Álgebra: Conjuntos e Relações

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Álgebra : Notas aula
Victor Rodrigues de Oliveira
oliveira.victor@mail.ru
Sumário
1 Conjuntos 3
1.1 Relações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Domínio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Relações de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Conjunto quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Partição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Função 7
2.1 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Função Identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Restrição e extensão de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Leis de composição interna (operações) 9
3.1 Propriedade distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Anéis e Domínios 11
4.1 Anel quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Subanéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Homomorfismo de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 O corpo de frações de um domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Polinômios em uma variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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1 Conjuntos
Primeiramente, vamos relacionar conceitos que devemos assumir sobre conjuntos:
1. Um conjunto A constituído de elementos arbitrários, se contém um elemento qualquer a,
é denotado por a ∈ A;
2. Existe exatamente um conjunto sem nenhum elemento, que é chamado de conjunto vazio,
o qual é denotado como ∅;
3. Podemos descrever um conjunto qualquer caracterizando seus elementos através de pro-
priedades que eles satisfaçam, ou os listando;
4. Um conjunto está bem definido quando, sendo A um conjunto e x um elemento arbitrário,
ocorre uma das seguintes situações:
• x ∈ A;
• x /∈ A.
1.1 Relações entre conjuntos
Definição: Sejam A e B dois conjuntos arbitrários. Se todo elemento de B está em A,
então dizemos que B é subconjunto de A e denotamos por B ⊆ A ou A ⊇ B.
B ⊆ A ⇔ ∀a ∈ B, a ∈ A
Definição 1. Seja A um conjunto arbitrário, então o conjunto A é o subconjunto impróprio
de A. Qualquer outro subconjunto de A é um subconjunto próprio de A.
Obs.: ∅ ⊆ A para um conjunto A arbitrário.
Definição 2. Sejam A e B conjuntos arbitrários. Dizemos que A e B são iguais (A = B), se
A ⊆ B e B ⊆ A.
Proposição 1. Sejam A,B e C conjuntos arbitrários. A relação definida por B ⊆ A, denomi-
nada inclusão, possui as seguintes propriedades:
1. Reflexiva:
A ⊆ A
2. Antissimétrica:
Se A ⊆ B e B ⊆ A então A = B
3. Transitiva:
Se A ⊆ B e B ⊆ C então A ⊆ C
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Proposição 2. Dados dois conjuntos A e B arbitrários, as seguintes afirmações são equivalen-
tes:
1. A ⊆ B;
2. Se x ∈ A então x ∈ B;
3. Se x /∈ B então x /∈ A.
Propriedades: Sejam A,B e C conjuntos arbitrários:
1. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Associativa) ;
2. A ∩ B = B ∩ A (Comutativa);
3. Se A ⊆ B então, A ∩ B = A
4. A ∩∅ = ∅.
Definição 3. Sejam A e B conjuntos quaisquer. A união de A com B é o conjunto :
A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}
Propriedades: Sejam A, B e C conjuntos arbitrários, então:
1. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
2. A ∪ B = B ∪ A;
3. Se A ⊆ B, então A ∪ B = B;
4. A ∪∅ = A.
Definição 4. Dados um conjunto U e um subconjunto A ⊆ U quaisquer, chamamos de com-
plementar de A em relação a U , todo elemento que pertence a U e não pertence a A.
{AU = {x ∈ U : x /∈ A}
Obs.: Quando não houver dúvidas em relação ao universo U em que estamos trabalhando,
usaremos {AU = A′.
Propriedades: A operação de tomar o complemento de um conjunto em relação a um
certo universo satisfaz as seguintes propriedades. Seja A um conjunto qualquer pertencente ao
conjunto universo U arbitrário:
1. U ′ = ∅ e ∅′ = U ;
2. A′′ = A;
3. A ∩A′ = ∅(disjuntos) e A ∪A′ = U ;
4. (A ∩ B) = A′ ∪ B′ e (A′ ∪ B′)′ = A′ ∩ B′;
Obs.: As propriedades 3. e 4. são conhecidas como Leis de Morgan.
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Definição 5. Sejam A e B conjuntos quaisquer. O produto cartesiano de A por B é o con-
junto: A× B = {(a, b)/a ∈ A e b ∈ B}.
Obs.: Podemos escrever o produto cartesiano de qualquer quantidade finita de conjuntos
A1 ×A2 × · · · × An = {ai ∈ Ai; i = 1, · · · , n}
Definição 6. Sejam A e B conjuntos arbitrários. Uma relação binária entre A e B é um subconjunto de A×
B.
