Álgebra Linear 3 UERJ

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Álgebra Linear III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Christina Waga 
Prof. Regina Freitas 
Versão 08 
 
i 
ÍNDICE 
 
MATRIZES 
 
Definição 1
Igualdade 2
Matrizes Especiais 2
Operações com Matrizes 3
Classificação de Matrizes Quadradas 9
Operações Elementares 11
Matriz Equivalente por Linha 11
Matriz na Forma Escalonada 11
Aplicações de Operações Elementares 12
Exercícios 15
Respostas 18
Apêndice A – Determinante 19
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
Definição 24
Matrizes Associadas a um Sistema Linear 24
Classificação de Sistemas 25
Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 25
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 26
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 28
Sistema Homogêneo 37
Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 38
Exercícios 39
Respostas 40
 
 
ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA 
 
Definição 41
Subespaço Vetorial 42
Combinação Linear 43
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 44
Vetores Linearmente Independentes e Dependentes 45
Base e Dimensão de um Espaço Vetorial 46
Operações com Subespaços Vetoriais 47
Coordenadas de um Vetor em relação a uma Base Ordenada 49
Matriz de Transição de uma Base para uma outra Base 50
Exercícios 51
Respostas 54
Apêndice B – Teoremas 55
 
ii 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Transformação Linear 58
Operadores Lineares no Espaço Vetorial R2 59
Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 62
Transformação Linear Injetora 64
Transformação Linear Sobrejetora 64
Transformação Linear Bijetora – Isomorfismo 65
Matriz Associada a uma Transformação Linear 66
Operações com Transformações Lineares 68
Exercícios 69
Respostas 73
Apêndice C – Teoremas 74
 
PRODUTO INTERNO 
 
Definição 76
Norma de um Vetor 76
Distância entre dois Vetores 77
Ângulo entre dois Vetores 77
Ortogonalidade 77
Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt. Projeção de um Vetor sobre um 
Subespaço. 77
Complemento Ortogonal 80
Exercícios 81
Respostas 83
Apêndice D – Teoremas 84
 
AUTOVALORES E AUTOVETORES 
 
Definição 86
Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 87
Multiplicidade de Autovalores 89
Diagonalização de Operadores Lineares 90
Exercícios 91
Respostas 91
Apêndice E – Teoremas 92
 
ESPAÇOS VETORIAS COM PRODUTO INTERNO E OPERADORES LINEARES 
 
Operador Adjunto 93
Operador Auto-Adjunto 93
Operador Ortogonal 93
Operador Normal 93
Exercícios 94
Apêndice F – Teoremas 95
 
BIBLIOGRAFIA 96
GLOSSÁRIO 97
 
 1 
MATRIZES 
 
Definição 
Conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é, distribuídos em m 
linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos. 
 










=
mnmm
n
n
a...aa
............
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
 
 
Notação: nmijaA ×= )( com njmi ,...,2,1 e ,...,2,1 == 
ija - elemento genérico da matriz A 
i - índice que representa a linha do elemento ija 
j - índice que representa a coluna do elemento ija 
nm × - ordem da matriz. Lê-se “m por n”. 
 
Representações: ( )=A [ ]=A =A 
 
Exemplos: 
1) A representação de um tabuleiro de xadrez pode ser feita por meio de uma matriz 88× . 
 
2) A matriz 32)( ×= ijaA onde jiaij += 2 é 
2 3 4
5 6 7



 . 
 
3) A matriz abaixo fornece (em milhas) as distâncias aéreas entre as cidades indicadas: 
 
 cidade A cidade B cidade C cidade D 










010362704957
1036035721244
270435720638
95712446380
 Dcidade
C cidade
 Bcidade
A cidade
 
Esta é uma matriz 44 × (quatro por quatro). 
 
4) A matriz abaixo representa a produção (em unidades) de uma confecção de roupa feminina 
distribuída nas três lojas encarregadas da venda. 
 
 shorts blusas saias jeans 








257012030
60010070
40258050
IIIloja 
IIloja 
Iloja 
 
Esta é uma matriz 43× (três por quatro) pois seus elementos estão dispostos em 3 linhas e 4 
colunas. 
 
 
 2 
Igualdade 
Duas matrizes de mesma ordem nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( são iguais quando ijij ba = para todo 
mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . 
 
Matrizes Especiais 
1. Matriz Linha 
Uma matriz A é denominada matriz linha quando possuir uma única linha. 
Notação: nijaA ×= 1)( 
Exemplo: ( ) 31438 ×− 
 
2. Matriz Coluna 
Uma matriz A é denominada matriz coluna quando possuir uma só coluna. 
Notação: 1)( ×= mijaA 
Exemplo: 
13
1
9
3
×








 
 
3. Matriz Nula 
Uma matriz A é denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto é, 
0=ija para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . 
Notação: nm×0 
Exemplo: 
32000
000
×



 
 
4. Matriz Quadrada 
Uma matriz A é uma matriz quadrada quando possuir o mesmo número de linhas e de colunas, isto 
é, nm = . 
Notação: 










== ×
nnnn
n
n
nnij
aaa
aaa
aaa
aA
...
............
...
...
)(
21
22221
11211
 
 
Diagonal Principal: são os elementos da matriz A onde ji = para todo nji ,...,2,1, = . 
Diagonal Secundária: são os elementos da matriz A onde 1+=+ nji para todo nji ,...,2,1, = . 
Traço: é o somatório dos elementos da diagonal principal da matriz A, denotado por trA. 
nn
n
k
kk aaaatrA +++==∑
=
...2211
1
 
 
Exemplo: 



−
=
×9110
075
432
33
A 
 
Elementos da diagonal principal: 2, 7 e 9. 
Elementos da diagonal secundária: 4, 7 e 10. 
18972 =++=trA 
 3 
 
5. Matriz Diagonal 
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que não 
pertencem à diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji ≠ para todo nji ,...,2,1, = . 
Exemplo: 
33
300
010
002
×








 
 
6. Matriz Identidade 
Uma matriz diagonal A é chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal 
forem todos iguais a um. 
Notação: nI 
Exemplo: 
22
2 10
01
×



=I 
 
7. Matriz Triangular Superior 
Uma matriz quadrada A é uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal 
principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji > para todo nji ,...,2,1, = . 
Exemplo: 







−
−
×2000
0100
7650
4321
44
 
 
8. Matriz Triangular Inferior 
Uma matriz quadrada A é chamada de matriz triangular inferior quando os elementos acima da 
diagonal principal são nulos, isto é, 0=ija quando ji < para todo nji ,...,2,1, = . 
Exemplo: 



− ×037
084
001
33
 
 
 
Operações com Matrizes 
1. Adição 
Sejam nmijaA ×= )( e nmijbB ×= )( matrizes de mesma ordem, define-se a matriz soma BAC += tal 
que nmijcC ×= )( e ijijij bac += para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . 
 
Exemplos: 
1) Sejam 

 −=
435
121
A e 


−
−=
55,04
5,270
B . 
 
Então 

 −=


++−
+−−+=+
95,31
5,151
545,0345
5,217201
BA . 
 4 
 
2) Um laboratório farmacêutico produz um certo medicamento. Os custos relativosà compra e 
transporte de quantidades específicas da substância necessárias para a sua elaboração, adquiridas 
em dois fornecedores distintos são dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes. 
 
 preço custo preço custo 
 compra transporte compra transporte 








25
812
153
C substância
 Bsubstância
A substância
 








53
99
86
C substância
 Bsubstância
A substância
 
 Fornecedor 1 Fornecedor 2 
 
A matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das substâncias 
A, B e C é dada por: 








78
1721
239
 
 
 
Propriedades da Operação de Adição 
A1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de mesma ordem, )()( CBACBA ++=++ . 
 
A2. Comutativa: para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ABBA +=+ . 
Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , CBA =+ e DAB =+ . 
ijijijijijij dabbac =+=+= para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . 
Assim, DC = . 
Logo, a operação de adição é comutativa. 
 
A3. Elemento Neutro: para toda matriz A, AAA nmnm =+=+ ×× 00 . 
 
A4. Elemento Simétrico:para toda matriz A de ordem nm × existe uma matriz S de mesma ordem 
tal que nmASSA ×=+=+ 0 . 
Sendo nmijaA ×= )( tem-se nmijnmij asS ×× −== )()( . 
Notação: AS −= 
Assim, nmAAAA ×=+−=−+ 0)()( . 
Além disso, BABA −=−+ )( . 
 
A5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, trBtrABAtr +=+ )( . 
Dem: Considere as matrizes de ordem n. 
)()()...()...()(...)()( 11111111 BtrAtrbbaababaBAtr nnnnnnnn +=+++++=++++=+ 
 5 
2. Multiplicação por Escalar 
Sejam nmijaA ×= )( uma matriz e R∈k um escalar, define-se a matriz produto por escalar AkB ⋅= 
tal que nmijbB ×= )( e ijij akb ⋅= para todo mi ,...,2,1= e para todo nj ,...,2,1= . 
 
Exemplos: 
1) Sejam 3 e 
71
53
01
−=








−
−= kA . 
 Então 








−
−
−
=








−−−
−−−
−−
=⋅−
213
159
03
7).3()1).(3(
)5).(3(3).3(
0).3(1).3(
)3( A 
2) O quadro abaixo mostra a produção de trigo, cevada, milho e arroz em três regiões, em uma 
determinada época do ano. 
 
