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Exercícios Resolvidos de Termodinâmica

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PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA 
 Prof. Anderson Coser Gaudio 
 Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo 
 http://www.cce.ufes.br/anderson 
 anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/11/2006 13:03 H 
 
14 – Temperatura, Teoria Cinética, Mecânica 
Estatística e Primeira Lei da Termodinâmica 
 
 
Fundamentos de Física 2 
Halliday, Resnick, Walker 
4ª Edição, LTC, 1996 
Física 2 
Resnick, Halliday, Krane 
4ª Edição, LTC, 1996 
Física 2 
Resnick, Halliday, Krane 
5ª Edição, LTC, 2003 
Cap. 19 - Temperatura Cap. 22 - Temperatura Cap. 21 - Temperatura 
Cap. 20 – Calor e a 
Primeira Lei da 
Termodinâmica
Cap. 23 - A Teoria 
Cinética e o Gás Ideal
Cap. 22 – Propriedades 
Moleculares dos Gases
Cap. 21 – A Teoria 
Cinética dos Gases
Cap. 24 - Mecânica 
Estatística
Cap. 23 - Primeira Lei 
da Termodinâmica
 Cap. 25 - Calor e 
Primeira Lei da 
Termodinâmica
 
 
 
 
Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006) 
 
 
 
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 19 - TEMPERATURA 
 
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 
 
[Início documento] 
 
05. Um termômetro de resistência é aquele que utiliza a variação da resistência elétrica com a 
temperatura de uma substância. Podemos definir as temperaturas medidas por esse termômetro, 
em Kelvins (K), como sendo diretamente proporcionais às resistência R, medida ohms (Ω). Um 
certo termômetro de resistência, quando seu bulbo é colocado na água à temperatura do ponto 
triplo (273,16 K), tem uma resistência R de 90, 35 Ω. Qual a leitura do termômetro, quando sua 
resistência for 96,28 Ω? 
 (Pág. 180) 
Solução. 
Para um termômetro de resistência, a temperatura medida em função da resistência é dada pela Eq. 
(1), 
 (1) kRT R =)(
onde k é uma constante de proporcionalidade. Nesse termômetro, a temperatura do ponto tríplice da 
água (T3) é dada por (2), onde R3 é a medida da resistência no mesmo ponto tríplice. 
 (2) 3)(3 3 kRTT R ==
Dividindo-se (1) por (2): 
 
33
)(
R
R
T
T R = 
 ( ) ( )( )( ) 3 3
96, 28 
273,16 K 291,088 K
90,35 R
RT T
R
Ω= = =Ω ? 
 K 1,291≈T 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
06. Dois termômetros de gás a volume constante são usados em conjunto. Um deles usa nitrogênio e 
o outro, hidrogênio. A pressão de gás em ambos os bulbos é p3 = 80 mmHg. Qual é a diferença 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
2
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
da pressão nos dois termômetros, se colocarmos ambos em água fervendo? Em qual dos 
termômetros a pressão será mais alta? 
 (Pág. 180) 
Solução. 
Este problema deve ser resolvido com o auxílio do gráfico apresentado na Fig. 19-6 (pág. 173). 
 
(a) A Fig. 19-6 mostra que um termômetro de gás a volume constante que usa H2 como substância 
termométrica a uma pressão de 80 mmHg, mede uma temperatura para a água fervente 
aproximadamente igual . Usando-se N
2H
373,15 KT = 2 à mesma pressão, a medida da temperatura 
será . Para um termômetro de gás a volume constante, vale a seguinte relação: 
2N
373,35 KT =
 ( )
3
273,16 K pT
p
= 
Logo: 
 ( ) 2
2
H
H
3
273,16 K
p
T
p
= 
 ( )22
3 H
H 273,16 K
p T
p = (1) 
De maneira idêntica, temos: 
 ( )22
3 N
N 273,16 K
p T
p = (2) 
Fazendo-se (2) − (1): 
 ( ) ( )2 2 2 23N H N H273,16 Kpp p p T TΔ = − = − 
 ( )( ) ( ) ( )
80 mmHg
373,35 K 373,15 K 0,058573 mmHg
273,16 K
pΔ = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ ? 
 0,059 mmHgpΔ ≈ 
(b) A pressão será mais alta no termômetro de N2, pois . Isto se deve ao fato de o N
2N H
T T>
2
2 ter 
um comportamento menos ideal do que o N2. 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
3
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
08. Um termistor é um componente semicondutor cuja resistência elétrica depende da temperatura. 
Costuma ser usado em terrmômetros clínicos e também para detectar superaquecimento em 
equipamentos eletrônicos. Dentro de uma faixa limitada de temperatura, a resistência é dada por 
 ( )1/ 1/ aB T TaR R e −= , 
onde R é a resistência do termistor à temperatura T e Ra é a resistência à temperatura Ta; B é 
uma constante que depende do material semicondutor utilizado. Para um tipo de termistor, B = 
4.689 K, e a resistência a 273 K é 1,00 x 104 Ω. Que temperatura o termistor mede quando sua 
resistência é 100 Ω? 
 (Pág. 180) 
Solução. 
A resistência do termístor (R) em função da temperatura (T) é dada por: 
 )/1/1()( a
TTB
aT eRR
−=
Aplicando-se logaritmo natural, têm-se: 
 e
TT
BRRR
a
aT ln
11lnlnln )( ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+== 
 
B
RR
TT
a
a
lnln11 −=− 
 ( )
( )
( ) ( )
11
4
100 1 1 1 1ln ln 373,0116 K
4.689 K 273 K1,00 10 a a
RT
B R T
−− ⎡ ⎤Ω⎛ ⎞ ⎢ ⎥= + = + =⎜ ⎟ × Ω⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
? 
 K 373≈T 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
10. A que temperatura a escala Fahrenheit indica uma leitura igual a (a) duas vezes a da escala 
Celsius e (b) metade da escala Celsius? 
 (Pág. 180) 
Solução. 
(a) O enunciado exige que: 
 2F CT T=
A regra de conversão da escala Celsius para Fahrenheit é: 
 9 32
5F C
T T= + 
Logo: 
 9 32
5 2
F
F
TT ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 o320 FFT = 
(b) Agora o enunciado exige que: 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
4
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
2
C
F
TT = 
Logo: 
 ( )9 2 3
5F F
T T= + 2 
 o12,3076 FFT = − ?
 o12 FFT ≈ − 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
14. A que temperatura os seguintes pares de escalas dão a mesma leitura: (a) Fahrenheit e Celsius 
(veja Tabela 19-2), (b) Fahrenheit e Kelvin e (c) Celsius e Kelvin? 
 
 (Pág. 180) 
Solução. 
(a) 
 F C
9 32
5
T T= + 
 F=C F=C
9 32
5
T T= + 
 F=C 40T = − ? 
(b) 
 F C
9 32
5
T T= + 
 ( )F K9 273,15 325T T= − + 
 ( )F=K F=K9 273,15 325T T= − + 
 F=K 574,5875T =
 F=K 575T ≈ ? 
(c) 
 C K 273,15T T= −
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
5
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 C=K C=K 273,15T T= −
A equação acima não tem solução. Logo, as escalas Celsius e Kelvin nunca apresentam a mesma 
leitura. 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
15. Suponha que, numa escala de temperatura X, a água ferva a -53,5oX e congele a -170oX. Qual o 
valor de 340 K, na escala X? 
 (Pág. 180) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema: 
 
−53,5o
−170o
Escala X
TX
373,15 K
Escala Kelvin
340 K
273,15 K
 
Comparando-se as escalas X e Kelvin, pode-se afirmar que: 
 
( ) ( )
( )
( ) (
( ) (
)
)X
53,5 X 170X 373,15 K 273,15 K
373,15 K 340 K53,5 X T
− − − −= −− −
? ?
? 
 
( )
( )
( )
( )X
116,5 X 100 K
33,15 K53,5 X T
=− −
?
? 
 X 92,11975 XT = − ?
 X 92,1 XT ≈ − ? 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
26. Logo depois que a Terra se formou, o calor causado pelo decaimento de elementos radioativos 
aumentou a temperatura interna média de 300 para 3.000 K, que é, aproximadamente, o valor 
atual. Supondo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3,0 × 10−5 K−1, de quanto 
aumentou o raio da Terra, desde a sua formação? 
 (Pág. 181) 
Solução. 
A razão entre o raio inicial da Terra R0 e o raio atual R pode ser calculado a partir da variação do 
volume da Terra, que é dada por: 
 0 0V V V V TβΔ = − = Δ 
 ( )0 1V V Tβ= Δ +
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
0
1V T
V
β= Δ + 
 
3
3
3
3 0
0
4
3 14
3
R R T
RR
π
β
π
= = Δ + 
 ( ) ( )( ) 1/31/3 5 1
0
1 3,0 10 K 2.700 K 1 1,026302R T
R
β − −⎡ ⎤= Δ + = × + =⎣ ⎦ ? 
 ( )0 1,026302
RR = ? 
Logo: 
 ( ) ( ) ( )60 16,37 10 m 1 163.250,74 m1,026302 1,026302RR R R R
⎡ ⎤Δ = − = − = × − =⎢ ⎥⎣ ⎦
?? ? 
 170 kmRΔ ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
34. Uma caneca de alumínio de 100 cm3 está cheia de glicerina a 22oC. Quanta glicerina derramará, 
se a temperatura do sistema subir para 28oC? (O coeficiente de dilatação da glicerina é = 5,1 × 
10−4/oC.) 
 (Pág. 181) 
Solução. 
O volume de líquido derramado corresponderá à diferença entre o seu volume final e o volume final 
do recipiente. O volume final da caneca de alumínio VAl é: 
 ( )Al 0 Al1 3V V Tα= + Δ
O volume final da glicerina VGli é: 
 ( )Gli 0 Gli1V V Tβ= + Δ
O volume derramado ΔV será: 
 ( ) ( ) ( )Gli Al 0 Gli 0 Al 0 Gli Al1 1 3 1 1 3V V V V T V T V T Tβ α βΔ = − = + Δ − + Δ = + Δ − − Δα 
 ( )0 Gli Al3V V Tβ αΔ = − Δ
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4 1 5 1100 cm 5,1 10 C 3 2,3 10 C 28 C 22 C 0, 2646 cmV − − − −⎡ ⎤ ⎡Δ = × − × − =⎣ ⎦ ⎣? ? ? ? 3⎤⎦ 
 30, 26 cmVΔ ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
36. Uma barra de aço a 25oC tem 3,00 cm de diâmetro. Um anel de latão tem diâmetro interior de 
2,992 cm a 25oC. A que temperatura comum o anel se ajustará exatamente à barra? 
 (Pág. 181) 
Solução. 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
7
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
A solução do problema baseia-se em calcular separadamente os diâmetros finais da barra (db) e do 
anel (da) e igualá-los posteriormente. O diâmetro final do anel é: 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
8
)⎤⎦
)⎤⎦
 (1) (a a0 a 01d d T Tα= + −⎡⎣
De forma semelhante, o diâmetro final da barra será: 
 (2) (b b0 b 01d d T Tα= + −⎡⎣
Igualando-se (1) e (2): 
 ( ) ( )a0 a 0 b0 b 01 1d T T d Tα α+ − = + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ T ⎤⎦ 
Resolvendo-se a equação acima para T: 
 ( )b0 a0 a0 a b0 b 0
a0 a b0 b
d d d d T
T
d d
α α
α α
− + −= − 
 
