalores λ e λ′ distintos entre si. Então v e v′ são linearmente independentes. 
dem.: Vvkkv 0=′′+ (1) 
)()( VTvkkvT 0=′′+ 
VvkTkvT 0=′′+ )()( 
VvTkvkT 0=′′+ )()( 
Vvkvk 0=′′′+ )()( λλ 
Vvkvk 0=′′′+ )()( λλ (2) 
Multiplicando-se (1) por λ , Vvkkv 0λλ =′′+ )( 
Vvkkv 0=′′+ )()( λλ 
Vvkvk 0=′′+ )()( λλ 
Vvkvk 0=′′+ )()( λλ (3) 
Subtraindo (3) de (2), Vvkvkvkvk 0=′′−−′′′+ )()()()( λλλλ 
Vvkvk 0=′′−′′′ )()( λλ 
Vvkk 0=′′−′′ )( λλ 
Vvk 0=′−′′ )( λλ 
Mas Vv 0≠′ e, por hipótese, λλ ′≠ . 
Assim, 0=′k . 
Analogamente, 0=k . 
Logo, v e v′ são linearmente independentes. 
 
 
Teo84. Sejam rvvv ,...,, 21 autovetores do operador linear T associados a autovalores todos distintos 
rλλλ ,...,, 21 . Então os autovetores rvvv ,...,, 21 são linearmente independentes. 
dem.: Por indução em r. 
 
Corolário84: Seja um operador linear VVT →: e V um espaço vetorial n-dimensional. Se T possui 
n autovalores distintos então existe uma base constituída por autovetores. 
 
19 
Teo85. Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Se existem n 
autovalores distintos n,λ,λ K1 então o operador linear T é diagonalizável. 
dem.: Considere uma base de autovetores VvvvA n ⊆= },...,,{ 21 , tal que iv corresponde ao 
autovalor iλ , para todo ni ,...,1= . 
Para todo ni ,...,1= , niiiiiii vvvvvvvT ⋅++⋅+⋅+⋅++⋅=⋅= +− 0...00...0)( 111 λλ . 
Então, 










=
0
0
][
...
λ
...
v iAi . 
Assim, 










=
n
A
λ...
.........
...λ
...λ
T
00
0
00
00
][ 2
1
. 
Logo, o operador linear T é diagonalizável. 
 
 
Teo86. Se existem nr < autovalores distintos r,..,λλ1 e para qualquer autovalor a multiplicidade 
algébrica for igual a sua multiplicidade geométrica, isto é, para todo ri ,...,1= , 
)()( igia mm λλ = então o operador linear T é diagonalizável. 
dem.: Como a multiplicidade geométrica de iλ é a dimensão do autoespaço iVλ , então: 
nVVVV
r
==+++ dimdim...dimdim
21 λλλ 
Considere iA uma a base do autoespaço iVλ . 
O conjunto rAAAA ∪∪∪= ...21 é uma base do espaço vetorial V. 
Então, 










=
n
A
k...
.........
...k
...k
T
00
0
00
00
][ 2
1
 onde jk é um dos autovalores iλ , respeitada sua 
multiplicidade algébrica, isto é, o autovalor iλ aparecerá tantas vezes na diagonal principal 
quanto for sua multiplicidade algébrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
Matrizes e Polinômios 
Duas matrizes )(, RnMatBA ∈ são semelhantes quando existe uma matriz invertível )(RnMatP∈ 
tal que APPB 1−= . 
Matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico, já que: 
)det()det())(det()det( 111 nnnn IBPIPAPPPIAPIA λλλλ −=−=−=− −−− 
 Exemplo: As matrizes 



43
21
 e 



−
−
23
47
 são semelhantes, pois: 



 −⋅


⋅


=



−
−
10
21
43
21
10
21
23
47
. 
Além disso, 25)()( 2 −−== λλλλ BA PP . 
 
Uma matriz A pode ser diagonalizada quando existir uma matriz invertível )(RnMatP∈ tal que 
APP 1− seja uma matriz diagonal. Esta matriz P é uma matriz de autovetores do operador relativo à 
matriz A. 
Exemplo: Considere [ ] 
18
03




−=T , os autoespaços }),2,{(3 R∈= xxxV e }),,0{(1 R∈=− yyV , e uma 
base de autovetores { })1,0(),2,1( . 
Assim, 
12
01



=P , 
12
011 



−=
−P e [ ] 



−=


⋅



−⋅



−=
−
10
03
12
01
18
03
12
011 PTP . 
 
Considerando APPB 1−= , temos que PAPAPPAPPAPPB k
k
kk 1
fatores 
111 )( −−−− === 44 344 21 K , com +∈Zk . Se a 
matriz A é diagonalizável então 11 −− =∴= PPDAPAPD kkkk . 
Exemplo: 
 
18
03 10 =



− 



−=



−⋅



−⋅


=



−⋅



−⋅



1118100
059049
12
01
)1(0
03
12
01
12
01
10
03
12
01
10
1010
 
 
Considere ][...)( 01 xaxaxaxp
n
n R∈+++= um polinômio e uma matriz quadrada )(RnMatA∈ . 
Então )(Ap é a matriz quadrada n
n
n IaAaAa 01... +++ . Diz-se que o polinômio )(xp anula a matriz 
A quando nAp 0=)( . 
Exemplo: Sejam 9)( 2 −= xxp , 32)( += xxq e a matriz 


−=
12
41
A . 
 22



=


⋅−


−=
00
00
10
01
9
12
41
)(
2
Ap 



=


⋅+


−⋅=
54
81
10
01
3
12
41
2)(Aq 
Assim, o polinômio )(xp anula a matriz A, mas )(xq não. 
 
Diz-se que um polinômio ][)( xxp R∈ anula o operador linear T quando nTp 0=)]([ α , para toda 
base α de V. 
Seja V um R-espaço vetorial n dimensional, VVT →: um operador linear e 
][...)( 01 Xaxaxaxp
m
m R∈+++= um polinômio. Define-se o operador linear VVTp →:)( tal que 
))(...())(( 01 vIaTaTavTp V
m
m +++= . Se 0λ é um autovalor do operador T então )( 0λp é um 
autovalor do operador linear )(Tp . 
Exemplo: Seja 22: RR →T tal que )8,3(),( yxxyxT −= , cujos autovalores são 3 e 1 − . 
Considere o polinômio 342)( 23 +−−= xxxxp e o operador 22:)( RR →Tp tal que 
),)(342(),)(( 23 yxITTTyxTp +−−= . 
Assim, ),)(3(),(),)(4(),)(2(),)(( 23 yxIyxTyxTyxTyxTp +−−= 
)),((3),()),((4)),((2 23 yxIyxTyxTyxT +−−= 
)3,3()8,3()16,9(4)56,27(2 yxyxxyxxyxx +−−+−−= 
)3,3()8,3()464,36()2112,547( yxyxxyxxyxx +−−+−−= 
)240,18( yxx −= 
Então, os autovalores de )(Tp são 18 e 2− . 
 