 TRIGO CEVADA MILHO ARROZ 
REGIÃO I 1200 800 500 700 
REGIÃO II 600 300 700 900 
REGIÃO III 1000 1100 200 450 
 
Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo período do próximo ano seja 
duplicada. A matriz que representa a estimativa de produção para o próximo ano é: 
 








90040022002000
180014006001200
1400100016002400
 
 
Propriedades da Operação de Multiplicação por Escalar 
E1. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , AkAkAkk ⋅+⋅=⋅+ 2121 )( . 
 
E2. Para toda matriz A e para quaisquer escalares R∈21 , kk , )()( 2121 AkkAkk ⋅⋅=⋅⋅ . 
 
E3. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar R∈k , 
BkAkBAk ⋅+⋅=+⋅ )( . 
Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCkBAk =⋅=+⋅ )( e GFEBkAk =+=⋅+⋅ . 
ijijijijijijijijij gfebkakbakckd =+=⋅+⋅=+⋅=⋅= )( , para todo mi ,...,1= e para 
todo nj ,...,1= . 
Assim, GD = . 
Logo, vale a propriedade. 
 
E4. Para toda matriz A de ordem nm × , nmA ×=⋅ 00 . 
 
E5. Para toda matriz A de ordem nm × , AA =⋅1 . 
 
E6. Para toda matriz quadrada A e para todo trAkAktrk ⋅=⋅∈ )(,R . 
 6 
3. Multiplicação 
Sejam as matrizes pmijaA ×= )( e npijbB ×= )( , define-se a matriz produto BAC ⋅= tal que 
nmijcC ×= )( e ∑
=
⋅=
p
k
kjikij bac
1
 , isto é, pjipjijiij bababac ⋅++⋅+⋅= ...2211 para todo mi ,...,2,1= e 
para todo nj ,...,2,1= . 
 
Exemplos: 
1) Sejam 








−
=
41
12
01
A e 


−= 101
132
B . 
 
Então 








−+−+−+−
−+++
−+++
=⋅
)1.(41).1(0.43).1(1.42).1(
)1.(11.20.13.21.12.2
)1.(01.10.03.11.02.1
BA








−−
=
532
165
132
 
 
Observe que 333223 )( e )( , )( ××× === ijijij cCbBaA . 
 
2) A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos 
alimentos I e II. 
 A B C 



105
034
II alimento
I alimento 
 
Ao serem ingeridas 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II a quantidade 
consumida de cada tipo de vitamina é dada por: 
 
( ) ( ) ( )21530120502355245
105
034
25 =⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=

⋅ 
 
Serão consumidas 30 unidades de vitamina A, 15 unidades de vitamina B e 2 unidades de 
vitamina C. 
 
Propriedades da Operação de Multiplicação 
M1. Associativa: para quaisquer matrizes A, B e C de ordens nllppm ××× e , , respectivamente, 
)()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ . 
Dem.: Considere ECDCBA =⋅=⋅⋅ )( e GFACBA =⋅=⋅⋅ )( . 
=⋅⋅=⋅= ∑ ∑∑
= ==
l
k
kj
p
t
tkit
l
k
kjikij cbacde
1 11
)( 
ljpliplijpipijpipi cbabacbabacbaba )...(...)...()...( 112212111111 +++++++++= 
ljplipljlijpipjijpipji cbacbacbacbacbacba +++++++++= ............ 11222121111111 
)...(...)...( 221112121111 ljpljpjpipljljji cbcbcbacbcbcba ++++++++= 
ij
p
t
tjit
p
t
l
k
kjtkit gfacba =⋅=⋅⋅= ∑∑ ∑
== = 11 1
)( para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . 
Assim, GE = . 
Logo, vale a propriedade associativa para multiplicação de matrizes. 
 7 
 
M2. Distributiva da Multiplicação em relação à Adição: para quaisquer matrizes A e B de ordem 
pm × , para toda matriz C de ordem np × e para toda matriz D de ordem ml × , 
CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ )( e BDADBAD ⋅+⋅=+⋅ )( . 
 
M3. Elemento Neutro: para toda matriz quadrada A de ordem n, AAIIA nn =⋅=⋅ 
 
M4. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem, )()( ABtrBAtr ⋅=⋅ . 
 
M5. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem e para todo R∈k , 
)()()( BkABAkBAk ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ 
M6. Para toda matriz quadrada A de ordem n, nnnnnn AA ××× =⋅= 000. 
 
Em geral, não vale a propriedade comutativa para a operação de multiplicação. 
Assim, ABBA ⋅≠⋅ . 
Quando ABBA ⋅=⋅ , diz-se que A e B são matrizes comutáveis, ou ainda que A e B são matrizes 
que comutam entre si. 
Por M6, qualquer matriz quadrada comuta com a matriz quadrada nula de mesma ordem. 
 
Exemplos: 
1) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 23)( ×= ijbB . 
ABDdcCBA ijij ⋅==≠==⋅ ×× 3322 )()( . 
 
2) Sejam as matrizes 32)( ×= ijaA e 13)( ×= ijbB . 
12)( ×==⋅ ijcCBA e a matriz produto AB ⋅ não é definida. 
 
3) Sejam 

=
43
21
A e 

−=
21
01
B . 
ABBA ⋅=

 −−≠

=⋅
107
21
81
41
 
 
4) Sejam 


−= 12
21
A e 

 −=
11
11
B . 
Assim, ABBA ⋅=


−=⋅ 31
13
. 
Logo, as matrizes A e B comutam entre si. 
 
 
Potência de uma Matriz Quadrada de Ordem n. 
nIA =0 
AA =1 
AAA ⋅=2 
..................................... 
AAAAA kkk ⋅=⋅= −− 11 
 
Toda matriz quadrada A comuta com qualquer potência natural de A. 
 8 
Exemplos: 
1) Seja 

=
10
31
A . 
Então 

=

⋅
=⋅=
10
61
10
31
10
312 AAA . 
 
2) Sejam o polinômio 112)( 2 −+= xxxf e a matriz 


−= 34
21
A . 
Determinando o valor )(Af : 
0122 112112)( xxxxxxf −+=−+= 
2
12012 112112)( IAAAAAAf ⋅−⋅+=⋅−⋅+= 
 


⋅−


−⋅+


−
−=
10
01
11
34
21
2
178
49
)(Af 

=


−
−+


−+


−
−=
00
00
110
011
68
42
178
49
 
 
A matriz A é uma raiz do polinômio, já que 22)( ×= 0Af . 
 
 
Matriz Idempotente 
Uma matriz quadrada A é idempotente quando AA =2 . 
 
Exemplo: A matriz 








−−
−−
−
455
343
112
 é idempotente. (Verifique!) 
 
 
4. Transposição 
Seja a matriz nmijaA ×= )( , define-se a matriz transposta B tal que mnijbB ×= )( e jiij ab = , isto é, é a 
matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas colunas correspondentes. 
Notação: tAB = 
 
 
Propriedades da Operação de Transposição 
T1. Involução: para toda matriz A, AA tt =)( . 
 
T2. Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem, ttt BABA +=+ )( . 
Dem.: Considere matrizes de ordem nm × , DCBA tt ==+ )( e GFEBA tt =+=+ . 
ijijijjijijiij gfebacd =+=+== para todo mi ,...,1= e para todo nj ,...,1= . 
Assim, GD = . 
 
T3. Para toda matriz A e para todo escalar R∈k , tt AkAk ⋅=⋅ )( . 
 
T4. Para toda matriz A de ordem pm × e para toda matriz B de ordem np × , ttt ABBA ⋅=⋅ )( . 
 
T5. Para toda matriz quadrada A, trAAtr t =)( . 
 9 
Classificação de Matrizes Quadradas 
1. Matriz Simétrica 
Uma matriz quadrada A é denominada simétrica quando AAt = . 
 
Exemplo:








−
−
501
023
134
 
 
Os elementos da matriz dispostos simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. 
 
 
2. Matriz Anti-simétrica 
Uma matriz quadrada A é denominada anti-simétrica quando AAt −= . 
Exemplo:








−
−
−
071
703
130
 
 
Todos os elementos da diagonal principal são iguais a zero e os elementos simetricamente dispostos 
em relação à diagonal principal têm sinais contrários. 
 
 
3. Matriz Invertível ou Não-singular 
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita invertível se existir uma matriz quadrada B de mesma 
ordem tal que nIABBA =⋅=⋅ . A matriz B é dita matriz inversa da matriz A. 
Notação: 1−= AB 
nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 
 
Exemplos: 
1) A matriz 


31
52
é invertível e sua inversa é 


−
−
21
53
 pois: 


=

⋅


−
−=


−
−⋅


10
01
31
52
21
53
21
53
31
52
 
 
2) Obtendo a matriz inversa da matriz 

 −=
01
12
A 
Considere 

=
ty
zx
B 
Se nIBA =⋅ então 

=

 −−=

⋅

 −
10
0122
01
12
zx
tzyx
ty
zx
 
Assim, 



=
=−
=
=−
1
02
0
12
z
tz
x
yx
 
Desta forma, 


−= 21
10
B 
 10 
Verifica-se também que nIAB =⋅ . 
Então a matriz inversa da matriz A é 


−=
−
21
101A . 
3) A matriz 



987
654
321
não possui inversa. 
 
 
Propriedades das Matrizes Invertíveis 
I1. Involução: AA =−− 11 )( . 
 
