RADICAIS - LISTA 4

Prévia do material em texto

Radicais – Lista - 4 - Prof: Cesar Farah
1. Radical aritmético
Seja um número real e um número natural ( . Denomina – se radical aritmético ou simplesmente radical , toda expressão da forma .
 Lê – se raiz índice de a
2. Elementos de um radical 
Radicando É o número real a
Índice É o numero natural ( .
Sinal do radical É o símbolo 
Exemplos:
 Radicando: 81 Índice: 4
 Radicando: 27 Índice: 3
Observação:
Quando o índice do radical é igual a 2, não há necessidade de escreve – lo
Exemplos:
 = 
3. Leitura dos radicais
A leitura de um radical é feita de acordo com o seu índice:
Exemplos:
 Lê – se raiz quadrada de oitenta e um
 Lê – se raiz cúbica de cento e vinte e cinco
 Lê – se raiz quarta de dezesseis
 Lê – se raiz quinta de dez
4. A radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação
Exemplos:
a) = 6, porque = 36 b) = 4, porque = 64
c) = 5, porque 625
De maneira geral, podemos escrever:
	 
	 NA RADICIAÇÃO
	NA POTENCIAÇÃO
	√
	É O SINAL DE RAIZ
	XXXXXXXXXXXXX
	n
	ÍNDICE
	EXPOENTE
	a
	RADICANDO
	POTÊNCIA
	b
	RAIZ
	BASE
5. Raiz de um número real
Iremos estudar alguns casos que podem ocorrer no cálculo de 
1º Caso: a é um número real não negativo e é um número natural ( .
Exemplos:
a) = 4 porque = 256
b) = 10 porque 
c) porque 
2º Caso: Quando a é um número real negativo e o índice um número natural par, a raiz não representa um número real.
Exemplos:
a) , pois não existe número real elevado ao quadrado cujo resultado seja número negativo.
b), pois não existe número real elevado ao quadrado cujo resultado seja número negativo.
3º Caso: Quando o índice é um número natural ímpar, a raiz sempre existira, seja o radicando positivo, zero ou negativo.
Exemplos:
a) = 7 porque 
b) = 0 porque 
c) = -2 porque 
d) porque = - 64 
Observação:
Como o resultado de uma operação deve ser único, não é correto escrevermos que = 6. O radical corresponde ao número não negativo cujo o quadrado é 36.
De maneira geral, temos:
 (n par e a) = b (positivo)
Exemplos
a) = 9 e não 
b) = 2 e não 
 = 5 e não = 5
Importante:
 = 6 e - = - 6 são sentenças verdadeiras
 = 6 e = - 6 são sentenças falsas 
 
6. Propriedades dos radicais
Módulo ou valor absoluto de um número
Dado um número real , define – se módulo ou valor absoluto de e representa – se por , por :
Exemplos:
= 7
 =1 
c) = 0
 = 4
e)= 
f) = 9
g)= 
1ª Propriedade:
A raiz enésima de um número a real positivo elevado a potência é igual ao próprio número a.
 = a, com 
a
 
+ 
, 
n
 
 
 e n
Exemplos:
a) (1) porque = 81 (2)
Substituindo (2) em (1),temos: = 3
b) = 6
c) = 8
d) = 7
e) = 
Observação:
Se 
a
 
, então 
 = 
 e não
 
 =a
Exemplos:
Sendo a = 5 = = 5
Sendo a = - 5 = = 5 e não = 
Admitiremos, a partir de agora, que em , sendo um número par e uma variável, então 
Exemplos:
= , admitimos 
, admitimos (2+ 5)
 = = ( – 4), admitimos ( – 4) 
2ª Propriedade:
 com 
a
 
+ 
, 
b
 
+ 
 e 
 
n
 
 
 e nA raiz enésima de um produto de dois ou mais fatores positivos é igual ao produto das raízes enésimas desses fatores.
Exemplos:
a) = 		 b) = 
c) = 		d) = 
3ª Propriedade:
 = 
 , 
a
 