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
o 5o 1
5o 1 5o 1
o 5o 1
o
5o 1 5o 1
3,00 cm 2,992 cm 2,992 cm 25 C 1,9 10 C
2,992 cm 1,9 10 C 3,00 cm 1,1 10 C
3,00 cm 25 C 1,1 10 C
 360,4579 C
2,992 cm 1,9 10 C 3,00 cm 1,1 10 C
T
− −
− − − −
− −
− − − −
− + ×= −× − ×
×− =× − ×
 
 C 360 o≈T 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
37. A área A de uma placa retangular é ab. O coeficiente de dilatação linear é α. Depois de um 
aumento de temperatura ΔT, o lado a aumentou de Δa e b de Δb. Mostre que, desprezando a 
quantidade pequena Δa × Δb/ab (veja Fig. 19-15), ΔA = 2αA ΔT. 
 
 (Pág. 181) 
Solução. 
A grandeza procurada é: 
 (1) 0AAA −=Δ
A área da placa expandida, A, é dada por: 
 ( )( )A a a b b= + Δ + Δ (2) 
Enquanto que a área da placa original, A0, é dada por: 
 (3) abA =0
Substituindo-se (2) e (3) em (1): 
 ( )( )A a a b b aΔ = + Δ + Δ − b (4) 
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Os valores de Δa e Δb são dados por: 
 Taa Δ=Δ α (5) 
 Tbb Δ=Δ α (6) 
Substituindo-se (5) e (6) em (4): 
 ( )( )A a a T b b T aα αΔ = + Δ + Δ − b 
Desenvolvendo-se a expressão acima, teremos: 
 abTabTababA −Δ+Δ+=Δ 222 αα
 222 TabTabA Δ+Δ=Δ αα
O termo α2abΔT 2 pode ser identificado como sendo ΔaΔb, que corresponde à área do pequeno 
retângulo no extremo inferior direito da placa expandida. Esse termo é muito pequeno em 
comparação a 2αabΔT, e pode ser desprezado. Identificando o produto ab como a área A0, chega-se 
ao final da demonstração: 
 TAA Δ≈Δ 02α 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
49. Um tubo de vidro vertical de 1,28 m está cheio até a metade com um líquido a 20oC. Qual a 
variação da altura da coluna líquida, se aquecermos o tubo até 30oC? Considere αvidro = 1,0 × 
10−5/oC e βlíquido = 4,0 x 10−5/oC. 
 (Pág. 182) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 T0 T
L0
H
R0 R
H L = 0 0/2
L
 
A variação da altura da coluna líquida ΔH vale: 
 00 2
LH H H HΔ = − = − (1) 
Como L0 é conhecido, precisamos determinar H. Vamos começar o cálculo de H pela expressão do 
volume final do líquido, Vliq: 
 2liqV Rπ= H
 liq2
V
H
Rπ= (2) 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
9
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Agora dependemos de Vliq, que pode ser obtido pela análise da expansão térmica do líquido: 
 ( )liq liq,0 1V V Tβ= + Δ
Na expressão acima, Vliq,0 corresponde ao volume inicial do líquido. Logo: 
 ( ) (2 2 0liq 0 0 01 12
LV R H T R Tπ β π β= + Δ = + )Δ (3) 
Substituindo-se (3) em (2): 
 (
2
0 0 1
2
R LH
R
β⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ )TΔ (4) 
A razão entre os raios do tubo antes (R0) e depois (R) da variação térmica pode ser obtida pela 
análise da dilatação linear do tubo: 
 ( )0 1R R Tα= + Δ
Logo: 
 ( )0 00
1
1 1
R R
R R Tα α= =+ Δ + ΔT (5) 
Substituindo-se (5) em (4): 
 ( )( )
0
2
1
2 1
TLH
T
β
α
+ Δ= + Δ (6) 
Finalmente, podemos substituir (6) em (1): 
 ( )( )
( )
( )
0 0 0
2 2
1 1
1
2 2 21 1
T TL L LH
T T
β β
α α
⎡ ⎤+ Δ + ΔΔ = − = −⎢ ⎥+ Δ + Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 ( ) ( )( )( )( )
5o 1 o
25o 1 o
1 4,0 10 C 10 C1, 28 mm
1 0,1279 mm
2 1 1,0 10 C 10 C
H
− −
− −
⎧ ⎫⎡ ⎤+ ×⎪ ⎪⎣ ⎦Δ = − =⎨ ⎬⎡ ⎤+ ×⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
? 
 0,13 mmHΔ ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
51. Uma espessa barra de alumínio e um fio de aço estão ligados em paralelo (Fig. 19-19). A 
temperatura é de 10,0oC. Ambos têm comprimento 85,0 cm e nenhum dos dois está tensionado. 
O sistema é aquecido até 120oC. Calcule a tensão resultante no fio, supondo que a barra se 
expande livremente. 
 
 (Pág. 182) 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 19 – Temperatura 
10
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Solução. 
Considere oseguinte esquema: 
 L0
Al
Aço
L
Aço
TT0 Al
 
O problema pede para determinar a tensão no fio de aço após a expansão do cilindro de alumínio. 
Devido à natureza do problema, sua solução requer a utilização do módulo de Young do fio, EAço. 
Veja maiores detalhes sobre o módulo de Young na seção13-6 - Elasticidade. O valor do módulo de 
Young para o aço foi extraído da Tab. 13.1, pag. 13. O módulo de Young (E) é definido como a 
constante de proporcionalidade entre F/A e ΔL/L0, onde F é a força exercida sobre um objeto, A é a 
área da seção transversal do objeto na direção de F e L0 se refere ao comprimento original do 
objeto, medido na direção de F. Ou seja: 
 
0L
LE
A
F Δ= (1) 
De acordo com a Eq. (1), a pressão (F/A) exercida sobre uma barra, na direção do seu comprimento, 
é diretamente proporcional à variação fracional do comprimento (ΔL/L0). A pressão nos extremos 
da barra pode ser no sentido de comprimi-la ou expandi-la. No presente caso, tem-se um fio ao 
invés de uma barra e o processo é de expansão. Como o problema não forneceu a área da seção 
transversal do fio de aço, somente será possível determinar a razão F/A, e não F, como foi pedido. 
Inicialmente, à temperatura T0, tanto o fio quanto o cilindro possuem comprimento L0. Portanto, o 
fio encontra-se inicialmente relaxado. Quando o sistema é aquecido, o fio e o cilindro expandem-se, 
sendo que o alumínio expande-se mais do que o fio de aço (coeficiente de dilatação térmica maior 
para o alumínio). A diferença entre os comprimentos finais do cilindro e do fio é que gera a tensão 
no fio, sendo essa diferença, ΔL, que entra em (1). Assim, o comprimento do cilindro de alumínio 
após a expansão térmica será: 
 ( ) ( )( )5o 1 o0 Al(1 ) 85,0 cm 1 2,3 10 C 110 C 85,21505 cmL L Tα − −⎡ ⎤= + Δ = + × =⎣ ⎦ 
Se o fio de aço não estivesse conectado ao cilindro, seu comprimento após a expansão térmica seria: 
 ( ) ( )( )' 5o 10 Aço(1 ) 85,0 cm 1 1,1 10 C 110 C 85,10285 cmL L Tα − −⎡ ⎤= + Δ = + × =⎣ ⎦o 
Em relação à situação do fio de aço no problema, a Eq. (1) pode ser reescrita da seguinte forma: 
 Aço Aço
'
' '
F L LE E L
A L L
Δ −= = 
Substituindo-se pelos valores numéricos fornecidos: 
 ( ) ( ) ( )( )9 2 885, 21505 cm 85,10285 cm200 10 N/m 2,6368 10 Pa85,10285 cmFA −= × = ×? 
 Pa 1064,2 8×≈
A
F
 
 
[Início seção] [Início documento] 
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11
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
53. Duas barras de materiais diferentes, mas com o mesmo comprimento L e seção reta igual à A 
são colocadas, como na Fig. 19-20a. A temperatura é T e não há tensão inicial. A temperatura é 
aumentada em ΔT. (a) Mostre que a interface entre as barras é deslocada de uma quantidade 
dada por 
 1 1 2 2
1 2
E EL L
E E
α α⎛ ⎞−Δ = Δ⎜ ⎟+⎝ ⎠ T 
 
onde αa1 e α2 são os coeficientes de dilatação linear e E1 e E2 são os módulos de Young dos 
materiais. Despreze mudanças nas seções retas. (b) Ache a tensão na interface após o 
aquecimento? 
 (Pág. 182) 
Solução. 
O esquema a seguir mostra quais seriam os comprimentos finais das barras 1 e 2, caso elas não 
estivessem alinhadas e pudessem expandir-se livremente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
L1
L L
ΔL
L2
ΔL1
ΔL2
T
T T + Δ
T T + Δ
Barra 1 livre
T T + Δ
Barra 2 livre
 