I2. 111)( −−− ⋅=⋅ ABBA . 
dem.: nn IAAAIAABBAABBA =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . 
Analogamente, nn IBBBIBBAABBAAB =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ −−−−−− 111111 )())(()()( . 
Logo, o produto é invertível. 
 
 I3. tt AA )()( 11 −− = . 
 
Semelhança de Matrizes 
Duas matrizes )(, RnMatBA ∈ são semelhantes quando existe uma matriz invertível )(RnMatP∈ 
tal que APPB 1−= . 
 
Exemplo: As matrizes 



01
10
 e 



−11
01
 são semelhantes. 
Considere 


 −=
11
12
P e 



−=
−
3
2
3
1
3
1
3
1
1P . Assim, 


 −⋅


⋅



−=



− 11
12
01
10
11
01
3
2
3
1
3
1
3
1
. 
 
 
4. Matriz Ortogonal 
Uma matriz quadrada A de ordem n invertível é denominada ortogonal quando tAA =−1 . 
 
Exemplo: 

 −
θθ
θθ
cos
cos
sen
sen
 
 
 
5. Matriz Normal 
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita normal quando comuta com sua matriz transposta, isto é, 
AAAA tt ⋅=⋅ . 
 
Exemplo: 

 −
63
36
 
 
 11 
Operações Elementares 
São operações realizadas nas linhas de uma matriz. São consideradas operações elementares: 
 
OE1. A troca da linha i pela linha j. 
ji LL ↔ 
OE2. A multiplicação da linha i por um escalar R∈k não nulo. 
ii k LL ⋅← 
OE3. A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j, com R∈k não nulo. 
jii k LLL ⋅+← 
 
 
Exemplo: 








51
42
00
L1↔L3 
1 5
2 4
0 0





 L2←
1
2
L2 
1 5
1 2
0 0





 L2←L2+(-1)L1 







−
00
30
51
 
 
 
 
Matriz Equivalente por Linha 
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é denominada equivalente por linha a matriz A, 
quando for possível transformar a matriz A na matriz B através de um número finito de operações 
elementares sobre as linhas da matriz A. 
 
Exemplo: A matriz 
0 0
2 4
1 5





 é equivalente a matriz 







−
00
30
51
, pois usando somente operações 
elementares nas linhas da primeira matriz foi possível transformá-la na segunda. 
 
 
 
Matriz na Forma Escalonada 
Uma matriz está na forma escalonada quando o número de zeros, que precede o primeiro elemento não 
nulo de uma linha, aumenta linha a linha. As linhas nulas, se existirem, aparecem abaixo das não 
nulas. 
 
 
Exemplos: 










−1000
6200
5010
3017
 
2 0 0 5
0 0 3 1
0 0 0 5
0 0 0 0






 
1 2 3
0 0 0



 









 −
0000
0000
0410
5021
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1





 
 
 12 
Escalonamento por Linha de uma Matriz 
Dada uma matriz qualquer, é possível obter uma matriz equivalente por linhas a esta matriz na forma 
escalonada: 
 
Exemplos: 
1) 








987
654
321
 122 )4( LLL −+← 







−−
987
630
321
 133 )7( LLL −+← 
1260
630
321








−−
−− 
233 )2( LLL −+← 







−−
000
630
321
 
 
2) 










− 310
210
030
200
 31 LL ↔ 










− 310
200
030
210
 122 )3( LLL −+← 










−
−
310
200
600
210
 144 LLL +← 










−
500
200
600
210
 
26
1
2 )( LL −← 
0 1 2
0 0 1
0 0 2
0 0 5






 233 )2( LLL −+← 
0 1 2
0 0 1
0 0 0
0 0 5










 244 )5( LLL −+← 
0 1 2
0 0 1
0 0 0
0 0 0






 
 
 
A escolha de operações em um escalonamento não é única. O importante é observar que o objetivo é 
aumentaro número de zeros, que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha, linha a linha. 
 
Posto de uma Matriz 
O posto de uma matriz A pode ser obtido escalonando-se a matriz A. O número de linhas não nulas 
após o escalonamento é o posto da matriz A. 
Notação: AP 
 
Exemplo: Nos dois exemplos anteriores o posto das matrizes é igual a dois. 
 
 
Aplicações de Operações Elementares 
1. Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada A de ordem n. 
Passo 1: Construir a matriz ( )nIA | de ordem nn 2× . 
Passo 2: Utilizar operações elementares nas linhas da matriz ( )nIA | de forma a transformar o 
bloco A na matriz identidade nI . 
Caso seja possível, o bloco nI terá sido transformado na matriz 
1−A . 
Se não for possível transformar A em nI é porque a matriz A não é invertível. 
 
Exemplo: Seja 








=
111
013
221
A . A matriz inversa é 








−−
−
−
=−
512
613
201
1A . 
 
 13 








100111
010013
001221
 122 )3( LLL −+← 







−−−
100111
013650
001221
 133 )1( LLL −+← 








−−−
−−−
101110
013650
001221
 32 LL ↔ 







−−−
−−−
013650
101110
001221
 22 )1( LL −← 








−−−
−
013650
101110
001221
 233 5LLL +← 







−−
−
512100
101110
001221
 211 )2( LLL −+← 








−−
−
−
512100
101110
201001
 133 )1( LL −← 







−−
−
−
512100
101110
201001
 322 )1( LLL −+← 








−−
−
−
512100
613010
201001
 
 
 
Justificativa do Método para o Cálculo da Matriz Inversa 
Teorema: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e somente se a matriz A é equivalente 
por linha a matriz nI . 
Desta forma, a seqüência de operações elementares que reduz a matriz A na matriz nI , transforma a 
matriz nI na matriz 
1−A . 
 
Exemplo: Considere a matriz 

=
30
21
A . 
A redução da matriz A à matriz identidade é: 


−+←

←


10
01
L)2(LL
10
21
L
3
1L
30
21
21122 
Aplicando em nI a mesma seqüência de operações: 







 −
−+←


←



3
10
3
21
L)2(LL
3
10
01
L
3
1L
10
01
21122 
Assim, a matriz 







 −
3
10
3
21
 é a inversa da matriz A. 
 14 
 
2. Cálculo do Determinante 
A qualquer matriz quadrada A podemos associar um certo número real denominado determinante 
da matriz. 
Notação: AA ou det 
 
É importante observar que: 
a) Quando trocamos duas linhas de uma matriz A, seu determinante troca de sinal. 
 
b) O determinante da matriz fica multiplicado pelo escalar não nulo k quando todos os elementos de 
uma certa linha forem multiplicados por k. 
 
c) O determinante não se altera quando utilizamos a operação elementar do tipo jii k LLL ⋅+← . 
(Teorema de Jacobi). 
 
d) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
 
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada, utilizando-se operações elementares nas linhas 
da matriz, consiste em encontrar uma matriz triangular equivalente por linha à matriz dada, 
respeitando-se as propriedades de determinantes acima. 
 
Exemplos: 
 
1) =








−
162
963
510
det =








−
162
321
510
det3 =







 −
−
162
510
321
det)3( =








−
−
−
5100
510
321
det)3( 
165)55(11)3(
5500
510
321
det)3( =−⋅⋅⋅−=








−
−
− 
 
2) =










−−
−
−
3210
5211
3002
1432
det =










−
−
−−
−
3210
1432
3002
5211
det)1( =










−
−−
−
3210
11010
7420
5211
det)1( 
=










−
−−
3210
7420
11010
5211
det =










−
−−
8200
29400
11010
5211
det =










−
−−
−
29400
8200
11010
5211
det)1( 
=










−
−−
−
29400
4100
11010
5211
det)2( 9045111)2(
45000
4100
11010
5211
det)2( −=⋅⋅⋅⋅−=










−
−−
− 
 
Outras informações sobre este tópico encontram-se no Apêndice A. 
 
 
 15 
3. Resolução de Sistemas 
Outra aplicação de operações elementares é na resolução de sistemas, que será visto com detalhes 
no próximo capítulo. 
 
 
Exercícios 
1) Resolva a equação matricial ,
67
18
423 

=


−+
+−
dacd
cbba
indicando os valores para a, b, c e d. 
 
2) Considere 








−
−
=
412
540
312
A , 








−
−−
=
674
210
538
B , 







 −
=
993
471
320
C e 4=k . Verifique se: 
a) )()( CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ 
b) CkBkCBk ⋅−⋅=−⋅ )( 
c) trBtrABAtr +=+ )( 
d) trCtrACAtr ⋅=⋅ )( 
 
3) Seja 

=
63
21
A . Indique uma matriz quadrada B de ordem 2 não nula tal que 22×=⋅ 0BA . 
 
4) Seja 

=
11
12
A . Resolva a equação matricial 2IXA =⋅ , onde 22)( ×= ijxX . 
 
5) Mostre que, em geral, )()(22 BABABA +⋅−≠− , sendo A e B matrizes quadradas de mesma 
ordem. 
 
6) Seja 

=
10
21
A . Encontre nA . 
 
7) Verifique que a matriz 


−18
03
 é uma raiz do polinômio 32)( 2 −−= xxxf . 
 
8) Considere 

=
14
02
A . 
a) Indique a matriz 2
2 2 IAA +⋅− 
b) A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, indique 313 )( −− = AA . 
 
9) Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz 
1 0
0 0



 
quanto com a matriz 
0 1
0 0



 são múltiplas de 2I . 
 
10) Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz 


− 12
21
 . 
 
