Lista de integral(1)

Prévia do material em texto

Lista 4
Ca´culo I
(1) Calcule as integrais indefinidas abaixo.
a)
∫
dx
x3
b)
∫
(2x2 − 3)2dx c)
∫
x3
√
xdx
d)
∫
x5 + 2x− 1
x4
dx e)
∫
x2
x2 + 1
dx f)
∫
(ex − e−x)dx
(2) Calcule as integrais indefinidas abaixo.
a)
∫
cos θ tan θdθ b)
∫
sec2 x(cos3 x+ 1)dx c)
∫
tan2 x csc2 xdx
d)
∫
dx
sin2 x
e)
∫
cscxdx f)
∫
coshxdx
(3) Use mudanc¸a de varia´vel para resolver as integrais abaixo.
a)
∫
(x3 − 2)1/3x2dx b)
∫
xdx
5
√
x2 − 1dx c)
∫
(e2x + 2)1/3e2xdx
d)
∫
tanx sec2 xdx e)
∫
lnx2
x
dx f)
∫
sin4 x cosxdx
(4) Use integrac¸a˜o por partes para resolver as integrais abaixo.
a)
∫
x sin 5xdx b)
∫
ln(1− x)dx c)
∫
ex cos
x
2
dx
d)
∫
arctanαxdx e)
∫
x2exdx f)
∫
x2 cosαxdx
g)
∫
x3ex
2
dx h)
∫
xexdx i)
∫
arccosxdx
j)
∫
arcsinxdx k)
∫
x lnxdx l)
∫
x tanxdx
(5) Calcule as integrais definidas.
a)
∫ 2
−1
x(1 + x3)dx b)
∫ 0
−3
(x2 − 4x+ 7)dx c)
∫ 1
−1
x2dx√
x3 + 9
d)
∫ 5
1
√
2x− 1dx e)
∫ pi/2
0
cosx
(1 + sinx)4
dx f)
∫ 2
1
x lnxdx
2
(6) Seja f cont´ınua em [−a, a]. Mostre que:
(a) Se f e´ par, enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 2
∫ a
0
f(x)dx.
(b) Se f e´ ı´mpar, enta˜o
∫ a
−a
f(x)dx = 0.
(7) Use a questa˜o anterior para calcular:
a)
∫ pi
−pi
2 sinxdx b)
∫ pi
−pi
cosx
pi
dx c)
∫ 1
−1
(x4 + x2)dx
(8) Resolva as seguintes integrais impro´prias
a)
∫ +∞
1
1√
x
dx b)
∫ +∞
7
1
(x− 5)dx c)
∫ +∞
0
sinxdx
(9) Encontrar a a´rea sob a curva y = e−x, x ≥ 0.
(10) Engenheiros da Embrapa estimaram que um rebanho de vacas pode produzir leite a
uma taxa de: L(t) = 80e−0,04t− 80e−0,1t milhares de litros por meˆs, onde t representa o
tempo, medido em meses, a partir do momento em que foi feita a estimativa. Determine
o potencial de produc¸a˜o de leite desse rebanho a partir dessa data.
(11) Ache a a´rea da regia˜o limitada pela reta x = 1, o eixo Ox e a para´bola y = x2.
(12) Encontre a a´rea da regia˜o limitada pelas retas y = 5− x2 e y = x+ 3.
(13) Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas x = y2, y − x = 2, y = −2 e y = 3.
(14) Ache a a´rea de um terreno com formato de um triaˆngulo retaˆngulo de base b e altura h.
(15) Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno eixo Ox, da regia˜o limitada
pela curva y =
√
x e a reta x = 3.
(16) Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno eixo Ox, da regia˜o limitada
pela curva y = ex e as retas x = −3 e x = 4.
(17) Encontre o volume de uma esfera de raio r gerada pela rotac¸a˜o, em torno eixo Ox, da
regia˜o limitada pela curva y =
√
r2 − x2.
(18) Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno eixo Ox, da regia˜o limitada
pela curva y = sinx e as retas x = 0 e x = 3pi/2.
(19) Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno eixo Ox, da regia˜o limitada
pela curva y = cosx e as retas x = 0 e x = pi.
”Bom trabalho!.”