Os termos ΔL1 e ΔL2 correspondem às compressões sofridas pelas barras 1 e 2, respectivamente. De 
acordo com o esquema, temos as seguintes relações para estas grandezas: 
 (1) 1 1L L L LΔ = − − Δ
 (2) ( )2 2 2L L L L L L LΔ = − − Δ = − + Δ
A equação que define o módulo de Young é: 
 F LE
A L
Δ= 
Nesta equação, F é a tensão aplicada sobre a área A de uma barra, ΔL é a variação observada no 
comprimento da barra, devido à tensão aplicada, L é o comprimento inicial da barra e E é o módulo 
de Young do material da barra. No ponto de contato entre as barras 1 e 2, na temperatura T + ΔT, 
temos: 
 1 2
1 2
F F
A A
= 
Logo: 
 1 21 2
L LE E
L L
Δ Δ= 
 (3) 1 1 2 2E L E LΔ = Δ
Substituindo-se (1) e (2) em (3): 
 ( ) (1 1 2 2E L L L E L L L− − Δ = − + Δ )
)
Na expressão acima, os termos L1 − L e L2 − L podem ser substituídos pelos equivalentes Lα1ΔT e 
Lα2ΔT. 
 ( ) (1 1 2 2E L T L E L T Lα αΔ − Δ = Δ + Δ
 1 1 1 2 2 2E L T E L E L T E Lα αΔ − Δ = Δ + Δ 
 ( ) ( )1 2 1 1 2 2E E L E E L Tα α+ Δ = + Δ
 1 1 2 2
1 2
E EL L
E E
α α⎛ ⎞+Δ = Δ⎜ ⎟+⎝ ⎠ T 
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14
 
[Início seção] [Início documento] 
 
 
 
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HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 20 - CALOR E PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA 
 
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 
 
[Início documento] 
 
10. Um atleta dissipa toda a energia numa dieta de 4.000 Cal/dia. Se fôssemos perder essa energia a 
uma taxa constante, como poderia essa conversão de energia ser comparada com a de uma 
lâmpada de 100 W? (100 W correspondem à taxa pela qual a lâmpada converte energia elétrica 
em luz e calor.) 
 (Pág. 198) 
Solução. 
A potência dissipada pelo atleta vale: 
 Cal 1.000 cal 4,186 J 1 dia4.000 193,7962 J/s
dia Cal cal 86.400 s
P ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × × × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ? 
 194 WP ≈
Logo, a potência do atleta é aproximadamente duas vezes a potência de uma lâmpada de 100 W. 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
17. Uma panela de cobre de 150 g contém 220 g de água, ambas a 20,0oC. Um cilindro de cobre 
muito quente de 300 g é colocado dentro da água, fazendo com que ela ferva, com 5,00 g sendo 
convertidos em vapor. A temperatura final do sistema é 100oC. (a) Quanto calor foi transferido 
para a água? (b) E para a panela? (c) Qual era a temperatura inicial do cilindro? 
 (Pág. 198) 
Solução. 
(a) O calor total recebido pela água Qa é dividido em calor gasto para aquecimento de T0 = 20,0oC 
para T = 100oC (sensível, Qa,s) e calor gasto para promover a mudança de fase para vapor (latente, 
Qa,l): 
 , ,a a s a l a a a vQ Q Q m c T L m= + = Δ + v
Na expressão acima, ma e mv são as massas de água e de vapor d’água, ca é o calor específico da 
água e Lv é o calor latente de vaporização da água. 
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15
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 ( )( )( ) ( )( )o o220 g 1,00 cal/g. C 80 C 538,9 cal/g 5,00 g 20.294,5 calaQ = + =20,3 kcalaQ ≈ 
(b) A panela recebeu apenas calor de aquecimento de T0 = 20,0oC para T = 100oC: 
 ( )( )( )o o150 g 0,0923 cal/g. C 80 C 1.107,6 calp p p pQ m c T= Δ = = 
 1,11 kcalpQ ≈ 
(c) A temperatura inicial do cilindro de cobre pode ser obtida por meio do balanço da energia 
trocada no âmbito do sistema. Na expressão abaixo, Qc é o calor cedido pelo cilindro. 
 0c p aQ Q Q+ + =
 0c c c p am c T Q QΔ + + =
 ( )( ) ( ) ( ) (o o300 g 0,0923 cal/g. C 100 C 1.107,6 cal 20.294,5 cal 0cT⎡ ⎤ )− + +⎣ ⎦ = 
 ( ) ( ) ( ) ( )o2.769 cal 27,69 cal/ C 1.107,6 cal 20.294,5 cal 0cT− + + = 
 ( ) ( )o27,69 cal/ C 24.171,1 calcT =
 o872,9180 CcT = ?
 o873 CcT ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
18. Calcule o calor específico de um metal a partir dos seguintes dados. Um recipiente feito do 
metal tem massa 3,6 kg e contém 14 kg de água. Uma peça de 1,8 kg deste metal, inicialmente a 
180oC, é colocada dentro da água. O recipiente e a água tinham inicialmente a temperatura de 
16oC e a final do sistema foi de 18oC. 
 (Pág. 198) 
Solução. 
Considerando-se o recipiente, a água e o bloco como um sistema isolado, não há perdas de energia 
para os arredores. Logo, o calor cedido pelo bloco Qb somado ao calor recebido pela água Qa e ao 
recebido pelo recipiente Qr deve ser nulo. 
 0
0
b a rQ Q Q+ + =
 b b a a a r rm c T m c T m c TΔ + Δ + Δ =
Na expressão acima, c é o calor específico do metal. 
 ( )b b a a r r rc m T m T m c TΔ + Δ = − Δ
 a a a
b b r r
m c Tc
m T m T
Δ= − Δ + Δ 
 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o
o
o o o o
14.000 g 1,00 cal/g C 18 C 16 C
0,09845 cal/g C
1.800 g 18 C 180 C 3.600 g 18 C 16 C
c
⎡ ⎤−⎣ ⎦= − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
? 
 o0,098 cal/g Cc ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
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21. Um atleta precisa perder peso e decide fazê-lo praticando halterofilismo. (a) Quantas vezes um 
peso de 80,0 kg precisa ser levantado à distância de 1,00 m para queimar 1 lb de gordura, 
supondo que o processo necessite de 3.500 Cal? (b) Se o peso for levantado uma vez a cada 
2,00 s, quanto tempo levará para queimar tal quantidade de gordura? 
 (Pág. 198) 
Solução. 
(a) Cada vez que o atleta levanta o peso, são consumidos mgh unidades de energia, onde m é a 
massa do peso, g é a aceleração da gravidade e h é a altura levantada. Para queimar 1 lb de gordura 
(E = 3.500 cal = 1,4651 × 107 J), é preciso levantar o peso n vezes: 
 .E n mgh= 
 
( )
( )( )( )
7
2
1, 4651 10 J
18.668,45
80,0 kg 9,81 m/s 1,00 m
En
mgh
×= = = ? 
 18.700n ≈
(b) O tempo total de exercício será: 
 ( )( )0. 18.668,45 2,00 s 37.336,90 st n t= = =? ?
 10, 4 ht ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
23. Um cozinheiro, após acordar e perceber que seu fogão estava sem gás, decide ferver água para 
fazer café, sacudindo-a dentro de uma garrafa térmica. Suponha que ele use 500 cm3 de água a 
59oF e que a água caia 1,0 pé em cada sacudida, com o cozinheiro dando 30 sacudidas por 
minuto. Desprezando-se quaisquer perdas de energia térmica pela garrafa, quanto tempo precisa 
ficar sacudindo a garrafa até que a água ferva? 
 (Pág. 198) 
Solução. 
A energia necessária para ferver a água Qa vale: 
 aQ mc T Vc Tρ= Δ = Δ 
 ( )( )( ) ( ) ( )3 3 o o o1,0 g/cm 500 cm 1,00 cal/g C 100 C 15 C 42.500 cal 177.905 JaQ ⎡ ⎤= − =⎣ ⎦ = 
O aumento de temperatura devido a cada sacudida é devido à transferência de energia potencial 
gravitacional à massa de água. A cada sacudida uma energia potencial Qs igual a mgh é transferida 
para o líquido. 
 sQ mgh Vghρ= = 
 ( )( )( )( )3 4 3 21.000 kg/m 5,0 10 m 9,81 m/s 0,3040 m 1, 49112 JsQ −= × = 
A freqüência f da agitação é de 30 sacudidas por minuto, ou f = 0,50 s−1. Como a cada ciclo de 
agitação uma energia Qs é transferida, a taxa de transferência de energia é fQs. Logo, o tempo total t 
necessário para ferver a água será: 
 ( )( )( )1
177.905 J
238.619,29 s
0,50 s 1,49112 J
a
s
Qt
fQ −
= = = ? 
 2,8 dt ≈ 
________________________________________________________________________________________________________ 
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[Início seção] [Início documento] 
 
24. Um bloco de gelo, em seu ponto de fusão e com massa inicial de 50,0 kg, desliza sobre uma 
superfície horizontal, começando à velocidade de 5,38 m/s e finalmente parando, depois de 
percorrer 28,3 m. Calcule a massa de gelo derretido como resultado do atrito entre o bloco e a 
superfície. (Suponha que todo o calor produzido pelo atrito seja absorvido pelo bloco de gelo.) 
 (Pág. 198) 
Solução. 
Seja m0 a massa inicial, v0 a velocidade inicial e m a massa final do gelo. A energia dissipada pela 
força de atrito (trabalho) vale: 
 2 2at 0 0 0 0 0
1 10
2 2
W K K K m v m v= Δ = − = − = − 
A energia do trabalho da força de atrito é transferida na forma de calor latente para a fusão do gelo 
Qf. Portanto, a variação da massa de gelo é calculada igualando-se Wat a Qf: 
 atf fQ W L m= = Δ
Na expressão acima, Lf é o calor latente de fusão do gelo. 
 20 0
1
2 f
m v L m− = Δ 
 ( )( )( )
22
0 0
3
50,0 kg 5,38 m/s
0,0021730 kg
2 2 333 10 J/kgf
m vm
L
Δ = − = − = −× ? 
 2,17 gmΔ ≈ − 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
27. Uma garrafa térmica produz 130 cm3 de café quente, à temperatura de 80,0oC. Nela, você põe 
uma pedra de gelo de 12,0 g, em seu ponto de fusão, para esfriar o café. Quantos graus o café 
esfria, após o gelo ter derretido? Trate o café como se fosse água pura. 
 (Pág. 199) 
Solução. 
Considerando-se a garrafa térmica como um sistema isolado, não haverá perda de energia para os 
arredores. Logo, pode-se afirmar que o calor cedido pelo café Qc somado ao calor recebido pelo 
gelo Qg para derreter e aquecer deve ser nulo. 
 ,fus ,aq 0c g gQ Q Q+ + =
 (1) 0c c c f g g a am c T L m m c TΔ + + Δ =
Na expressão acima, os índices c, g e a referem-se ao café, à água e ao gelo, respectivamente, e Lf é 
o calor latente de fusão do gelo. O cálculo da massa do café mc (essencialmente água) é feito por 
meio de mc = ρc Vc. Como a densidade do café ρc é 1,00 g/cm3 a 20oC, é razoável fazer a correção 
da dilatação térmica do volume de café, que é aproximadamente de 2 cm3. O volume do café a 20oC 
Vc’ vale: 
 '
1
c
c
c c
VV
Tβ= + Δ 
Logo, a massa do café vale: 
________________________________________________________________________________________________________ 
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( )( )
( ) ( ) ( )
3 3
'
4o 1 o o
1,00 g/cm 130 cm
128,3823 g
1 1 2,1 10 C 80,0 C 20,0 C
c c
c c c
c c
Vm V
T
ρρ β − −= = = =+ Δ ⎡ ⎤+ × −⎣ ⎦
? 
Substituindo-se os valores numéricos em (1): 
 