 16 
11) Sejam 


−= 43
21
A e 


−= 76
05
B . Verifique a igualdade ttt ABBA ⋅=⋅ )( . 
 
12) Mostre que se a matriz quadrada A for invertível e CABA ⋅=⋅ então CB = . (Lei do Corte) 
 
13) Sejam 







 −
=
100
201
312
A e 








=
3
2
1
B . É possível calcular X, na equação BXA =⋅ ? 
 
14) Sejam A, B, C e X matrizes quadradas de mesma ordem e invertíveis. Resolva as equações, 
considerando X a variável. 
a) CXBA =⋅⋅ 
b) CXAC t =⋅⋅ 
c) CBXACXA ⋅⋅⋅=⋅⋅ 2 
d) ACXBA ⋅=⋅⋅ −1 
e) ABAXA t ⋅⋅=⋅2 
 
15) Seja A uma matriz de ordem n tal que a matriz )( AAt ⋅ é invertível. A matriz tt AAAA ⋅⋅⋅ −1)( é 
simétrica? E idempotente? 
 
16) Mostre que a matriz 

 −
θθ
θθ
cos
cos
sen
sen
 é uma matriz ortogonal. 
 
17) Determine a, b e c de modo que a matriz 








cba
2
1
2
10
001
 seja ortogonal. 
 
18) Mostre que a somade duas matrizes simétricas é também uma matriz simétrica. 
 
19) Mostre que o mesmo vale para matrizes anti-simétricas. 
 
20) Se A e B são matrizes simétricas que comutam entre si então a matriz 2AB ⋅ também é simétrica? 
Justifique. 
 
21) Toda matriz ortogonal é também uma matriz normal? Justifique. 
 
22) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Justifique. 
 
23) Em uma pesquisa onde foram consideradas 3 marcas de refrigerante, Gelato, Delícia e Suave, o 
elemento ija da matriz abaixo indica a possibilidade de uma pessoa que consuma o refrigerante i 
passar a consumir o refrigerante j. O elemento da diagonal principal representa a possibilidade de 
uma pessoa que consuma um determinado refrigerante permaneça consumindo o mesmo 
refrigerante. 
 
 
 
 17 
Gelato Delícia Suave 
 
2,02,06,0
1,05,04,0
1,01,08,0
Suave
Delícia
Gelato








 
 
a) Qual a possibilidade de uma pessoa que consumia o refrigerante Gelato passar a consumir o 
refrigerante Suave? E a de quem consumia Suave passar a consumir Gelato? 
b) Escreva a matriz que indica a possibilidade de se mudar de marca após duas pesquisas. 
 
24) Verifique se a matriz 








−
−−
−
372
511
421
 é invertível. Em caso afirmativo, indique a matriz inversa. 
 
25) Para que valores de a a matriz 







 −
a11
110
121
 admite inversa? 
 
26) Dada a matriz 








−=
210
152
031
A . Indique a matriz ( )3| IA e determine 1−A . 
 
27) Dada a matriz 








−
−
−
=−
121
210
331
1A . Indique a matriz A. 
 
28) Determinar o valor de a a fim de que a matriz 








a21
212
111
 seja invertível. 
 
29) Calcule o determinante das matrizes 
1 2 4
2 3 5
3 4 6
−
−
−







 e 







− 214
642
103
. 
 
30) Sabendo que A é uma matriz quadrada de ordem n e que 5det =A , determine: 
a) )3det( A⋅ 
b) tAdet 
c) )det( A− 
d) 2det A 
 
31) Encontre todos os valores de a para os quais 0
30
51
det =


+
−
a
a
. 
 
 18 
Respostas 
 
 
1) 1,4,3,5 ==−== dcba 23) a) 0,1 e 0,6 b) 








12,020,068,0
11,031,058,0
11,015,074,0
 
3) 



 ∈


 −−= *22 R,t,z
tz
tz
B 
24)








−−
−
−−
=−
2
1
2
3
2
5
2
1
2
5
2
71
31116
A 
4) 


−
−=
21
11
X 
25) 2−≠a 
6) 

=
10
21 n
An 
26)








−
−−
−
=−
112
124
3611
1A 
8) a)
1 0
4 0



 b) 



− 1
0
2
7
8
1
 27) 








−
−=
6
1
6
5
6
1
3
1
3
2
3
1
2
1
2
1
2
1
A 
10) 



 ∈



− R,x,yxy
yx
 
 
28) 1≠a 
13) Sim, 







−
=
3
0
4
X 
 
29) 0 e 24, respectivamente. 
 
14) a) CABX ⋅⋅= −− 11 
 b) tAX )( 1−= 
 c) BX = 
 d) ACABX ⋅⋅⋅= −1 
 e) tABAX )( 1 ⋅⋅= − 
30) a) 53 ⋅n 
 b) 5 
 c) 

− contrário caso 5
par for se 5 n
 
 d) 25 
15) Sim. Sim. 31) 3 ou 1 −== aa 
17) e 2
2
2
2 −== cb ou e 2222 =−= cb 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
Apêndice A - Determinante 
 
Permutações 
Seja um conjunto finito A qualquer, uma permutação em A é qualquer função bijetora AAf →: . 
Sendo n a cardinalidade do conjunto, existem !n permutações possíveis. 
 
Exemplos: 
1) Seja },{ baA = e as bijeções abaixo: 
 
 a a a a 
 
b b b b 
 
A notação usual é: 




ba
ba
 



ab
ba
 
 
Nesta notação matricial, a primeira linha indica os elementos originais e a segunda os elementos 
reorganizados. 
 
2) Seja }3,2,1{=A . 
1 2 3
2 1 3



 , 
1 2 3
1 3 2



 e 
1 2 3
3 1 2



 são três das seis permutações possíveis em A. 
 
3) Seja },,,{ dcbaA = . 



adcb
dcba
 é uma das 24 permutações possíveis. 
 
 
Se A for um conjunto munido de uma relação de ordem, as permutações podem ser classificadas como 
permutações pares e permutações ímpares. Uma permutação é par quando o número de elementos - 
dentre os elementos reorganizados - “fora de ordem” for par e é ímpar quando este número for ímpar. 
 
Exemplos: 
1) Seja }3,2,1{=A com a ordem numérica usual, isto é, 1 2 3≤ ≤ . 
1 2 3
2 1 3



 e 
1 2 3
1 3 2



 são permutações ímpares e 
1 2 3
3 1 2



 é par. 
 
2) Seja },,,{ dcbaA = com a ordem lexicográfica (alfabética) usual. 



adcb
dcba
 é uma permutação ímpar. 
 
 
Além disto, às permutações pares é associado o sinal positivo e às ímpares o sinal negativo. 
 
 
 
 
 20 
O Determinante 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n é possível fazer corresponder um certo número denominado 
determinante da matriz A. 
 
Notação: nnijaAA ×)det( det 
 
 
Considere, por exemplo, uma matriz quadrada de ordem 3, 








=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A , e as permutações 
possíveis no conjunto de índices {1, 2, 3}. 
 
A partir da permutação ímpar 
1 2 3
1 3 2



 associa-se o produto “ 322311 aaa− ” , tal que os índices linha 
correspondem a primeira linha da representação da permutação, os índices coluna são obtidos da 
segunda linha e o sinal negativo da classificação da permutação. 
 
O determinante de uma matriz de ordem 3 é obtido a partir de todas as seis permutações possíveis no 
conjunto de índices {1, 2, 3} classificadas e sinalizadas. 
 
Assim, o determinante é dado por: 
 
312313322113312312332112322311332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −++−−= 
 
Genericamente, para uma matriz de ordem n, o determinante é o número obtido do somatório dos 
produtos sinalizados de elementos ija da matriz, combinados de acordo com as permutações do 
conjunto de índices {1, 2,..., n}. 
 
Exemplos: 
1) 6)6det( = 
 
2) 72.07).1(
72
01
det 21122211 −=−−=−=

− aaaa 
 
3) 312213322113312312332112322311332211
2
1 00
401
252
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa −++−−=








−
−
 
0.0).2(
2
1).1).(2(0.4.50).1.(5
2
1.4.20.0.2 −−−−++−−−= 
3−= 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
Desenvolvimento de Laplace 
Seja uma matriz quadrada de ordem n, 










=
nnnn
n
n
a....aa
................
a....aa
a....aa
A
21
22221
11211
 
 
Considere um elemento ija qualquer, com nji ,...,1, = e a submatriz ijA de ordem )1( −n obtida a 
partir da matriz A retirando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna. O determinante da submatriz ijA 
sinalizado por ji+− )1( é denominado o cofator do elemento ija . 
 
Exemplo:Seja a matriz 








−
−
00
401
252
2
1
. 
O cofator do elemento 23a , isto é, de 4 é : 11).1(
2
10
52
det.)1( 32 −=−=


− + 
O cofator do elemento 031 =a a31 é: 2020.140
25
det.)1( 13 ==

 −− + 
 
 
 
Considere uma certa linha i fixada. O determinante da matriz A fica definido por: 
∑
=
+ ⋅−⋅=
n
j
ij
ji
ij AaA
1
det)1(det 
A expressão é uma fórmula de recorrência (faz uso de determinantes de matrizes de ordem menores) 
conhecida como desenvolvimento de Laplace. 
 
