Lista 4

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Departamento de Matemática-CCN
Prof. Dr. José Francisco de Oliveira
Cálculo Diferencial e Integral II
Lista 4
1. Determine as equações paramétricas em relação ao comprimento de arco s da curva C
determinada pela circunferência de raio
√
2 centrada no ponto (1, 1, 0) e contida no plano
xy. Calcule a curvatura de C no ponto (2, 2, 0).
2. Determine a equação vetorial r : R → V3 para a curva regular C tal que r(0) = 〈2, 0, 1〉 e
r′(t) = 〈t2, et, 1〉 para todo t ∈ R.
3. Seja C : r(t), t ∈ [a, b] curva diferenciável tal que |r(t)| = c, ∀ t ∈ [a, b], onde c é uma
constante. Verifique que r(t) e r′(t) são ortogonais.
4. Considere a curva C de equações paramétricas
x = etcos(2t), y = etsen(2t), z = 1; t ∈ R.
(a) Verifique que C é uma curva regular.
(b) ReparametrizeC em relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto (1, 0, 1).
5. Seja C uma curva de equação vetorial r : I → V3. Suponha que C está parametrizada pelo
comprimento de arco s. Verifique que r′(s) e r′′(s) são ortogonais para todo s ∈ I .
6. Relembramos que o cosseno e o seno hiperbólicos são definidos por
cosh(t) =
et + e−t
2
e senh(t) =
et − e−t
2
,
respectivamente.
(a) Verifique a identidade cosh2(t)− senh2(t) = 1.
(b) Calcule o comprimento de arco da catenária C : r(t) = 〈t, cosh(t), 1〉 entre t = a e
t = b.
7. Suponha que uma partícula se desloca no espaço de modo que no instante t, t ∈ [0, b) a
sua posição seja dada, em forma paramétrica, por x = x(t), y = y(t) e z = z(t) com
x′ = dxdt , y
′ = dydt e z
′ = dzdt contínuas. Então o espaço s = s(t) percorrido pela partícula
entre os instantes 0 e t é dado pelo comprimento de arco da curva descrita por tais equações
paramétricas entres esses instantes, isto é,
s(t) =
∫ t
0
√
x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.
Portanto, sua velocidade escalar no instante t é dada por s′(t).
Suponha que uma partícula se desloca no espaço com equações paramétricas
x = x(t), y = y(t) e z = z(t), t ∈ [0,∞).
Sabe-se que, para todo t,
x′(t) =
√
2, y′(t) =
√
2 e z′′(t) = −2.
E ainda, sabe-se que z′(0) = 2 e que em t = 0 a partícula encontra-se na origem.
(a) Qual a posição da partícula no instante t?
(b) Qual a velocidade escalar da partícula?
(c) Determine o instante T em que a partícula volta a tocar o plano xy.
(d) Qual é o espaço percorrido pela partícula entre os instantes 0 e T ?
8. Determine a curvatura de r(t) = 〈etcos(t), etsen(t), t〉 no ponto (1, 0, 0).
9. Encontre a curvatura de C : r(t) = 〈1, t, t2〉 no ponto (1, 1, 1).
10. Verifique que uma reta tem curvatura nula em todos os seus pontos. Obs: A recíproca dessa
afirmação é verdadeira. Isto é, se C é uma curva regular tal que em todo ponto P ∈ C sua
curvatura é nula, então C é uma reta ou um segmento de reta.
11. Calcule
∫
C xy ds onde C é a intersecção do plano x + y + z = 1 com o plano x = z que
vai do ponto (0, 1, 0) até o ponto (1,−1, 1).
12. A integral de linha relativa ao comprimento de arco s, pode ser aplicada no cálculo da
massa de um fio delgado cuja densidade linear (massa por unidade de comprimento) seja
conhecida. Se um fio delgado é olhado como uma curva C; a massa M do fio é, dada por
M =
∫
C
δ(x, y, z)ds,
onde δ(x, y, z) é a densidade linear no ponto (x, y, z).
(a) Uma arame fino é entortado no formato do arco da parábola
y = x2 − 1, z = 1
que vai do ponto (0,−1, 1) ao ponto (2, 3, 1). Se a densidade linear for igual a
δ(x, y, z) = x, determine a massa do arame.
(b) Determine a massa de uma arame com formato da hélice
x = t, y = cos(t), z = sen(t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Se a densidade linear em qualquer ponto for igual ao dobro do quadrado da sua distân-
cia à origem.