( )( ) ( ) ( )(
( )( ) ( )
o o
o o
128,3823 g 1,00 cal/g. C 80,0 C 79,55 cal/g 12,0 g
 12,0 g 1,00 cal/g. C 0,0 C 0
T
T
⎡ ⎤ )− + +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦
? ?
?
 
 ( ) ( ) ( ) ( )o o128,3823 cal/ C 10.270,59 cal 954,6 cal 12,0 cal/ C 0T T− + +? ? =
o
 
 ( ) ( )o140,3823 cal/ C 9.315,99 calT =? ?
 o66,36 CT = ?
Logo: 
 ( ) ( )o o0 66,36 C 80,0 C 13,63 CcT T TΔ = − = − = −? ?
 o14 CcTΔ ≈ − 
 
[Início seção] [Início documento]29. Uma pessoa faz uma quantidade de chá gelado, misturando 500 g de chá quente (essencialmente 
água) com a mesma massa de gelo em seu ponto de fusão. Se o chá quente estava inicialmente a 
(a) 90oC e (b) 70oC, qual a temperatura e massa de gelo restante quando o chá e o gelo 
atingirem a mesma temperatura (equilíbrio térmico)? 
 (Pág. 199) 
Solução. 
Inicialmente, vamos fazer o cálculo de algumas quantidades de energia que são essenciais à solução 
do problema. Nas expressões abaixo, os índices c, g e a referem-se ao chá, à água e ao gelo, 
respectivamente, e Lf é o calor latente de fusão do gelo. 
Calor necessário para resfriar o chá de 90oC até 0oC, Q90: 
 ( )( ) ( ) ( )o o o90 90 500 g 1,00 cal/g. C 90 C 0,0 C 45.000 calc cQ m c T ⎡ ⎤= Δ = − =⎣ ⎦ 
Calor necessário para resfriar o chá de 70oC até 0oC, Q70: 
 ( )( ) ( ) ( )o o o70 70 500 g 1,00 cal/g. C 70 C 0,0 C 35.000 calc cQ m c T ⎡ ⎤= Δ = − =⎣ ⎦ 
Calor necessário para fundir o gelo, Qf: 
 ( )( )79,55 cal/g 500 g 39.775 calf f gQ L m= = =
(a) T0 = 90oC: 
Como Q90 > Qf, todo o gelo irá fundir e a água resultante será aquecida à temperatura T. Logo, 
pode-se afirmar que o calor cedido pelo chá Qc somado ao calor recebido pelo gelo Qg para derreter 
e aquecer deve ser nulo. 
 ,fus ,aq 0c g aQ Q Q+ + =
 0c c c f g a a am c T L m m c TΔ + + Δ =
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 
19
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________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 
20
) +
 
( )( ) ( ) ( )(
( )( ) ( )
o o
o o
500 g 1,00 cal/g. C 90 C 79,55 cal/g 500 g
 500 g 1,00 cal/g. C 0,0 C 0
T
T
⎡ ⎤− +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦
?
?
 ( ) ( ) ( ) ( )o o500 cal/ C 45.000 cal 39.775 cal 500 cal/ C 0T T− + + = 
 ( ) ( )o1.000 cal/ C 5.225 calT = 
 o5, 2 CT ≈
(a) T0 = 70oC: 
Como Q70 < Qf, parte do gelo irá fundir, sendo que a temperatura final do sistema será 0,0oC. Logo, 
pode-se afirmar que o calor cedido pelo chá Qc somado ao calor recebido pelo gelo Qg para derreter 
deve ser nulo. 
 ,fus 0c gQ Q+ =
 0c c c f gm c T L mΔ + =
 ( )( ) ( ) ( ) ( )o o o500 g 1,00 cal/g. C 0,0 C 70 C 79,55 cal/g 0gm⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ 
 ( ) (79,55 cal/g 35.000 calgm = )
 439,97 ggm = ?
Esta é a massa de gelo que derreteu. A massa de gelo que sobrou, 'gm , vale: 
 ( ) ( )' 0 500 g 439,97 g 60,03 gg g gm m m= − = − =? ?
 ' 60 ggm ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
30. (a) Dois cubos de gelo de 50 g são colocados num vidro contendo 200 g de água. Se a água 
estava inicialmente à temperatura de 25oC e se o gelo veio diretamente do freezer a −15oC, qual 
será a temperatura final do sistema quando a água e o gelo atingirem a mesma temperatura? (b) 
Supondo que somente um cubo de gelo foi usado em (a), qual a temperatura final do sistema? 
Ignore a capacidade térmica do vidro. 
 (Pág. 199) 
Solução. 
(a) É preciso verificar se vai haver degelo e, caso haja, se vai ser parcial ou total. Para resfriar a 
água de 25oC até 0oC é liberado um calor Qa,25: 
 ( )( ) ( ) ( )o o o200 g 1,00 cal/g. C 0 C 25 C 5.000 cala a a aQ m c T ⎡ ⎤= Δ = − = −⎣ ⎦ 
Para aquecer os cubos de gelo de −15oC até 0oC é absorvido um calor Qg: 
 ( )( ) ( ) ( )o o o2 2 50 g 0,530 cal/g. C 0 C 15 C 795 calg g g gQ m c T ⎡ ⎤= Δ = − − =⎣ ⎦ 
Como |Qa| > |Qg|, concluímos que todo o gelo deve chegar a 0oC. Para fundir todo o gelo é 
absorvido um calor Qf: 
 ( ) ( )2 79,5 cal/g 2 50 g 7.950 calf f gQ L m= = =
Como |Qf| > |Qa| + |Qg|, o calor liberado para a água ir de 25oC até 0oC não é suficiente para fundir 
todo o gelo. Logo, o equilíbrio será atingido a 0oC com algum gelo ainda presente. Logo: 
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 oeq 0,0 CT = 
(b) Usando-se apenas uma pedra de gelo, teremos: 
 ( )( ) ( ) ( )' o o o50 g 0,530 cal/g. C 0 C 15 C 397,5 calg g g gQ m c T ⎡ ⎤= Δ = − − =⎣ ⎦ 
 ( )( )' 79,5 cal/g 50 g 3.975 calf f gQ L m= = =
Como ' ' 'f aQ Q Q< + g
=
f−
, o calor liberado para a água ir de 25oC até 0oC é suficiente para fundir todo 
o gelo e ainda irá aquecer a água até uma temperatura , que pode ser calculada por meio do 
balanço das trocas de calor: 
'
eqT
 resfr água aquec gelo fusão gelo aquec gelo fund 0Q Q Q Q+ + +
 ' ' 0a a a g f g a gm c T Q Q m c TΔ + + + Δ =
 ( ) ( )' ' oeq eq 0 C 0a a a g f g am c T T Q Q m c T− + + + − =
 ( ) ' 'eqa g a a a a gm m c T m c T Q Q+ = −
 ( )
' '
eq
a a a g f
a g a
m c T Q Q
T
m m c
− −= + 
 
( )( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o o
eq o
200 g 1,00 cal/g. C 25 C 397,5 cal 3.975 cal
200 g 50 g 1,00 cal/g. C
T
− −= +⎡ ⎤⎣ ⎦
 
 oeq 2,51 CT = 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
31. Um anel de cobre de 20,0 g tem um diâmetro de exatamente 1 polegada à temperatura de 
0,000oC. Uma esfera de alumínio tem um diâmetro de exatamente 1,00200 pol à temperatura de 
100,0oC. A esfera é colocada em cima do anel (Fig. 20-16) e permite-se que os dois encontrem 
seu equilíbrio térmico, sem ser perdido calor para o ambiente. A esfera passa exatamente pelo 
anel na temperatura de equilíbrio. Qual a massa da esfera? 
 
 (Pág. 199) 
Solução. 
Vamos analisar a expansão térmica da esfera de alumínio (Al) e do anel de cobre (Cu). Após a 
expansão, o diâmetro d da esfera de alumínio será: 
 ( )Al Al Al1d d Tα= + Δ
________________________________________________________________________________________________________ 
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21
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
O diâmetro d do anel de cobre será: 
 ( )Cu Cu Cu1d d Tα= + Δ
Nas expressões acima, dAl e dCu são os diâmetros iniciais da esfera e do anel, respectivamente, e α é 
o coeficiente de expansão linear. Como na temperatura final os diâmetros da esfera e do anel serão 
iguais, temos: 
 ( ) ( )Al Al Al Cu Cu Cu1 1d T T d T Tα α+ − = + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎦ 
Resolvendo para T: 
 Al Cu Al Al Al Cu Cu Cu
Al Al Cu Cu
d d d T d TT
d d
α α
α α
− − += − 
 
( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
5o 1 o
5o 1 5o 1
5o 1 o
o
1,00200 pol 1,00000 pol 1,00200 pol 2,3 10 C 100,0 C
1,00200 pol 2,3 10 C 1,00000 pol 1,7 10 C
1,00000 pol 1,7 10 C 0,000 C
 50,3804 C
T
− −
− − − −
− −
− − ×= × − ×
+ × =
?
? ?
+
 
A massa da esfera de alumínio é calculada por meio das trocas de calor: 
 cedido Al receb Cu 0Q Q+ =
 Al Al Al Cu Cu Cu 0m c T m c TΔ + Δ =
 ( )( )Cu Cu CuAl Al Al
m c T T
m
c T T
−= − − 
 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
o o o
Al o o o
20,0 g 0,0923 cal/g C 50,3804 C 0,000 C
8,71769 g
0, 215 cal/g C 50,3804 C 100,0 C
m
⎡ ⎤−⎣ ⎦= − =⎡ ⎤−⎣ ⎦
?
?
?
 