Este desenvolvimento pode ser feito fixando-se uma certa coluna j e a expressão passa a ser: 
∑
=
+ ⋅−⋅=
n
i
ij
ji
ij AaA
1
det)1(det 
 
Exemplos: 
1) 

−=
72
01
A fixada a linha 2. 
22
22
2221
12
21 det)1(det)1(det AaAaA
++ −+−= 1.)1.(70.)1.(2 43 −−+−= )1.(1.70).1.(2 −+−= 7−= 
 
2) 








−
−
=
00
401
252
2
1
A fixada a linha 1. 
13
31
1312
21
1211
11
11 det)1(det)1(det)1(det AaAaAaA
+++ −+−+−= 
2
10
01
.1).2(
00
41
).1.(50
2
1
40
.1.2
−
−+−−+= 
 
 22 
Fixando ainda a linha 1 para as submatrizes: 
+−+−= ++ ]det.)1.(4det.)1.(0.[1.2det 12211111 AAA 
+−+−−− ++ ]det.)1.(4det.)1).(1).[(1.(5 12211111 AA 
]det.)1.(0det.)1).(1.[(1).2( 12
21
11
11 AA ++ −+−−− 
]0).1.(0
2
1.1).1.[(1).2(]0).1.(40.1).1).[(1.(5]
2
1).1.(40.1.0.[1.2 −+−−+−+−−+−+= 
314
2
1.1).2(0).1.(5)2.(1.2 −=+−=−+−+−= 
 
 
Propriedades 
Considere A e B matrizes quadradas de ordem n e R∈k não nulo. 
D1. Se A é uma matriz triangular superior (inferior) então nnaaaA ...det 2211= . 
dem: Considere a matriz 










=
nn
n
n
a....
.............
a....a
a....aa
A
00
..
0 222
11211
. 
Fixando a coluna 1 para o cálculo dos determinantes, 
1
1
121
12
2111
11
11
1
1
1
1 det)1(...det)1(det)1(det)1(det n
n
n
n
i
i
i
i AaAaAaAaA
+++
=
+ −++−+−=−= ∑ 
∑−
=
+−=










=
1
1
1
1
111
333
22322
11 det)1(
 ... 0 0
......................
 ... 0
 ... 
det
n
i
i
i
i
nn
n
n
Aaa
a
aa
aaa
a
]det)1(...det)1([ 1)1(
11
11
11
2211 −
+−+ −++−= nnnn AaAaa 
∑−
=
+−=










=
2
1
1
1
12211
444
33433
2211 det)1(
 ... 0 0
......................
 ... 0
 ... 
det
n
i
i
i
i
nn
n
n
Aaaa
a
aa
aaa
aa
]det)1(...det)1([ 1)2(
12
11
11
332211 −
+−+ −++−= nnnn AaAaaa 
nnaaa ...2211= 
 
Corolários: 
i) 0det =n0 
ii) 1det =nI 
iii) Se A é uma matriz diagonal então nnaaaA ...det 2211= . 
 
D2. 0det =A , quando A possuir uma linha (ou coluna) nula. 
D3. 0det =A , quando A possuir duas linhas (ou colunas) iguais. 
D4. AkAk n det)det( ⋅=⋅ 
D5. BABA detdet)det( ⋅=⋅ 
D6. tAA detdet = 
 
 23 
D7.Considere a matriz A e B a matriz obtida a partir de A por aplicação de operações elementares: 
a) Li ↔Lj : AB detdet −= 
 
b) Li ←k.Li : AkB detdet ⋅= 
dem: Considere a matriz 










=
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
A
 ... 
........................
 ... 
.........................
 ... 
21
21
11211
. 
Fixando a linha i para o cálculo dos determinantes, 
∑
=
+−=
n
j
ij
ji
ij AaA
1
det)1(det 
Seja a matriz 










=
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
B
 ... 
........................
 ... 
.........................
 ... 
21
21
11211
 obtida pela operação elementar Li ←k.Li. 
AkAakAkaB
n
j
ij
ji
ij
n
j
ij
ji
ij detdet)1(det)1)((det
11
⋅=−⋅=−= ∑∑
=
+
=
+ 
 
c) Li ←Li + k.Lj : AB detdet = 
 
D8. A é uma matriz invertível se e somente se 0det ≠A . 
D9. Se A é uma matriz invertível então 
A
A
det
1det 1 =− . 
D10. Se A e B são matrizes semelhantes então BA detdet = . 
D11. Se A é uma matriz ortogonal então 1det ±=A . 
 
 
Exercícios 
1) Calcule o determinante usando permutações. 
a) 
1 2
3 4



 b) 
1 4 7
2 5 8
3 6 9





 
 
2) Calcule o determinante usando desenvolvimento de Laplace. 
a) 
1 4 7
2 5 8
3 6 9





 b) 









−
1021
1413
1152
1101
 
3) Indique o valor de x para que as matrizes sejam invertíveis. 
a) 








x87
654
321
 b) 








−
−
11
11
11
x
x
x
 
 
 24
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
Definição 
Dados os números reais baaa n ,,...,, 21 , com 1≥n , a equação bxaxaxa nn =⋅++⋅+⋅ ...2211 onde 
nxxx ,...,, 21 são variáveis ou incógnitas, é denominada equação linear nas variáveis nxxx ,...,, 21 . 
Os números reais naaa ,...,, 21 são denominados coeficientes das variáveis nxxx ,...,, 21 , 
respectivamente, e b é denominado de termo independente. 
 
Um Sistema Linear sobre R com m equações e n incógnitas é um conjunto de 1≥m equações 
lineares com 1≥n variáveis, e é representado por: 
 



=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
mnmnmm
nn
nn
bxa...xaxa
............................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
2211
22222121
11212111
.......
 
 
Com R∈iij ba , , njmi ,...,1 e ,...,1 == . 
 
 
Matrizes Associadas a um Sistema Linear 
Sistemas podem ser representados na forma matricial: 
 










=










⋅










mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
a...aa
............
a...aa
a...aa
......
2
1
2
1
21
22221
11211
 
444 3444 21 { { 
 C X B 
 
Denominadas, matriz C de Coeficientes, matriz X de Variáveis e matriz B de Termos 
Independentes. 
 
Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas fica representado pela equação matricial 
BXC =⋅ . 
 
Outra matriz que se pode associar a um sistema linear é a Matriz Ampliada ou Completa do sistema. 
 
 










=
mmnmm
n
n
b
...
b
b
a...aa
............
a...aa
a...aa
A 2
1
21
22221
11211
 
 
 
 25
 
Classificação de Sistemas 
Classifica-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. 
Uma solução para um sistema de equações lineares é uma n-upla de números reais ),...,,( 21 nsss que 
satisfaz todas as equações, simultaneamente, isto é, substituindo-se a variável 1x pelo valor 1s , 2x 
por 2s , ... e nx por ns em cada uma das equações, todas as igualdades são verdadeiras. O conjunto 
solução S do sistema é o conjunto de todas as soluções. 
 
Exemplo: Dado o sistema 

=+
=−
2
42
yx
yx
, o par ordenado)0,2( é solução deste sistema. Assim, o 
conjunto solução )}0,2{(=S . 
 
De forma geral, temos que um dado sistema de equações lineares sobre R pode ser classificado como: 
 
• Sistema Possível (ou Compatível ou Consistente) 
• Determinado (SPD): há uma única solução 
• Indeterminado (SPI): há infinitas soluções 
• Sistema Impossível (ou Incompatível ou Inconsistente) (SI): não há solução. 
 
 
Resolução de Sistemas utilizando o Método de Eliminação Gaussiana 
Dado um sistema de equações lineares, espera-se encontrar sua solução, isto é resolvê-lo. O método de 
resolução utilizado será o Método de Eliminação Gaussiana. 
A idéia do método é obter um sistema mais “simples” equivalente ao sistema dado. Dois sistemas de 
equações lineares são denominados sistemas equivalentes quando possuem a mesma solução. 
 
Exemplo: Os sistemas 

=−
=+
4
22
yx
yx
 e 

=−
=+
822
22
yx
yx
 são equivalentes pois ambos possuem o mesmo 
conjunto solução )}2,2{( −=S . 
 
 
O Método de Eliminação Gaussiana 
Dado um sistema linear com m equações e n variáveis: 
1. Obter a matriz ampliada. 
 
2. Escalonar a matriz ampliada utilizando operações elementares. 
 
3. Fazer a análise, de acordo com o teorema abaixo: 
Teorema: Um sistema linear de m equações e n variáveis admite solução se e somente se o posto 
da matriz ampliada escalonada )( AP for igual ao posto da matriz de coeficientes )( CP . 
Assim: 
a) Se nPP CA == , o sistema é Possível Determinado (SPD). 
b) Se nPP CA <= , o sistema é Possível Indeterminado (SPI). 
c) Se CA PP ≠ , o sistema é Impossível (SI). 
 
4. Reescrever o sistema, associado a matriz escalonada, equivalente ao sistema dado, e: 
a) Se o sistema for SPD, encontrar o valor de uma variável e, por substituição, determinar as 
demais variáveis. Indicar o conjunto solução S, que neste caso, conterá apenas uma n-upla. 
 26
 
b) Se o sistema for SPI, escolher APn − variáveis livres ou independentes. O número, APn − 
também é denominado o grau de liberdade ou grau de indeterminação do sistema. 
As variáveis que dependem das variáveis livres são denominadas variáveis amarradas ou 
ligadas. 
Indicar o conjunto solução S, apresentando todas as ordenadas da n-upla em função das variáveis 
livres. 
 
c) Se o sistema for SI, indicar ∅=S . 
 