Teorema de Cayley-Hamilton (TCH) Sejam V um R-espaço vetorial n-dimensional e 
VVT →: um operador linear. Então nT TP 0=)]([ α para toda base α de V. 
dem: Seja 01
1
1)( aa...aP
n
n
n
T ++++= −− λλλλ 
Denotaremos por )(λA a matriz adjunta clássica da matriz αλ ][ nIT − 
Os elementos de )(λA são os cofatores desta matriz, sendo então polinômios em λ de grau 
menor ou igual a 1−n . 
01
1
1 ...)( AAAA
n
n +++= −− λλλ sendo )(,..., 01 Rnn MatAA ∈− . 
Pela propriedade fundamental da adjunta clássica: 
nn IITAIT ⋅−=⋅− αα λλλ ]det[)(][ 
nTn IPAIT ⋅=⋅− )()(][ λλλ α 
n
n
n
nn
nn IaaaAAAIT ⋅++++=+++⋅− −−−− )...()...(][ 01110111 λλλλλλ α 
n
n
n
nn
nn
n
n IaaaATAATAATA ⋅++++=+−++−+− −−−−−− )...(][)]([...)]([ 01110011211 λλλλλλ ααα
 
(n) nn IA =− −1 
 23
(n-1) nnnn IaAAT 121][ −−− =−α 
(n-2) nnnn IaAAT 232][ −−− =−α
... ... 
(1) nIaAAT 101][ =−α 
(0) nIaAT 00][ =α 
 
Multiplicando-se a equação (n) por nT α][ , (n-1) por 
1][ −nT α , ... e (1) por α][T , tem-se: 
 
(n) n
n
n TAT αα ][][ 1 =− − 
(n-
1) 
1
12
1
1 ][][][
−
−−
−
− =− nnnnnn TaATAT ααα 
(n-
2) 
2
23
2
2
1 ][][][ −−−
−
−
− =− nnnnnn TaATAT ααα 
... ... 
(1) ααα ][][][ 101
2 TaATAT =− 
(0) nIaAT 00][ =α 
 
Somando-se as equações matriciais, n
n
n
n
n IaTa...TaT 01
1
1 ][][][ ++++= −− ααα0 )]([ αTPT= . 
Polinômio Minimal 
Seja V um R-espaço vetorial n-dimensional e VVT →: um operador linear. Define-se o polinômio 
minimal ou mínimo do operador linear T, ][)( λλ R∈Tm , como sendo o polinômio mônico de 
menor grau possível tal que nT Tm 0=)]([ α . 
Exemplos: 
1) 33: RR →T tal que )42,1573,522(),,( zyxzyxzyxzyxT −+−+−+= . 
)3()1()( 2 −−= λλλTP 
)3)(1()( −−= λλλTm 
2) 33: RR →T tal que )3,,4(),,( zyxzzyxT −= . 
)1()2()( 2 −+= λλλTP 
)1()2()( 2 −+= λλλTm 
3) 44: RR →T tal que ),,53,43(),,,( tzzyzxtzyxT −−+−= . 
22 )3()1()( −−= λλλTP 
)3)(1()( −−= λλλTm 
 
CorolárioTCH: O polinômio minimal de T divide o polinômio característico de T, isto é, 
)(|)( λλ TT Pm . 
Teo87. nTT mP ))((|)( λλ 
Teo88. Os polinômios característico e minimal possuem os mesmos fatores irredutíveis e as mesmas 
raízes. 
Teo89. Sejam rλλλ ,...,, 21 autovalores distintos de T. Então T é diagonalizável se e somente se 
))...()(()( 21 rTm λλλλλλλ −−−= . 
 24
Exercícios 
 
1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: 
a) 

=−
31
22
][para )1,2( T b) 







 −
=−
121
232
011
][para )3,1,2( T 
 
2) Os vetores )1,2( e )1,1( − são autovetores de um operador linear 22: RR →T associados aos 
autovalores 51 =λ e 12 −=λ , respectivamente. Determinar )1,4(T . 
 
3) Determinar o operador linear 22: RR →T cujos autovalores são 11 =λ e 32 =λ associados aos 
autoespaços }),,{(1 R∈−= yyyV e }),,0{(3 R∈= yyV . 
 
4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2. 
a) )4,2(),( yxyxyxT +−+= 
b) ),(),( xyyxT −= 
 
5) Dado o operador linear T no R2 tal que )2,53(),( yyxyxT −−= , encontrar uma base de autovetores. 
 
6) Verificar se existe uma base de autovetores para: 
a) 33: RR →T tal que )32,2,(),,( zyzyzyxzyxT ++++= 
b) 33: RR →T tal que )22,2,(),,( zyxyxxzyxT ++−−= 
c) 33: RR →T tal que )34,32,(),,( zyzyxxzyxT +−−+−= 
 
7) Seja 22: RR →T tal que )2,54(),( yxyxyxT ++= . Encontrar uma base que diagonalize o 
operador. 
 
8) O operador linear 44: RR →T tal que ),,,(),,,( yxtzyzyxtzyxtzyxT ++++++++= 
é diagonalizável? 
 
9) Determine o polinômio minimal do operador 








−−
−
−−
463
241
665
. 
 
10) Dada a matriz 










3000
0200
0020
0012
, verifique se é diagonalizável. 
 
 25
11) Seja a matriz triangular superior 








f
ed
cba
00
0 , com todos os seus elementos acima da diagonal 
distintos e não nulos. Indique os autovalores e os autoespaços. 
 
12) Para que valores de a e b as matrizes 



a0
11
 e 



10
1 b
 são diagonalizáveis? 
 
13) Se uma matriz A quadrada é diagonalizável então o determinante de A é o produto de seus 
autovalores? 
 
14) Utilize a forma diagonal para encontrar An nos seguintes casos (n natural): 
 a) 



−
−
21
43
 b) 








−
−
−
220
041
670
 
 
15) Diz-se que um operador T: V → V é idempotente se TT =2 . 
a) Seja T idempotente. Ache seus autovalores. 
 b) Dê exemplo de um operador não nulo 22: RR →T idempotente. 
 c) Mostre que todo operador linear idempotente é diagonalizável. 
 
16) Seja V um espaço n-dimensional. Qual é o polinômio minimal do operador identidade? Qual é o 
polinômio minimal do operador nulo? 
 
17) Verifique se a matriz 










−
−−
−−
0111
1222
0011
0011
 é diagonalizável. 
 
18) Determinar uma matriz de ordem 3 cujo polinômio minimal seja 2λ . 
 
19) Indique o polinômio minimal dos operadores considerando a, b, c, d e e constantes não nulas. 
a) 55: RR →T tal que ),,,,(),,,,( awbwatbtazbzaybyaxwtzyxT ++++= 
b) 55: RR →T tal que ),,,,(),,,,( ewtdwzcwybwxawwtzyxT −−−−−= 
 
26 
Subespaços Invariantes 
 
Seja V um R-espaço vetorial n dimensional e VVT →: um operador linear. O subespaço vetorial VS ≤ 
é denominado subespaço vetorial invariante pelo operador T ou subespaço vetorial T-invariante 
quando SST ⊆)( , sendo }|)({)( SssTST ∈= . 
 
Exemplo: Seja 22: RR →T tal que )8,3(),( yxxyxT −= . 
O subespaço }),2,{( R∈= xxxS é T-invariante, já que ST ∈= )6,3()2,1( . 
Já o subespaço }),0,{( R∈=′ xxS não é T-invariante, pois ST ′∉= )8,3()0,1( . 
 
Teo90. Considere V um R-espaço vetorial n dimensional e VVT →: um operador linear. Então: 
i) São subespaços T-invariantes: }{ V0 , V, KerT e ImT. 
ii) Seja λ um autovalor do operador T. Então o autoespaço λV é T-invariante. 
dem.: Se )( λVTv∈ então )(uTv = , para algum λVu ∈ . 
Se λVu ∈ então uuT λ=)( . 
Assim, uv λ= . 
Então, vuuTuTvT λλλλλ ==== )()()()( . 
Logo, λVv∈ . 
iii) Seja VS ≤ tal que 1dim =S . O subespaço S é T-invariante se e somente se existe um escalar 
R∈k tal que kssT =)( , para todo Ss ∈ . 
iv) Considere o conjunto Vuv ⊆},{ linearmente independente. ],[ uv é T-invariante se e somente se 
],[)( uvvT ∈ e ],[)( uvuT ∈ . 
 
