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Cálculo II Cálculo II Organizado pela Universidade Luterana do Brasil Universidade Luterana do Brasil – ULBRA Canoas, RS 2016 Ana Brunet Arno Bayer Aureo Martins Janor Araujo Bastos Leomir Joel Schweig Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa 1 Diferencial ............................................................................1 2 Integral Indefinida ..............................................................11 3 Integral Definida .................................................................40 4 Aplicações da Integral Definida ...........................................94 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas ............123 6 Integração por Partes ........................................................146 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas ............163 8 Funções Trigonométricas Inversas ......................................176 9 Integrais por Substituição ..................................................205 10 Integração de Funções Racionais .......................................219 Sumário Capítulo 1 Diferencial Introdução Continuando o estudo das derivadas, das tangentes às curvas e o estudo dos infinitésimos, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Euler, Lapla- ce, Cauchy e outros, a partir desses estudos, deram ao cálculo a sua forma atual. Neste capítulo, estudaremos a diferencial de uma função, sua definição, interpretação e aplicações. 1 Doutor em Ciência da Educação. Docente pesquisador do PPGECIM. 2 Adaptado por Leomir Joel Schweig, Mestre Professor da Universidade Luterana do Brasil. Arno Bayer1 Leomir Joel Schweig2 2 Cálculo II 1 Acréscimos de uma função Consideremos a função y = f(x), onde x é a variável indepen- dente e y a variável dependente. Na função y = f(x), quando a variável independente sofre variações, a variável dependente também estará sujeita à comportamento semelhante. Se, por exemplo, a variável x variar de x1 para x2, isto é, um , a variável y passará de y1 para y2, sofrerá uma variação 12 yyy −=∆ ou )()( 12 xfxfy −=∆ . Figura 1.1 Acréscimos de uma função. 2 Diferencial de uma função f(x) Dada a função y = f(x) derivável, denominamos diferencial da função e indicamos por dy, ao produto de sua derivada f´(x) pelo acréscimo arbitrário ∆x da sua variável independente. Capítulo 1 Diferencial 3 Calculando a diferencial da função identidade y = x, temos: Então: Considerando a expressão e dividindo os dois membros por dx, teremos: Isso nos mostra que a derivada da função, f´(x), pode ser também expressa como o quociente entre as diferenciais dy e dx. 3 Interpretação geométrica da diferencial Figura 1.2 Interpretação Geométrica. 4 Cálculo II Mas, , então: Da interpretação geométrica e das considerações, pode- mos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado da função quando a variável independente recebe um acrésci- mo. No gráfico, fica claro que, enquanto ∆x = dx, ∆y ≠ dy, mas quando ∆ x → 0, dy tende a se aproximar de ∆y. O erro cometido na substituição de ∆y por dy pode ser des- prezado por ser muito pequeno, tornando-se cada vez menor na medida em que dx for diminuindo. 4 Aplicação da diferencial Exemplo: Usando o diferencial de uma função, determinar aproximada- mente a raiz quadrada de 83. Podemos formar a função: y = Capítulo 1 Diferencial 5 A diferencial: dy = acréscimo aproximado Então: Considerando: Temos: Exercícios exemplos: 1) Calcular a diferencial das funções: Solução: Solução: 6 Cálculo II 2) Dada a função para e : a) Calcular o valor de ∆y. Solução: b) Calcular o valor de dy. Solução: c) Calcular a diferença entre dy e ∆y em módulo. Solução: A diferença é pequena e será sempre menor na medida em que dx for diminuindo. Capítulo 1 Diferencial 7 3) Calcular a , usando diferencial. Podemos associar a função . Solução: , acréscimo aproximado de y. e Sendo: x = 25 e , Logo: Valor real: 4) Calcular a variação que deve sofrer o lado de um qua- drado, que mede 4 cm, para que sua área não sofra uma variação maior do que 1 cm2. Temos: € l = 4 cm, dA = 1 cm2 A = € l2 € l € l € l € l € l 8 Cálculo II 5) Calcular quanto deve ser o aumento da aresta de um cubo para que o seu volume aumente 12%. do volume =0,12V , mas V = a3 ou 4% de a. Recapitulando Neste capítulo, vimos a definição da diferencial e sua interpre- tação geométrica, que nos indica a variação ou o acréscimo aproximado que uma função sofre quando a variável indepen- dente sofre uma variação ou um acréscimo. Quanto menor a variação da variável independente, a diferencial se torna mais próximo da variação exata da função. Referências CUNHA, Felix da e outros. Matemática Aplicada. Atlas. São Paulo. IEZZI, Gelson. Elementos de Matemática Elementar. Atlas. São Paulo. LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. Capítulo 1 Diferencial 9 Harbra. São Paulo. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Mc Graw-Hill. São Paulo. TAYLOR, Howard E. e outro. Cálculo Diferencial e Integral. Limusa. Atividades 1) Calcular a diferencial das funções: a) b) 2) Dada a função . Para e : a) Calcular b) Calcular c) Calcular a diferença 3) Calcular a , usando diferencial. 4) Calcular a variação que deve sofrer o raio de um círculo, que mede 10 cm, para que sua área não sofra uma varia- ção maior do que 2 cm². 5) Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera para que seu volume aumente 15%. 6) Use diferenciais para aproximar: a) b) c) d) e) 10 Cálculo II 7) O raio de uma circunferência aumenta de 10 m para 10,1 m. Utilize diferenciais para estimar o aumento na área do círculo correspondente. 8) Usando diferencial, calcule de quanto por cento deve au- mentar a medida da aresta de um cubo para que seu volu- me aumente 15%. E para que seu volume aumente 20%? 9) A aresta de um cubo aumenta de 20 cm para 20,01 cm. Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume do cubo. 10) O raio de uma esfera aumenta de 8 cm para 8,01 cm. Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume da esfera. 11) Usando diferencial, calcule o aumento da área de um quadrado de lado 20 cm quando ele sofrer um acréscimo de 1%. 12) O raio de uma esfera aumenta de 10 cm para 10,01 cm. Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume da esfera. 13) Usando diferenciais, calcule de quanto por cento deve au- mentar o volume de um cubo quando a sua aresta aumen- ta 15%. E quando a aresta aumentar 5%? Leomir Joel Schweig1 Capítulo 2 Integral Indefinida Introdução Na disciplina de Cálculo I, o estudo se concentrou no limite e na derivada de funções. A partir da derivada, verificou-se como se determina a taxa de variação de uma função, o co- eficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto dado e a definição de velocidade. Essa é apenas uma das partes do Cálculo, chamada de Cálculo Diferencial. A outra parte, chamada de Cálculo Integral, basicamente consiste no problema inverso da derivada, isto é, encontrar uma função cuja derivada conhecemos. Por meio do Cálculo Integral, ve- remos, no Capítulo III, como se calcula a área de uma região 1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. 12 Cálculo II do plano xy e, em consequência, a resolução de inúmeros pro- blemas. Depois, a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, veremos qual a relação que existe entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. Neste capítulo, iniciaremos o estudo do Cálculo Integralpor meio da definição da antiderivada e suas propriedades operatórias e regras para o seu cálculo. 1 Definição de antiderivada Uma função F(x) é uma antiderivada ou primitiva de uma função f(x) se F'(x) = f(x) para qualquer x pertencente ao domínio de f. Por exemplo: Â A função é uma antiderivada ou primitiva da função , pois . Â A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois . Â A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois . Capítulo 2 Integral Indefinida 13 Â A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois . Â A função é uma antiderivada ou pri- mitiva da função , pois . Assim, podemos escrever infinitas funções F(x) que são an- tiderivadas ou primitivas da mesma função , cada uma diferente da outra por uma constante, que simbolizamos por C. Então, podemos dizer que a função representa todas as antiderivadas ou primitivas da função , pois: O conjunto de todas as antiderivadas ou primitivas de f(x) é chamado de integral indefinida de f(x) em relação à variável x e é escrita por: O símbolo ∫ é o símbolo da integral. A função f(x) é o integrando da integral e dx indica que se está integrando em relação à variável x. Assim, simbolizamos a integral de uma função f(x) em rela- ção à variável x da seguinte maneira: , onde C é chamada de constante de integração. 