Exemplo: Seja o sistema 



=−+−
=+−
=++
25
032
1
zyx
zyx
zyx
 com 3 equações e 3 incógnitas. 
A matriz ampliada é 








−−
−
2511
0312
1111
. 
Após o escalonamento, a matriz escalonada é 








−
−
2
1
3
2
3
1
100
10
1111
. 
E a matriz de coeficientes é: 








−
100
10
111
3
1 . 
Análise: 3=== nPP CA . 
Logo, o sistema é possível determinado (SPD). 
O sistema equivalente é 



−=
=−
=++
2
1
3
2
3
1
1
z
zy
zyx
 
Após as substituições, 
2
1=y e 1=x . 
A solução do sistema é ( ){ }2121 ,,1 −=S . 
 
 
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R2 
O conjunto de pares ordenados de números reais é designado por }e |),{( RRR 2 ∈∈= yxyx . 
Geometricamente tem-se o plano R2, descrito por dois eixos - eixo X e eixo Y - perpendiculares entre 
si, interceptando-se no ponto )0,0( , denominado origem. 
 
Exemplos: 
1) Seja o sistema com 2 equações e 2 variáveis: 

=+
=+
732
1
yx
yx
 
Aplicando o Método de Eliminação Gaussiana: 
Matriz ampliada 
1 1 1
2 3 7



 . 
Matriz escalonada: 
1 1 1
0 1 5



 . 
 27
 
Matriz de coeficientes 
1 1
0 1



 . 
Análise, 2=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD). 
Sistema equivalente 

=
=+
5
1
y
yx
 
Substituindo o valor de y na primeira equação, tem-se 4−=x . 
Logo a solução do sistema é descrita por )}5,4{(−=S . 
 
Interpretando geometricamente: cada equação do sistema representa uma reta, estas retas se 
interceptam em um único ponto )5,4(− . 
 
X
Y
 
 
 
2) Dado o sistema: 

−=−
−=−
442
22
yx
yx
 
Matriz ampliada: 
1 2 2
2 4 4
− −
− −



 . 
Matriz escalonada: 

 −−
000
221 
Matriz de coeficientes: 

 −
00
21
. 
Análise, 21 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). 
Sistema equivalente 

=
−=−
00
22
y
yx
 
A variável y está livre, podendo assumir qualquer valor real, e a variável x amarrada em função de 
y, isto é, 22 −= yx . 
A solução do sistema é }),,22{(}22|),{( RR 2 ∈−=−=∈= yyyyxyxS . 
 
Geometricamente, tem-se duas retas coincidentes, a equação 442 −=− yx é múltipla da equação 
22 −=− yx . Assim, as retas se interceptam em infinitos pontos. 
 
 
X
Y
 
 28
 
3) Dado o sistema 

−=+
=+
3
2
yx
yx
 
Matriz ampliada 


− 311
211
 . 
Matriz escalonada: 


− 500
211
. 
Matriz de coeficientes 



00
11
. 
Análise, CA PP =≠= 12 : Sistema Impossível. 
Sistema equivalente 

−=
=+
50
2
y
yx
, isto é, 

−=
=+
50
2yx
 
A solução é ∅=S . 
 
Assim, se um sistema possui equações que representam retas paralelas, como no exemplo, uma 
solução é impossível, pois não há ponto de interseção entre retas paralelas. 
 
X
Y
 
 
Resumindo, para sistemas de equações de duas incógnitas com duas ou mais equações, tem-se o 
seguinte quadro: 
 
Retas Classificação do Sistema 
Concorrentes Possível e Determinado 
Coincidentes Possível e Indeterminado 
Paralelas Impossível 
 
 
 
 
Resolvendo e Interpretando Geometricamente Sistemas Lineares no R3 
O conjunto de todos as triplas de números reais é designado por }e ,|),,{( RR RR 3 ∈∈∈= z yxzyx . 
 
Geometricamente tem-se o espaço R3, descrito por três eixos, eixo X, eixo Y e eixo Z, que são 
perpendiculares entre si, interceptando-se no ponto )0,0,0( , denominado origem. 
 
 
 
 
 
 29
 
Exemplos: 
 
1) Considere o sistema 



=+
=+
=++
22
22
3
zy
zy
zyx
 
 
Matriz ampliada 
1 1 1 3
0 2 1 2
0 1 2 2





 , matriz escalonada 







−− 2300
2210
3111
 e matriz de coeficientes 








− 300
210
111
. 
 
Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD) . 
 
 
Sistema equivalente 



−=−
=+
=++
23
22
3
z
zy
zyx
 
 
Sendo 
3
2=z , fazendo-se as substituições: 
3
2=y e 
3
5=x . 
 
A solução do sistema é ( ){ }323235 ,,=S . 
 
 
Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam no ponto ( )323235 ,, .30
 
 
2) Dado o sistema 



=−
=+
=++
1
22
3
zx
zy
zyx
 
 
Matriz ampliada 








− 1101
2210
3111
, matriz escalonada 
1 1 1 3
0 1 2 2
0 0 0 0





 
e matriz de coeficientes 
1 1 1
0 1 2
0 0 0





 . 
 
Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). 
 
 
Sistema equivalente 



=
=+
=++
00
22
3
z
zy
zyx
 
 
Pela terceira equação, a variável z está livre, assim a variável y fica em função de z, isto é, 
zy 22 −= . A variável x também fica amarrada a variável z, após as substituições, tem-se que 
zx +=1 . Esta sistema possui grau de liberdade 1. 
 
A solução do sistema é }),,22,1{( R∈−+= zzzzS . 
 
 
Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam em uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 31
 
3) Seja o sistema 



=++
−=−−−
=++
6242
32
32
zyx
zyx
zyx
 
 
Matriz ampliada 








−−−−
6242
3121
3121
, matriz escalonada 
1 2 1 3
0 0 0 0
0 0 0 0







 e matriz de coeficientes 
1 2 1
0 0 0
0 0 0





 . 
 
Análise, 31 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). 
 
 
Sistema equivalente



=
=
=++
00
00
32
z
y
zyx
 
 
As variáveis y e z estão livres, o grau de liberdade do sistema é igual a 2, e a variável x está 
amarrada pela relação zyx −−= 23 . 
 
A solução do sistema é },),,,23{( R∈−−= zyzyzyS . 
 
 
Geometricamente, os três planos são coincidentes e, consequentemente, qualquer ponto deste plano 
é solução para o sistema. 
 
 
 
 
 
 
 32
 
 
4) Seja o sistema 



=++
=−−
=−−
1
69123
234
zyx
zyx
zyx
 
 
Matriz ampliada 








−−
−−
1111
69123
2341
, matriz escalonada 








−
−−
0000
10
2341
5
1
5
4 e matriz de 
coeficientes 







 −−
000
10
341
5
4 . 
 
Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). 
 
 
Sistema equivalente 



=
−=+
=−−
00
5
1
5
4
234
z
zy
zyx
 
 
A variável z está livre, o grau de liberdade é 1. As variáveis x e y estão ligadas à variável z, e irão 
assumir valores de acordo as relações 
5
4z1−−=y e 
5
z6 −=x . 
 
A solução é ( ){ }R∈= −−− zzS zz ,,, 54156 . 
 
 
Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes que interceptam um terceiro. A 
interseção é uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 33
 
5) Seja o sistema 



−=+
−=++
−=++
40
202
10
zy
zyx
zyx
 
 
Matriz ampliada 
1 1 1 10
2 1 1 20
0 1 1 40
−
−
−





 , matriz escalonada 
1 1 1 10
0 1 1 40
0 0 0 40
−
−
−






 e matriz de coeficientes 
1 1 1
0 1 1
0 0 0





 . 
 
Análise, 23 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). 
 
 
Sistema equivalente 



−=
−=+
−=++
400
40
10
z
zy
zyx
 
 
A terceira equação é equivalente a 400 −= , o que é impossível. A solução é ∅=S . 
 
 
Geometricamente, o sistema representa três planos distintos que se interceptam dois a dois, isto é, 
sem solução comum. 
 
 
 
 
 
 
 34
 
6) Dado o sistema 



=++
=++
=++
30
20
10
zyx
zyx
zyx
 
 
Matriz ampliada 
1 1 1 10
1 1 1 20
1 1 1 30





 , matriz escalonada 
1 1 1 10
0 0 0 10
0 0 0 20






 e matriz de coeficientes 
1 1 1
0 0 0
0 0 0





 . 
 
Análise, 13 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). 
 
 
Sistema equivalente 



=
=
=++
200
100
10
z
y
zyx
 
 
As duas últimas equações são impossíveis. A solução é ∅=S . 
 
 
Geometricamente, o sistema representa três planos paralelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35
 
7) Dado o sistema: 



=−+
=+−
−=−+
501062
2327
2053
zyx
zyx
zyx
 
 
Matriz ampliada 








−
−
−−
501062
2327
20531
, matriz escalonada 








−
−−
90000
14238230
20531
e matriz de 
coeficientes 








−
−
000
38230
531
. 
 
Análise, 23 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). 
 
 
Sistema equivalente 



=
=+−
−=−+
900
1423823
2053
z
zy
zyx
 
 
A última equação não possui solução. Assim, a solução do sistema é ∅=S . 
 
 
Geometricamente, o sistema representa dois planos paralelos interceptados por um terceiro. 
 