1.1.1 Domínio e Imagem
Ao escrevermos um produto cartesiano A × B, chamamos A de conjunto de partida e B
conjunto de chegada.
Seja R ⊆ A× B uma relação, definimos:
• Domínio de R = D(R):
D(R) = {a ∈ A/∃b ∈ B tal que aRb}
• Imagem de R = Im(R):
Im(R) = {b ∈ B/∃a ∈ A tal que aRb}
Definição 7. Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R é o conjunto R−1 =
{(b, a) ∈ B ×A/(a, b) ∈ R}.
Definição 8. Quando temos uma relação definida de um conjunto qualquer A nele mesmo,
dizemos que é uma relação sobre um conjunto A.
Propriedades: Veremos algumas propriedades que uma relação sobre um dado conjunto
A satisfaz:
1. Reflexiva: Dizemos que uma relação é reflexiva quando, para todo x ∈ A, xRx;
2. Simétrica: Dizemos que uma relação R sobre o conjunto A é simétrica quando, dados
x, y ∈ A, xRy ⇒ yRx;
3. Transitiva: Dizemos que uma relação R sobre A é transitiva quando, dados x, y, z ∈
A, xRy e yRz ⇒ xRz;
4. Antissimétrica: Dizemos que uma relação R sobre A é antissimétrica quando, sempre que
xRy e yRx temos x = y.
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1.1.2 Relações de equivalência
Definição 9. Uma relação R sobre um dado conjunto A é uma relação de equivalência quando
satisfaz:
• R é reflexiva;
• R é simétrica;
• R é transitiva.
1.2 Conjunto quociente
Definição 10. Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto A. dado a ∈ A, chama-se
classe de equivalência determinada por a, o conjunto
a¯ = {x ∈ A/xRa}
Definição 11. O conjunto das classes de equivalência da relação R será indicado por A/R e é
chamado de conjunto quociente de A por R.
A/R = {a¯/a ∈ A}
Proposição 3. Seja R uma relação de equivalência sobre um conjunto A e sejam a, b ∈ A. As
seguintes afirmações são equivalentes:
1. aRb;
2. a ∈ b¯;
3. b ∈ a¯;
4. a¯ = b¯.
1.2.1 Partição
Definição 12. Seja A 6= ∅ um conjunto. Diz-se que uma classe P de subconjuntos não vazios
de A é uma partição de A se, e somente, se:
• ∀B, C ∈ P, B = C ou B ∩ C = ∅;
•
⋃
B∈P B = A.
Definição 13. Se R é uma relação de equivalência sobre um conjunto A, então A/R é uma
partição de A.
Proposição 4. Se S e P é são partições do conjunto A, então existe uma relação de equiva-
lência R sobre A tal que P=A/R.
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2 Função
Proposição 5. Seja f uma relação de um conjunto A com um conjunto B se, e somente, se:
• O domínio de f é A, isto é, D(f) = A;
• Dado um elemento x ∈ A, existe um único y ∈ B tal que (a, b) ∈ f .
Notação :(x, y) ∈ f
f(x) = y
f :A → B
x 7→ y
O conjunto B é chamado contradomínio de f .
Igualdade: A partir da definição podemos concluir que, dadas f : A → B e g : A → B,
então:
f = g ⇔ f(x) = g(x), ∀x ∈ A.
Definição 14. Dizemos que uma função f : A → B é injetora se para cada y ∈ Im(f) existe
um único x ∈ A/f(x) = y
Definição 15. Dizemos que uma função é sobrejetora se Im(f) = B.
Definição 16. Dizemos que uma função é bijetora quando ela é injetora e sobrejetora.
2.1 Função inversa
Definição 17. Seja uma função f : A → B e seja y ⊆ B. Chama-se imagem inversa de y
pela função f ao conjunto f−1 formado por todos os x ∈ A tais que f(x) ∈ B. Simbolicamente:
f−1(y) = {x ∈ A/f(x) ∈ y}
Definição 18. Seja f : A → B uma função. A relação f−1 é uma função se e somente se f é
bijetora.
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2.2 Função compostaDefinição 19. Sejam f : A → B e g : B → C funções. Chama-se composta de f em g a função
g ◦ f : A → C, x 7→ g(f(x)).