+ 
, 
b
 
+ 
e 
 
n
 
 
 e n A raiz enésima de um quociente é igual ao quociente das raízes enésimas do dividendo e do divisor.
Exemplos:
a) = 		b) = 	 c) = ( a + , b + )
d) = ( e) = = (
4ª Propriedade:
Multiplicando – se ou dividindo –se o índice de um radical e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior do que zero, o radical não se altera.
 = 
, p
 
 
 
 
 e
 
 = 
, p
 
 
 
 
 e 
, sendo 
 divisor de 
 eou
Exemplos:
 = = 
 = = 
 = = 
 = =
 = = 
 = = 
 = =
Fatorando 576, temos
5ª Propriedade:
A raiz de um radical, é igual ao radical cujo índice é igual ao produto dos índices das raízes anteriores e cujo o radicando é o mesmo.
Exemplo:
Simplificar: 
 = = = 2 (1)
 = = 2 (2)
Igualando (1) e (2),temos: = 
Outros exemplos:
 = 
 = 
 = 
7. Simplificação de radicais
Simplificar um radical significa transformá-lo numa expressão mais simples e equivalente ao radical dado.
Analisaremos os seguintes casos onde utilizaremos as propriedades estudadas.
1º Caso: Os expoentes de todos os fatores do radicando e o índice do radical têm fator comum.
Neste caso dividimos os expoentes de todos os fatores do radicando e o índice do radical por um mesmo número diferente de zero.
Exemplos:
a) = = 		b) = = 
Observe alguns casos em que devemos fatorar, inicialmente, o radicando e posteriormente, efetuar a divisão.
Exemplos:
a) = = = = 
Fatorando 36 temos:
b) = = = = 
Fatorando 216 temos:
2º Caso: Um ou mais fatores do radicando têm expoente igual ao índice do radical.
Neste caso podemos extrair esse ou esses fatores, escrevendo- os como fatores externos sem o expoente.
Exemplos: 
a) 
Aplicando a 2ª propriedade dos radicais,temos:
 = 
Aplicando a 1ª propriedade dos radicais,temos:
 = 
b) 
Aplicando a 2ª propriedade dos radicais,temos:
 = 
Aplicando a 1ª propriedade dos radicais,temos:
 = 3 6 = 18
De maneira prática, temos:
a) = 4
O fator que apresenta expoente igual ao índice do radical ( é extraído do mesmo sem o expoente.
b) = ac 
Os fatores que apresentam expoente igual ao índice do radical () são extraídos do mesmo sem o expoente.
Em alguns casos devemos fatorar o radical o radicando e transformá-lo de maneira conveniente antes da extração.
 Exemplos: 
a) 
 = = 2
Fatorando 24, temos:
b) 
 = = 2
Fatorando 400, temos:
Existem casos em que há necessidade de transformar, convenientemente o radicando num produto (utilizando produto de potência de mesma base) para poder extrair fatores desse mesmo radicando.
Exemplos:
a)
 = = = 
b) 
 = = a a b b = 
 c) 
 = = 
8. Introdução de um fator no radicando
Observe os exemplos:
3 = ou = 3
 = ou = 
 = ou = 
Conclusão:	
Para introduzir um fator no radical devemos eleva-lo ao índice do radicando.
Exemplos:
 = 
 = = 
2 = 
Observação importante: 
Observe a expressão: 
1º) Devemos introduzir o fator externo a em , assim: 
2º) Aplicar a 5ª propriedade dos radicais, isto é: = 
9. Redução de radicais ao mesmo índice