 
 
 
 
 
 36
 
8) Seja o sistema 



=+−−
=−+
=−+
459
3210218
1659
zyx
zyx
zyx
 
 
Matriz ampliada 








−−
−
−
4519
3210218
16519
, matriz escalonada 







 −
0000
20000
16519
 e matriz de 
coeficientes 







 −
000
000
519
. 
 
Análise, 12 =≠= CA PP : Sistema Impossível (SI). 
 
 
Sistema equivalente 



=
=
=−+
00
200
1659
z
y
yx
 
 
A segunda equação não possui solução. A solução é ∅=S . 
 
 
Geometricamente, o sistema representa dois planos coincidentes paralelos a um terceiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37
 
Sistema Homogêneo 
É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero. 



=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
0
.......
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xa...xaxa
............................................
xa...xaxa
xa...xaxa
 
 
A matriz de Termos Independentes B é a matriz nula, assim um sistema homogêneo é sempre possível, 
já que admite a solução trivial, isto é, )}0,...,0,0{(=S . 
 
No entanto, um sistema possível pode ainda ser classificado como determinado ou indeterminado. Se o 
sistema é possível e determinado, a únicasolução é a trivial. Se o sistema é possível e indeterminado, 
outras soluções, além da trivial, existem. 
 
Exemplos: 
1) Seja o sistema 



=−+
=+−
=−+
02
02
0
zyx
zyx
zyx
 
Matriz ampliada 








−
−
−
0121
0112
0111
, matriz escalonada 







 −
0300
0010
0111
 e matriz de coeficientes 







 −
300
010
111
. 
Análise, 3=== nPP CA : Sistema Possível Determinado (SPD). 
Sistema equivalente 



=
=
=−+
03
0
0
z
y
zyx
 
Este sistema só admite solução trivial. Assim, )}0,0,0{(=S . 
 
2) Seja o sistema 



=−−
=−−
=−−
=++
0636
032
022
0
zyx
zyx
zyx
zyx
 
Matriz ampliada 










−−
−−
−−
0636
0321
0212
0111
, matriz escalonada 










0000
0000
010
0111
3
4
 e matriz de coeficientes 










000
000
10
111
3
4
. 
 38
 
Análise, 32 =<== nPP CA : Sistema Possível Indeterminado (SPI). 
Sistema equivalente 



=
=+
=++
00
0
3
4
0
z
zy
zyx
 
A variável z está livre e as variáveis x e y estão amarradas. 
A solução do sistema é ( ){ }R∈−= zzzzS ,,, 3431 . 
 
 
Resolução de Sistemas utilizando Inversão de Matrizes 
O sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com nm = , pode ser representado pela 
equação matricial BXC =⋅ , sendo C uma matriz quadrada de ordem n. 
Se a matriz C for invertível, isto é, existir a matriz inversa 1−C , significa que o sistema é possível e 
determinado. 
BXC =⋅ 
BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )( 
BCXCC ⋅=⋅⋅ −− 11 )( 
BCXI n ⋅=⋅ −1 
BCX ⋅= −1 
 
Como X é uma matriz de ordem 1×n , BC
x
x
x
X
n
⋅=










= −12
1
...
 
 
 
Exemplo: Seja o sistema 



=−+−
=+−
=++
25
032
1
zyx
zyx
zyx
 
A equação matricial BXC =⋅ é: 








−−
−
511
312
111
.








z
y
x
= 
1
0
2





 . 
A matriz inversa da matriz C é 








−−
−−=−
10
3
5
1
10
1
10
1
5
2
10
7
5
2
5
3
5
1
1C . 
Assim, 








−
=








⋅








−−
−−=








2
1
2
1
10
3
5
1
10
1
10
1
5
2
10
7
5
2
5
3
5
1 1
2
0
1
z
y
x
. 
A solução do sistema é )},,1{( 2121 −=S . 
 39
 
Exercícios 
 
Utilizando o Método de Eliminação Gaussiana: 
 
1) Resolva o sistema 



=+−
=+−
=+−
7643
3532
242
zyx
zyx
zyx
. 
 
2) Indique a solução do sistema 



=−+
=−−
=−−
5232
144
232
zyx
zyx
zyx
, o posto da matriz ampliada e o posto da matriz de 
coeficientes. 
 
3) Um fabricante de objetos de cerâmica produz jarras e pratos decorativos. Cada jarra exige 16 
minutos de modelagem, 8 minutos de polimento e 30 minutos de pintura. Cada prato decorativo 
necessita de 12 minutos de modelagem, 6 de polimento e 15 de pintura. Sabendo-se que são 
reservadas por semana 8 horas para modelagem, 4 horas para polimento e 13 horas para pintura, 
encontre a quantidade de cada tipo de objeto que deverá ser fabricada por semana, considerando-se 
a melhor utilização do tempo disponível para cada etapa. 
 
 Jarras Pratos Decorativos Minutos Por Semana 
Modelagem 16 12 8.60 
Polimento 8 6 4.60 
Pintura 30 15 13.60 
 
Considerando-se x como sendo a quantidade de jarras a serem produzidas por semana e y a 
quantidade de pratos decorativos, escreva o sistema de equações lineares que representa o problema 
e resolva-o. 
 
4) Determine os valores de a de modo que o sistema 



=++
=++
=−+
23
332
1
zayx
azyx
zyx
 seja: 
 a) SPD 
 b) SPI 
 c) SI 
 
5) Calcule os valores para a e b de modo que o sistema 



=−+
=−+
=++
16
4463
22
zbyx
zyx
azyx
 seja SPI e resolva-o para 
estes valores. 
 
6) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que o sistema 



=−−−
=++
=++
czyx
bzyx
azyx
43
363
242
 seja possível. 
 
 40
 
7) Escreva a condição para que o sistema 



=+−
=−+
=−+
czyx
bzyx
azyx
2167
245
28
 tenha solução. 
 
8) Indique o conjunto solução do sistema homogêneo 



=−+−
=++
=++
03
032
0
zyx
zyx
zyx
. 
 
9) Determine o conjunto solução S do sistema 



=+−−
=−−+−
=+−+
=++−
032
0
0
0
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
10) Escreva um sistema homogêneo com quatro incógnitas, x, y, z e t, quatro equações e grau de 
liberdade igual a dois. Resolva-o. 
 
11) Considere o sistema 



=−+
=−+
=−+
3573
2452
122
zyx
zyx
zyx
. Escreva na forma matricial e calcule a matriz X utilizando 
a inversão de matrizes. 
 
 
 
Respostas 
 
1) Sistema Impossível 6) qualquer e 032 cab =− 
2) )}2,,{( 79710 −−=S 7) 023 =+− cba 
3) 16,18 == yx 8) )}0,0,0{(=S 
4) a) 3 e 2 −≠≠ aa 
b) 2=a 
c) 3−=a 
9) }),2,,,2{( R∈−= zzzzzS ou 
 ( ){ }R∈−= tttS tt ,,,, 22 
 
5) 2 e 711 == ba 11) 








−−
−
−
=−
111
012
243
1C e 








=
0
0
1
X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41 
ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA 
 
Definição 
Sejam um conjunto não vazio V, o conjunto dos números reais R e duas operações binárias, adição e 
multiplicação por escalar. 
uvuv
VVV
+
→×+
a),( 
:
 
vkvk
VV
⋅
→×⋅
a),( 
: R
 
 
V é um Espaço Vetorial sobre R, ou Espaço Vetorial Real ou um R-espaço vetorial, com estas 
operações se as propriedades abaixo, chamadas axiomas do espaço vetorial, forem satisfeitas: 
 
EV1. (Associativa) Para quaisquer Vwuv ∈,, , )()( wuvwuv ++=++ . 
EV2. (Comutativa) Para todo Vuv ∈, , vuuv +=+ . 
EV3. (Elemento Neutro) Existe Ve∈ tal que para todo Vv∈ , vevve =+=+ . 
Notação: Ve 0= 
EV4. (Elemento Simétrico) Para todo Vv∈ , existe Vv ∈' tal que Vvvvv 0=+=+ '' . 
Notação: vv −=' 
Assim, uvuv −=−+ )( 
EV5. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , vkkvkk ⋅=⋅⋅ )()( 2121 . 
EV6. Para quaisquer R∈21 , kk e para todo Vv∈ , )()()( 2121 vkvkvkk ⋅+⋅=⋅+ . 
EV7. Para todo R∈k e para quaisquer Vuv ∈, , )()()( ukvkuvk ⋅+⋅=+⋅ . 
EV8. Para todo Vv∈ , vv =⋅1 . 
 
Os elementos de um espaço vetorial são denominados vetores e os números reais de escalares. 
 
Exemplos : 
1) R2 com as operações: 
),(),(),( tyzxtzyx ++=+ 
),(),( kykxyxk =⋅ 
É um espaço vetorial pois os oito axiomas acima são verificados, cabe lembrar que o elemento 
neutroda adição V0 é o par ordenado )0,0( . 
 
2) Rn com as operações: 
),...,,(),...,,(),...,,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ 
),...,,(),...,,( 2121 nn kxkxkxxxxk =⋅ 
 
3) O conjunto das matrizes reais de ordem nm × , com as operações usuais é um espaço vetorial, tal 
que o elemento neutro da adição é a matriz nula. 
 