Exemplos: Considere os operadores: 








=
422
242
224
][T , 








=′
210
020
003
][T e 








=′′
100
011
011
][T 
 
S T(S) )(ST ′ )(ST ′′ T-inv T ′ -inv T ′′ -
inv { })0,0,0(=′= TKerKerT { })0,0,0( { })0,0,0( { })0,0,0( 9 9 9 
3R=′= TT ImIm 3R 3R 3R 9 9 9 [ ])0,1,1(−=′′TKer [ ])0,1,1(− [ ])1,2,3(− { })0,0,0( 9 9 
[ ])1,0,0(),0,1,1(Im =′′T [ ])1,0,0(),0,1,1( [ ])1,0,0(),0,2,3( T ′′Im 9 9 
[ ])1,0,1(),0,1,1(2 −−=TV [ ])1,0,1(),0,1,1( −− [ ])1,2,0(),0,4,3( − [ ])1,1,1( −− 9 [ ])1,1,1(8 =TV [ ])1,1,1( [ ])3,2,3( [ ])1,2,2( 9 [ ])1,0,0(2 =′TV [ ])2,1,1( [ ])1,0,0( [ ])1,0,0( 9 9 [ ])0,0,1(3 =′TV [ ])1,1,2( [ ])0,0,1( [ ])0,1,1( 9 [ ])0,1,1(0 −=′′TV [ ])0,1,1(− [ ])1,2,3(− { })0,0,0( 9 9 [ ])1,0,0(1 =′′TV [ ])2,1,1( [ ])1,0,0( [ ])1,0,0( 9 9 [ ])0,1,1(2 =′′TV [ ])2,3,3( [ ])1,2,3( [ ])0,1,1( 9 
27 
ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E 
OPERADORES LINEARES 
 
Considere V um R-espaço vetorial n dimensional munido de um produto interno e VVT →: um 
operador linear.. 
 
Operador Adjunto 
Teo91. Seja R→Vf : um funcional linear. Então, para todo Vv∈ existe um único vetor Vu ∈ tal que 
uvvf ,)( = . 
dem: 
(exist.) Sejam },...,{ 1 nvv uma base ortonormal de V e Vvvfvvfu nn ∈++= )(...)( 11 
Considere },...,{ 1 ni vvv ∈ qualquer. 
nnii vvfvvfvuv )(...)(,, 11 ++= 
niniiii vvvfvvvfvvvf ,)(...,)(...,)( 11 ++++= 
)( ivf= 
Logo, para todo Vv∈ existe um único vetor Vu ∈ tal que uvvf ,)( = . 
(unic.) (RAA) Supor que exista uwVw ≠∈ , tal que wvvf ,)( = , para todo Vv∈ . 
Assim, wvuv ,, = 
Então, 0, =− wuv 
Em particular, vale a igualdade para wuv −= . 
Assim, 0, =−− wuwu sse Vwu 0=− sse wu = . 
Contradição. 
Logo, Vu ∈ é único. 
 
Teo92. Existe um único operador linear VVT →:* tal que )(,),( * wTvwvT = , para quaisquer 
Vwv ∈, . 
dem.: Seja Vw∈ qualquer e o funcional linear R→Vf : tal que wvTvf ),()( = 
Pelo Teo91, existe um único vetor Vu ∈ tal que uvvf ,)( = 
Assim, uvwvT ,),( = 
Considere VVT →:* tal que uwT =)(* 
Então, )(,),( * wTvwvT = 
*T é um operador linear, pois: 
(po+) )(,)(,),(),(),()(, *** vTvvTvvvTvvTvvvTvvTv ′′′+′′=′′′+′′=′+′′=′+′′ 
28 
Então, )()()( *** vTvTvvT ′+=′+ , para quaisquer Vvv ∈′, . 
(po.) )(,)(,),(),()(, *** vkTvvTvkvvTkkvvTkvTv ′=′=′=′=′ 
Então, )()( ** vkTkvT = , para quaisquer Vvk ∈∈ ,R . 
A unicidade de *T é uma decorrência da unicidade de u. 
 
 
O operador *T é denominado operador adjunto do operador T. 
 
Exemplo: Seja 22: RR →T tal que )8,3(),( yxxyxT −= . 
O operador 22* : RR →T tal que ),83(),(* yyxyxT −+= é o operador adjunto de T. 
 
Teo93. Seja α uma base ortonormal de V. Então tTT αα ][][ * = . 
 
Teo94. Sejam 21 e , TTT operadores lineares em V. 
Então: 
i) *2
*
1
*
21 )( TTTT +=+ 
ii) **)( TkTk ⋅=⋅ , para todo R∈k . 
iii) *1
*
2
*
21 )( TTTT oo = 
iv) TT =** )( 
v) ⊥= )(Im *TKerT 
 
dem.: (i) )(,)(,),(),(),()(),)(( *2
*
1212121 uTvuTvuvTuvTuvTvTuvTT +=+=+=+ 
))((,)()(, *2
*
1
*
2
*
1 uTTvuTuTv +=+= 
 
Teo95. Seja VVT →: um operador linear e VS ≤ um subespaço T-invariante. 
Então ⊥S é T*-invariante. 
dem.: Sejam ⊥∈ Sv e Sw∈ . 
Tem-se, )(,),(* wTvwvT = . 
Como S é T-invariante, SwT ∈)( . 
Assim, 0)(, =wTv . 
Então, 0),(* =wvT . 
Isto é, ⊥∈ SvT )(* . 
Logo, ⊥S é T*-invariante. 
 
29 
Operadores Auto-Adjuntos 
O operador linear VVT →: é denominado operador auto-adjunto quando )(,),( uTvuvT = , para 
quaisquer Vuv ∈, , isto é, TT =* . 
 
Exemplos: 
1) 22: RR →T tal que )4,42(),( yxyxyxT −+= 
2) 33: RR →T tal que )2,23,(),,( yzyxyxzyxT −−+−−= 
 
Teo96. Sejam 21 e TT operadores lineares auto-adjuntos e R∈k . 
Então )( 21 TT + e )( 1Tk ⋅ também são operadores auto-adjuntos. 
dem: 21
*
2
*
1
*
21 )( TTTTTT +=+=+ , pelo Teo95 e por hipótese. 
TkTkTk ⋅=⋅=⋅ **1 )( , mesmas justificativas. 
 
Teo97. VVT →: um operador auto-adjunto se e somente α][T é uma matriz simétrica, qualquer que 
seja a base ortomormal α de V. 
 
Teo98. Seja VVT →: um operador auto-adjunto e rvv ,...,1 autovetores associados a autovalores 
distintos rλλ ,...,1 de T. Então .,,...1, , a ortogonal é jirjivv ji ≠= 
dem.: Como )(,)(,),( * jijiji vTvvTvvvT == . 
Tem-se, jjijii vvvv ⋅=⋅ λλ ,, . 
Assim, 0,, =⋅−⋅ jjijii vvvv λλ 
0,, =− jijjii vvvv λλ 
0,)( =− jiji vvλλ 
Por hipótese, ji λλ ≠ . 
Logo, 0, =ji vv . 
 
Teo99. Seja VVT →: um operador auto-adjunto. Então T possui um autovalor real, isto é, possui um 
autovetor não nulo. 
 
