1° Lista de Exercicio Resolvido

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Exerc cios Resolvidos – F sica IIí í
1. Uma partícula de massa m inicia seu movimento a partir de x=+ 25 cm e oscila em torno de 
uma posição de equilíbrio (x=0) com um período de 1,5 s. Escreva as expressões para:
a) A posição x como um função do tempo t, isto é, x=x(t).
b) A velocidade vx como um função do tempo t, isto é, vx=vx(t).
c) A aceleração ax como um função do tempo t, isto é, ax=ax(t).
2. A posição de uma partícula é dada por x(t)=2,5 cos(πt), onde x está em metro e t em 
segundo.
a) encontre a velocidade máxima, vmáx e a aceleração máxima amáx da partícula.
b) encontre a velocidade e a aceleração da participa quando a posição for x = 1,5 m.
3. Dois corpos diferem em massa específica e em massa. O corpo A tem uma massa que é oito 
vezes a massa do corpo B. A massa específica do corpo A é quatro vezes a massa específica 
do corpo B. Como seus volumes se comparam? (a) VA= ½VB, (b) VA= VB , (c) VA=2VB, (d) 
não há informação susficiente para comparar os volumes.
4. Um tubo em U simples contém mercúrio. Quando 11,2 cm de água são derramados no ramo 
esquerdo, a que altura sobe o mercúrio no lado direito, com relação ao seu nível inicial? 
5. A água está fluindo a 3,00 m/s em um tubo horizintal sob uma pressão de 200 kPa. O tubo se 
estreita para a metade de seu diâmetro original. (a) Qual é a velocidade do fuido na seção 
mais estreita? (b) Qual é a pressão nesta mesma seção estreita? (c) Compare a taxa de fluxo 
do volume nas duas secções? 
6. Um objeto atachado a uma mola exibe um movimento harmônico simples com uma 
amplitude de 4.0 cm. Qua ndo o objeto está a 2.0 cm de sua posição de equilíbrio qual o 
percentual de sua energia mecânica total está na forma de energia potencial? 
7. Verifique, efetuando derivadas da função x (t)=xm e
(−bt /2m)cos(w ' t+θ) , que ela é uma 
solução da equação para o oscilador amortecido abaixo.
m d²x
dt²
+b dx
dt
+kx=0
desde que a frequência ω' seja expressa por 
ω '=√ [ km−( b2m ) ²]
8. Um oscilador consiste de um bloco de massa m=512 g preso a uma mola. Ao oscilar com 
amplitude de 34,7 cm, ele repete seu movimento a cada 0,484 s. Determine: (a) o período T, 
(b) a frequência f, (c) a frequência angular w, (d) a constante elástica da mola k, (e) a 
velocidade máxima e (f) a força máxima exercida sobre o bloco.
9. A água represada por um dique tem 15,2 m de profundidade. Um cano horizontal de 4,30 cm 
de diâmetro passa através do dique 6,15 m abaixo da superfície da água, como ilustra a Fig. 
34. A extremidade do cano no lado seco do dique está tampada. (a) Calcule a força de atrito 
entre a parede do cano e a tampa. (b) A tampa é removida. Qual o volume de água que escoa 
pelo cano em 3 horas? 
Soluções
1. Sugestão : a posição de uma partícula como função do tempo é expressa genericamente por 
x(t)=Acos(ωt+δ). A velocidade e a aceleração podem ser obtidas pela diferenciação da 
função posição x(t).
(a) Como já dito, a posição da partícula é expressa por: 
x (t)=Acos (wt+δ)
Para uma partícula que inicia seu movimento do repouso em x=+25 cm, A=+25 cm e δ=0. 
Substituindo, teremos:
x (t)=(0,25 m)cos(wt+0)
Por definição, a frequência angular, temos: w=2 π
T
=2 π
1,5
=4 π
3
s ⁻ ¹
Substituindo este resultado por ω, teremos a solução final: 
x (t)=(0,25m)cos(4 π
3
s ⁻ ¹)t .
b) Diferenciando a equação acima, para obtermos vx=vx(t), teremos:
v x=
dx
dt
=−(0,25m)(4 π
3
s ⁻ ¹)sen [(4 π
3
s ⁻ ¹) t ]=−(1,0 m
s
) sen[(4,2 s ⁻ ¹) t ]
c) Diferenciando novamente o resultado (b) com respeito ao tempo, teremos a expressão da 
aceleração da partícula, como segue:
ax=
dv x
dt
=−(0,25m)(4 π
3
s ⁻ ¹)²cos [(4 π
3
s ⁻ ¹) t ]=−(4,4 m
s²
)cos[(4,2 s ⁻ ¹) t ]