Observações:
1. Para podermos compor as funções f e g é preciso que o contradomínio de f seja igual ao
domínio de g;
2. D domínio de g ◦ f é o domínio de f , e o contradomínio de g é o contradomínio de g ◦ f ;
3. Se A = C também podemos compor f ◦ g.
Proposição 6. Sejam f : A → B e g : B → C funções injetoras. Então g ◦ f é injetora.
Obs.: Se f ◦ g é injetora então g é injetora; Se g ◦ f é injetora, então f é injetora.
Proposição 7. Sejam f : A → B e g : B → C funções sobrejetoras. Então g ◦ f é sobrejetora.
Obs.: Se f ◦g é sobrejetora então g é sobrejetora; Se g◦f é sobrejetora, então f é sobrejetora.
2.3 Função Identidade
Definição 20. Dado A 6= ∅, chama-se função identidade a função:
IA :A → A
x 7→ x
Definição 21. Se f : A → B é bijetora, então f ◦ f−1 = IB e f−1 ◦ f = IA.
Proposição 8. Sejam f : A → B eg g : B → A funções, então:
1. f ◦ IA = f e IB ◦ f = f, g ◦ IB = g e IA ◦ g = g;
2. Se g ◦ f = IA e f ◦ g = IB então f e g são bijetoras e g = f−1.
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2.4 Restrição e extensão de funções
Definição 22. Seja f : A → B uma função e D ⊆ A, com D 6= ∅. Chama-se restrição de f
ao subconjunto D a função:
f |D :D → B
x 7→ f(x)
Definição 23. Seja f : A → B uma função e sejam A ⊆ D e E ⊆ B. Chama-se extensão de
f ao conjunto D toda função g : D → E tal que g|A = f .
Definição 24. Seja f : A → B função, e x1, x2 ∈ A:
1. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) dizemos que f é não decrescente;
2. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2) dizemos que f é não crescente;
3. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) dizemos que f é crescente;
4. Se x1 > x2 ⇒ f(x1) 6 f(x2) dizemos que f é decrescente;
3 Leis de composição interna (operações)
Definição 25. Seja A um conjunto não vazio. Toda função f : A×A → A recebe o nome de
operação sobreA (ou em A) de lei de composição interna sobre A.
Notação: x ∗ y, xy, x · y, x⊕ y, x/y, x÷ y.
Propriedades:
Definição 26. Seja A 6= ∅ um conjunto, ∗ : A×A → A uma operação x, y, z ∈ A:
1. Dizemos que ∗ é associativa se (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).
2. Dizemos que ∗ é comutativa se x ∗ y = y ∗ x
Definição 27. Seja A um conjunto não vazio e x ∈ A. Se ∃ e ∈ A tal que:
e ∗ x = x (1)
x ∗ e = x (2)
Dizemos que e é neutro à esquerda(1) e à direita(2) para ∗ em A. Sendo e neutro simultanea-
mente, dizemos simplesmente que ele é um elemento neutro para ∗ em A.
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Proposição 9. Se a operação ∗ sobre o conjunto A tem um elemento neutro e, então ele é
único.
Definição 28. Seja A um conjunto e seja ∗ uma relação sobre A munida do elemento neutro.
Dado x ∈ A , dizemos que x é simetrizável se existe x′ ∈ A tal que x ∗ x′ = e = x′ ∗ x.
Proposição 10. Seja ∗ uma operação sobre o um dado conjunto A que é associativa e tem
elemento neutro (e):
1. Se x é simetrizável, x′ é único;
2. Se x é simetrizável, x′ também é, e (x′)′ = x;
3. Se x e y são simetrizáveis, x ∗ y também é e (x ∗ y)′ = y′ ∗ x′.
Notação : U ∗ (A) = {x ∈ A/x é simetrizável}
Proposição 11. Seja ∗ uma operação sobre o conjunto A, x, y, a ∈ A;
Se x ∗ a = a ∗ y, vale x = y (1)
Se a ∗ x = a ∗ y, vale x = y (2)
Dizemos que a é regular à esquerda (1) ou regular à direita (2). Quando um elemento for
simultaneamente regular à esquerda e à direita dizemos simplesmente que ele é um elemento
regular.
Proposição 12. Se a operação ∗ sobre um conjunto A é associativa, tem elemento neutro e e
se a ∈ A é simetrizável, então é regular.