14 Cálculo II No caso do exemplo dado no início do capítulo, escre- vemos: integrando antiderivada ou primitiva constante de integração A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Verificamos esse fato substituindo-se F'(x) no integra- do, obtendo-se: (a integração é o inverso da dife- renciação) Ainda, se , então podemos dizer que: (a diferenciação é o inverso da inte- gração) Assim, podemos obter fórmulas de integração diretamente das fórmulas de diferenciação, fazendo a operação inversa. O Quadro 2.1 a seguir enumera várias integrais simples ao lado das fórmulas das derivadas que as originaram. Capítulo 2 Integral Indefinida 15 Quadro 2.1 Fórmulas de integrais e derivadas. 16 Cálculo II Propriedades da integral indefinida: (a) Quando tivermos a integral do produto de uma cons- tante por uma função, a constante pode ser deslocada para fora da integral, multiplicando-a: (b) A integral de uma soma é igual à soma das integrais: (c) A integral de uma diferença é igual à diferença das integrais: 2 Exemplos 1) Calcular as seguintes integrais: Capítulo 2 Integral Indefinida 17 (fórmula 3, com n = -1/2) (propriedades (b) e (c) e fórmula 3) 18 Cálculo II 2) Em cada caso a seguir, encontre a função )(xf conforme as condições iniciais: a) 24)(' −= xxf , com 8)2( =f . Veja que temos a derivada da função )(xf e queremos a função. Para obter essa função, basta integrarmos a função )(' xf : Como 8)2( =f : 4 488 848 82.22.2 2 = +−= =+− =+− C C C C Logo: 422)( 2 ++−= xxxf 4 b) 26)('' 2 +−= xxxf , com 2)1(' =f e 3)0( =f . Agora, conhecemos a derivada segunda. Integrando a derivada segunda )('' xf encontramos a derivada pri- meira )(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos ).(xf Em cada passo, devemos usar as condições ini- ciais dadas para calcular as constantes de integração. Então: Capítulo 2 Integral Indefinida 19 Como 2)1(' =f : 3 8 3 1322 223 3 1 21.21.3 3 1 23 = −+−= =++− =++− C C C C Logo: 3 823 3 )(' 2 3 ++−= xxxxf Calculando )(xf : Como 3)0( =f : c) θθ )('' senf = , com 2)(' =pif e 5)( =pif . Conhecemos a derivada segunda. Integrando a deri- vada segunda )('' xf encontramos a derivada primeira 20 Cálculo II )(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos Em cada passo devemos usar as condições iniciais dadas para calcular as constantes de integração. Então: ∫ +−=→= cos)(' )(' Cfdsenf θθθθθ Como 2)(' =pif : 1 21 2)1( 2)( cos = =+ =+−− =+− C C C Cpi Logo: 1 cos)(' +−= θθf Calculando )( θf : ( ) 1)( 1 cos)( Csenf df ++−= +−= ∫ θθθ θθθ Como :5)( =pif pi pi pipi −= =++− =++− 5 50 5)( 1 1 1 C C Csen Logo: piθθθ −++−= 5 )( senf 3) Um avião decola da superfície com uma aceleração constante de 8 m/s². Qual será a sua velocidade 1 minuto após a decolagem, sabendo que sua velocidade no instante inicial era de 60 m/s? Capítulo 2 Integral Indefinida 21 à à Como a velocidade inicial (quando t = 0) é igual a 60 m/s, podemos calcular C: à A equação da velocidade é: A velocidade após 1 minuto = 60 s será: 4) Estima-se que daqui a x meses, a população de certa cidade variará segundo a taxa de pessoas por mês. A população atual é de 10.200 pessoas. Qual a população daqui a 3 anos? Vamos chamar a taxa de variação da população de P’: A população é a integral da taxa de variação, logo: à Como a população atual (x = 0) é 10.200 pessoas, podemos calcular a constante C: à Então: . 22 Cálculo II Para x = 3 anos = 36 meses: à 3 Integração por substituição ou mudança de variável O método da substituição ou mudança de variável é utilizado quando no integrando temos uma função composta gfo . Para isso, vamos examinar a regra da cadeia usada para calcular a derivada de funções compostas no ponto de vista da antide- rivação. Seja, então, a função F uma antiderivada de f e que g seja uma função diferenciável. A derivada de ))(( xgF ) pode, pela regra da cadeia, ser expressa como e, em forma integral, pode ser escrita como sabendo que F é uma entiderivada de f , podemos escrever ainda na forma Para facilitar nossos cálculos, será útil fazer )(xgu = e escrever ou . Assim, a última integral pode ser escrita na forma Capítulo 2 Integral Indefinida 23 O processo de escrever a integral na forma acima com a substituição de )(xgu = e é denominado méto- do da substituição ou mudança de variável u. 4 Exemplos Exemplo 1: calcule Solução: Fazendo Substituindo na integral dada: Voltando à variável x, substituímos u por 35 +x . Daí o resulta- do final fica: Cx ++ 5 )35( 5 . Veja que escolhemos 35 += xu conveniente para substituir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du. Após integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos 24 Cálculo II u pela função de x para voltarmos à variável original da in- tegral. Para verificarmos se a integral está correta, basta derivar o resultado e comparar com o integrando (que devem ser iguais): Exemplo 2: calcule Solução: Fazendo Substituindo na integral dada: Voltando à variável x, substituímos u por 17 2 −x . Daí o resultado final fica: Veja que escolhemos 17 2 −= xu conveniente para substi- tuir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de Capítulo 2 Integral Indefinida 25 u e du. Após, integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos u pela função de x para voltarmos à variável original da in- tegral. Verificando se o resultado está correto: Exemplo 3: calcule Solução: Fazendo Substituindo na integral dada: Veja que escolhemos xu 2= conveniente para substituir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du. Após, integramos como se fosse uma integral simples, usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos u pela função de x para voltarmos à variável original da integral. Verifique você o resultado, derivando. 26 Cálculo II Exemplo 4: calculeSolução: Fazendo Substituindo na integral dada: Voltando à variável x fica: Cx +− 33 )2( 9 2 Exemplo 5: calcule Solução: Fazendo Substituindo na integral dada: Capítulo 2 Integral Indefinida 27 Exemplo 6: calcule Solução: Fazendo Substituindo na integral dada: Exemplo 7: calcule Solução: Fazendo Substituindo na integral dada: 28 Cálculo II Exemplo 8: calcule Solução: Fazendo Substituindo na integral dada: Exemplo 9: calcule Solução: Fazendo Capítulo 2 Integral Indefinida 29 Substituindo na integral dada: Exemplo 10: calcule Solução: neste caso, vamos usar a relação: Então temos: Fazendo Substituindo na integral dada: Logo: Sabendo que x cos 1 xsec = , temos: 30 Cálculo II Então, a integral da tangente também pode ser escrita como: Exemplo 11: calcule Nesse caso, não temos uma substituição mais evidente. Mas podemos fazer: Substituindo na integral dada: Capítulo 2 Integral Indefinida 31 32 Cálculo II Capítulo 2 Integral Indefinida 33 Recapitulando Neste capítulo, iniciamos o estudo do Cálculo Integral, defi- nindo inicialmente a antiderivada ou primitiva para depois de- finir a integral indefinida. Tratamos a operação de integração como a operação inversa da derivação e vimos a técnica de integração chamada de mudança de variável ou de substitui- ção. Referências Referências básicas ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. V. 1. Porto Alegre: Bookman, 2007. ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. V. 1. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002. STEWART, James. Cálculo. V. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. Referências complementares FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau- lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007. LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. V. 1. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 34 Cálculo II MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. V. 1. Rio de Ja- neiro: LTC, 1992. SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. V. I. São Paulo: Mc SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. V. 1. São Paulo: Leituras e sites recomendados GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2003. v. 1 à 3. HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1. THOMAS, George B. – Cálculo. V. I. São Paulo. Addison Wes- ley, 2005. www.impa.br www.sbem.com.br www.somatematica.com.br Atividades 1) Calcule as integrais: Capítulo 2 Integral Indefinida 35 a) b) c) d) e) f) g) g) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) y) x) z) 2) Em cada caso a seguir encontre a função f(x) conforme as condições iniciais: 36 Cálculo II a) xxf =)('' , com 1)0(' =f e 0)0( =f . b) 12)('' 3 +−= xxxf , com 1)0(' =f e 0)0( =f . c) 12)('' 3 +−= xxxf , com 0)1(' =f e 4)1( =f . d) θθ cos)('' =f , com 12 ' = pif e 62 = pif . 3) Uma partícula começa a se mover em linha reta com aceleração 2 2 14)( tta −= (m/s2). Sabendo que inicialmente a partícula estava em repouso e que s(0) = 20 m, determine as funções velocidade e posição. 4) Calcule as integrais: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) m) o) p) Capítulo 2 Integral Indefinida 37 5) Sabendo que 72)(´ += xxf e que f(2) = 0, calcule f(x). 6) Sabendo que xxf 62)´´( −= e que 4)0(´ =f e f(0) = 1, calcule f(x). 7) A equação da velocidade de um corpo é v(t) = 5 + 9,8t, em unidades SI. Sabendo que s(0) = 10 m, determine a equação da posição s em função do tempo. 