Sejam os radicais 
1º Passo: Calcular o m.m.c. dos índices, que será o índice comum
m.m.c.(3 e 4) = 12
2º Passo: Dividir o índice comum pelo índice de cada radical
 Índice comum: 12, Índice do radical: 3, então: 12 : 3 = 4
 Índice comum: 12, Índice do radical: 4, então: 12 : 4 = 3
3º Passo: Multiplicar cada índice pelo número encontrado e elevar o radicando a uma potência igual ao resultado dessa divisão (4ª propriedade dos radicais, isto é, 
 = = )
 = = = 
 = = 
 e são radicais de mesmo índice
Exemplos:
Reduzir os radicais ao mesmo índice
	a) 
1º Passo: m.m.c. (5 e 6) = 30
2º Passo: Índice comum: 30, Índice do radical: 5, então: 30 : 5 = 6
	 Índice comum: 30, Índice do radical: 6, então: 30 : 6 = 5
3º Passo: = = 
 = = 
 e são radicais de mesmo índice
b)
1º Passo: m.m.c. (2, 4 e 5) = 20
2º Passo: Índice comum: 20,índice do radical: 2, então: 20 : 2 = 10
 Índice comum: 20,índice do radical: 4, então: 20 : 4 = 5
 Índice comum: 20,índice do radical: 5, então: 20 : 5 = 4
3º Passo: = = 
 = = 
 = = 
 , e são radicais de mesmo índice
10. Comparação de radicais 
No estudo da comparação de radicais devemos considerar dois casos.
1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Neste caso, o maiorradical é o que tem o maior radicando
Exemplos:
a) , pois 30 
b) , pois 20 42
c) , pois 53 
d) = , pois 32 = 
2º Caso: Os radicais têm índices diferentes
Neste caso, reduzimos os radicais ao mesmo índice e procedemos como no 1º caso.
Exemplo: 
Reduzindo ao mesmo índice:
 = e 
, pois: 6561 
11. Radicais semelhantes
Dois ou mais radicais que tenham o mesmo índice e o mesmo radicando são denominados de radicais semelhantes
Exemplos:
a) 2 ; ; são radicais semelhantes
b) 5 ; ; e são radicais semelhantes
c) não são radicais semelhantes, pois não têm o mesmo radicando
d) não são radicais semelhantes, pois não têm o mesmo índice
Observações importantes:
a) Os radicais são semelhantes, pois:
 = = 22 são radicais semelhantes
b) Os radicais são semelhantes, pois: = = 
= = são semelhantes
12. Adição e subtração de radicais
Na adição e subtração de radicais três casos devem ser considerados:
1º Caso: Todos os radicais são semelhantes
Adicionamos algebricamente os fatores externos e mantemos o mesmo radical
Exemplos:
a) 6 + 8 - 9 + 7 
= = 12
Adicionamos algebricamente os fatores externos
b) 4 - 10 + - 6
 = 
Adicionamos algebricamente os fatores externos
2º Caso: Todos os radicais podem ser transformados em radicais semelhantes
Exemplo:
7 - 3 + 6
 = = 2
 = = 4
Então: 7 - 3 + 6 = 7(2 - 3 + 6(4) = 14 - 3 + 24 =
 = 
Adicionamos algebricamente os fatores externos
3º Caso: APENAS ALGUNS RADICAIS SÃO SEMELHANTES
Adicionamos algebricamente os radicais semelhantes e repetimos os radicais não semelhantes.
Exemplo:
12 - 8 + 9
 = = 3
Então: 12 - 8 + 9 = 12 – 8(3) + 9 = 12 – 24 + 9 = 9 - 12
Observações Importantes:
1ª) 
Exemplo: 
De fato: , isto é, , pois 
 