Teo100. Seja VVT →: um operador auto-adjunto e v um autovetor associado ao autovalor λ de T. 
Então os subespaços ][v e ⊥][v são T-invariantes. 
30 
Teorema Espectral para Operadores Auto-Adjuntos 
Seja V um R-espaço vetorial n dimensional munido de um produto interno e VVT →: um operador 
linear auto-adjunto. Então T é diagonalizável, isto é, existe uma base ortonormal α de autovetores de V 
tal que α][T é uma matriz diagonal. 
 
dem.: (indução em n) 
Base: 1dim =V 
Existe um autovetor VvVv 0≠∈ , , por Teo101. 
}{v é uma base de V. 


 v
v é uma base ortonormal de V. 
 
Passo: (HI) Supor de vale o teorema para espaços vetoriais com dimensão 1−n . 
Considere v um autovetor unitário de T, vide Teo99, e 1]dim[ =v . 
Mas, ⊥][v é um subespaço T-invariante, por Teo102. 
Então, ⊥⊥ →⊥ ][][:| ][ vvT v é um operador auto-adjunto. 
Pela hipótese de indução, existe uma base ortonormal },...,,{ 121 −= nvvvδ de autovetores de ⊥][v 
tal que δ]|[ ][ ⊥vT é uma matriz diagonal. 
Mas, ⊥⊕= ][][ vvV e ⊥+= ]dim[]dim[dim vvV . 
Logo, },,...,,{ 121 vvvv n− é uma base ortonormal de autovetores de V. 
 
 
 
O espectro de um operador linear é o conjunto de seus autovalores. 
 
 
31 
Operadores Ortogonais 
O operador linear VVT →: é denominado operador ortogonal quando uvuTvT ,)(),( = , isto é, 
1* −= TT . 
 
Exemplos: 
1) 22: RR →T tal que ),(),( xyyxT −= 
2) 33: RR →T tal que ),,(),,( 2222666636333333 zyzyxzyxzyxT +−++−++= 
 
Teo101. Seja VVT →: um operador linear. São equivalentes: 
i) T é um operador ortogonal. 
ii) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. 
iii) T preserva produto interno, isto é, uvuTvT ,)(),( = , para quaisquer Vv,u∈ . 
iv) T preserva norma, isto é, vvT =)( , para todo Vv∈ . 
 
Teo102. Seja VVT →: um operador ortogonal. Então: 
i) T preserva distância. 
ii) Os únicos autovalores possíveis para T são 1± . 
iii) Autovetores de T são sempre ortogonais. 
iv) Se S é um subespaço vetorial T-invariante então ⊥S é T-invariante. 
 
Operadores Normais 
O operador linear VVT →: é denominado operador normal quando comuta com seu operador adjunto, 
isto é, TTTT oo ** = . 
Teo103. Seja VVT →: um operador normal. Então: 
i) )( Tk ⋅ também é um operador normal. 
ii) )()( * vTvT = , para todo Vv∈ . 
iii) Se λ é um autovalor de T então λ é um autovalor de *T . 
iv) T e *T possuem os mesmos autovetores. 
v) *KerTKerT = . 
vi) *ImIm TT = 
vii) TKerT Im)( =⊥ . 
 
Se V é C-espaço vetorial, o operador linear VVT →: tal que TT =* é denominado operador 
hermitiano e quando 1* −= TT , operador unitário. 
 
32 
Exercícios 
1) Classifique os operadores. 
a) )52,22(),( yxyxyxT +−−= 
b) ),cossen,sencos(),,( zyxyxzyxT θθθθ +−= 
c) )3,,2(),,( zyzyxyxzyxT −+++= 
 
2) Ache valores para x e y tais que 


− 01
yx
 seja ortogonal. 
 
3) Dê exemplo de um operador auto-adjunto não ortogonal e vice-versa. 
 
4) Dê exemplo de um operador normal que não é nem auto-adjunto nem ortogonal. 
 
5) Se e são produtos internos sobre R2 e 22: RR →T
um operador auto-adjunto em relação a 
 então T também é auto-adjunto em relação a ? 
6) Seja [ ]








−
−−=
142
454
241
T . Verifique que T é diagonalizável sem usar os critérios de diagonalização. 
 
7) Considere VVT →: e VVU →: operadores lineares que comutam entre si. 
(C1) Se λ é um autovalor de T então λV é um subespaço U-invariante 
(C2) Existe um autovetor comum a T e a U. 
 
9) Todo operador auto-adjunto é um operador normal. 
 
10) Todo operador ortogonal é um operador normal. 
 
 
 
 
 
33 
Apêndice E – Algumas demonstrações 
 
Teo94. v) ⊥= )(Im *TKerT 
dem.: KerTv∈ sse VvT 0)( = sse 0),( =uvT , para todo Vu∈ sse 0)(, * =uTv , para todo Vu∈ sse 
)(* uTv ⊥ , para todo Vu∈ sse ⊥∈ )(Im *Tv 
 
Teo101. São equivalentes: 
i) T é um operador ortogonal. 
ii) T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. 
iii) T preserva produto interno, isto é, uvuTvT ,)(),( = , para quaisquer Vv,u∈ . 
iv) T preserva norma, isto é, vvT =)( , para todo Vv∈ . 
dem.: 
i) → ii) { }nvv ,,1 K=α base ortonormal de V { })(,),()( 1 nvTvTT K=α base de V, pois T é isomorfismo 
0,))((,))((,)(),( 1* ==== − jijijiji vvvTTvvTTvvTvT , por hipótese 
1,))((,))((,)(),()( 21*2 ====== − iiiiiiiiii vvvvTTvvTTvvTvTvT , por hipótese 
)(αT base ortonormal de V 
ii) → iii) α e )(αT bases ortonormais de V 
 nnvkvkv ++= K11 e nnvlvlu ++= K11 
 =++++= nnnn vlvlvkvkuv KK 1111 ,, 
=++++++ nnnnnnnn vvlkvvlkvvlkvvlk ,,,, 11111111 KKK 
=++++++ 1001 1111 nnnn lklklklk KKK nnlklk ++K11 
 )()()( 11 nn vTkvTkvT ++= K e )()()( 11 nn vTlvTluT ++= K 
 =++++= )()(),()()(),( 1111 nnnn vTlvTlvTkvTkuTvT KK 
 =++++++ )(),()(),()(),()(),( 11111111 nnnnnnnn vTvTlkvTvTlkvTvTlkvTvTlk KKK 
 =++++++ 1001 1111 nnnn lklklklk KKK nnlklk ++K11 
 Assim, )(),(, uTvTuv = 
iii) → iv) 22 ,)(),()( vvvvTvTvT === 
iv) → i) ∴=−∴=∴=∴= 0,)),((,)),((,)(),()( ** vvvvTTvvvvTTvvvTvTvvT 
0),)((0),())(( ** =−∴=− vvITTvvIvTT o 
Mas, ITTITTITT −=−=− )()()( ****** ooo , isto é, ITT −)( * o é OAA 
Então, 1*** )()( −=∴=∴=− TTITTITT oo 0 
Analogamente, ITT =)( *o 
Logo, T é OO. 
 