8) Sabendo que , com 2)2( =f , determine 9) No instante t = 0, um carro andando a uma velocidade de 96 pés/s começa a diminuir sua velocidade com desaceleração constante a = -12 pés/s2. Determine a função velocidade v(t) e a distância percorrida até parar. 10) Calcule a função , sabendo que , e . 11) Uma partícula começa a se mover em linha reta com aceleração (m/s²). Sabendo que inicialmente a partícula está em repouso e que , determine as funções velocidade e aceleração. 12) Calcule as integrais: a) b) 38 Cálculo II c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) 13) Num dia típico, uma certa cidade consome água a uma taxa de (em milhares de litros por hora), onde t é o número de horas a partir da meia noite. Calcule o consumo diário de água. 14) Os itens abaixo informam a aceleração num instante t segundos, a velocidade e a posição num instante específico que um objeto se desloca sobre uma reta coordenada. Encontre a função posição em cada caso: Capítulo 2 Integral Indefinida 39 a) 2 2 1)( tta = , v(0) = 1 m/s e s(0) = 5 m b) 32 1)( t ta = , v(1) = 4 m/s e s(1) = 1 m 15) Um carro acelera de tal maneira que a sua velocidade varia de 25 km/h para 80 km/h em 13 segundos. Supondo a aceleração constante, calcule a aceleração em m/s e a distância percorrida nesses 13 segundos. Aureo Martins1 Leomir Joel Schweig2 Capítulo 3 Integral Definida 2 ÂNeste capítulo, iniciaremos com um problema para chegarmos ao cálculo de áreas de figuras planas. Veremos a Soma de Riemann, a definição de Integral De- finida, a interpretação geométrica e suas propriedades. Estudaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração. 1 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. 2 Adaptado por Leomir Joel Schweig, Mestre Professor da Universidade Luterana do Brasil. Capítulo 3 Integral Definida 41 1 Notação sigma Quando trabalhamos com a soma de muitos termos utilizamos a notação sigma para facilitar a representação da soma. Essa notação usa o símbolo Σ, que é a letra sigma maiúscula do alfabeto grego que corresponde a nossa letra S. Alguns exemplos dessa notação: Em geral, temos: Onde m e n são inteiros com m < n. O número m é chamado limite inferior da soma e n é cha- mado limite superior. O símbolo i é o índice da soma e é a 42 Cálculo II variável do somatório. A função ai é denominada termo geral do somatório. Algumas vezes os termos da soma envolvem subíndices, como nos exemplos: Propriedades Fórmulas Capítulo 3 Integral Definida 43 Exemplo 1: Encontre as somas: Resolução 2 Integral definida – questão motivadora A questão motivadora para o estudo da integral definida é o cálculo de área de região que não é contemplado com as 44 Cálculo II fórmulas geométricas conhecidas, como área do quadrado, triângulo, retângulo, trapézio, círculo. Por exemplo, como calcular a área A (sombreada no plano cartesiano) no intervalo de 0 a 2 entre o gráfico dado na figura e o eixo x? Figura 3.1 Área da região. Capítulo 3 Integral Definida 45 Observe que não é fácil encontrar a área de uma região com lados curvos! O cálculo desta área pode ser feito por aproximação da figura dada por meio de outras figuras cujas áreas são conhe- cidas, até a exaustão, isto é, teremos que utilizar o conceito de limite. Utilizaremos, neste caso, o retângulo para facilitar os cálculos. Primeiramente, vamos construir retângulos com as bases no eixo x que cubram a largura do intervalo de domínio e di- vidir o intervalo [0, 2] em 2 subintervalos, usando como altura a imagem do extremo direito de cada um destes subintervalos. Observamos que a escolha do número cuja imagem é usada como altura pode ser qualquer número do subintervalo, mas vamos optar por usara imagem do extremo direito neste mo- mento. Então, na divisão do intervalo [0, 2] em dois subintervalos, eles serão [0,1] e [1,2]. Portanto cada subintervalo tem tama- nho Δx = 1 u.c. As alturas são os valores de 1)( 2 += xxf no extremo direito de cada um, isto é: 211)1( 2 =+=f e .512)2( 2 =+=f Veja a representação geométrica da situa- ção. 46 Cálculo II Figura 3.2 Decomposição da região em dois retângulos. Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos: Obtemos uma área de 7 u.a. que é uma aproximação da área desejada. Para melhorarmos nossa aproximação, vamos aumentar o número de retângulos dividindo o intervalo [0, 2] em quatro subintervalos de mesmo tamanho e tomá-los como base de quatro retângulos de altura f(x i * ), onde xi * é o extremo direito de cada subintervalo. Veja a representação da atual situação. Capítulo 3 Integral Definida 47 Figura 3.3 Decomposição da região em quatro retângulos. Calculando a soma das áreas dos retângulos de base Δx = 0,5 u.c e altura f(xi *), vem: Obtemos uma área de 5,75 u.a. que é uma aproximação melhor da área desejada. De maneira intuitiva, podemos observar que ao aumentar- mos o número de retângulos (podemos fazer isso dividindo o 48 Cálculo II domínio em mais subintervalos) a soma das áreas dos retângu- los vai ficando mais próxima da área da região compreendida entre o eixo das abscissas e o gráfico da função x2+1 no inter- valo [0, 2]. Observe as representações para divisão em 8 e 16 subintervalos tomando o extremo direito de cada subintervalo para o cálculo da altura de cada retângulo. Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos obtemos 5,19 u.a. para 8 retângulos e 4,9 u.a. para 16 re- tângulos. Quanto mais retângulos, menor será a base (Δx) de cada retângulo e a soma de suas áreas será mais próxima da área da região desejada. Mas essa base não pode ser zero... Mas podemos imaginá-la bem, bem pequena. Capítulo 3 Integral Definida 49 3 Soma de Riemann Vamos expandir a ideia anterior do cálculo f(xi *).Δx, que nos fornecia a área de cada retângulo, admitindo-o para funções que assumem valores negativos também. Neste caso, o produ- to f(xi *).Δx não irá nos fornecer uma área. Além disso, vamos admitir, também, subintervalos de diferentes tamanhos. Algu- mas definições se fazem necessárias. Vamos considerar uma função f definida em um intervalo [a, b]. Uma partição do intervalo [a, b] é qualquer divisão deste intervalo em subintervalos. Por exemplo, podemos dividir o in- tervalo [-2, 4] nos subintervalos [-2,0], [0,1], [1; 2,5],[2,5; 4]. Intervalo [-2, 4] Uma possível divisão em subintervalos, no caso 4 subinter- valos, do intervalo [-2, 4]. Esta partição do intervalo [-2, 4] é determinada pelo con- junto dos pontos x: {-2; 0; 1; 2,5; 4}. O tamanho de cada subintervalo determinado pela partição do exemplo é: 50 Cálculo II A norma de uma partição P (Notação: ||P||) é o tama- nho do maior subintervalo da partição. No exemplo, o maior subintervalo tem tamanho 2, portanto a norma da partição é 2, neste caso (ou seja, ||P|| = 2). Uma partição é dita regular se todos os subintervalos têm mesmo tamanho. Chamamos de Soma de Riemann da função f no interva- lo [a, b] o somatório: onde, • n é o número de subintervalos no intervalo [ ]ba, . • é o tamanho de cada subintervalo. • xi * é um ponto qualquer do subintervalo chamado au- mento. Capítulo 3 Integral Definida 51 Exemplo 2: O gráfico representa a função e oito retângulos de mesma base e alturas dadas pelo valor da f no extremo direito de cada subintervalo. a) Determine o valor Δx, isto é, a medida da base de cada retângulo. b) Determine a altura de cada retângulo. c) Calcule a soma de Riemann da função f no intervalo [0, 4] representada pelos retângulos. Resolução a) b) 1º retângulo: altura = 2º retângulo: altura = 52 Cálculo II 3º retângulo: altura = 4º retângulo: altura = 5º retângulo: altura = 6º retângulo: altura = 7º retângulo: altura = 8º retângulo: altura = Exemplo 3: Calcule a soma de Riemann da função em [1, 3]. Para tanto, utilize quatro subintervalos de mesmo tamanho e tome o extremo esquerdo de cada subintervalo para aumento. Represente no gráfico essa soma. Capítulo 3 Integral Definida 53 Resolução 1º retângulo: altura = 2º retângulo: altura = 3º retângulo: altura = 4º retângulo: altura = 54 Cálculo II Gráfico Exemplo 4 Considere a função no intervalo [-1, 2]. a) P = {-1; 0; 0,5; 1; 1,5; 2} é uma partição do intervalo [-1, 2]. Determine a norma dessa partição. Capítulo 3 Integral Definida 55 b) Calcule a soma de Riemann dessa função nesse inter- valo com a partição determinada pelo conjunto P dado em (a) e os aumentos: ; ; ; ; . c) Represente no plano cartesiano a soma de Riemann calculada em (b). Resolução a) A norma é ||P|| = 1 56 Cálculo II Gráfico Capítulo 3 Integral Definida 57 4 - Integral definida Definimos a integral definida da função f no intervalo [a, b] pelo limite: Se o limite da definição existe, então dizemos que a função é integrável no intervalo [a, b] e a integral definida existe. Observamos que, assim como a soma de Riemann, a inte- gral definida de uma função em um intervalo dado pode assu- mir qualquer valor real e não um conjunto de antiderivadas como na integral indefinida. Porém, esse objeto matemático emergiu da ideia geométrica de área e podemos