2. Sugestão : A posição de uma partícula é dada por x = Acos(ωτ), onde A = 2,5 m e ω=pirad/s. 
A velocidade é a derivada temporal da posição e a aceleração é a derivada temporal da 
velocidade. Portanto:
a) Derivando a posição e, posteriormente, a velocidade com respeito ao tempo, teremos: 
v x=
dx
dt
=−wA sen(wt )
ax=
dv x
dt
=−w²Acos(wt )
Sabendo que o valor máximo do sen(wt) = 1, além disto, que A e w são constantes positivas, 
teremos:
vmáx=wA=(2,5 m)(π s ⁻ ¹)=7,9m / s 
Sabendo que o valor máximo do cos(wt) = 1, teremos:
amáx=w²A=(2,5 m)(π s ⁻ ¹) ²=25 m / s²
b) Usando o identidade de Pitágoras, sen2(x) + cos2(x) = 1, para eliminar t das equações 
para x e v:
v²
ω²A²
+ x²
A²
=1
v=ω√A²− x²
v (1,5m)=(π rad / s)√(2,5 m) ²−(1,5m) ²=6,3m / s
Substituindo x por Acos(wt) na equação para a, obtem-se:
a=−ω ² x
a=−(π rad /s ) ²(1,5 m)=−15 m/ s²
3. Sugestão : A densidade de um objeto é sua massa devidida pelo seu volume. Expressando a 
razão entre os volumes de A e B. Como:
V A=
mA
ρA
e V B=
mB
ρB
Dividindo-se:
V A
V B
=
(
mA
ρA
)
(
mB
ρB
)
=
ρB
ρA
mA
mB
Substituindo-se as massas específicas e as massas de cada uma e simplificando-se, teremos:
V A
V B
=
ρB
(4ρB)
(8mB)
mB
=2
V A=2 V B
4. Consideração: Tenha em mente que as pressões nos pontos 1 (referência) e 2 são iguais.
Sabe-se que a pressão no ponto 1 corresponde à pressão atmosférica mais a pressão da 
columa de água acima do ponto 1, isto é: 
p1=p0+ρ(H 2 O ) gl
Sabe-se também que a pressão no ponto 2 corresponde à pressão atmosférica mais a pressão 
da columa de mercúrio acima do ponto 2, isto é: 
p2= p0+ρ(Hg ) gh
Igualando-se as pressões e, após algumas simplificações, teremos:
p0+ρ(H 2 O ) gl=p0+ρ(Hg) gh
ρ(H 2 O )l=ρ(Hg )h
h=
ρ(H 2O )
ρ(Hg)
l
h= 998 km /m³
13,6 km /m³
(11,2 cm)=0,82cm
No entanto, a figura mostra que a altura da coluna de mercúrio em relação ao nível inicial é:
d=h
2
=0,82 cm
2
=0,41 cm
5. Sugestão - Considere: 
 A1 e A2 as áreas da secção do tubo de diâmetro maior e menor, respectivamente.
v1 e v2 as velocidades da água na secção do tubo de diâmetro maior e menor, 
respectivamente.
Para encontrar v2, usaremos a equação de continuidade e a equação de Bernoulli para 
encontrar a pressão no tubo de diâmetro menor.
a) Usando a equação de continuidade simplificada, teremos a relação entre as velocidades da 
ágâmetros do tubo:
A1 v1=A2 v2
π
d1
2
4
v1=π
d 2
2
4
v2
v2=
d1
2
d2
2 v1=(
d 1
1
2
d1
) ²(3,0 m/ s)=12,0 m /s
b) Usando a equação de Bernoulli, a relação de pressão em dois segmentos do tubo será:
P1+
1
2
ρw v1
2=P2+
1
2
ρw v2
2
Resolvendo para P2: P2=P1+
1
2
ρw(v1
2−v2
2)
P2=200+
1
2
(1,0 x10³ )[(3,0) ²−(12,0) ²]=133kPa
c) Da equação de continuada: Iv1 = Iv2 
6.Sugestão: A energia total de um objeto sob MHS é dada por:
 E tot=
1
2
k A² , 
onde k é a constante de forma e A=xmáx a amplitude do movimento. A energia potencial do 
oscilador quando ele está a uma distânccia x de sua posição de equilíbrio é:
U (x )=1
2
k x²
Fazendo-se a razão da energia potencial (qdo o sistema está a x=2,0 cm de sua posição de 