Outros Teoremas: 
1. 0),( =uvT , para quaisquer Vuv ∈, sse 0=T 
2. 0),( =vvT , para todo Vv∈ sse TT −=* 
34 
3. Se T é OAA e 0),( =vvT , para todo Vv∈ então 0=T 
4. Considere V um C-EVPI. 0),( =vvT , para todo Vv∈ sse 0=T 
 Contra-exemplo para o caso real: Seja [ ] 


 −=
01
10
T . 
 0),(),,(),(),,( =+−=−= xyxyyxxyyxyxT 
Mas, 0≠T 
 
Teo102. Se T é OO então: 
i) T preserva distância. 
ii) Os únicos autovalores possíveis para T são 1± . 
iii) Autovetores de T são sempre ortogonais. 
iv) Se S é um subespaço vetorial T-invariante então ⊥S é T-invariante. 
dem.: 
i) ))(),(()()()(),( uTvTduTvTuvTuvuvd =−=−=−= , por definição e T101iv 
ii) Vv∈ , Vv 0≠ , autovetor associado ao autovalor λ 
vvvvvTvT ,,)(),( 2λλλ == , por definição e prop´s PI, e vvvTvT ,)(),( = , por T101iii 
112 ±=∴= λλ 
iii) Vuv ∈, , Vuv 0, ≠ , autovetores associados a autovalores distintos λλ ′≠ 
uvuvuTvT m,,)(),( ±=′= λλ e uvuTvT ,)(),( = , por T101iii 
0,,, =∴=± uvuvuv m 
iv) ⊥∈ Sv e Ss∈ 
svTsTvT ′= ),()(),( , pois S é T-inv e 0,)(),( == svsTvT , por T101iii 
⊥∈∴=′ SvTsvT )(0),( 
 
Teo103. Se T é ON então: 
i) )( Tk ⋅ é ON. 
ii) )()( * vTvT = , para todo Vv∈ . 
iii) Se λ é um autovalor de T então λ é um autovalor de *T . 
iv) T e *T possuem os mesmos autovetores. 
v) *KerTKerT = 
vi) *ImIm TT = 
vii) TKerT Im)( =⊥ . 
dem.: 
i) )))((())(())()(()])()[(())(()()()()( ****** vTTkkvkTkTvkTkTvkTkTvkTkTvkTkT ===== oo 
 == )))((( * vTTkk ))(()()])()[(())()(())(( **** vkTkTvkTkTvkTkTvkTkT o=== 
ii) 
2*****2 )()(),())((,))((,)(),()( vTvTvTvTTvvTTvvTvTvT ===== 
v) *
2*2 )(00,0)(),()( KerTvvTvTvTvTKerTv VV ∈∴====∴∈ 
vii) ⊥== )(ImIm * KerTTT 
 
 35 
Formas Lineares, Bilineares e Quadráticas 
 
Considere V um R-espaço vetorial n-dimensional. 
 
Formas Lineares 
Qualquer transformação linear da forma R→Vf : é denominada um funcional linear ou forma linear. 
 
Exemplos: 
1) RR →2:f tal que yxyxf +=),( 
2) RR →3:f tal que zyxzyxf −+= 2),,( 
3) RR →nf : tal que in xxxxf =),...,,( 21 com ni ≤≤1 
 
Considere o conjunto ),( RVL ou ),( RVHom ou *V como sendo o conjunto de todos os funcionais de V 
em R. Assim, fica definido um novo espaço vetorial ],,,[ * ⋅+RV denominado espaço vetorial dual de V. 
 
O teorema 91 nos garante que para todo Vu∈ , a função R→Vfu : tal que >=< uvvfu ,)( é um 
funcional. 
 
Teo104. Os espaços V e *V são isomorfos, isto é, *: VVT → tal que vfvT =)( é um isomorfismo. 
Corol104. *dimdim VV = 
 
 
Formas Bilineares 
A função R→×VVf : é denominada uma forma bilinear quando para quaisquer Vwuv ∈,, e para todo 
R∈k , 
FB1. ),(),(),( wufwvfwuvf +=+ e ),(),(),( wvfuvfwuvf +=+ 
FB2. ).,(),(.),.( ukvfuvfkuvkf == 
 
Exemplos: 
1) RRR →×:f tal que xyyxf =),( 
2) RRR →× 22:f tal que ytxztzyxf 2)),(),,(( −= 
3) R→×VVf : tal que >=< uvuvf ,),( 
 
Teo105. Sejam f e g formas bilineares sobre V e R∈k . Então )( gf + e ).( fk também são formas 
bilineares sobre V. 
Corol105: Seja )(VFB o conjunto de todas as formas bilineares sobre V. Então ],,),([ ⋅+RVFB é um 
espaço vetorial. 
 
 
 
 36 
Formas Bilineares e Matrizes 
Teo106. Considere )(RnMatA∈ e α uma base de V. A função R→×VVf A : tal que 
][][),( uAvuvf tA ⋅⋅= é uma forma bilinear. 
 
Teo107. A função )()(: VFBMatT n →R tal que AfAT =)( é uma transformação linear. 
 
Considere Vuv ∈, , },...,{ 1 nvv=α uma base de V e f uma forma bilinear. 
Assim, nn vkvkv ++= ...11 e nn vlvlu ++= ...11 . 
Então, )...,...(),( 1111 nnnn vlvlvkvkfuvf ++++= 
),(...),(...),(...),( 11111111 nnnnnnnn vlvkfvlvkfvlvkfvlvkf ++++++= 
nnnnnnnn lvvfklvvfklvvfklvvfk ),(...),(...),(...),( 11111111 ++++++= 
( )








⋅








⋅=
nnnn
n
n
l
l
vvfvvf
vvfvvf
kk ...
),()......,(
..............................
),()......,(
......
1
1
111
1 
α
α
αα ][][][ ufv
t ⋅⋅= 
Logo, a cada forma bilinear é possível associar uma matriz quadrada. 
 
Uma forma bilinear R→×VVf : é denominada forma bilinear simétrica quando para quaisquer 
Vuv ∈, , ),(),( vufuvf = . 
 
 
Teo108. Seja α uma base de V. Uma forma bilinear f é simétrica se e somente se αα][ f é uma matriz 
simétrica. 
 
 
Formas Bilineares e Espaços Vetoriais com Produto Interno 
Considere V um R-espaço vetorial munido de um produto interno n dimensional. 
Teo109. Seja f uma forma bilinear. Então existe um único operador linear VVU →: tal que 
)(,),( uUvuvf = , para todo Vuv ∈, . 
 
Teo110. Os espaços )(VFB e )(VL são isomorfos, isto é, )()(: VLVFBT → tal que UfT =)( é um 
isomorfismo. 
 
Teo111. A forma bilinear f é simétrica se e somente se o operador linear U é um operador auto-adjunto. 
 37 
Formas Quadráticas 
Considere uma forma bilinear simétrica R→×VVf : . A função R→VQ : tal que ),()( vvfvQ = é 
denominada forma quadrática associada a forma bilinear
f. 
 
Notação matricial: α
α
αα ][][][)( vfvvQ
t ⋅⋅= sendo α uma base de V. 
 
Exemplos: 
1) Seja RRR →× 22:f tal que ytyzxtxztzyxf +−−= 55)),(),,(( e a base canônica do R2. 
A forma quadrática associada é RR →2:Q tal que )),(),,((),( yxyxfyxQ = 
22 55 yxyxyx +−−= 
22 10 yxyx +−= 
 
2) Seja R→×VVf : uma forma bilinear simétrica e R→VQ : sua forma quadrática associada. 
),()( uvuvfuvQ ++=+ 
),(),(),(),( uufvufuvfvvf +++= 
),(),(2),( uufuvfvvf ++= 
)(),(2)( uQuvfvQ ++= 
)]()()([),( 21 uQvQuvQuvf −−+= é denominada de forma polar de f. 
 
Uma forma quadrática R→VQ : é denominada forma quadrática positiva definida quando para todo 
VvVv 0≠∈ , , 0)( >vQ . 
 