Notação : R ∗ A = {x ∈ A/x é regular}
3.1 Propriedade distributiva
Definição 29. Sendo ∗ e ∆ duas operações sobre o conjunto A, e x, y, z,∈ A, temos:
x∆(y ∗ z) = (x∆y) ∗ (x∆z) (1)
(x ∗ y)∆z = (x∆z) ∗ (y∆z) (2)
Dizemos que ∆ é distributivo à direita (1) e à esquerda (2) em relação a ∗. Quando ∆ for
distributivo simultaneamente dos dois lados, dizemos simplesmente que a operação ∆ é simul-
tânea em relação a ∗.
Definição 30. Sejam ∗ uma operação sobre um conjunto A e B ⊆ A, B 6= ∅. Dizemos que B
é uma parte fechada de A para ∗ se ∀y, x ∈ B, x ∗ y ∈ B.
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4 Anéis e Domínios
Definição 31. Seja A um conjunto não vazio onde estejam definidas duas operações, as quais
serão designadas como soma e produto em A e denotadas por + e · respectivamente.
+ : A×A → A
(a, b) 7→ a + b
· : A×A → A
(a, b) 7→ a · b
Será (A,+, ·) um anel se as seguintes propriedades forem satisfeitas.
Sejam a, b, c ∈ A:
1. (a + b) + c = a + (b + c) associativa da soma;
2. ∃0 ∈ A tal que 0 + a = a + 0 = a existência do elemento neutro para soma;
3. ∀x ∈ A,∃y ∈ A denotado por y = −x talque x + y = y + x = 0 existência do inverso
aditivo;
4. a + b = b + a comutatividade da soma;
5. (a.b).c = a.(b.c) e ;
6. (a + b).c = a.c + b.c distributividade do produto em relação à soma
Além disso, se um anel (A,+, ·) satisfizer a propriedade:
7. ∃1 ∈ A, 1 6= 0 tal que 1.a = a.1 = a
dizemos que (A,+, ·) é um anel com unidade.
Se um anel (A,+, ·) satisfizer a propriedade:
8. a.b = b.a
dizemos que (A,+, ·) é um anel comutativo.
Se um anel (A,+, ·) satisfizer a seguinte propriedade:
9. a.b = 0⇒ a = b ou b = 0
dizemos que (A,+, ·) é um anel sem divisores de zero.
Se (A,+, ·) é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que (A,+, ·)
é um domínio de integridade ou anel de integridade.
E, se um domínio de integridade (A,+, ·) satisfizer a propriedade:
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10. ∀x ∈ A, x 6= 0, ∃y ∈ A tal que x.y = y.x = 1
dizemos que (A,+, ·) é um corpo.
Definição 32. Seja (A,+, ·) um anel e I um subconjunto não vazio de A. Dizemos que A é
ideal se:
• ∀x ∈ I, x + y ∈ I
• ∀x ∈ I e a ∈ A, a.x ∈ I
O conceito de ideal permite fazer uma construção totalmente análoga a construção do anel
(Z/Zn,⊕n,�n) dos inteiros módulo n.
Todo ideal é subanel
4.1 Anel quociente
Sejam (A,+, ·) um anel e I um ideal de A. Sobre A definimos a relação de congruência
(modI).
Se a ∈ A, então sua classe de equivalência módulo I consiste no subconjunto
{b ∈ A/b ≡ a(modI)}, isto é, no subconjunto {a + c/c ∈ I}.
Ela será denotada por a¯ ou a + I.
Será denotado por A/I o conjunto das classes da equivalência modI.
Sobre o conjunto A/I definimos duas operações ⊕ e � de maneira que, dados x¯ e y¯ ∈ A/I
x¯⊕ y¯ = x + y
x¯� y¯ = x.y
4.2 Subanéis
Seja (A,+, ·) um anel e B um subconjunto não vazio de A. Suponhamos que B seja fechado
para as operações de + e · de A, isto é:
1. x, y ∈ B ⇒ x + y ∈ B
2. x, y ∈ B ⇒ x · y ∈ B
Logo podemos considerar a soma e o produto operações em B.
Se (B,+, ·) for um anel com as operações de A, dizemos que B é subanel de A.
Proposição 13. Seja (A,+, ·) um anel e seja B ⊆ B. Então B é um subanel A se e somente
se as seguintes operações forem verificadas:
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1. 0 ∈ B o elemento neutro pertence a B
2. x, y ∈ B ⇒ x− y ∈ B
3. x, y ∈ B ⇒ x · y ∈ B
Proposição 14. As únicas soluções da equação x2 − x = 0 num dominio de integridade são 0
e 1
Corolário: Seja D um domínio de integridade com unidade 1 e seja B um subanel de D
com unidade 1′. Então 1 = 1′.