De fato, pois: seria igual (a + b) ) o que não é verdade, pois sabemos que = 
Analogamente:
 
De fato, pois: seria igual (a - b) ) o que não é verdade, pois sabemos que = 
13. Multiplicação de radicais
Introdução:
No estudo da 2ª propriedade dos radicais, vimos que: 
 com a + , b + e n e n
Se 
, então:
 = 
, com 
a
 
 
b
 
+ 
 e 
 
n
 
 
 e n
1º Caso: Todos os radicais têm o mesmo índice:
Multiplica-se os fatores externos e para os radicais aplica-se a 2ª propriedade dos radicais
Exemplos:
a)
b) = = 9 
c)7 . 3 . 2 = (7 . 3 . 2) = 42
2º Caso: Se os radicais tiverem índices diferentes
Devemos reduzir os radicais ao mesmo índice e depois efetuar a operação
Exemplo:
a) e = . = = 
14. Potenciação de radicais
Observe os exemplos:
a) = = 
b) = . . . = = 
Logo, podemos escrever que:
 = 
 = De maneira geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando aquele expoente.
Exemplos:
a) ( = = = 7
b) ( = = = = 
15. Divisão de radicais
No estudo da 2ª propriedade dos radicais, vimos que: 
Se 
 = 
 , então: 
 = 
 
a
 
+ 
, 
b
 
+ 
e 
 
n
 
 
 e n = , com a + , b + e n e n
1º Caso: Todos os radicais têm o mesmo índice
Dividimos os fatores externos e para os radicais aplica-se a 2ª propriedade dos radicais
Exemplos:
 = = = 4
 = = 
 = 4 = 4 
2º Caso: Se os radicais tiverem índices diferentes
Devemos reduzir os radicais ao mesmo índice e depois efetuar a operação
Exemplo: 
a) = = = 
16. Potência com expoente racional 
Observe os exemplos:
a) = = 777 = = 
b) = = 5 5 = = 
 = 
, com 
a
 
 
, 
m
 
, 
 
n
 
 
 
a
 
 e ,De modo geral, definimos:
Outros exemplos: c) = 
 = 
e) = 
 Propriedades das potências com expoentes racionais
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.
Sendo a e b números reais positivos e m e n números racionais.
1ª) 
2ª) 
3ª) 
4ª) 
5ª) 
Exemplos:
a)
b)
c) =
d)
e)
17. Racionalização de denominadores 
Consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra que possuía um ou mais radicais em seu denominador.
Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical
Iremos analisar três casos em particular. 
1º Caso: O denominador é um radical de índice 2
Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.
Vamos analisar a seguinte fração: 
É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos por ele mesmo. Vejamos:
 = = = 3
A conversão foi realizada em bem mais passos que o necessário, apenas para que você se recorde das principais propriedades da radiciação, que torna a conversão possível.
Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:
 = = 
Neste nosso exemplo é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.
Genericamente: 
o 
fator racionalizante
 de um denominador 
 é o próprio 
 ,com a 
Exemplos: 
 = = 
= = = = 
c) = = = = 
2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2
Considere a fração a seguir:
Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:
 = = = 
como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.
Então como devemos proceder?
Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a e não a .
Qual fator é este? 
É muito simples.Veja o ponto chave abaixo:
Qual é o número que somado a 1 dá 3?
É dois, pois 3 - 1 = 2.
Então o fator racionalizante da fração é , pois: . = = = 7
O 
fator racionalizante
 de um denominador 
é igual a Podemos então concluir que:
Exemplos:
 = = = = 
 
 = = = = = 
 = = = = = 
3º Caso: O denominador é uma adição ou subtração de dois termos, em que pelo menos um deles é radical.
	DENOMINADOR
	FATOR RACIONALIZANTE
	
	
	
	
	
	
	
	
Lembrete:
(a + b).(a – b) = 
Exemplos:
 = = = = = 
 = = = = = 
 = = = = = 
Lista de exercícios – radicais – prof: Cesar Farah
Indique o índice, a raiz e o radicando
 = 4
= 2
 = 3
 = 12
 = 6
Faça a leitura
Determine cada raiz, justificando o resultado
Coloque (para os racionais) e I (para os irracionais)
 
Calcule:
 - 
 + 2
6)Calcule o valor da expressão E=
7)Calcule o valor de :
a) = 4
b) = 12
c) = 6
8)Determine o valor de cada expressão , se existir, em .
- 
- 
9) Sendo , determine:
10) Aplicado a propriedade = a, sendo a>0, determine:
a)
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
11) Determine o valor dos radicais12) Transforme num produto de radicais
13) Transforme num quociente de radicais
14) Dividindo o índice do radical e os expoentes de todos os fatores do radicando por um mesmo número ( 0) simplifique os radicais:
 Exemplos:
 = (dividindo por 3)
 = (dividindo por 5)
a) 
b) 
c)
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
15) Transforme em uma única raiz
 