nos valer disso para determinar o valor numérico de algumas integrais definidas. Veja os exemplos a seguir. Exemplo 5 A proposta desta atividade é calcular o valor da Integral Definida com uso da relação que ela possui com a área de re- giões limitadas por curvas e o cálculo de áreas da Geometria. Lembramos que: Figura Geométrica Plana Área da região limitada pela curva Triângulo de base b e altura h Retângulo de lados b e h 58 Cálculo II Quadrado de lado l Trapézio de bases B e b e altura h Circunferência de raio r a) Para calcular a integral definida: observamos que essa integral equivale numericamente à área da semicircunferência sombreada no gráfico: Então o valor da integral será dado pela metade do valor da área região limitada pela circunferência de raio 2. Assim Capítulo 3 Integral Definida 59 b) Outro exemplo é o cálculo de: . A área da região triangular sombreada no gráfico a seguir possui valor simétrico ao desta integral, pois a função integrando assume valores negativos neste intervalo. Assim, 60 Cálculo II c) Mesmo que a função integrando assuma valores posi- tivos e negativos no intervalo de integração, podemos relacionar a Integral Definida com as conhecidas fór- mulas de Geometria. Por exemplo, a Integral Definida da função representada no gráfico abaixo assume va- lores positivos e negativos e pode ser calculada pela diferença entre as áreas das regiões que estão acima do eixo das abscissas e abaixo. Neste caso, f é positiva no intervalo [-2, 3] e a área da região limitada pelas curvas y = f(x), y = 0 (eixo x), x = -2 e x = 3 é dada pela área do trapézio de base maior B = 5, base menor b = 3 e altura h = 2, ou seja, essa área vale 8 u.a. A área da região limitada pelas curvas y = 0, y = f(x), x = 3 e x = 4 é dada pela área do triângulo de base b = 1 e altura 1, ou seja, essa área vale ½. Assim, Capítulo 3 Integral Definida 61 Exemplo 6 Calcular a área da região limitada pelo gráfico de , o eixo x, desde x = 0 até x = 1, usando a defini- ção de integral (soma de Riemann). Resolução Veja no gráfico da função a seguir, que a mesma é contí- nua e não-negativa no intervalo [0, 1]. 62 Cálculo IIVamos dividir o intervalo [0, 1] em n subintervalos iguais: . Como podemos utilizar qualquer valor de no i-ésimo intervalo, escolheremos os extremos direitos de cada intervalo. Então: A área é calculada por: u.a. Exemplo 7 Calcular a integral , usando a definição (soma de Riemann). Resolução Veja no gráfico da função a seguir, que a mesma é contí- nua e possui um trecho positivo e um trecho negativo no in- tervalo [0, 4]. Portanto a soma de Riemann (a integral) não representa a soma das áreas. Ela representa a soma das áreas dos retângulos acima do eixo do x menos a soma das áreas dos retângulos abaixo do eixo x. Capítulo 3 Integral Definida 63 Vamos dividir o intervalo [0, 4] em n subintervalos iguais: . Então: A integral é calculada por: 64 Cálculo II A integral Definida goza das seguintes propriedades: I. II. III. IV. Capítulo 3 Integral Definida 65 V. VI. 5 Teorema fundamental do cálculo Estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. PARTE 1: Se f for contínua em [ ]ba, , então a função g de- finida por , com bxa ≤≤ é contínua em [ ]ba, e diferenciável em ),( ba e )()(' xfxg = , ou escrevendo de outra maneira: PARTE 2: Se f for contínua em [ ]ba, , então: onde F é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal que .' fF = 66 Cálculo II Essas duas partes do Teorema nos informam que a diferen- ciação e a integração são processos inversos. O que a diferen- ciação faz, a integração desfaz e vice-versa. Observe que, na aplicação desse teorema, não há neces- sidade de incluir uma constante de integração nas antideriva- das, pois ela irá sumir. Usando o teorema teremos: Portanto, no cálculo da integral definida, podemos omitir a constante de integração. Outra observação importante é sempre lembrar que o cál- culo da integral definida só é correto se a função for contínua no intervalo de integração, pois, se desconsiderarmos essa premissa, os resultados obtidos quase certamente não serão corretos. Para calcular a Integral Definida, usaremos as Regras de Integração, as propriedades e o Teorema Fundamental do Cálculo. Agora, retornaremos ao Problema do início do ca- pítulo. Capítulo 3 Integral Definida 67 Problema Como calcular a área A da região entre o gráfico da função: f(x)= x² + 1 e o eixo x, no intervalo de x= 0 a x=2 ? Solução: a área pedida é calculada usando a Parte 2 do Teorema Fundamental, cujo resultado dará a área exata abai- xo do gráfico da função e acima do eixo das abscissas, no intervalo de x = 0 a x = 2, em unidades de área (u.a.): Portanto, a área A exata entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo de [0;2] é 4,67 unidades de área. 68 Cálculo II Exercícios resolvidos 1) Aplicar as propriedades das integrais definidas: a) Propriedade 1 – Achar: b) Propriedade 2 – Provar que c) Propriedade 3: Achar Capítulo 3 Integral Definida 69 2) Achar a área sob a parábola 2)( xxf = de x=0 até x=2 conforme o gráfico abaixo. 3) Achar a área sob a reta 2)( += xxf de x=0 até x=4 con- forme o gráfico abaixo. 70 Cálculo II Solução: observe que o gráfico é uma reta e, portanto, a área demarcada no gráfico é uma figura que pode ser calcu- lada sem a necessidade do uso do cálculo da integral. Usando a integral, teremos: 4) Achar a área sob a parábola 1)( 2 += xxf de x=-2 até x=2 conforme o gráfico abaixo. Capítulo 3 Integral Definida 71 5) Achar a área do gráfico da função 3)( xxf = de x=-2 até x=2 conforme o gráfico abaixo. 72 Cálculo II Solução: observe que o gráfico da função de x=-2 a x=0 está abaixo do eixo x (valor negativo) e de x=0 a x=2 está acima do eixo x (valor positivo). Logo, se calcularmos a integral definida da função de x=-2 a x=2, obteremos um resultado zero, porque a área abaixo do eixo x é igual à área acima do eixo x. Portanto, para acharmos a soma da área de x = -2 a x = 2, vamos calcular da seguinte forma: 1º) Na área de x = -2 até x = 0, vamos usar a propriedade 2, que consiste em inverter os valores do intervalo de integra- ção: 2º) Calcular a área de x = 0 até x = 2: Logo, a área total será: A = A1 + A2 = 4 + 4 = 8 u.a. 6) Calcular a área hachurada do gráfico abaixo. Capítulo 3 Integral Definida 73 7) Calcular a área hachurada do gráfico abaixo. 74 Cálculo II 8) Calcular a área hachurada do gráfico. 9) Calcular a área hachurada do gráfico. Capítulo 3 Integral Definida 75 10) Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções: conforme o gráfico abai- xo. 11) Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções: e x=5 conforme o gráfico abaixo. 76 Cálculo II 12) Resolva as seguintes integrais definidas, usando a segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo: Capítulo 3 Integral Definida 77 78 Cálculo II 13) Calcular a integral se =)(xf x2, se x < 2 e =)(xf x + 2, se x ≥ 2. 14) Calcular a integral A função modular: 2)( −= xxf é igual a 2)( +−= xxf se 2<x e 2)( −= xxf se 2≥x , logo: 15) Calcular a integral A função modular: 33)( −= xxf é igual a 33)( +−= xxf se e 33)( −= xxf se 1≥x , logo: Capítulo 3 Integral Definida 79 6 Cálculo de integrais definidas por substituição ou mudança de variável Na seção 3 do capítulo 2, foi visto o método da substituição ou mudança de variável quando no integrando temos uma função composta. Para calcular uma integral definida do tipo , vamos verificar dois métodos: Primeiro método: Calcula-se a integral indefinida e, após, utiliza-se o Teorema Fundamental para calcular a integral definida. Esse procedimento não requer modificação no intervalo de integração. Exemplo 1: calcule , usando o primeiro método. Solução: 80 Cálculo II Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornando para a variável x e calculando a integral definida: Segundo método: Faz-se a substituição na integral definida e usa-se a re- lação u = g(x) para substituir os limites de integração x = a e x = b pelos correspondentes limites de u = g(a) e u = g(b), produzindo uma nova integral definida: . Exemplo 2: calcule , usando o segundo mé- todo. Solução: Fazendo Mudando o intervalo de integração: Se x = 1 então u = 12 +3 = 4 e x = 3 então u = 32 + 3 = 12 Exemplo 3: calcule usando o primeiro e o se- gundo método. Capítulo 3 Integral Definida 81 Solução pelo primeiro método: Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornando para a variável x e calculando a integral definida: Solução pelo segundo método: Fazendo Mudando o intervalo de integração: Se x = 2 então u = 2 – 2 = 0 e x = 6 então u = 6 – 2 = 4 Verifica-se que o resultado da integral definida por substi- tuição, tanto pelo primeiro quanto pelo segundo método, é o mesmo e, por conseguinte, a escolha do método a ser usado passa por uma questão de gosto e facilidade. Exemplo 4: calcule usando o primeiro método. 