4) O conjunto dos polinômios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, com as operações 
abaixo: 
)()(...)()()( 0011 baxbaxbaxqxp
n
nn ++++++=+ 
01...)( kaxkaxkaxpk
n
n +++=⋅ 
onde 01...)( axaxaxp
n
n +++= e 01...)( bxbxbxq nn +++= . 
É um espaço vetorial, onde o elemento neutro da adição V0 é o polinômio 00...0 +++ xx n . 
 
 42 
5) R2 com as operações abaixo não é um espaço vetorial. 
)0,(),(),( zxtzyx +=+ 
),(),( kykxyxk =⋅ 
Não possui elemento neutro, pois: 
Seja ),( 21 eeV =0 tal que ),(),(),( 21 yxeeyx =+ . 
Mas, )0,(),(),( 121 exeeyx +=+ . 
Assim, )0,(),( 1exyx += . 
Portanto, para todo 0, =∈ yy R . 
Logo, não existe elemento neutro. 
 
 
Subespaço Vetorial 
Um subespaço vetorial de V é um subconjunto não vazio VS ⊆ com as seguintes propriedades: 
 
Sub1. SV ∈0 . 
Sub2. Fechamento de S em relação à operação de Adição. 
 Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ . 
Sub3. Fechamento de S em relação à operação de Multiplicação por Escalar 
 Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ . 
 
Notação: VS ≤ . 
 
Exemplos: 
1) }),0,0,{( R∈= xxS é um subespaço vetorial do R3 com as operações de adição e multiplicação por 
escalar usuais. 
Um vetor u pertence ao subespaço S quando possui a 2ª e 3ª coordenadas iguais a zero. 
Verificando as propriedades de subespaço. 
1. SV ∈0 ? Sim, S∈)0,0,0( . 
 
2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ? 
Sejam SxvSxu ∈=∈= )0,0,( e )0,0,( 21 . 
Então Sxxvu ∈+=+ )0,0,( 21 . 
Logo, S é fechado sob a operação de adição de vetores. 
 
3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ? 
Seja Sxu ∈= )0,0,( 1 . 
Então Skxuk ∈=⋅ )0,0,( 1 . 
Logo, S é fechado sob a operação de multiplicação por escalar. 
O subespaço S poderia ser descrito ainda por }0 e 0|),,{( ==∈ zyzyx 3R . 
 
2) O conjunto } e 0|),,{( zyxzyxS ≥=∈= 3R não é um subespaço vetorial do R3 com as operações 
usuais. 
1. SV ∈0 ? Sim, )0,0,0( satisfaz as condições zyx ≥= e 0 . 
 
2. Se SvSu ∈∈ e então Svu ∈+ ? 
Sejam SrtvSzyu ∈=∈= ),,0( e ),,0( , com rtzy ≥≥ e . 
Então rztySrztyvu +≥+∈++=+ com ,),,0( . 
3. Se R∈∈ k e Su então Suk ∈⋅ ? 
 43 
Não. (Contra-exemplo) 
Sejam R∈−∈− 2 e )1,4,0( S . 
S∉−=−⋅− )2,8,0()1,4,0()2( , pois 28 ≤− . 
 
3) }1|),,{( +=∈= yxzyxS 3R não é um subespaço do R3, pois S∉)0,0,0( . 
 
O fato do vetor V0 pertencer ao conjunto S não implica que este seja um subespaço. 
Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o próprio espaço V e o conjunto }{ V0 , 
chamado subespaço nulo. Estes dois subespaços são denominados subespaços triviais de V e os 
demais subespaços próprios de V. 
 
 
Combinação Linear 
Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 . Um vetor Vw∈ está escrito como combinação linear dos vetores 
nvvv ,...,, 21 quando nn vkvkvkw ⋅++⋅+⋅= ...2211 onde R∈nkkk ,...,, 21 . 
 
Exemplos: 
1) O vetor )1,1( −− é uma combinação linear dos vetores )2,1( e (3,5) , pois: 
)5,3()1()2,1(2)1,1( ⋅−+⋅=−− 
 
2) O vetor )3,2,1( não pode ser escrito como combinação linear dos vetores )1,0,0( e )0,0,1( , pois: 
(*) )3,2,1()1,0,0()0,0,1( 21 =⋅+⋅ kk 
)3,2,1(),0,0()0,0,( 21 =+ kk 
)3,2,1(),0,( 21 =kk 
Assim, 



=
=
=
3
20
1
2
1
k
k
 
O sistema é impossível. 
Logo não existem valores reais para 21 e kk que satisfaçam a igualdade (*). 
 
3) Determinando a “lei” que define (todos) os vetores que podem ser escritos como combinação linear 
de )1,0,0( e )0,0,1( . 
),,()1,0,0()0,0,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ 
),,(),0,0()0,0,( 21 zyxkk =+ 
),,(),0,( 21 zyxkk = 
Assim, 



=
=
=
zk
y
xk
2
1
0 
O sistema é possível quando 0=y e para quaisquer R∈zx, . 
Assim, }0|),,{( =∈ yzyx 3R é o conjunto de todos os vetores escritos como combinação linear de 
)1,0,0( e )0,0,1( . 
Geometricamente, trata-se do plano XZ. 
 
 44 
Subespaço Vetorial Gerado e Conjunto Gerador 
Sejam os vetores Vvvv n ∈,...,, 21 e ],...,,[ 21 nvvv o conjunto de todas as combinações lineares destes 
vetores. O conjunto ],...,,[ 21 nvvv é um subespaço vetorial de V, denominado subespaço vetorial 
gerado pelos vetores nvvv ,...,, 21 . 
O conjunto },...,,{ 21 nvvv é o conjunto gerador do subespaço ],...,,[ 21 nvvv . 
 
Exemplos: 
1) O vetor 2R∈)2,1( gera o conjunto }),2,{()]2,1[( R∈= xxx . 
),()2,1( yxk =⋅ 
),()2,( yxkk = 
Assim, 

=∴=
=
xyyk
xk
22
 
O conjunto de todas as combinações lineares do vetor )2,1( é o conjunto de todos os seus múltiplos 
escalares. 
Geometricamente, )]2,1[( é uma reta definida pela equação 02 =− xy . 
 
2) }0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( =+−∈= zyxzyx 3R . 
),,()1,2,1()0,1,1( 21 zyxkk =⋅+⋅ 
),,(),2,()0,,( 22211 zyxkkkkk =+ 
),,(),2,( 22121 zyxkkkkk =++ 
Assim, 



=
=+
=+
zk
ykk
xkk
2
21
21
2 
Matriz ampliada 








z
y
x
10
21
11
 e matriz escalonada 








+−
−
xyz
xy
x
00
10
11
. 
 
Para se determinar os vetores que são combinações lineares de )1,2,1( e )0,1,1( é necessário que o 
sistema seja possível, isto é, 0=+− zyx . 
Logo, },),,,{(}0|),,{()]1,2,1(),0,1,1[( RR 3 ∈−==+−∈= zyzyzyzyxzyx . 
Geometricamente, )]1,2,1(),0,1,1[( é um plano no 3R com equação 0=+− zyx . 
 
3) 2R=)]2,4(),3,1[( . 
),()2,4()3,1( 21 yxkk =⋅+⋅ 
 ),()23,4( 2121 yxkkkk =++ 
Assim, 


=+
=+
ykk
xkk
21
21
23
4
 
Matriz ampliada 


y
x
23
41
 e matriz escalonada 


 −
10
310
41
yx
x
. 
Como o sistema é possível e determinado, nenhuma condição deve ser satisfeita. 
Logo, 2R=)]2,4(),3,1[( . 
 
 
 45 
4) Encontre a equação do espaço gerado pelos vetores )3,1,1( e )1,0,2(),2,1,1( −− . 
O espaço gerado é o conjunto de vetores 3R∈= ),,( zyxv que possam ser escritos como 
combinação linear dos vetores dados, isto é, ),,()3,1,1()1,0,2()2,1,1( 321 zyxkkk =−⋅+−⋅+⋅ . 
Assim, 
322
0
2
321
321
321



=++
=++
=−−
zkkk
ykkk
xkkk
 
Matriz ampliada 







 −−
z
y
x
312
101
121
 e matriz escalonada 










+−
−−−
2
25000
2
110
121
zyx
xy
x
. 
 
Para que o sistema seja possível é necessário que 025 =+− zyx . 
Assim, com esta condição satisfeita, obtém-se vetores 3R∈),,( zyx que são combinação linear dos 
vetores dados. 
Portanto, o espaço gerado é }025|),,{( =+−∈ zyxzyx 3R , que geometricamente representa um 
plano em R3. 
 
 
Vetores Linearmente Independentes e Linearmente Dependentes 
Um conjunto de vetores Vvvv n ⊆},...,,{ 21 é linearmente independente (LI) quando 
Vnn vkvkvk 0=⋅++⋅+⋅ ...2211 se e somente se 0...21 ==== nkkk . 
Se existir pelo menos um ,,...,1 com ,0 niki =≠ então o conjunto é linearmente dependente (LD). 
 
Exemplos: 
1) )}2,4(),3,1{( é LI, pois: 
)0,0()2,4()3,1( 21 =⋅+⋅ kk 
 )0,0()23,4( 2121 =++ kkkk 
Assim, 


=+
=+
023
04
21
21
kk
kk
 
Matriz ampliada 


023
041
 e matriz escalonada 
1 4 0
0 1 0



 . 
O sistema é possível e determinado com 021 == kk . 
Assim, o conjunto é LI. Um dos vetores não é múltiplo escalar do