Definição 33. Seja I um ideal de A. I é dito ideal maximal em A se I 6= A e os únicos
ideais contendo I são I e A.
Obs.: I = {0} é um ideal para R, chamado de ideal trivial.
Teorema 1. Seja (K,+, ·) um anel comutativo com unidade (1 ∈ K). Então as seguintes
condições são equivalentes.
1. K é um corpo;
2. {0} é um ideal maximal de K;
3. Os únicos ideais de K são os triviais.
Proposição 15. Sejam A um anel e I um ideal em A. Se x ≡ x′(modI) e y ≡ y′(modI),
então:
• (x + y) ≡ (x′ + y′)(modI);
• x.y ≡ x′y′(modI).
Obs.: Se 1 é unidade de A, então 1¯ é unidade de A/I
Obs.2: Se A é comutativo, então A; I é comutativo.
Teorema 2. Seja A um anel comutativo com unidade 1 ∈ A e seja J um ideal de A. Então
J é um ideal maximal de A se e somente se A/J for um corpo.
4.3 Homomorfismo de anéis
Definição 34. Sejam A e A′ dois anéis. Uma funçãof : A → A′ é um homomorfismo se
satisfaz as seguintes condições:
1. f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ A;
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2. f(x · y) = f(x) · f(y) ∀x, y ∈ A.
Se f : A → A′ é um homomorfismo bijetor, dizemos que f é um isomorfismo de A sobre A′.
Dizemos que dois anéis são isomorfos, sendo denotados por A ∼= A′ se existe um isomorfismo
de A sobre A′.
Os homomorfismos f : A → A também são chamados de endomorfismo de A, e os
isomorfismos de A sobre si mesmos são chamados de automorfismos de A.
Serão denotados por:
End(A) = {f : A → A/f é endomorfismo}
Aut(A) = {f : A → A/f é automorfismo}
Proposição 16. Sejam A e A′ anéis e f : A → A′ um homorfismo. então:
• f(0) = 0;
• f(−a) = −f(a);
• Se A e A′ são domínios de integridade, então f é função nula ou f(1) = 1;
• Se A e A′ são corpos, então f é a função nula ou f é injetora.
4.4 O corpo de frações de um domínio
Seja D um domínio de integridade qualquer e seja D∗ = D\{0}.
Vamos definir uma relação de equivalência no conjunto D ×D∗, por:
(a, b) ∼ (c, d)⇔ ad = bc
Proposição 17. A relação ∼ definida anteriormente é de equivalência.
Vamos definir as casses de equivalência de um par (a, b) por
a
b
= (a, b) = {(x, y) ∈ D ×D∗/(a, b) ∼ (x, y)}
Agora vamos definir as operações ∗ e + no conjunto quociente A/ ∼= {a
b
/a ∈ D e b ∈ D∗}.
Sejam (a, b), (c, d) ∈ D ×D∗, então a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
e
a
b
· c
d
=
a.c
b.d
. Note que se
b, d ∈ D∗ ⇒ b · d ∈ D∗.
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Proposição 18. As operações ∗ e + estão bem definidas.
Será denotado por a∗ =
a
1
, onde 1 ∈ D e 1 é a unidade de D, e denotaremos por
D∗ = {a∗ = a
1
/a ∈ D} ⊆ K = {a
b
, a ∈ D e b ∈ D∗}.
D é um domínio de integridade, com 1∗ =
1
1
∈ D∗. Aliás 1∗ é tal que:
∀a ∈ K, a
b
· 1F = 1F · a
b
=
a
b
e ainda
∀a
b
∈ K, a
b
+ 0F = 0F +
a
b
=
a
b
.
Considere a função:
ϕ :D → DF
a 7→ aF
Observe que:
1. Imϕ = D∗
2. Ker(ϕ) = {a ∈ D/aF = 0F} = {0}
3. ϕ(a + b) = (a + b)F = ϕ(a) + ϕ(b)
4. ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b)
Logo ϕ é um isomorfismo, isto é D ∼= D∗.
Note que se
a
b
∈ K, a
b
6= 0⇒ a 6= 0⇒ a ∈ D∗ ⇒ b
a
∈ K ⇒ K é corpo.
4.5 Polinômios em uma variável
Definição 35. Seja K ...
...
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