 
 
 
h) 
i)
j)
k)
m)
16) Transforme em um único radical
17) Simplifique os radicais
 
f)
18) Simplifique os radicais
c) 
d)
19) Simplifique os radicais
20) Introduza o fator externo no radicando
2
4y
21) Efetue as radiciações, reduzindo a um só radical, simplificando o resultado, quando for possível:
 Exemplo: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 g) 
h) 
i) 
j) 
 k) 
l) 
 
 o) 
22) Reduza os seguintes radicais ao mesmo índice.
 
23) Identifique o maior dos radicais
 
 
24) Coloque os radicais em ordem crescente
25) Identifique os pares de radicais semelhantes
 
 
 
 
 
 
 
26) Verifique se os radicais são semelhantes
 
 
 
 
 
 
 
27)Determine as seguintes somas algébricas:
 
 
c) 
 
e)3 
f) 
g)8 
h)3 
 
28) Determine os produtos:
3
 
 
h) 
i) 
j)
k) 
l)
29)Determine os seguintes produtos:
a) d) g) 
b) e) h) 
c) f) i) 
30)Determine os seguintes quocientes:
a) d) g) 
b) e) h) 
c) f) i) 
31) Determine as seguintes potências:
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
32) Calcule: 
33) Calcule: 
34) Escreva na forma de potência, com expoente fracionário os radicais:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 i) 
 
35) Escreva em forma de radical as seguintes potências:
a) d) g) 
b) e) h) 
c) f) i) 
36) Verifique as igualdades:
a) = d) = 
b) = e) = 
c) = 
37) Racionalize os radicais:
a) 
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h) 
i) 
j)
k)
l)
m) 
n)
o) 
38)Calcule o valor de:
39) Transforme numa potência de a expressão: 
40) Determine o resultado mais simples da expressão: 
41) Simplifique: 
42) Simplifique: 
 
43) Simplifique: 
44) Simplifique: 
45) Simplifique: 
46) Considerando o valor aproximado de , determine o valor de:
S = 
47) Qual o resultado mais simples da expressão: E = 
48) Reduza o valor da expressão: T= ( ) – 
GABARITO
1)
	
	ÍNDICE
	RAÍZ
	RADICANDO
	(a)
	3
	4
	64
	(b)
	5
	2
	32
	(c)
	4
	3
	81
	(d)
	2
	12
	144
	(e)
	3
	6
	216
2)
a) Raíz quinta de dezesete
b) Raiz sexta de três
c) Raiz quarta de treze
d) Raiz quadrada de quarenta e nove
3)
a) 13, porque 
b) porque 
c)
d) porque 
e) 4, porque 
f) Não é definida em , porqaue não existe número real que elevado a 6 o resultado é igual a (- 64)
4) a)
5) 
6) E=6
7) 
8) 
9) 
10) 
11) a) 8 b) ( c) 2 d) 12 e) 3
12) a) b) c) d) e) 
f) g) h) i) 
13) d) e) g)
14) a) b) c)d) e) f) g) h) 
15) c) d) e)h) 
i) j) k) m)
16) a) b) c) d) e) f) 
17) a) b) c) d) e) f) 9 
18) a) 
19) a) e) f) 
h) 
20) a) i) 
21) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) p)
22) a)
e) 
23) 
24) a) 
25) a) SIM b) SIM c) SIM d)NÃO e) NÃO f) SIM
26) a) SIM b) SIM c) NÃO d) NÃO e) NÃO f) SIM
27) a) b) c) d) + e) 16 f) g) h) i) 
28) 
 j)
29) 
30) 
31) 
32) 1			33) 
34) 
35) f) h) i) 
36) VERIFICAÇÃO
37) 
 
38) 2	39) 	40) 19	41) 	42) 15000	43)
44) 45) 	46) 47) 19		48) 0