Teo112. Seja VVT →: um operador auto-adjunto. Então R→VQ : tal que vvTvQ ),()( = é uma 
forma quadrática. 
Teorema de Sylvester: Lei da Inércia 
Seja f uma forma bilinear simétrica. Então existe uma base α de V tal que αα][ f é uma matriz diagonal e 
qualquer outra representação matricial diagonal de f possui a mesma quantidade p de elementos positivos 
(na diagonal) e a mesma quantidade q de negativos da matriz αα][ f . 
 
O posto da forma bilinear f é qpfrank +=)( e a assinatura é qpfsign −=)( . 
 
Corolário: Toda forma quadrática R→VQ : admite representação na forma 
22
1
22
1 ......)( qppp xxxxvQ ++ −−−++= , com n≤+ qp . 
 38 
Exemplo: Considere a forma bilinear simétrica 








=
422
242
224
][ f na base canônica do R3. 
[ ])1,0,1(),0,1,1(},),,,{( e 2 21 −−=∈−−== RzyzyzyVλ 
[ ])1,1,1(}),,,{( e 8 82 =∈== RzzzzVλ 
{ })1,1,1(),1,0,1(),0,1,1( −−=α base de autovetores: 








=
2400
042
024
][ ααf 
⊥= 82 VV , mas os vetores 2)1,0,1(),0,1,1( V∈−− não são ortogonais. 
Pelo processo de Gram-Schmidt, ( ) 22121 1,,),0,1,1( V∈−−− são vetores ortogonais. 
( ){ })1,1,1(,1,,),0,1,1( 2121 −−−=β base ortogonal de autovetores: 







=
2400
030
004
][ ββf 
( ) ( ) ( ){ }
3
1
3
1
3
1
6
2
6
1
6
1
2
1
2
1 ,,,,,,0,, −−−=γ base ortonormal de autovetores. 
Desta forma, 








=
800
020
002
][ γγf e 3)()( == fsignfrank . 
Lembrando que APPD 1−= , neste caso com P matriz ortogonal. 
Temos: 








−
−−
⋅








⋅








−−
−
=








3
1
6
2
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
3
1
3
1
6
2
6
1
6
1
2
1
2
1
0422
242
2240
800
020
002
. 
A forma quadrática Q associada à forma bilinear simétrica f é 
yzxzxyzyxzyxQ 444444),,( 222 +++++= , sua forma diagonalizada é 
222 822),,( zyxzyxQ ′+′+′=′′′ , e, pelo Teorema de Sylvester, 222),,( ZYXZYXQ ++= . 
Observe que, 








⋅








⋅








=








8
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
00
00
00
800
020
002
00
00
00
100
010
001
. 
 39 
Exercícios 
1) Verifique se as funções abaixo definem formas bilineares: 
a) RRR →× 22:f tal que txtzyxf +=)),(),,(( 
b) RRR →× 22:f tal que ytxtyzxztzyxf 233)),(),,(( +++−= 
c) RRR →× )()(: 22 MatMatf tal que )..(),( BMAtrBAf t= sendo 


=
53
21
M 
2) Considerando a base canônica do R2, indique a matriz ][ f sendo f o produto interno usual. 
3) Sejam V um R-espaço vetorial n-dimensional e },...,{ 1 nvv=α uma base de V. A função 
)()(: RnMatVFBT →′ tal que αα][)( ffT =′ é uma transformação linear? 
4) Seja RRR →× 22:f tal que yzxttzyxf −=)),(),,(( e )}1,1(),1,1{( −=α . Indique αα][ f . 
5) Considere RRR →× 33:f cuja matriz associada a base canônica é 








−=
101
111
321
][ f . Indique dois 
vetores 3, R∈uv tais que ),(),( vufuvf ≠ . 
6) Considere o conjunto )(VFBS de todas as formas bilineares simétricas sobre V. )(VFBS é um 
subespaço de )(VFB ? 
7) Todo produto interno é uma forma bilinear e vice-versa? Todo produto interno é uma forma bilinear 
simétrica e vice-versa? 
8) Considere V um R-espaço vetorial e as formas bilineares f e g sobre V. A função R→×VVh : tal 
que )().(),( ugvfuvh = é uma forma bilinear? É simétrica? 
 
9) Seja RRR →× 22:f tal que ytxztzyxf −= 3)),(),,(( . Indique a forma quadrática associada. 
 
10) Seja RR →2:Q tal que 22 42),( yxyxyxQ −+= . Indique a forma bilinear f . 
 
11) Seja RR →2:Q tal que 22 412),( yxyxyxQ −+= . Determine a base α do R2 tal que 
22),( byaxyxQ += . Indique a forma bilinear f. 
12) Se 1Q e 2Q são formas quadráticas associadas às formas bilineares simétricas 1f e 2f 
então ) ( 21 QQ + é a forma quadrática associada a forma bilinear simétrica ) ( 2 1 ff + ? 
13) Seja f uma forma bilinear simétrica e Q sua forma quadrática associada. Então 
)]()([),( 41 uvQuvQuvf −−+= ? 
14) A forma quadrática RR →2:Q dada pela matriz 


− 42
21
 é positiva definida? 
15) Como devem ser os autovalores de uma matriz associada a uma forma quadrática positiva definida? 
16) Qual a relação entre produto interno e forma quadrática? 
17) Qual o posto e a assinatura das formas bilineares 








−−
−
−
843
452
321
 
 40 
Apêndice F – Uma Aplicação 
Neste apêndice iremos considerar a base canônica α e α][][ vv = , as coordenadas do vetor v em relação a 
esta base. 
 
Forma Quadrática no R2 
O polinômio cxybyaxyxQ 2),( 22 ++= com coeficientes reais é denominado forma quadrática no R2. 
A matriz simétrica real 

=
bc
ca
A é a matriz da forma quadrática. 
( ) 

⋅

⋅==
y
x
bc
ca
yxvAvyxQ t ][][),( . 
A forma quadrática cxybyaxyxQ 2),( 22 ++= pode ser expressa de forma simplificada por 
2
2
2
1),( yxyxQ ′+′=′′ λλ , sendo 1λ e 2λ os autovalores do operador auto-adjunto representado pela 
matriz simétrica A. 
( ) ( ) ),(][][
0
0
][][),(
2
1 yxQvDv
y
x
yx
y
x
bc
ca
yxvAvyxQ tt ′′==



′
′⋅


⋅′′=


⋅


⋅== ββλ
λ
 
Observe que 


′
′
y
x
 são as coordenadas do vetor ),( yx em relação a base ortonormal β de autovetores. 
A forma 22
2
1),( yxyxQ ′+′=′′ λλ é denominada forma canônica da forma quadrática no R2 ou 
também forma quadrática diagonalizada. 
 
Exemplo: A matriz simétrica real 


− 312
124
 define no R2 a forma quadrática xyyx 2434 22 +− . 
Assim, 4)0,1( =Q e 40)2,1( =Q . 
O operador linear associado a matriz 


− 312
124
 possui autovalores 121 −=λ e 132 =λ . 
Esta forma quadrática pode ser expressa por 22 1312 yx ′+′− . 
 
