CONJUNTOS NUMÉRICOS - LISTA - 1

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Conjuntos Numéricos – Lista 1 - Prof.: Cesar Luiz Farah 
1. Conjunto dos Números Naturais - 
Observação: Quando desejamos excluir o elemento “zero” de um determinado conjunto numérico indicamos com asterisco acima da letra que representa este conjunto.
Exemplo:
2. Conjunto dos números inteiros - 
O conjunto dos números inteiros é uma extensão do conjunto dos números naturais, pois nele são inseridos os números negativos. 
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra que significa zahl, número em alemão.
Observação: Um conjunto está contido em um conjunto , se todos os elementos do conjunto pertencem ao conjunto .
Exemplo: Dados os conjuntos e . Dizemos que:
a) está contido em ;
b) contém ;
c) é subconjunto de .
Observação: O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
Podemos representar está relação de inclusão pelo diagrama:
3. Conjunto dos Números Racionais - 
Denomina-se número racional, a todo número que pode ser escrito na forma , com e .
Observações:
a) A restrição é necessária, pois representa a divisão de por e isso só tem significado quando ;
b) O nome racional surgiu porque pode ser visto como uma razão entre os inteiros e ;
c) Observe que a letra é a primeira letra da palavra quociente de por .
Escrevemos, então:
Exemplos:
a) Frações (com numeradores e denominadores sempre inteiros e denominador diferente de zero)
b) Os números inteiros (positivos, negativos e o zero), pois podem ser representados na forma , com e .
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
Importante:
a) O conjunto dos números racionais é constituído pelas frações positivas, frações negativas e números inteiros que podem ser representados na forma , com e ;
b) O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.
Podemos representar está relação de inclusão pelo diagrama:
Importante:
Todo número racional pode ser escrito na forma decimal. Na passagem de um para outro, dois casos poderão ocorrer:
1º Caso: A representação decimal é exata, isto é, possui uma quantidade finita de casas decimais (Decimais Exatos).
Exemplos:
					 ou ou 
2º Caso: A representação decimal não é exata, mas é periódica, isto é, possui uma quantidade infinita de casas decimais que se repetem de forma periódica (Dízimas Periódicas).
Exemplos:
				 ou ou 
Para converter um número racional na forma de fração para decimal, basta efetuar a divisão de por . Porém vejamos como é realizado o processo inverso.
a) Transformação de decimal exato em fração;
Qual a fração correspondente ao decimal ?
Fazendo, , para eliminar a vírgula, basta multiplicarmos por 
Logo,
Este processo pode ser simplificado verificando a quantidade de casas decimais. Dessa forma, o numerador(N) será composto por todos os algarismos significativos do decimal e o denominador(D) será uma potência de 10 de modo que o expoente é dado pela quantidade de casas decimais.
Qual a fração correspondente ao decimal ?
b) Transformação de dízima periódica simples em fração;
O período da dízima simples se inicia imediatamente após a vírgula.
Quando o número que se repete na dízima periódica apresenta algarismos, devemos multiplicar o número por .
b1. Qual a fração geratriz da dízima periódica ?
Multiplicando por ,
Subtraindo de ,
b2. Qual a fração geratriz da dízima periódica ?
Multiplicando por ,
Subtraindo de ,
b3. Qual a fração geratriz da dízima periódica ?
Multiplicando por ,
Subtraindo de ,
c) Transformação de dízima periódica composta em fração;
O período da dízima composta não se inicia imediatamente após a vírgula.
O primeiro passo é transformar a dízima composta em simples multiplicando por uma potência de 10 adequada. Em seguida, repete-se o processo para dízima simples.
c1. Qual a fração geratriz da dízima periódica ?
Multiplicando por ,
Multiplicando por ,
Subtraindo, de 
c2. Qual a fração geratriz da dízima periódica ?
Multiplicando por ,
Multiplicando por ,
Subtraindo, de 
Importante: Todo número racional terá representação decimal exata ou não exata com dízima periódica.
4. Conjunto dos Números Irracionais - 
Denomina-se número irracional, a todo número cuja a representação decimal é não exata e não periódica.