 Al 8,72 gm ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
34. Dois blocos de metal são isolados de seu ambiente. O primeiro bloco, que tem massa m1 = 3,16 
kg e temperatura inicial T1 = 17,0oC tem um calor específico quatro vezes maior do que o 
segundo bloco. Este está à temperatura T2 = 47,0oC e seu coeficiente de dilatação linear é 15,0 × 
10−6/oC. Quando os dois blocos são colocados juntos e alcançam seu equilíbrio térmico, a área 
de uma face do segundo bloco diminui em 0,0300%. Encontre a massa deste bloco. 
 (Pág. 199) 
Solução. 
Veja o esquema da situação inicial: 
 
Bloco 1
m1
T1
c1 = 4c2
Bloco 2
m2 = ?
T2
c2
A2i
 
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Na situação final, temos: 
 
Bloco 1
Bloco 2
A2f
Teq 
Desconsiderando-se as perdas de energia, o calor cedido pelo bloco 2 (Q2) somado ao calor 
recebido pelo bloco 1 (Q1) deve ser nulo. 
 1 2 0Q Q+ =
 1 1 1 2 2 2 0m c T m c TΔ + Δ =
 ( ) ( )1 2 eq 1 2 2 eq 24 0m c T T m c T T− + − =
 
( )
( )1 eq 12 eq 2
4m T T
m
T T
−= − (1) 
A temperatura de equilíbrio pode ser calculada com base na informação sobre a variação da área da 
face do bloco 2. Como a área do lado do bloco 2 diminui 0,0300%, seu tamanho final será 
(1−0,03/100) da área inicial. 
 2 2
0,031
100f i
A A⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 2
2
0,9997f
i
A
k
A
= = 
Vamos substituir as áreas A por L2, onde L é a aresta do cubo. 
 
2
2
2
2i
fL k
L
= 
 2 2f iL L= k 
Agora podemos analisar a expansão térmica do bloco 2: 
 ( )2 2 2 21i iL T Lα+ Δ = k 
 eq 2
2
1kT T α
−− = 
 eq 2
2
1kT α
−= + T (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 ( )1 2 22 14 11
T T
m m
k
α−⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦ 
________________________________________________________________________________________________________ 
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 ( ) ( ) ( ) ( )o o 6o 12 17,0 C 47,0 C 15,0 10 C4 3,16 kg 1 25,2771 kg0,9997 1m
− −⎡ ⎤⎡ ⎤− ×⎣ ⎦⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎣ ⎦
?= 
 2 25,3 kgm ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
35. Uma amostra de gás se expande de 1,0 a 4,0 m3, enquanto sua pressão diminui de 40 para 10 Pa. 
Quanto trabalho é realizado pelo gás, de acordo com cada um dos três processos mostrados no 
gráfico p-V da Fig. 20-17? 
 
 (Pág. 199) 
Solução. 
No processo A, temos: 
 ( ) ( ) ( )3 340 Pa 1,0 m 4,0 mAW p V ⎡ ⎤= Δ = −⎣ ⎦ 
 120 JAW = − 
No processo B, temos: 
 ( ) ( ( ) (4,02
1,0
10 50 5 50 120 J 45 Jf f
i i
V V
B V V
W pdV V dV V V= = − + = − + = −∫ ∫ ) 
 75 JBW = 
No processo C, temos: 
 ( ) ( ) ( )3 310 Pa 1,0 m 4,0 mCW p V ⎡ ⎤= Δ = −⎣ ⎦ 
 30 JAW = − 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
36. Suponha que uma amostra de gás se expanda de 1,0 para 4,0 m3, através do caminho B no 
gráfico p-V mostrado na Fig. 20-18. Ela é então comprimida de volta para 1,0 m3 através do 
caminho A ou C. Calcule o trabalho total realizado pelo gás para ciclo total, cada caso. 
________________________________________________________________________________________________________ 
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 (Pág. 199) 
Solução. 
No processo A, temos: 
 ( ) ( ) ( )3 340 Pa 1,0 m 4,0 mAW p V ⎡ ⎤= Δ = −⎣ ⎦ 
 120 JAW = − 
No processo B, temos: 
 ( ) ( ( ) (4,02
1,0
10 50 5 50 120 J 45 Jf f
i i
V V
B V V
W pdV V dV V V= = − + = − + = −∫ ∫ ) 
 75 JBW = 
No processo C, temos: 
 ( ) ( ) ( )3 310 Pa 1,0 m 4,0 mCW p V ⎡ ⎤= Δ = −⎣ ⎦ 
 30 JAW = − 
No ciclo BA, temos: 
 ( ) ( )75 J 120 JBA B AW W W= + = + − 
 45 JBAW = − 
No ciclo BC, temos: 
 ( ) ( )75 J 30 JBC B CW W W= + = + − 
 45 JBAW = 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
37. Considere que 200 J de trabalho são realizados sobre um sistema e 70,0 cal de calor são 
extraídos dele. Do ponto de vista da primeira lei da termodinâmica, quais os valores (incluindo 
sinais algébricos) de (a) W, (b) Q e (c) ΔEint? 
 (Pág. 199) 
Solução. 
De acordo com a convenção adotada nesta edição do Halliday-Resnick, trabalho realizado sobre o 
sistema é negativo e calor que sai do sistema é negativo (daí a forma da primeira lei ser ΔE = Q − 
W). Portanto: 
(a) 
________________________________________________________________________________________________________ 
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 200 JW = − 
(b) 
 70,0 cal 293 JQ = − ≈ − 
(c) 
 ( ) (int 293 J 200 JE Q WΔ = − ≈ − − − )
 int 93 JEΔ ≈ − 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
40. Um gás dentro de uma câmara passa pelo processo mostrado no gráfico p-V da Fig. 20-21. 
Calcule o calor total adicionado ao sistema durante um ciclo completo. 
 
 (Pág. 200) 
Solução. 
Num ciclo termodinâmico, tem-se: 
 int 0E Q WΔ = − =
 (1) AB BC CAQ W W W W= = + +
Agora precisamos calcular os trabalhos realizados pelo gás nas três etapas do ciclo e substituir em 
(1). O trabalho A → B vale: 
 ( ) (
3
3
4,0 m2
( )
1,0 m
20 10 10 10 66,66 J 6,66 J
3 3 3 3
f f
i i
V V
AB VV V
V V VW p dV dV
⎛⎛ ⎞= = + = + = −⎜⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝∫ ∫ ? )?
 
 (2) 
 60 JABW =
Na expressão (2), a função p(V) foi construída da relação abaixo, obtida a partir do gráfico fornecido 
no enunciado. 
 30 30 10
4,0 4,0 1,0
p
V
− −=− − 
O trabalho B → C vale: 
 ( ) ( ) ( )3 330 Pa 1,0 m 4,0 mBCW p V ⎡ ⎤= Δ = −⎣ ⎦ 
 90 JBCW = − 
O trabalho C → A vale: 
________________________________________________________________________________________________________ 
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 .0CAW p V p= Δ =
________________________________________________________________________________________________________ 
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27
 
+
 0 JCAW =
Logo: 
 ( ) ( )60 J 90 J 0Q = + −
 30 JQ = − 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
47. Considere a placa mostrada na Fig. 20-8. Suponha que L = 25,0 cm, A = 90,0 cm2 e o material 
seja cobre. Se TH = 125oC, TC = 10,0oC e foi alcançado o estado estacionário, encontre a taxa de 
transmissão de calor através da placa. 
 
 (Pág. 201) 
Solução. 
A taxa de transmissão de calor é dada por: 
 ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
2 o o401 W/m.K 0,00900 m 125 C 10 C
1.660,14 J/s
0,25 m
H CkA T TH
L
⎡ ⎤−− ⎣ ⎦= = = ? 
 1,66 kJ/sH ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
48. Um bastão cilíndrico de cobre, de comprimento 1,2 m e área de seção reta de 4,8 cm2 é isolado, 
para evitar perda de calor pela sua superfície. Os extremos são mantidos à diferença de 
temperatura de 100oC, um colocado em uma mistura água-gelo e o outro em água fervendo e 
vapor. (a) Ache a taxa em que o calor é conduzido através do bastão. (b) Ache a taxa em que o 
gelo derrete no extremo frio. 
 (Pág. 201) 
Solução. 
(a) A taxa de transferência de calor vale: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
4 2 o o401 W/m.K 4,8 10 m 100 C 0,0 C
16,04 J/s
1,2 m
Q FkA T TH
L
− ⎡ ⎤× −− ⎣ ⎦= = = 
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 16 J/sH ≈ 
(b) A taxa de transferência de calor pode ser manipulada da seguinte forma: 
 f
dQ dQ dm dmH L
dt dm dt dt
= = × = 
Na expressão acima foi usada a regra da cadeia e o termo dQ/dm foi identificado como o calor 
latente de fusão do gelo. Logo: 
 ( )( )
16 J/s
0,048048 g/s
333 J/gf
dm H
dt L
= = = ? 
 0,048 g/s
dm
dt
≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
52. Dois bastões idênticos retangulares de metal são colocados extremidade com extremidade, como 
mostra a Fig. 20-25a, e 10 J de calor são conduzidos (em um processoestacionário) através dos 
bastões em 2,0 min. Quanto tempo levará para se conduzir os mesmos 10 J, se os bastões 
estiverem como na Fig. 20-25b? 
 