equilíbrio) pela energia total do sistema, obtem-se a taxa de energia solicitada:
U ( x)
E tot
=
1
2
k x²
1
2 k A²
=
x²
A²
U ( x)
E tot
=
(2,0cm) ²
(4,0cm) ²
=1
4
=0,25=25%
U (x )=25%E tot
7. solução:
Derivando a solução proposta x (t)=xm e
(−bt /2m)cos(w ' t+θ) ,teremos:
dx
dt
=xm(−b /2m )e
−bt /2m cos(ω ' t+ϕ)+xme
−bt /2m(−ω ') sen(ω ' t+ϕ)−xm e
−bt /2m (( b
2m
)cos (ω ' t+ϕ)+ω ' sen (ω ' t+ϕ))
A segunda derivada temporal:
d²x
dt²
=−x m(−b / 2m) e
−bt /2m(b / 2m) cos (ω ' t+ϕ)+ω ' sen(ω' t+ϕ)−x me
−bt /2m(b /2m )(−ω ' ) sen(ω ' t +ϕ)+(ω ' )²cos (ω ' t+ϕ)+ xm e
−bt /2m((ω ' b
m
) sen (ω ' t+ϕ)+( b²
4m²
−ω ' ²) cos(ω' t+ϕ))
Substituindo as três equações na equação diferencial e após algumas simplificações, 
teremos:
m [(ω ' b/m)sen(ω ' t+ϕ)+(b² / 4m²−ω ' ²)cos (ω ' t+ϕ)−b(b /2m)cos(ω ' t+ϕ)+ω ' sen(ω ' t+ϕ)]+kcos (ω ' t+ϕ)=0
Colocando em evidência os termos com cossenos e senos, teremos:
(ω ' b−ω ' b)sen (ω ' t+ϕ)+(mb² / 4m²−ω ' ²−b² /2m+k )cos (ω ' t+ϕ)=0 .
Observe que o primeiro termo se anula. O segundo termo, só será nulo se o coeficiente for 
zero, assim, teremos que:
(mb² / 4m²−ω ' ²−b² / 2m+k )=0
Colocando ω' em evidência, teremos:
ω '=√ km− b²4m² ou ω '=√ [ km−( b2m ) ²] .
8.Solução:
a) O período do movimento de oscilação é o tempo gasto para que o movimento se repita, ou 
seja, complete um ciclo. Logo: 
T=0,484 s
b) A freqüência de oscilação f=1/T, portanto:
f = 1
T
= 1
0,484
=2,0611 ... Hz ou f ≃ 2,07 Hz
c) A frequência angular ω = 2pi f ou ω = 2pi /Τ, logo:
ω=2π(2,06)=12,9817 rad / s ou ω≃13 rad / s
d) Para determinar a constante de força k, lembremos da relação:
ω=√ km
k=ω ² m
k=86,28 N /m
(e) A dependência da velocidade da massa em relação ao tempo é dada pela seguinte 
equação: 
v (t )=−ω xm sen(ω t+θ)
A velocidade máxima vmáx é encontrada quando sen(ω t + θ) = 1. Logo: 
v (t )máx=ω xm
v (t )máx=ω xm
v (t )máx ≃ 4,50m / s
(f) A dependência da força que a mola exerce sobre o bloco em relação ao tempo é dada pela 
relação: 
F=m a
F=mω ² xm cos(ωt+θ)
A força máxima Fmáx é encontrada quando cos(ω t + θ) = ±1. Logo: 
F=mω ² xm
F máx=(0,512)(12,9817) ²(0,347)≃ 29,9 N
9. Sugestão :Para que a rolha permaneça em equilíbrio estático na horizontal (coordenada x), a 
força devido à pressão hidrostática, exercida da esquerda para a direita, deve ter o mesmo 
módulo da força de atrito estático entre a rolha e a represa, exercida da direita para a 
esquerda. Logo: 
f at=F=P2 A2=(ρgh)[π(
d
2
) ²]
f at=
πρ gh d²
4
f at=
π(998)(9,81)(6,15)(0,043) ²
4
=87 N
b) Considere agora o seguinte esquema para a nova situação: Para determinar o volume 
escoado é preciso calcular a vazão, que por sua vez depende do cálculo da velocidade de 
escoamento (v3). Este é feito por meio da aplicação da equação de Bernoulli aos pontos 1 e 
3:
p1+ρg y1+
1
2
ρv1 ²= p3+ρ g y3+
1
2
ρ v3 ²
p0+ρ g y1+
1
2
ρ0= p0+ρg y3+
1
2
ρ v3 ²
ρg ( y1− y3)=
1
2
ρ v3 ²
Como y1-y3= h, temos que: v3=√2gh .
A vazão no ponto 3 (Vz) será: V z=
ΔV
Δ t
=A3 v3
ΔV
Δ t
=π( d
2
) ²√2gh
ΔV =πd²
4 √2ghΔ t
ΔV =π(0,043) ²
4 √29,816,15(3x3 ,600)=172m³
BOM ESTUDO!