Exemplos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
O conjunto dos números irracionais também pode ser representado por .
5. Conjunto dos Números Reais - 
A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais nos dá um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números reais .
O diagrama abaixo nos mostra a relação entre os vários conjuntos numéricos.
Vemos que:
a) e ;
b) ;
c) .
6. A reta dos números reais
Os conjuntos numéricos podem ser classificados em: discreto, denso ou contínuo.
Discreto: É o caso dos naturais e inteiros, pois entre dois elementos consecutivos, não existe mais nenhum outro elemento.
Denso: São os racionais e irracionais, pois entre dois deles, existe uma infinidade de outros números.
Contínuo: É o conjunto dos reais, e como , temos uma representação gráfica que auxilia na compreensão deste conceito. Pois, podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre cada ponto da reta e um número real.
7. A ordem dos números reais.
Dados dois números reais quaisquer, e , poderá ocorrer uma, e somente uma, das seguintes relações:
a) , isto é, está à direita de na reta real. ( é maior que );
b) , isto é, está à esquerda de na reta real. ( é menor que );
c) , isto é, e coincidem na reta real. ( é igual a ).
Dizemos, então, que os números reais estão ordenados.
Atenção:
 (lê-se: é maior ou igual a );
 lê-se: é menor ou igual a ).
Observação: É importante observar que em todas as operações são possíveis, exceto a divisão por zero e raiz de índice par com radicando negativo.
Exemplos: 
8. Intervalos reais
Denomina-se intervalo real, a qualquer subconjunto dos números reais, determinados por uma desigualdade.
Podemos representar os intervalos utilizando três notações, são elas: reta numérica, colchetes e conjunto. Considere dois números reais e (extremos do intervalo), com .
1º. Intervalo Fechado
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é maior ou igual a e menor ou igual a " ou simplesmente, são todos os elementos entre e , inclusive.
2º. Intervalo Aberto
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é maior que e menor que " ou simplesmente, são todos os elementos entre e .
3º. Intervalo Semiaberto à direita
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é maior ou igual a e menor que " ou simplesmente, são todos os elementos entre e , incluindo .
4º. Intervalo Semiaberto à esquerda
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é maior que e menor ou igual a " ou simplesmente, são todos os elementos entre e , incluindo .
Observação: Geometricamente, os intervalos citados acima representam segmentos de reta.
Porém existem outros tipos de intervalos que podem ser representados por semirretas.
Considere um número real , temos:
5º. Intervalo fechado em para mais infinito
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é maior ou igual a ".
6º. Intervalo aberto em para mais infinito
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é maior que ".
7º. Intervalo fechado em para menos infinito
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é menor ou igual a ".
8º. Intervalo aberto em para menos infinito
 "Conjunto dos elementos pertencentes aos reais, tal que é menor que ".
9º. Intervalo aberto em menos infinito a mais infinito
 "Que é o próprio conjunto dos números reais”.
Atenção:
Observem que em ou osintervalos são sempre abertos.
Observação:
Interseção de conjuntos - Dados dois conjuntos e , denomina-se interseção de com ao conjunto formado pelos elementos que pertencem, simultaneamente, a e .
Exemplo: Sendo , considere os intervalos e , Determinar: .