 (Pág. 201) 
Solução. 
Como os bastões são idênticos, o arranjo da Fig. (a) torna o comprimento de transferência de calor 
multiplicado por dois. Logo: 
 
( )
2
Q F
a
kA T T
H
L
−= 
 
( )
2Q F a
kA T T
H
L
− = (1) 
O arranjo da Fig. (b) torna a área de transferência de calor multiplicada por dois. Logo: 
 
( )2 Q F
b
k A T T
H
L
−= 
 
( )
2
Q F b
kA T T H
L
− = (2) 
Igualando-se (1) e (2): 
 2
2
b
a
HH = 
________________________________________________________________________________________________________ 
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 ( )( )
( )
( )
10 J 10 J
4 4
2,0 min 30 sb a
QH H
t
= = = = Δ 
Logo, o tempo para que os bastões em série (b) transportem 10 J de calor é 30 s. 
 30 stΔ = 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
53. Calcule a taxa de condução de calor através das seguintes portas de proteção contra o inverno, 
ambas com 2,0 m de altura e 0,75 m de largura. (a) Uma é feita com chapas de alumínio de 1,5 
mm de espessura e um vidro de janela de 3,0 mm de espessura que cobre 75% de sua superfície. 
(b) A segunda é feita inteiramente de pinho branco com 2,5 cm de espessura. Considere a queda 
de temperatura através de cada porta como sendo 33oC, e veja a Tabela 20-4. 
 
 (Pág. 201) 
Solução. 
(a) A área da parte de alumínio AAl corresponde a 30% da área total A = 1,5 m2, ou seja, AAl = 0,375 
m2, enquanto que a área correspondente ao vidro é Av = 1,125 m2. Logo: 
 v vAl AlAl v
Al v
k A Tk A TH H H
L L
ΔΔ= + = + 
 
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
2 o 2 o
3 3
235 W/m.K 0,375 m 33 C 1,0 W/m.K 1,125 m 33 C
1,5 10 m 3,0 10 m
H − −= +× × 
 ( ) ( )1.938.750 W 12.375 W 1.951.125 WH = + =
 2,0 MWH ≈ 
(b) Neste caso, o cálculo é mais simples: 
________________________________________________________________________________________________________ 
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( )( )( )
( )
2 o
p p
p
0,11 W/m.K 1,5 m 33 C
217,8 W
0,025 m
k A T
H
L
Δ= = = 
 220 WH ≈ 
Comparando-se as respostas dos itens (a) e (b), podemos verificar a grande vantagem de se usar 
portas de madeira contribuir com o isolamento térmico de uma casa, tanto no inverno como no 
verão. 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
54. Uma representação idealizada da temperatura do ar, como uma função da distância de uma 
janela de vidro em um dia calmo de inverno, é mostrada na Fig. 20-27. As dimensões da janela 
são 60 cm × 60 cm × 0,50 cm. Suponha que o calor seja conduzido através de um caminho que 
lhe é perpendicular, dos pontos a 8 cm da janela do lado de fora, para pontos a 8 cm da janela 
do lado de dentro. (a) Em que taxa o calor é conduzido através da área da janela? (Sugestão: a 
queda de temperatura através do vidro da janela é muito pequena) (b) Estime a diferença de 
temperatura entre as superfícies interna e externa do vidro da janela. 
 
 (Pág. 201) 
Solução. 
(a) Podemos representar o sistema como um conjunto de três camadas, sendo duas de ar, cada uma 
com 8,0 cm de espessura e uma de ar, com 0,50 cm de espessura. Logo, podemos aplicar a Eq. 20-
24 (Pág. 193) para calcular a taxa de fluxo de calor H. Os índices Ar, v, Q e F foram usados para ar, 
vidro, temperatura maior (quente) e menor (frio), respectivamente. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 o o
vAr
Ar v
0,36 m 20 C 10 C
1,7535 W
0,080 m 0,0050 m
22
0,026 W/m.K 1,0 W/m.K
Q FA T TH
LL
k k
⎡ ⎤− −− ⎣ ⎦= = =⎛ ⎞⎛ ⎞ ++ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
? 
 1,8 WH ≈ 
(b) Conhecendo-se a taxa de transferência de calor, H, é fácil estimar a diferença de temperatura 
ΔTv nas faces externa e interna do vidro: 
 v vv
v
k A TH H
L
Δ= = 
________________________________________________________________________________________________________ 
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 ( )( )( )( ) ov vv 2v
1,7535 W 0,0050 m
0,02435 C
1,0 W/m.K 0,36 m
H LT
k A
Δ = = =? ? 
 ov 0,024 CTΔ ≈
 
[Início seção] [Início documento] 
 
55. Um grande tanque cilíndrico de água com um fundo de 1,7 m de diâmetro é feito de ferro 
galvanizado de 5,2 mm de espessura. Quando a água esquenta, o aquecedor a gás embaixo 
mantém a diferença de temperatura entre as superfícies superior e inferior, da chapa do fundo, 
em 2,3oC. Quanto calor é conduzido através dessa placa em 5,0 min? (O ferro tem 
condutividade térmica igual a 67 W/m. K.) 
 (Pág. 201) 
Solução. 
Primeiro vamos calcular a taxa de transferência de calor através da placa: 
 
( ) ( ) ( )
( )
2
o1,7 m67 W/m.K 2,3 C
2
67.264,67 W
0,0052 m
kA TH
L
π ⎡ ⎤⎢ ⎥Δ ⎣ ⎦= = = ? 
Se a taxa instantânea de transferência for igual à taxa média, pode-se dizer que: 
 dQ QH
dt t
= = Δ 
 ( )( )67.264,67 W 300 s 20.179.401,1 JQ H t= Δ = =? ?
 72,0 10 JQ ≈ × 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
56. (a) Qual a taxa de perda de calor em watts por metro quadrado através de uma janela de vidro de 
3,0 mm de espessura, se a temperatura do lado de fora for -20oF e do lado de dentro +72oF? (b) 
Uma janela de proteção contra inverno é colocada, tendo a mesma espessura do vidro, mas com 
uma coluna de ar de 7,5 cm entre as duas janelas. Qual será, agora, a taxa de perda de calor, 
supondo que a condução é o único mecanismo importante de perda de calor? 
 (Pág. 202) 
Solução. 
(a) A taxa pedida é: 
 
( )( )
( )
o
2
1,0 W/m.K 51,1 C
17.037 W/m
0,0030 m
dH k T
dA L
Δ= = = 
 217 kW/m
dH
dA
≈ 
(b) Este sistema pode ser esquematizado da seguinte forma, visto em seção transversal: 
________________________________________________________________________________________________________ 
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
Vidro Ar
 
Trata-se de uma placa composta de duas camadas de ar e uma camada de vidro. Logo, podemos 
aplicar a Eq. 20-24 (Pág. 193) para calcular a taxa de fluxo de calor H. Os índices Ar e v foram 
usados para ar e vidro, respectivamente. 
 
( )( )
( )
( )
( )
( )
2 o
2
v Ar
v Ar
0,36 m 51,1 C
17,6778 W/m
0,0030 m 0,075 m
22
1,0 W/m.K 0,026 W/m.K
dH T
dA L L
k k
Δ= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ++⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
? 
 218 W/m
dH
dA
≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
57. Um tanque de água foi construído ao ar livre em tempo frio e ali se formou uma camada de gelo 
de 5,0 cm na superfície da água (Fig. 20-28). O ar acima do gelo está a −10oC. Calcule a taxa de 
formação do gelo (em centímetros por hora) na superfície inferior da placa de gelo. Considere a 
condutividade térmica do gelo e sua densidade como 0,0040 cal/s × cm × oC e 0,92 g/cm3. 
Suponha que o calor não seja transferido pelas paredes ou pelo fundo do tanque. 
 
 (Pág. 202) 
Solução. 
O problema pede o cálculo da taxa dL/dt, que corresponde ao crescimento da espessura L da 
camada de gelo. Vamos começar pela taxa de formação da massa da camada de gelo (dm/dt), que 
pode serobtida a partir da definição do calor latente de fusão da água: 
 fQ L m=
 f
dQ dmL
dt dt
= 
________________________________________________________________________________________________________ 
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32
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 1
f
dm dQ
dt L dt
= (1) 
O termo dQ/dt é a taxa de transferência de calor H: 
 dQ kA TH
dt L
Δ= = (2) 
Podemos obter o termo dL/dt a partir da definição da densidade do gelo ρ: 
 m Vρ= 
 dm dV dLA
dt dt dt
ρ ρ= = (3) 
Substituindo-se (2) e (3) em (1): 
 
( )( )
( )( )( )
o o
3
0,0040 cal/s.cm. C 10 C
0,00010931 cm/s
0,92 g/cm 79,55 cal/g 5,0 cmf
dL k T
dt L Lρ
Δ= = = ? 
 0,39 cm/hdL
dt
≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
59. Três bastões de metal, feitos de cobre, alumínio e latão, têm 6,00 cm de comprimento e 1,00 cm 
de diâmetro. Esses bastões são unidos ponta-a-ponta, com o de alumínio no meio. Os extremos 
livres dos bastões de latão e de cobre são mantidos no ponto de congelamento e de ebulição da 
água, respectivamente. Encontre as temperaturas de estado estacionário das junções cobre-
alumínio e alumínio-latão. A condutividade térmica do latão é 109 W/m × K. 
 (Pág. 202) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
Lat Al Cu
D
L
T1 T2TF TQ 
A taxa de transferência de calor H ao longo dos três bastões é de: 
 
( )
Lat CuAl
Lat Al Cu
Q FA T TH
L LL
k k k
−= ⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
o o0,100 m 100 C 0,0 C
2
8,2206 W
0,060 m 0,060 m 0,060 m
109 W/m.K 235 W/m.K 401 W/m.K
H
π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦= =
+ +
? 
A taxa H é a mesma ao longo de todos os pontos do sistema. No bastão de latão, temos: 
 ( )Lat 1Lat Lat Fk A T Tk A TH
L L
−Δ= = 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 
33
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Como TF = 0,0oC, podemos resolver a equação acima para T1: 
 ( )( )
( ) ( )
o
1 2
Lat
8, 2206 W 0,060 m
57,615 C
0,100 m
109 W/m.K
2
HLT
k A π
= = =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
? ? 
 o1 57,6 CT ≈ 
De forma semelhante para o bastão de cobre, temos: 
 
( )Cu 2Qk A T TH
L
−= 
Resolvendo-se a equação acima para T2: 
 ( ) ( )( )
( ) ( )
o o
2 2
Lat
8, 2206 W 0,060 m
100 C 84,339 C
0,100 m
401 W/m.K
2
Q
HLT T
k A π
= − = − =⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
? ? 
 o2 84,3 CT ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
61. Uma amostra de gás passa por uma transição de estado inicial a para um final b, por três 
diferentes caminhos (processos), como mostrado no gráfico p-V na Fig. 20-29. O calor 
adicionado ao gás no processo 1 é 10piVi. Em termos de piVi, qual (a) o calor adicionado ao gás 
no processo 2 e (b) a mudança na energia interna que o gás sofre no processo 3? 
 