A forma quadrática diagonalizada é obtida através de uma mudança de base. Deste modo, 
β
β
αα ][][][ vIv = , sendo βα][I a matriz mudança de base. As colunas da matriz βα][I são os autovetores e, 
conseqüentemente, uma matriz ortogonal.
41 
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, uma base ortonormal de autovetores é ( ) ( ){ }53545453 ,,,−=β . 
Assim, 



−= 5354
5
4
5
3
][ βαI . 
Seja )2,1(=v , tem-se: 



′
′⋅



−=



y
x
5
3
5
4
5
4
5
3
2
1
. 
Resolvendo o sistema: 


=′+′−
=′+′
2
1
5
3
5
4
5
4
5
3
yx
yx
 
Obtém-se: 1−=′x e ∴=′ 2y 

−=
2
1
)]2,1[( β . 
Verificando, 40)2,1(2434),( 22 =∴+−= QxyyxyxQ 
40)2,1(1312),( 22 =−∴′+′−=′′ QyxyxQ . 
 
 
Esta mudança do sistema XOY , cujos eixos são determinados pelos vetores da base canônica 
)}1,0(),0,1{( , para o sistema YOX ′′ , cujos eixos são determinados pelos vetores da base ortonormal β de 
autovetores, representa uma rotação de ângulo θ . 
 
Exemplo: Seja xyyxyxQ 69),( 22 ++= . A matriz simétrica associada é 

=
93
31
A . 
Os autovalores são 01 =λ e 102 =λ . 
Para 01 =λ , o autoespaço é }),,3{(0 R∈−= yyyV . 
Para 102 =λ , o autoespaço é }),3,{(10 R∈= xxxV . 
Assim, )}3,1(),1,3{(− é uma base de autovetores e ( ) ( ){ }
10
3
10
1
10
1
10
3 ,,,−=β uma base 
ortonormal de autovetores. 
A matriz 



−=
10
3
10
1
10
1
10
3
][ βαI é tal que 1)]det([ =βαI . 
A forma quadrática diagonalizada é 22 100 yx ′+′ . 
 
 42 
Cônicas 
É o conjunto de pontos do R2 cujas coordenadas x e y, em relação à base canônica, satisfazem à equação 
0222 =+++++ feydxcxybyax , com 0≠a ou 0≠b ou 0≠c . 
 
Classificação 
 
 
 
Circunferência: 222 ryx =+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elipse: 12
2
2
2
=+
b
y
a
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ba > ba < 
 
 
 
 
 
Parábola: kxy =2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0>k 0<k 
 
 
 
 
 
 
kyx =2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(r,0) 
(0,r) 
(a,0) 
(0,b) 
(a,0) 
(0,b) 
0>k 0<k 
 43 
 
 
 
Hipérbole: 12
2
2
2
=−
b
y
a
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0, >ba 
 
 
 
 
12
2
2
2
=−
b
x
a
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0, >ba 
 
 
 
Elipse Degenerada (ponto) 
022 =+ byax 
 
 
 
 
 
 0, >ba 
Elipse ou Parábola Degenerada 
(conjunto vazio) 
0222 =++ rbyax 
0, >ba e 0≠r 
 
 
 
 
 
Parábola Degenerada (retas 
paralelas) 
02 =− bax 
 
 
 
 
 0, >ba 
 
 
Parábola Degenerada (reta) 
02 =x 
 
 
 
 
 
 
Hipérbole Degenerada (retas 
concorrentes) 
02
2
2
2
=−
b
y
a
x 
 
 
 
 
 
 0, >ba 
 
 
 
 
 44 
Equação Reduzida 
Considere a equação 0222 =+++++ feydxcxybyax . A equação reduzida é obtida da seguinte forma: 
1. Eliminação do termo em xy . 
Escreve-se a equação na forma matricial: 
( ) ( ) 0=+

⋅+

⋅

⋅ f
y
x
ed
y
x
bc
ca
yx 
Calcula-se os autovalores 1λ e 2λ do operador linear representado pela matriz 


bc
ca
 e os autovetores 
ortogonais unitários ),( 21111 xxu = e ),( 22122 xxu = . Obtém-se matriz mudança de base βα][I , a fim de 
se obter a rotação. Assim, 
( ) ( ) 0
0
0
2221
1211
2
1 =+



′
′⋅


⋅+



′
′⋅


⋅′′ f
y
x
xx
xx
ed
y
x
yx λ
λ
 
Obtém-se a equação 022
2
1 =+′+′+′+′ iyhxgyx λλ em relação ao sistema YOX ′′ . 
 
2. Translação do referencial YOX ′′ para o novo referencial YOX ′ , obtendo-se assim a equação reduzida 
da cônica. 
 
Exemplos: 
1) 632 22 =+ yx 
1
)2()3(
1
6
3
6
2
2
2
2
222
=+∴=+ yxyx , que é representada por uma de uma elipse. 
 
2) 0126422 =+−−+ yxyx 
∴=−++−++− 01312)96()44( 22 yyxx 1)3()2( 22 =−+− yx 
 
 
 
 
Fazendo uma translação de eixos, onde 2−=′ xx 
e 3−=′ yy , obtém-se 122 =′+′ yx , que é 
representada por uma circunferência de raio 1 e 
centro )3,2(=′O . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
y′ 
2 
3
x 
x′ 
O′ 
 45 
3) 0821224422 22 =−++++ yxxyyx 
Escrevendo na forma matricial: 
( ) ( ) 0821224
22
22 =−

⋅+

⋅

⋅
y
x
y
x
yx 
Os autovalores são 01 =λ e 42 =λ e 


 



 −=
2
1,
2
1,
2
1,
2
1β uma base ortonormal de 
autovetores. Assim, a equação acima pode ser reescrita: 
( ) ( ) 08
2
1
2
1
2
1
2
1
21224
40
00 =−


′
′⋅








−
⋅+


′
′⋅

⋅′′
y
x
y
x
yx 
∴=−′+′−′ 081684 2 yxy ∴=−′+′−′ 02422 yxy ∴=++′−+′+′ 0)422()44( 2 xyy
0)3(2)2( 2 =+′−+′ xy 
 
 
 
 
 
Fazendo uma translação para o referencial YOX ′ 
onde 3+′= xX e 2+′= yY , obtém-se a 
equação 022 =− XY , representada pela 
parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação de Cônicas por Autovalores 
• Se 021 >λλ então a cônica é representada por uma elipse ou alguma das degenerações (ponto ou 
vazio). 
• Se 021 =λλ então a cônica é representada por uma parábola ou alguma das degenerações (ponto, 
vazio ou par de retas paralelas). 
• Se 021 <λλ então a cônica é representada por uma hipérbole ou sua degeneração (par de retas 
concorrentes). 
Y 
y′ 
-2 
-3 X
x′
 46 
Exemplos: 
1) 071343824916 22 =+−−−+ yxxyyx 



−
−=
912
1216
A 
0
25
0
0250)det( 21
2
12 =∴


=
=∴=−∴=− λλλ
λλλλIA 
A cônica é representada por uma parábola. 
 
2) 02520343 22 =−+−− yxyyx 




−−
−=
132
323A 
0
3
5
01520)det( 21
2
12 <∴

−=
=∴=−−∴=− λλλ
λλλλIA 
A cônica é representada por uma hipérbole. 
 
 
Forma Quadrática no R3 
O polinômio fyzexzdxyczbyaxzyxQ 222),,( 222 +++++= com coeficientes reais é denominado 
forma quadrática no R3. 
Como foi visto no caso R2, é possível reduzir uma forma quadrática R3 a uma forma canônica. 
( ) ( )








′
′
′
⋅








⋅′′′=








⋅








⋅
z
y
x
zyx
z
y
x
cfe
fbd
eda
zyx
3
2
1
00
00
00
λ
λ
λ
 
A forma 23
2
2
2
1 zyx ′+′+′ λλλ é denominada forma canônica da forma
quadrática no R3 ou também 
forma quadrática diagonalizada. 
 