Portanto, 
Lista de Exercícios - Conjuntos Numéricos - Prof.: Cesar Luiz Farah
1. Classifique cada uma das afirmativas a seguir em verdadeira (V) ou Falsa (F).
1) é um número natural
2) é um número natural
3) é um número natural
4) é um número inteiro
5) é um número inteiro
6) é um número inteiro
7) é um número inteiro
8) é um número inteiro
9) é um número inteiro
10) é um número racional
11) é um número racional
12) é um número racional
13) é um número racional
14) é um número racional
15) é um número racional
16) é um número irracional
17) é um número irracional
18) é um número irracional
19) é um número real
20) é um número real
21) é um número real
22) é um número real
23) é um número real
24) é um número real
25) é um número real
26) Todo número natural é um número inteiro
27) Todo número inteiro é um número natural
28) Todo número inteiro é um número racional
29) Todo número racional é inteiro
30) Todo número racional é um número real
31) Todo número irracional é um número real
32) Existe um número inteiro que é irracional
33) Existe um número natural que não é real
34) Existe um número real que não é racional
35) A união dos racionais com os irracionais é o conjunto dos reais
36)
37) 
38) 
39) 
40) 
41) 
42) 
43) 
44)
45)
46)
47) 
48) 
49) 
50) 
2. Identifique como decimal exata ()(finita), decimal infinita periódica () e decimal infinita não periódica () cada um dos seguintes números:
a) 		b) 		c) 
d) 	e) 		f) 
3. Dê a representação decimal dos seguintes números racionais:
a)		b) 		c) 		d) 		e) 
4. Determine a geratriz das seguintes dízimas periódicas:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 	
g) 
h) 
i) 	
j) 
k) 
l) 
m) 
5. Resolva:
a) 
b)
c) 
6. Identifique como racional ou irracional os números:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 
7. Faça a representação gráfica de cada um dos intervalos:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
8. Descreva cada um dos intervalos abaixo utilizando a notação de conjuntos.
a) 		b) 			c) 
9. Dê a interseção dos intervalos.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
10. Calcular , sendo e .
11. (UNIFOR-CE) Considere os conjuntos e . O número de elementos de é:
a) 		b) 		c) 		d) 		e) 
12. (UF-MG) Todas as alternativas sobre números inteiros estão corretas, exceto:
a) Nem todo primo é ímpar
b) Todo inteiro par pode ser escrito na forma , 
c) A soma de dois inteiros ímpares é sempre um inteiro par
d) Todo inteiro ímpar pode ser escrito na forma , 
e) Se é um inteiro ímpar, então também é ímpar
13. (UFF-RJ) Três números naturais e múltiplos consecutivos de são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esse números, o maior é:
a) múltiplo de 
b) ímpar
c) quadrado perfeito
d) divisor de 
e) divisível por 
14. (UCDB-MT) Assinale a sentença verdadeira.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
15. (UNIFOR-CE) Dados os números racionais , e , é correto afirmar que:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
16. (UF-RN) O valor de é:
a) b) c) d) e) 
17. (UNIFOR-CE) A fração , na qual e são números inteiros e , é equivalente a . Se assumir o menor valor possível, o valor de será:
a) 		b) 		c) 		d) 		e) 
18. (COVEST-PE) O produto das idades de três amigos adolescentes (entre 12 e 19 anos) corresponde a anos. A soma das idades, em anos, dos adolescentes é:
a) 		b) 		c) 		d) 		e) 
19. (UFF-RJ) A expressão
é equivalente a:
a) 		b) 		c) 		d) 		e) 
20. (FUVEST-SP) Se e , então e estão no intervalo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
21. (U. TUIUTI-PR) O número é:
a) irracional negativo
b) natural
c) racional mas não inteiro
d) inteiro negativo
22. Mostre que o número é racional.
GABARITO
1.
1) V	2) V	3) F	4) V	5) V	6) V	7) F	8) F	9) V	10) V	11) V	12) V	13) V	14) V
15) F	16) V	17) V	18) F	19) V	20) V	21) V	22)V	23) V	24) V	25) F	26) V	27) F	28) V
29) F	30) V	31) V	32) F	33) F	34) V	35)V	36) V	37) F	38) V	39) V	40) V	41) F	42) V
43) F	44) V	45) V	46) F	47) V	48) V	49) V	50) V
2.
a) b) c) d) e) f) 
3.
a)		b) 		c) 		d) 		e) 
4.
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) 
5.
a) 		b) 		c) 
6.
a) racional	b)irracional	c) racional	d) racional	e) racional	f) irracional	g) irracional
h) irracional	i)racional	j)racional
7.
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
j) 	k) 	l) 
m) 
8. a) b) c) 
9. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 
10. 
11. B		12. B		13. A		14. C		15. E		16. D		17. B
18. A		19. C		20. D		21. B
22. Fazendo e elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado,
Cujas raízes são: e , mas sabemos que é positivo, logo e portanto, racional.