 (Pág. 202) 
Solução. 
(a) A variação da energia interna nos processos 1 e 2 é igual, pois os estados inicial e final são os 
mesmos: 
 int,1 int,2E EΔ = Δ 
 1 1 2Q W Q W− = − 2
2
i
 2 1 1Q Q W W= − +
O trabalho realizado pelo gás no processo 1 é: 
 ( )1 5 4i i i iW p V p V V pV= Δ = − =
O trabalho realizado pelo gás no processo 2 pode ser calculado somando-se as áreas sob a curva 2, 
sendo que cada célula (quadrado) da malha do gráfico tem área piVi: 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 
34
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 20 – Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 
35
V
V
V
 2 4 5i i i i i iW pV pV p= + =
Logo: 
 2 10 4 5i i i i i iQ pV pV p= − +
 2 11 i iQ p= 
(b) Da mesma forma que em (a), temos: 
 int,3 int,1 1 1 1 110 4i iE E Q W pV pΔ = Δ = − = − V 
 int,3 16 iE pVΔ = 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
63. Uma amostra de gás se expande a partir de uma pressão e um volume iniciais de 10 Pa e 1,0 m3 
para um volume final de 2,0 m3. Durante a expansão, a pressão e o volume são obtidos pela 
equação p = aV2, onde a = 10 N/m8. Determine o trabalho realizado pelo gás durante a 
expansão. 
 (Pág. 202) 
Solução. 
O gráfico pV do processo está esquematizado abaixo: 
 
40
V (m )3
A
B
10
1,0 2,0
p 
(P
a)
 
O trabalho de expansão do gás é dado por: 
 
3
3
2,0 m3
2
( )
1,0 m
1010 23,33 J
3
B B
A A
V V
AB VV V
VW p dV V dV= = = =∫ ∫ ? 
 23 JABW ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
 
 
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
 
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996. 
 
 
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2 
 
 
CAPÍTULO 21 - A TEORIA CINÉTICA DOS GASES 
 
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 
 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
81 82 83 84 85 86 87 88 
 
[Início documento] 
 
03. Se as moléculas de água em 1,00 g de água fossem distribuídas uniformemente pela superfície 
da Terra, quantas moléculas haveriam em 1,00 cm2 dessa superfície? 
 (Pág. 226) 
Solução. 
A solução consiste em obter a razão N/A, em que N é o número de moléculas de água na amostra e 
A é a área da superfície da Terra, em cm2. No desenvolvimento abaixo, n é o número de moles de 
água na amostra, ma é a massa da amostra de água, NA é o número de Avogadro, M é a massa molar 
da água e RT é o raio da Terra. 
 
( )( )
( ) ( )
23 1
2
22 2 8
1,00 g 6,02 10 mol
6.558,96 moléculas/cm
4 4 18 g/mol 4 6,37 10 cm
a AA
T T
m NnNN
A R M Rπ π π
−×= = = =
×
? 
 26.560 moléculas/cm
N
A
≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
08. O melhor vácuo que pode ser obtido em um laboratório corresponde à pressão de cerca de 1,00 
× 10−18 atm ou 1,01 × 10−13 Pa. Quantas moléculas existem por centímetro cúbico em tal vácuo, 
a 293 K? 
 (Pág. 227) 
Solução. 
A solução consiste em obter a razão N/V, em que N é o número de moléculas de gás e V é o volume 
do recipiente. No desenvolvimento abaixo, p é a pressão exercida pelo gás, V é o volume do 
recipiente, n é o número de moles de gás na amostra, R é a constante dos gases ideais, T é a 
temperatura da amostra e NA é o número de Avogadro. 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
36
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
A
NpV nRT RT
N
= = 
 
( )( )
( )( )
13 23 1
3
1,01 10 Pa 6,02 10 mol
2, 4959 moléculas/m
8,314 J/K.mol 293 K
ApNN
V RT
− −× ×= = = ? 
 32,50 moléculas/mN
V
≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
09. Uma quantidade de um gás ideal a 10,0oC e à pressão de 100 kPa ocupa um volume de 2,50 m3. 
(a) Quantos moles de gás estão presentes? (b) Se a pressão for elevada para 300 kPa e a 
temperaturapara 30,0oC, qual o volume que o gás ocupará? Suponha que não haja perdas. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
(a) A solução requer a aplicação da equação de estado do gás ideal: 
 0 0 0p V nRT= 
 
( )( )
( )( )
3 3
0 0
0
100 10 Pa 2,50 m
106,1785 moles
8,314 J/K.mol 283, 2 K
p Vn
RT
×= = = ? 
 106 molesn ≈ 
(b) Como a quantidade de gás não foi modificada, o produto nR permanece constante antes e após a 
transformação das condições do sistema: 
 0 0
0
p V pVnR
T T
= = 
 
( )( )( )
( )( )
3
30 0
0
100 kPa 2,50 m 303, 2 K
0,892184 m
300 kPa 283, 2 K
p V TV
pT
= = = ? 
 30,892 mV ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
11. Um pneu de automóvel tem um volume de 1.000 pol3 e contém ar à pressão manométrica de 
24,0 lb/pol2, quando a temperatura é de 0,00oC. Qual a pressão manométrica do ar no pneu, 
quando sua temperatura sobe para 27oC e seu volume para 1.020 pol3? (Sugestão: Não é 
necessário converter unidades inglesas para unidades internacionais; por quê? Use patm = 14,7 
lb/pol2.) 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Assumindo-se comportamento ideal para o gás no interior do pneu, podemos usar a equação de 
estado do gás ideal: 
 0 0 0p V nRT= 
Sabendo-se que o número de moles de gás (n) permanece constante, temos que a quantidade nR não 
se altera ao longo do processo: 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
37
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 0 0
0
p V pVnR
T T
= = 
 
( ) ( )' '0 atm 0 atm
0
p p V p p V
T T
+ += 
Na expressão acima, e '0p
'p são as pressões manométricas inicial e final do gás. 
 
( )'0 atm 0'
atm
0
p p V T
p p
VT
+= − 
 
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )
2 2 3
' 2
3
24,0 lb/pol 14,7 lb/pol 1.000 pol 300 K
14,7 lb/pol
1.020 pol 273 K
p
⎡ ⎤+⎣ ⎦= − 
 ' 226,9936 lb/polp = ?
 ' 227,0 lb/polp = 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
14. A pressão p, o volume V e a temperatura T para um certo material são relacionados por 
 
2AT BTp
V
−= 
Encontre uma expressão para o trabalho realizado pelo material, se a temperatura mudar de T1 
para T2, enquanto a pressão permanece constante. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Como a pressão depende da temperatura e do volume, se houve variação na temperatura, mas a 
pressão permaneceu constante, o volume deve ter variado de V1 para V2, onde: 
 
2
1 1
1
AT BTV
p
−= 
 
2
2 2
2
AT BTV
p
−= 
O trabalho realizado pela expansão de um gás é dado por: 
 
0
( )
V
VV
W p d= ∫ V
Como no presente caso a pressão permaneceu constante, podemos retirá-la da integral: 
 ( )
0
2 1
V
V
W p dV p V p V V= = Δ = −∫
Logo: 
 ( ) (2 2 2 22 2 1 1 2 2 1 1
1
AT BT AT BTW p AT BT AT BT
p p
⎛ ⎞− −= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ )− 
 ( ) ( )2 22 2W A T T B T T= − − − 1 
 
[Início seção] [Início documento] 
________________________________________________________________________________________________________ 
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38
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
15. Uma amostra de ar, que ocupa 0,14 m3 à pressão manométrica de 1,03 × 105 Pa, se expande 
isotermicamente até atingir a pressão atmosférica e é então resfriada, à pressão constante, até 
que retorne ao seu volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo ar. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
O processo termodinâmico descrito no enunciado pode ser representado no seguinte gráfico: 
 
p
patm
VVV0
p0
1
2
 
O trabalho total W corresponde à soma dos trabalhos executados nos caminhos 1 (W1) e 2 (W2): 
 (1) 1W W W= + 2
O trabalho realizado no caminho 1 é dado por: 
 
0 0 0
1 ( )
V V V
VV V V
nRT nRTW p dV dV dV
V V
= = =∫ ∫ ∫ 
Como o caminho 1 é uma isoterma, ou seja, todos os estados (pontos) sobre o caminho 1 estão à 
mesma temperatura, temos: 
 
0
1
V
V
dVW nRT
V
= ∫ (2) 
Além disso, podemos relacionar os estados inicial e final do caminho 1, para determinar o volume 
final do caminho 1: 
 0 0 atmp V p V= 
 0 0
atm
p VV
p
= 
Substituindo o valor de V na integral (2) e reconhecendo que nRT = P0V0: 
 
0 0
atm
0
0 0
atm
1 0 0 0 0
0
ln
p V
p
V
p V
pdVW p V p V
V V
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =∫ 
 01 0 0
atm
ln pW p V
p
= (3) 
O trabalho no caminho 2 é realizado à pressão constante. Logo: 
 ( )0 0 02 0
atm
V
V 0
p VW p dV p V p V V p V
p
⎛ ⎞= = Δ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
 (4) (2 atm 0W p p V= − ) 0
Substituindo-se (3) e (4) em (1): 
 ( )0 00 0 atm 0 0 0 atm 0
atm atm
ln lnp pW p V p p V p p p V
p p
⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠ 0
 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
39
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
É preciso lembrar que p0 (pressão absoluta) é a soma da pressão manométrica (dada no 
enunciado) e a pressão atmosférica p
'
0p
atm, ou seja, 2,04 × 105 Pa. 
 ( ) ( )( ) ( ) ( ) (
5
5 5 5
5
2,04 10 Pa
2,04 10 Pa ln 1,01 10 Pa 2,04 10 Pa 0,14 m
1,01 10 Pa
W
⎡ ⎤×⎢ ⎥= × + × − ××⎢ ⎥⎣ ⎦
)3 
 5.657,665 JW = ?
 5.700 JW ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
19. Uma bolha de ar de 20 cm3 está no fundo de um lago, a 40 m de profundidade, onde a 
temperatura é 4,0oC. Ela se solta e vai para a superfície, onde a temperatura é 20oC. Considere a 
temperatura da bolha como sendo a mesma da água à sua volta e encontre seu volume no exato 
momento em que alcança a superfície - ainda na água. 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Considere o seguinte esquema da situação: 
 
p , V T0 0 0, 
p p V T = , , atm
ρ h
 
Como a quantidade de ar no interior da bolha é constante, vale a relação: 
 0 0
0
p V pV
T T
= 
 ( )atm 0
0
p gh V pV
T T
ρ+ = 
Logo: 
 ( )atm 0
0
p gh V T
V
VT
ρ+= 
 