Quádricas 
É o conjunto de pontos do R3 cujas coordenadas x, y e z, em relação à base canônica, satisfazem à equação 
0222222 =+++++++++ jizhygxfyzexzdxyczbyax , com edcba ,,,, ou 0≠f . 
 
 47 
Classificação de Quádricas 
 
 
Elipsóide: 12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x 
 
 
 
 
 
 
Parabolóide Elíptico: 02
2
2
2
=++ cz
b
y
a
x 
 
 
 
Parabolóide Hiperbólico: 02
2
2
2
=+− cz
b
y
a
x 
 
 
 
Hiperbolóide de uma folha (ou face): 
12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x 
 
Hiperbolóide de duas folhas (ou faces): 
12
2
2
2
2
2
=−−
c
z
b
y
a
x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
Equação Reduzida 
Exemplos: 
1) 0304216169364 222 =+−−−+ yxzyx 
Observe que esta equação não possui os termos em xy, xz e yz. Portanto, não é necessário fazer 
eliminação, faz-se somente a translação. 
3049)6(36)4(4 222 −=−−+− zyyxx 
324163049)96(36)44(4 222 ++−=−+−++− zyyxx 
369)3(36)2(4 222 =−−+− zyx 
1
4
)3(
9
)2( 222 =−−+− zyx 
Fazendo a translação dos eixos: 2−= xX , 3−= yY e zZ = , obtém-se: 1
49
2
2
2
=−+ ZYX 
 
 
2) 03444444 222 =−+++++ yzxzxyzyx 
( ) 03
422
242
224
=−








⋅








⋅
z
y
x
zyx 





 −−=


−=
∴=
6
2,
6
1,
6
1
0,
2
1,
2
1
2
2
1
1
v
v
λ e 

=∴=
3
1,
3
1,
3
18 32 vλ 
( ) 03
800
020
002
=−








′
′
′
⋅








⋅′′′
z
y
x
zyx 
3822 222 =′+′+′ zyx 
( ) ( ) ( ) 1283
2
2
2
3
2
2
2
3
2
=′+′+′ zyx 
Neste caso, não é necessário fazer translação. 
 
3) 010022 =−+−+− zyxyx 
( ) ( ) 0100110
010
100
001
=−








⋅−+








⋅







−
⋅
z
y
x
z
y
x
zyx 





 −=
=
∴−=
2
1,
2
1,0
)0,0,1(
1
2
1
1 v
v
λ e 

=∴=
2
1,
2
1,01 32 vλ 
 49 
( ) ( ) 0100
0
0
001
110
100
010
001
2
1
2
1
2
1
2
1 =−








′
′
′
⋅








−
⋅−+








′
′
′
⋅








−
−
⋅′′′
z
y
x
z
y
x
zyx 
0100
2
2222 =−′−′+′−′− yzyx 
Fazendo uma nova mudança de coordenadas para eliminar os termos lineares, obtém-se: 
0100
2
1
2
1 2
2
2 =−+′+

 +′−′− zyx 
Considerando xX ′= , 
2
1+′= yY e zZ ′= . 
( ) ( ) ( ) 122199
2
2
2
199
2
2
2
199
2
=+−− ZYX 
 
 
Classificação de Quádricas por Autovalores 
• Se os três autovalores são positivos então a quádrica é representada por um elipsóide. 
• Se dois autovalores são positivos e um é negativo então a quádrica é representada por hiperbolóide de 
uma folha. 
• Se um autovalor é positivo e dois são negativos então a quádrica é representada por hiperbolóide de 
duas folhas. 
 
Exemplos: 
1) 0304216169364 222 =+−−−+ yxzyx 
1
49
2
2
2
=−+ ZYX : hiperbolóide de uma folha. 
 
2) 03444444 222 =−+++++ yzxzxyzyx 
( ) ( ) ( ) 1283
2
2
2
3
2
2
2
3
2
=′+′+′ zyx : elipsóide. 
 
3) 010022 =−+−+− zyxyx 
( ) ( ) ( ) 122199
2
2
2
199
2
2
2
199
2
=+−− ZYX : um hiperbolóide de duas folhas. 
 
 
 
 
 50 
Exercícios 
1) Qual a matriz associada a forma quadrática xyyxyxQ 34),( 22 −+= ? 
 
2) Seja RR →2:Q tal que xyyxyxQ 124),( 22 +−= . Determine uma base β tal que 


′
′=
y
x
yx β)],[( 
e 22),( ybxayxQ ′+′=′′ . 
 
3) Determinar a equação reduzida e o gênero das cônicas representadas pelas equações: 
a) 04
5
80
5
20485 22 =+−+−+ yxxyyx 
b) 0102527222 22 =+++++ yxxyyx 
c) 050201524916 22 =+−−−+ yxxyyx 
 
4) Achar a equação reduzida e o gênero das quádricas: 
a) 03444444 222 =−+++++ yzxzxyzyx 
b) 0781812236 222 =+−−+−+ zyxzyx 
c) 01444233 222 =++−− xzyx 
d) 0246012124421077 222 =−++−+−−++ zyxyzxzxyzyx 
 51 
Forma Canônica de Jordan 
Matriz por Blocos 
A matriz )(RmnMatA ×∈ é uma matriz por blocos quando consideramos sua partição em submatrizes, 
denominadas blocos. 
Notação: ][ ijAA = 
Exemplos: Partições de uma matriz. 
 
 
 
 
 
 
 








3231
2221
1211
BB
BB
BB
 










4241
3231
2221
1211
CC
CC
CC
CC
 



232221
131211
DDD
DDD
 
 
Observe que, A é uma matriz 45× , a blocagem ][ ijB é de ordem 23× , ][ ijC é 24× e ][ ijD é 
32× . Já cada um dos blocos em si têm diferentes ordens, por exemplo, 22B é 22× , 32C é 11× 
e 11D é 23× . 
 
 
Considere duas matrizes por blocos de mesma ordem ][ ijAA = e ][ ijBB = que possuam a mesma 
quantidade de blocos e os blocos correspondentes têm a mesma ordem. 
Assim, ][][ ijij BABA +=+ e ][ ijAkAk ⋅=⋅ .Sejam duas matrizes por blocos ][ ikAA = , de ordem pn× , 
e ][ kjBB = , de ordem mp× , tais que o número de colunas de cada bloco ikA é igual ao número de linhas 
de cada bloco kjB . 
Assim, ][ ijCCBA ==⋅ , com ∑
=
=
p
k
kjikij BAC
1
. 
 










−
−
−
2501
1610
1001
0142
1131
 










−
−
−
2501
1610
1001
0142
1131
 










−
−
−
2501
1610
1001
0142
1131
 
 52 
Matriz Quadrada por Blocos 
Seja a matriz quadrada )(RnMatA∈ . Sua matriz por blocos ][ ijAA = é denominada matriz quadrada 
por blocos quando os blocos formam uma matriz quadrada e os blocos da diagonal são também matrizes 
quadradas. 
Exemplos: A primeira blocagem não é uma matriz quadrada por blocos, já a segunda é. 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz Diagonal por Blocos 
A matriz quadrada por blocos ][ ijAA = é uma matriz diagonal por blocos quando os blocos que não 
pertencem à diagonal são todos matrizes nulas. 
Notação: ),,( 11 kkAADiagA K= , com nk ≤ . 
 
 
Exemplo: é uma matriz diagonal por blocos. 
 
 
 
 
Revendo Operadores 
Seja V um R-espaço vetorial n dimensional e VVT →: um