( ) ( )( )( ) ( )( )
( )( )
5 3 3 2 6 3
5
1,01 10 Pa 1,0 10 kg/m 9,81 m/s 40 m 20 10 m 293,15 K
1,01 10 Pa 277,15 K
V
−⎡ ⎤× + × ×⎣ ⎦= × 
 3103,3434 mV = ?
 3100 mV ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
40
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
22. Um tanque de aço contém 300 g de amônia (NH3) no estado gasoso, a uma pressão absoluta de 
1,35 x 106 Pa e temperatura de 77oC. (a) Qual o volume do tanque? (b) O tanque é inspecionado 
mais tarde, quando a temperatura cai para 22oC e a pressão absoluta para 8,7 x 105 Pa. Quantos 
gramas de gás escaparam do tanque? 
 (Pág. 227) 
Solução. 
(a) Considerando-se que a amônia tenha comportamento ideal, podemos utilizar a equação de 
estado do gás ideal: 
 0 0 0 0 0a
mp V n RT RT
M
= = 
Na expressão acima, ma0 é a massa inicial da amostra de amônia e M é a massa molar da amônia. 
Logo: 
 ( )( )( )( )( ) 30 00 60
300 g 8,314 J/K.mol 350 K
0,0380379 m
17 g/mol 1,35 10 Pa
am RTV
Mp
= = =× ? 
 30 0,0380 mV ≈ 
(b) A situação final do sistema pode ser descrita pela seguinte equação de estado, em que ma é a 
massa final de amônia e m’ é a massa de amônia que escapou: 
 
( )'0aa m mmpV nRT RT RT
M M
−= = =O volume final do recipiente pode ser determinado por meio da análise da dilatação térmica sofrida: 
 ( )0 aço 01 3V V T Tα⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
Logo: 
 ( ) ( )'00 aço 01 3 am mpV T T Mα
−⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦ RT 
 ( )' 00 aço1 3a pV Mm m T T0RT α⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ 
 
( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( ) ( ){ }
5 3
'
5o 1
8,7 10 Pa 0,0380379 m 17 g/mol
300 g
8,314 J/K.mol 295 K
 1 3 1,1 10 K 295 K 350 K 71,0378 g
m
− −
×= − ×
× + × − =⎡ ⎤⎣ ⎦
?
?
 
 ' 71 gm ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
23. O recipiente A, na Fig. 21-17, contém um gás ideal à pressão de 5,0 x 105 Pa e à temperatura de 
300 K. Ele está conectado por um fino tubo ao recipiente B, que tem quatro vezes o volume de 
A. O B contém o mesmo gás ideal, à pressão de 1,0 x 105 Pa e à temperatura de 400 K. A 
válvula de conexão é aberta e o equilíbrio é atingido a uma pressão comum, enquanto a 
temperatura de cada recipiente é mantida constante, em seu valor inicial. Qual a pressão final do 
sistema? 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
41
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 
 (Pág. 227) 
Solução. 
Este problema pode ser resolvido levando-se em conta que o número total de moles do gás 
permanece constante durante o processo. 
 , , , ,A i B i A f Bn n n n+ = + f 
 A A B B A B
A B A
p V p V pV pV
BRT RT RT RT
+ = + 
No segundo membro da expressão acima, vemos que a pressão final nos dois compartimentos é 
igual (p), uma vez que eles estão conectados, e que suas temperaturas são diferentes, iguais às da 
situação inicial. Lembrando que VB = 4 VB A: 
 4 4A A B A A A
A B A
p V p V pV p V
T T T T
+ = +
B
 
 4 4A B
A B A
p p p
T T T T
+ = +
B
p 
 
( )( ) ( )( )
( )( )
5 55,0 10 Pa 400 K 4 1,0 10 Pa 300 K4
300 K 400 K
A B B A
A B
p T p Tp
T T
× + ×+= = 
 52,0 10 Pap = × 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
27. Considere o Sol como uma gigantesca bola de gás ideal à alta temperatura. A pressão e a 
temperatura na atmosfera solar são 0,0300 Pa e 2,00 x 106 K, respectivamente. Calcule a 
velocidade rms dos elétrons livres (massa = 9,11 x 10-31 kg) na atmosfera solar. 
 (Pág. 228) 
Solução. 
Considerando-se a atmosfera solar composta de gás ideal, teremos: 
 
( )( )
( )( )
6
6
rms 31 23 1
3 8,314 J/K.mol 2,00 10 K3 3 9,5372 10 m/s
9,11 10 kg 6,02 10 molA
RT RTv
M mN − −
×= = = = ×× × ? 
 rms 9.540 km/sv ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
________________________________________________________________________________________________________ 
Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
42
Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
29. A que temperatura os átomos de hélio têm a mesma velocidade rms que os do hidrogênio a 
20oC? 
 (Pág. 228) 
Solução. 
Para resolver, basta igualar as velocidades quadráticas médias do hidrogênio e do hélio e resolver 
para a temperatura. 
 
2rms,He rms,H
v v=
 2
2
HHe
He H
33 RTRT
M M
= 
 2
2
HHe
He H
TT
M M
= 
 
( )( )
( )2
2
o
He H o
He
H
4,003 g/mol 20 C
308,933 C
2,016 g/mol
M T
T
M
= = = ? 
 oHe 310 CT ≈ 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
30. A densidade de um gás a 273 K e 1,00 x 10-2 atm é de 1,24 x 10-5 g/cm3. (a) Encontre a 
velocidade vrms para as moléculas do gás. (b) Ache a massa molar do gás e identifique-o. 
 (Pág. 228) 
Solução. 
(a) A velocidade média quadrática é dada por: 
 rms
3RTv
M
= 
Como pV = nRT, podemos substituir RT na expressão acima: 
 rms
3pVv
nM
= (1) 
A densidade do gás ρ é a razão entre a massa da amostra ma e o seu volume V: 
 am nM
V V
ρ = = 
 nM Vρ= (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 
( )
( )
3
rms 2 3
3 1,01 10 Pa3 494,3226 m/s
1, 24 10 kg/m
pv ρ −
×= = =× ? 
 rms 494 m/sv ≈
(b) O gás pode ser identificado por meio de sua massa molar: 
 ( )( )( )22rms
3 8,314 J/K.mol 273 K3 0,027865 kg/mol
494,3226 m/s
RTM
v
= = = ?
?
 
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Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 21 – A Teoria Cinética dos Gases 
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
 27,9 g/molM ≈
Esta massa molar corresponde ao nitrogênio (N2). 
 
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31. A massa da molécula de hidrogênio é de 3,3 × 10-24 g. Se 1023 moléculas de hidrogênio por 
segundo atingissem 2,0 centímetros quadrados de uma parede, a um ângulo de 55o com a 
normal à parede, com velocidade 1,0 × 105 cm/s, que pressão elas exerceriam sobre a parede? 
 (Pág. 228) 
Solução. 
A pressão exercida pelo gás corresponde à razão entre a força total exercida ortogonalmente à 
parede pelos choques das moléculas (N.Fx, onde N é o número de moléculas e Fx é a força que cada 
molécula transmite à parede) e a área da parede: 
 xNFp
A
= (1) 
A força transmitida ortogonalmente à parede (v cosθ) por cada choque corresponde à razão entre 
variação do momento linear da molécula e o tempo entre os choques: 
 xx
m vF
t
Δ= Δ 
Sendo vx a velocidade antes do choque, após o choque a velocidade será −vx (choque elástico), o que 
implica numa variação do momento linear em termos absolutos de 2vx. 
 2 2 cosxx
m v m vF
t t
θ= =Δ Δ (2) 
Substituindo-se (2) em (1): 
 2 cos 2 cosN mv mv Np
A t A t
θ θ= =Δ Δ 
 
( )( )
( ) ( )
24 5 o
23 1 2
2
2 3,3 10 g 1,0 10 cm/s cos55
10 s 18.928,0 dinas/cm
2,0 cm
p
−
−× ×= = ? 
 4 21.9 10 dinas/cmp ≈ × 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
34. A que temperatura a energia cinética de translação de uma molécula é igual a 1,00 eV? 
 (Pág. 228) 
Solução. 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
35. Uma amostra de oxigênio (O2) a 273 K e 1,0 atm é confinada em um recipiente cúbico de aresta 
10 cm. Calcule a razão entre (1) a variação na energia potencial gravitacional de uma molécula 
de oxigênio caindo de um altura igual à aresta da caixa e (2) sua energia cinética translacional 
média. 
 (Pág. 228) 
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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 
Solução. 
 
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36. Mostre que a equação do gás ideal (Eq. 21-4) pode ser escrita nas formas alternativas: (a) p = 
ρRT/M, onde r é a densidade de massa do gás e M, a massa molar; (b) pV = NkT, onde N é o 
número de partículas do gás (átomos ou moléculas). 
 (Equação dos gases ideais) (21-4) pV nRT=
 (Pág. 228) 
Solução. 
 
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37. Uma amostra de água com superfície aberta à atmosfera, a 32,0oC, evapora devido ao escape 
das moléculas através de sua superfície. O calor de vaporização (539 cal/g) é aproximadamente 
igual a εn, onde ε é a energia média das moléculas que escapam e n, o número de moléculas por 
grama. (a) Calcule ε. (b) Qual a razão entre ε e e energia cinética média das moléculas da água, 
supondo que a energia cinética se relaciona com a temperatura do mesmo modo que para os 
gases. 
 (Pág. 228) 
Solução. 
 
[Início seção] [Início documento] 
 
43. Em um

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