82 Cálculo II Solução: Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornando para a variável x e calculando a integral definida: Exemplo 5: calcule usando o primeiro méto- do. Solução: Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornando para a variável x e calculando a integral defi- nida: Exemplo 6: calcule usando o primeiro método. Capítulo 3 Integral Definida 83 Solução: Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornandopara a variável x e calculando a integral defi- nida: Exemplo 7: calcule usando o primeiro método. Solução: Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornando para a variável x e calculando a integral definida: Exemplo 8: calcule usando o primeiro método. Solução: Fazendo 84 Cálculo II Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornando para a variável x e calculando a integral definida: Exemplo 9: calcule usando o primeiro método. Solução: Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Retornando para a variável x e calculando a integral defi- nida: Exemplo 10: calcule usando o primeiro método. Solução: Fazendo Substituindo na integral dada e calculando a integral inde- finida, teremos: Capítulo 3 Integral Definida 85 Retornando para a variável x e calculando a integral definida: Recapitulando Começamos este capítulo revisando a notação e as proprie- dades de somatório e calculando somas indicadas com esta notação. Utilizamos o somatório para calcular a área aproximada de uma região entre o gráfico de uma função contínua e o eixo x, num intervalo [a, b]. Para isso dividimos o intervalo em su- bintervalos, determinando retângulos com esses subintervalos. Vimos que quanto maior o número de subintervalos, maior o número de retângulos e a soma das áreas desses retângulos vai ficando mais próxima da área exata da região. Essa soma recebe o nome de Soma de Riemann. A área exata da região é obtida quando levamos a soma de Riemann ao limite, com 86 Cálculo II o número de subintervalos tendendo ao infinito. A integral de- finida foi definida como sendo esse limite. Vimos também as duas partes do Teorema Fundamental do Cálculo, onde relaciona as operações de derivação e integra- ção entre si (uma é o inverso da outra) e mostra como pode- mos calcular uma integral definida a partir da antiderivada. Referências Referências básicas STEWART, James. Cálculo. V. 1. São Paulo: Pioneira Thom- son Learning, 2006. ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. V. 1. Porto Alegre: Bookman, 2007. ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. V. 1. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002. Referências complementares FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau- lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007. LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. V. 1. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 1996. MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. V. 1. Rio de Ja- neiro: LTC, 1992. Capítulo 3 Integral Definida 87 SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. V. I. São Paulo: Mc SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. V. 1. São Paulo: Leituras e sites recomendados GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC,2003. v. 1 à 3. HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1. THOMAS, George B. Cálculo. V. I. São Paulo. Addison Wesley, 2005. www.impa.br www.sbem.com.br www.somatematica.com.br Atividades 1. Em cada item, use a Geometria para calcular a Integral Definida da função representada no plano cartesiano. a) 88 Cálculo II Sugestão: calcule a área do retângulo e subtraia da área do semicírculo. b) , com Capítulo 3 Integral Definida 89 c) com 90 Cálculo II 2. Sabendo que , e , utilize as propriedades das integrais definidas para calcular: a) b) c) d) e) f) Capítulo 3 Integral Definida 91 3. Calcule o valor das integrais definidas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 4. Calcular as integrais definidas usando a regra da substituição: a) b) c) d) e) f) g) h) 5. Calcular a área da região entre a curva da função e o eixo x, no intervalo dado: 92 Cálculo II a) , b) , c) , d) , e) , f) , 6. (ENADE-2005) Considere uma função cujo gráfico está representado na figura a seguir: Assinale a opção que melhor representa o gráfico da fun- ção . Capítulo 3 Integral Definida 93 Janor Araujo Bastos Leomir Joel Schweig1 Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida1 ÂNeste capítulo, abordaremos algumas aplicações da integral definida, tais como áreas entre curvas, vo- lumes de sólidos e o trabalho realizado por uma força variável. 1 Adaptado por Leomir Joel SchweigMestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 95 1 Áreas entre curvas Nos tempos antigos, o procedimento mais utilizado pelos ma- temáticos para o cálculo de área era o método da exaustão, que consiste em aproximar a figura em questão por meio de outras, cujas áreas sejam conhecidas. Hoje, conforme visto no Capítulo 3, sabemos que o valor da integral definida de uma função f é numericamente igual a área da região limitada pelo gráfico dessa função e o eixo das abscissas em um intervalo dado, se f for positiva e contínua nesse intervalo. Considerando a Figura 4.1.1 abaixo, temos: Figura 4.1.1 96 Cálculo II Partindo dessa mesma ideia, podemos calcular a área limi- tada pelos gráficos de duas funções. Na figura 4.1.2, temos uma região limitada pelos gráficos das funções f(x) e g(x). Se integrarmos a função f(x) de a até b, teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico de f(x), o eixo das abscissas e as retas x = a e x=b. Se integrarmos a função g(x) de a até b teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico da g(x) o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b. Se da área limitada na parte superior pelo gráfico de f(x) subtrairmos a área limitada na parte superior pelo gráfico de g(x), teremos a área sombreada que procuramos. Então: A área da região limitada pelo gráfico de f(x) será A área da região limitada pelo gráfico de g(x) será . Subtraindo A1 de A2, temos a área A, ou seja: desde que f(x) > g(x) em todo intervalo [a; b]. Usando as propriedades das integrais, podemos escrever: Obs.: devermos subtrair a função cujo gráfico está limitan- do por cima da função cujo gráfico está limitando por baixo naquele intervalo. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 97 Figura 4.1.2 Exercícios resolvidos 1) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun- ções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 no intervalo [0; 1]. Solução: Observando a figura, vemos que, no intervalo considerado, o gráfico de f(x) = 2x+1 é a fronteira superior e gráfico de g(x) = x2 é a fronteira inferior. Então, a área será: Figura 4.1.3 98 Cálculo II 2) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun- ções y = x + 1 e y = x2-1 Solução: Observe que não foram fornecidos os limites de integração. Nesse caso, devemos considerar os pontos onde os dois gráfi- cos se interceptam, que são os pontos onde as funções têm o mesmo valor. Então, fazendo: x + 1 = x2-1 ou x2 – x – 2 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos x1 = -1 e x2 = 2, que são os valores de x dos pontos onde os gráficos se interceptam e que representam os limites da área procurada. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 99 Figura 4.1.4. A região está limitada por cima pela reta e por baixo pela parábola. Então, a área será dada pela integral da equação da reta menos a equação da parábola. Logo: 100 Cálculo II 3) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun- ções y = x + 1 e y = X2-1 e pelas retas x = 0 e x = 3. Solução: Figura 4.1.5 Observando o gráfico, podemos verificarque no intervalo [0; 2] a região está limitada na parte superior pela reta e no intervalo [2; 3] pela parábola. Então devemos fazer a integra- ção em cada um dos intervalos separadamente. No intervalo [0; 2], a fronteira superior é feita pela reta, então, devemos in- tegrar a equação da reta menos a equação da parábola e, no intervalo [2; 3], onde a fronteira superior é feita pela parábola, devemos integrar a equação da parábola menos a equação da reta, ou seja: Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 101 4) Achar a área de região delimitada pelas curvas . Solução: A figura mostra os gráficos e a região. Figura 4.1.6 102 Cálculo II Observe que a fronteira inferior consiste em porções de dois gráficos diferentes, por isso não podemos obter a área utilizando apenas uma integral definida. Devemos considerar uma integral das funções y = x + 6 e no intervalo [-4; 0], pois a região é limitada por essas duas retas nesse in- tervalo, e a outra integral com as funções y = x + 6 e y = x3 no intervalo [0; 2], que são as fronteiras superior e inferior da região nesse intervalo. 5) Calcule a área da região limitada pelos gráficos das fun- ções . Solução: A região está ilustrada na figura abaixo. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 103 Figura 4.1.7 Como no exemplo anterior, devemos dividir o intervalo em duas partes e integrar 4xye4xy +−=+= no inter- valo [– 4; – 3] e 2xye4xy +=+= no intervalo [– 3; 0]. Então temos: 104 Cálculo II Mas, se considerarmos x em função de y, teremos menos trabalho. Veja: 2yx2xy 4yx4xy4xy 22 −=⇒+= −=⇒+=⇒+= Nessas condições, a região está delimitada à direita pela reta x = y – 2 e à esquerda pela curva x = y2 – 4. Então, deve- mos realizar a integração dessas funções em relação à y. Nesse caso, fazemos apenas uma integral da fronteira di- reita menos a fronteira da esquerda, ou seja: u.a. 2 Sólidos de revolução Se fizermos girar uma região em torno de uma reta, o resul- tado será um sólido de revolução. Por exemplo, ao girarmos um retângulo com um dos lados fixo a uma reta, teremos um cilindro circular reto; se girarmos triângulo retângulo com um dos catetos fixo em uma reta, teremos um cone circular reto; se girarmos um semicírculo com extremidade do diâmetro fixo na reta, teremos uma esfera. Dizemos que a reta é o eixo de revolução e que o sólido foi gerado pela região. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 105 (c) x y (b) x y r=f(x) (a) x y (d) x y Figura 4.2.1. Se interceptarmos um sólido de revolução com um plano perpendicular ao eixo x, obteremos uma secção transversal circular. Se o plano cortar o eixo x no ponto x = a, o raio do círculo é f(a), e sua área será [ ]2)(afpi . Se um sólido está entre x=a e x=b, a área da secção trans- versal é A(x), e se A(x) é uma função contínua, utilizando a soma de Riemann, podemos escrever uma definição para o volume dos sólidos de revolução: 106 Cálculo II Como nos sólidos de revolução a secção transversal será sempre um circulo de área [ ] ,)( 2xfA pi= o volume do sólido é dado por: No caso do cilindro, f(x) = r é uma função constante, onde f(x) é o raio do círculo. A base do cilindro tem área é 2.rpi . Então: altura do cilindro. Figura 4.2.2 Exercícios resolvidos 1. Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R delimitado pelo gráfico da função f(x) = 3 e as retas x = 1 e x = 5 em torno do eixo x. Solução: Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 107 A Figura 4.2.3 mostra a região R, e o sólido por ela gerado é um cilindro circular reto mostrado na Figura 4.2.2. Devemos integrar a função f(x) = 3 de 1 até 5. Figura 4.2.3 2) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da re- gião sob a curva xy = em torno do eixo x entre 0 e 4. Esboce a região e o sólido aproximado típico. Solução: A Figura 4.2.4 mostra a região e o sólido gerado. 108 Cálculo II Figura 4.2.4 Devemos integrar a função xy = de 0 até 4. 3) Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2 + 2 e o eixo x entre -1 e 2, e calcule o volume do sólido Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 109 gerado pela rotação da região em torno do eixo x. Esboce o sólido aproximado típico. Solução: A Figura 4.2.5 mostra a região e o sólido gerado Figura 4.2.5. 4) Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2+2 entre y = 2 e y = 4 e calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo y. Esboce o sólido aproximado típico. Solução: 110 Cálculo II A Figura 4.2.6 mostra a região e o sólido gerado. Figura 4.2.6 Como a região está girando em torno do eixo y, devemos fazer a integração em relação a y. Para que isso seja possível, a equação y = x2 + 2 deve ser escrita em função de y, ou seja: Logo: 5) Esboce a região delimitada pelos gráficos das funções xy = e xy 2 1 = de x = 0 até x = 4 e calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x. Esboce o sólido aproximado típico. Solução: A Figura 4.2.7 mostra a região e o sólido gerado. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 111 Figura 4.2.7. 6) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos das funções y = 6 e y = x + 1 em torno do eixo x de 1 até 4. Faça um esboço da região e do sólido aproximado típico. 112 Cálculo II Solução: A Figura 4.2.8 mostra a região e o sólido gerado. Figura 4.2.8 Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 113 7) Repita o exemplo 5 com a região girando em torno do eixo y. Solução: A figura 4.2.9 mostra a região e o sólido gerado. Figura 4.2.9 114 Cálculo II 3 Aplicações Definição: Se uma força constante F atua sobre um objeto, fazendo-o mover-se por uma distância d na direção e sentido da força, o trabalho W é dado por: W = F.d Se f(x) é uma força variável e contínua em um intervalo [a; b], o trabalho W realizado para mover um objeto de x = a até x = b é: Pela lei de Hooke, a força f(x) necessária para distender uma x unidades além do seu comprimento natural é dada por: f(x) = kx, onde k é uma constante chamada constante da mola. Exemplos 1) Calcular o trabalho para distender uma mola de seu com- primento normal de 20 cm até 30 cm, sabendo que, para distendê-la 5 cm, é necessária uma força de 40 N. Solução: 20 cm = 0,2 m, 30 cm = 0,3 m e 5 cm = 0,05 m Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 115 Devemos primeiramente determinar a constante k da mola. 2) Um cabo de 10 m de comprimento e pesando 25 N pen- de verticalmente do topo de um edifício. Uma barra de ferro de 80 N está presa na extremidade inferior do cabo. Calcular o trabalho para transportar a barra até o topo do edifício. Solução: O trabalho para transportar a barra de ferro até o topo é: O trabalho para elevar o cabo: Considerando a extremidade inferior do cabo na origem do eixo y e a extremidade superior em y = 10 e dy o incremen- to do comprimento do cabo. Como cada metro pesa 2,5 kg o peso do incremento é 2,5 dy. Consideremos y a distância de 0 até o ponto de incremento. Temos: Incremento da massa: 2,5 dy 116 Cálculo II Distância percorrida: 10 – y Incremento do trabalho: (10-y).g.2,5dy Então: 3) Uma certa quantidade de gás está dentro de um reci- piente cilíndrico que contém um êmbolo móvel, ocupan- do um volume inicial de 1 m³ e sob pressão de 20 N/m². O êmbolo é deslocado fazendo com o gás se expandir até atingir um volume de 3 m³. Calcule o trabalho rea- lizado pelo gás, supondo que a pressão é inversamente proporcional aovolume. Solução Se a força é constante, então o trabalho realizado pelo gás é dado por: . pois: à à à Logo, o trabalho para expandir o gás é dado por: Como a pressão é inversamente proporcional ao volume, temos: , o trabalho fica: Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 117 Calculando a constante : à à podemos calcular o trabalho: Recapitulando Neste capítulo, estendemos o cálculo da integral definida com algumas aplicações, tais como o cálculo da área entre duas curvas, o volume de sólidos de revolução e aplicações na Fí- sica, como o trabalho realizado por uma força e a pressão de um gás. Referências bibliográficas ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu- lo, V. 2, 8. ed. Bookman, 2007. ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, V. 2, 7. ed. LTC, 2003. 118 Cálculo II LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica, Vol I. Harbra. São Paulo. PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I. 10. ed. Em língua portuguesa. Lopes da Silva, Porto: 1992. STEWART, James. Cálculo, V. 2, 6. ed. Editora Cengage Lear- ning, 2009. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Brooks. Atividades 1. Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos das funções e calcule a sua área, em cada caso a seguir: a) e , de até . b) e , de até . c) e . d) e , de até . e) e , de até . f) e , de até . Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 119 g) e . 2. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas em torno da reta especificada. Faça um esboço da região e do sólido. a) de até , em torno do eixo x. b) de até , em torno do eixo x. c) de até , em torno do eixo y. d) e , em torno do eixo y. e) e , em torno do eixo y. f) e , de até , em torno do eixo x. g) Repita o exercício (f) fazendo a região girar em torno do eixo y. 3. Um gorila de 1.800 N de peso sobe uma árvore de 5 metros em 10 segundos. Calcule o trabalho realizado pelo gorila para chegar ao topo da árvore. 4. Uma mola de 25 cm de comprimento natural sofre uma distensão de 3,8 cm sob a ação de um peso de 35 N. Usando integral calcule o trabalho realizado pela mola: a) De seu comprimento normal para 35,5 cm. 120 Cálculo II b) De 28 cm para 33 cm. 5. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e calcule a área desta região: a) xy = , eixo x, x= 1 e x = 9. b) xxy 6 2 −= e xy 2= . 6. Calcule a área da região limitada pela curva xxy 42 −= , o eixo x, e as retas x = 1 e x = 3. Construa o gráfico indicando a região. 7. Calcule a área da região limitada pela curva 2xxy −= , o eixo x, desde x = 0 até x = 1. Construa o gráfico e indique a região. 8. Calcule a área da região limitada pelo gráfico da função 13)( 2 += xxf , o eixo x, desde x = 0 até x= 2. 9. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e calcule a área desta região. a) 1+= xy , 29 xy −= , x = -1 e x = 2. b) senxy = , xey = , x = 0 e 2/pi=x . c) xy = e 2xy = . d) 25 xxy −= , xy = . e) 1 1 + = x y , 2+= xy , x = 0 e x = 2. Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 121 10. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região e o sólido: a) xy 2 12 −= , y = 0, x = 1, x = 2, em torno do eixo x. b) xy /1= , y = 0, x = 1, x = 3, em torno do eixo x. c) xxy 4 2 −= , y = 0, em torno do eixo x. d) 2xy = , y = 2, em torno do eixo y. e) 24 yyx −= , x = 0, em torno do eixo y. 11. (ENADE-2011) Considere a função definida por , para cada . A área da região limitada pelo gráfico da função , o eixo e as retas e é igual a: a) 16/15 u.a. b) 38/15 u.a. c) 44/15 u.a. d) 60/15 u.a. e) 76/15 u.a. 12. Um reservatório, inicialmente vazio, está sendo abastecido de água a uma taxa de . Qual é a quantidade de água no reservatório de pois de 6 horas? 13. A taxa de fabricação de televisores de uma fábrica é televisores por semana (t em semanas). Quantos televisores foram fabricados do dia 8 até o dia 21? 122 Cálculo II 14. A concessionária de uma rodovia modelou o fluxo de tráfego num ponto de uma rodovia e encontrou a expressão , com t medido em horas e t = 0 corresponde a 7 horas da manhã. Calcule quantos carros passam pelo ponto das 7 horas às 9 horas da manhã. Ana Brunet1 Leomir Joel Schweig2 Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 2 Introdução Neste capítulo, vamos apresentar a função logaritmo natural a partir da necessidade de uma primitiva para a função 1/t no cálculo integral. Sua inversa será definida e, com ela, o núme- ro e. As funções hiperbólicas aparecem em muitas aplicações das ciências naturais e engenharia. Veremos que tais funções são combinações de funções exponenciais. 1 Mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA. 2 Adaptado por Leomir Joel SchweigMestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. 124 Cálculo II 1 A função logaritmo natural No Capítulo 2, Integrais Indefinidas, vimos a operação de inte- gração como inversa da derivada. A regra de integração para funções do tipo xn, com n racional e diferente de – 1, foi apre- sentada como: e para n = -1, como: Em (*) é fácil ver que a derivada da função dada como a primitiva é a função integrando, o que ratifica a fórmula. Po- rém, para justificar (**) precisaremos do Teorema Fundamental do Cálculo enunciado no Capítulo 3. Primeiro, vamos observar o gráfico da função 1/t na Figura 5.1 para valores positivos de t. Figura 5.1 Gráfico da função 1/t. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 125 Podemos ver que existe uma região entre o gráfico da fun- ção e o eixo das abscissas. Se considerarmos um intervalo de números positivos [a, b], então terá uma região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = a e t = b (Figura 5.2). Vimos no Capítulo 3 que a área dessa região, já que a função assume valores positivos nesse intervalo, é dada pela integral definida: Figura 5.2 Região limitada pelo gráfico de y = 1/x, y = 0, x = a e x = b. Definimos a função logaritmo natural (Notação: y = ln x) por: onde 126 Cálculo II Consequências da definição Das propriedades da integral definida, decorre o estudo do sinal da função ln. Para x = 1, temos: Para x = c > 1, temos: Nesse caso, o valor da integral coincide com o valor da área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = 1 e t = c. Isto é, a função ln assume valores positivos para x > 1. Para x = c, com 0 < c <1, temos: Para valores de c entre zero e um, a área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = c e t = 1 é dada pelo cálcu- lo da integral definida com limite inferior igual a c e superior igual a 1, pois c < 1. Então a função ln assume valores nega- tivos no intervalo (0, 1). Vamos apresentar, de maneira intuitiva, o estudo do com- portamento da função logaritmo natural ao x tender ao infinito e ao x tender a zero pela direita. Iniciaremos com o limite no infinito. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 127 A ideia geométrica desse limite é o cálculo da área da re- gião não limitada representada na Figura 5.3. Figura 5.3 Área sob o gráfico de y = 1/t com t >1. A Figura 5.4 nos fornece uma visualização de uma aproxi- mação por falta da integral procurada. Figura 5.4 Aproximação por falta da área abaixo do gráfico de y = 1/t com t > 1. 128 Cálculo II O que estamos fazendo aqui é parecido com a Soma de Riemannquando se toma para aumento o limite superior do subintervalo de tamanho unitário, porém, o intervalo não é limitado superiormente. Podemos escrever, então: mas e Ou seja, estamos somando ½ infinitas vezes, o que resulta em uma soma infinita. Assim, O estudo do comportamento da função logaritmo natural ao x tender a zero pela direita pode ser realizado de forma parecida. Nesse caso, o limite resulta em menos infinito. A função 1/t é contínua para valores positivos de t, então a parte I do Teorema Fundamental do Cálculo fornece: Ou seja, a derivada da função logaritmo natural é 1/x. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 129 Em geral, se temos: Assim, por exemplo, para calcularmos a derivada da fun- ção procedemos da seguinte maneira: Gráfico da função Logaritmo Natural Vimos que a derivada da função ln é 1/x. Logo, ln é cres- cente em todo seu domínio, pois 1/x é positiva nesse intervalo. Além disso, a função não apresenta pontos críticos, pois sua derivada é contínua e sempre diferente de zero em A derivada de segunda ordem é -1/x2, função que é sempre ne- gativa quando assume valores em Portanto, a função ln é côncava em todo seu domínio. Vimos, também que: Desse modo, o gráfico da função Logaritmo Natural pode ser representado como na Figura 5.5. 130 Cálculo II Figura 5.5 Gráfico da função ln. Diferenciação Logarítmica Podemos utilizar a função logaritmo e suas propriedades para calcular derivadas de funções do tipo uv, onde u e v são funções de x. Por exemplo, para calcular a derivada da função podemos proceder do seguinte modo: Derivando membro a membro, lembrando que e usando a regra da derivada do produto, vem: isto é, Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 131 logo, Como podemos escrever: Um caso particular da aplicação da diferenciação loga- rítmica é o cálculo da derivada da função exponencial y = ax, com a > 0. Para tanto, procedemos da mesma forma do exemplo anterior. Porém, nesse caso, a é uma constante real positiva. Derivando membro a membro, vem: ou seja, Como y = ax, podemos escrever: Em geral, se temos: 132 Cálculo II Então, a derivada da função y = 53x+2, por exemplo, pode ser determinada pela fórmula acima: Para calcularmos a derivada da função logaritmo em uma base a qualquer, com pode- mos escrever esse logaritmo como um logaritmo natural por mudança de base. Ou seja, Daí, como a é constante, portanto, ln a também, temos: isto é, em geral, Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 133 Por exemplo, a derivada da função é: A diferenciação logarítmica também pode facilitar o cálcu- lo da derivada de funções em que suas expressões envolvem quocientes, produtos e potências. Por exemplo, vamos usar diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função Aplica-se a função ln em ambos os lados: Usa-se as propriedades da função ln: Como ln e = 1, vem: 134 Cálculo II Derivando membro a membro, obtemos: isto é, ou seja, Experimente encontrar a derivada da função y dada pelas regras de derivação anteriores, você perceberá que a diferen- ciação logarítmica facilita os cálculos. 2 A função exponencial natural A função Logaritmo Natural é contínua e bijetora, então ad- mite inversa. Definimos a função Exponencial Natural como a inversa da função Logaritmo Natural. (Notação: y = exp x) Então: onde Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 135 Para determinarmos a derivada da função Exponencial Na- tural, vamos derivar membro a membro a segunda parte dessa equivalência e usar o fato de que y = exp x é uma função que depende da variável x. Daí vem: ou seja, isto é, Mas y = exp x, então: Assim, a derivada da função Exponencial Natural é ela mesma! Definimos o número e como aquele cujo logaritmo natural assume o valor 1. Ou seja, ln e = 1. Pela definição, temos: Decorre daí que exp x = ex, pois: 136 Cálculo II Mas, pela propriedade dos logaritmos, é possível escrever: Então podemos reescrever a derivada da função Exponen- cial Natural como: Em geral, se vem: Por exemplo, O gráfico da função Exponencial Natural (Figura 5.6) pode ser obtido pela reflexão em relação à reta y = x. Figura 5.6 Gráfico da função y = ex. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 137 3 Funções hiperbólicas Catenária é o nome que se deu à curva como as que fios sus- pensos apresentam (Figura 5.7). Por muito tempo, procurou-se uma parábola para descrever essa curva, porém a função que a descreve envolve as funções e x e e – x. Figura 5.7 Uma catenária. As funções que estudaremos agora são chamadas funções hiperbólicas. As funções e x e e – x estão envolvidas em suas leis de formação e possuem esse nome porque têm com a hipérbole a mesma relação que as funções trigonométricas possuem com o círculo, como ilustram as Figura 5.8 e 5.9. Além disso, as funções hiperbólicas se relacionam entre si de maneira semelhante às trigonométricas. Mais especificamente, são denominadas de seno hiperbólico, cosseno hiperbóli- co, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica e cossecante hiperbólica e definidas por: 138 Cálculo II O domínio das funções seno e cosseno hiperbólico são todos os reais, bem como o domínio das funções secante e tangente hiperbólicas, pois o cosseno hiperbólico não possui raiz real. Já as funções cossecante e cotangente hiperbólicas possuem domínio em isto é, em todos os reais menos no zero, pois a função seno hiperbólico se anula em x = 0. Uma catenária, como a representada na Figura 5.7, possui equação da forma: Figura 5.8 Ponto P sobre o círculo. Figura 5.9 Ponto P sobre a hipérbole. Os valores reais de t que determinam P(cos t, sen t) sobre o círculo de raio unitário e centro na origem podem ser interpreta- dos como a medida, em radianos, do ângulo CÔP e representa Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 139 o dobro da área do setor circular da região sombreada na Figura 5.8. Já os valores reais de t que determinam P(cosh t, senh t) sobre o ramo direito da hipérbole não representa ângulo, porém, nos fornece o dobro da área sombreada do setor hiperbólico da Figura 5.9. Identidades Hiperbólicas Algumas identidades hiperbólicas são: Pelas duas últimas identidades apontadas, vemos que a função seno hiperbólico é uma função ímpar e cosseno hiper- bólico é uma função par. Essa informação é útil em muitas si- tuações, como no cálculo de integrais definidas, por exemplo. Essas identidades são de fácil verificação. Por exemplo, vamos verificar que: 140 Cálculo II Derivada de funções hiperbólicas Outra semelhança das funções hiperbólicas com as trigono- métricas são as fórmulas de derivação. Observe a lista das derivadas das funções hiperbólicas: Essas regras podem ser combinadas com a Regra da Ca- deia. Por exemplo, Outro exemplo, Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 141 Gráfico das funções hiperbólicas Apresentaremos os gráficos das funções hiperbólicas, mas in- dicaremos somente a construção da função seno hipérbólico. Para tanto, vamos estudar o comportamento dessa função pe- los recursos do cálculo. Já vimos que a derivada da função seno hiperbólico é a função cosseno hiperbólico, e que a derivada da função cos- seno hiperbólico é o seno hiperbólico. Então, a derivada se- gunda da função seno hiperbólico é a própria seno hiperbóli- co. Isto é, Para x = 0, se anula e é o único valor real de x que essa expressão assume o valor zero. Portanto, é a única raiz real dessa função. Para x < 0, a função assume valores negativos e, para x> 0, assume valores positivos. Sua derivada , não se anula, portanto, não existem pontos críticos e, além disso, é sempre positiva, o que indica função crescente em todo seu domínio. A derivada segunda possui uma raiz em x = 0 a qual não é ponto crítico da função, portanto, é ponto de inflexão. Temos, também, negativa para x < 0 e positiva para x > 0, então a função é convexa para x < 0 e côncava para x > 0. O estudo do limite no infinito dessa função nos dá infinito negativo no menos infinito e infinito positivo no infinito. 142 Cálculo II Figura 5.10 Gráfico da função seno hiperbólico. As Figuras 5.11 e 5.12 apresentam os gráficos das funções cosseno e tangente hiperbólicas, os quais podem ser construí- dos pelos recursos do cálculo como apresentado para o seno hiperbólico, assim como os gráficos das demais funções hiper- bólicas. Nesse momento, você pode usar um recurso gráfico como uma calculadora gráfica ou software matemático para construir ou verificar sua construção. Figura 5.11 Gráfico da função cosseno hiperbólico. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 143 Figura 5.12 Gráfico da função tangente hiperbólica. Recapitulando Usamos a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para definir a função logaritmo natural como a primitiva da função 1/t. Seu domínio são os reais positivos e sua imagem os reais. Por ser uma função bijetora, a função logaritmo admite inversa que é a função exponencial natural y = ex. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem os reais positivos. Com a função logaritmo e suas propriedades, podemos deri- var funções nas quais a variável aparece na base e no expoen- te, chamada derivação logarítmica. As funções hiperbólicas são combinações das funções ex e e-x. Por sua ampla aplicação nas ciências naturais e enge- nharia, merecem atenção especial e foram apresentadas neste capítulo. 144 Cálculo II Referências ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu- lo, V. 2, 8. ed. Bookman, 2007. ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, V. 2, 7. ed. LTC, 2003. STEWART, James. Cálculo, V. 2, 6. ed. Cengage Learning, 2009. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Brooks. Atividades 1) Use diferenciação logarítmica para encontrar a derivada da função y dada em cada item. 2) Use as definições das funções hiperbólicas para verificar as identidades hiperbólicas apresentadas neste capítulo. 3) Encontre y’ e y’’. Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 145 4) Encontre o ponto da curva em que a reta tan- gente possui inclinação 1. 5) Esboce o gráfico de cada função. a) b) c) d) 6) Verifique que as funções y1 = senh x e y2 = cosh x são so- luções da equação diferencial: y’’ – y = 0. Leomir Joel Schweig1 Capítulo 6 Integração por Partes Introdução Quando não podemos fazer manipulações algébricas no in- tegrando de uma integral para utilizar uma das fórmulas de integração vistas nos capítulos anteriores, devemos buscar mé- todos para resolver a integral. O primeiro método de integração que vamos estudar é o método de integração por partes. Essa técnica é utilizada principalmente quando o integrando é formado pelo produto de duas funções, geralmente uma função algébrica e uma fun- ção não algébrica, como, por exemplo, 1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil. Capítulo 6 Integração por Partes 147 1 O método da integração por partes O método da integração por partes baseia-se na derivada do produto, vista nos Capítulos 6 e 7 do livro de Cálculo I. Se u e v são funções de x, a regra da derivada do produto é escrita na forma: Ou simplesmente: Se u e v são contínuas, podemos integrar ambos os lados dessa equação; Reescrevendo essa integral, isolando o termo fica- mos com: (1) Que é a fórmula utilizada na integração por partes. Veja que essa fórmula expressa uma integral (primeiro membro da equação) em função de uma outra integral (no 148 Cálculo II segundo membro da equação). Dependendo das escolhas de u e , a integral do segundo membro pode se tornar mais fácil ou mais complicada para resolver. 2 Exemplos Exemplo 1: calcular O primeiro passo é escolher u e apropriados, para que possamos ter uma integral mais simples no segundo membro da fórmula (1). Assim, vamos fazer: Logo: Aplicando na fórmula (1): A integral do segundo membro é bem mais simples, fican- do o resultado final: Capítulo 6 Integração por Partes 149 Veja o que ocorre se escolhermos da seguinte manei- ra, isto é, fazendo: No segundo membro da igualdade, a integral é mais complicada do que a integral do primeiro membro. Nesse caso, devemos fazer novamente a integração por partes para essa integral e conforme escolhermos os novos u e para essa integral, pode-se ter uma nova integral por partes mais complicada, e assim por diante, nunca chegando ao fim. Quando vamos aplicar a fórmula (1), o primeiro passo é escolher qual o fator do integrando será . A expressão que escolhermos para deve vir acompanhada pelo diferencial . O restante do integrando será u . Calculamos, então, v e . Em geral, chamamos de a parte mais complicada do integrando que pode ser logo integrada. 150 Cálculo II O mais importante na integração por partes é decidir o produto inicial de modo que se obtenha o produto mais fácil para integrar. De modo geral: Â Escolha u de modo que seja mais simples do que a própria u . Â Escolha de modo que possa ser facilmente calculada. Exemplo 2: calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: Exemplo 3: calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: Capítulo 6 Integração por Partes 151 Exemplo 4: calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: Exemplo 5: neste exemplo, vamos integrar por partes mais de uma vez. Calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: 152 Cálculo II Exemplo 6: calcular Fazendo: então então Substituindo na fórmula (1): temos: Capítulo 6 Integração por Partes 153 Podemos então reduzi-las a uma só: OBS.: Resolva essa integral novamente, mas chamando ini- cialmente xu cos= e Exemplo 7: calcular Veja que essa é uma inte- gral definida. Primeiro vamos calcular a integral como se fosse uma integral indefinida: Fazendo: xu = , então então Substituindo na fórmula (1): temos: 154 Cálculo II Agora, utilizando os extremos de integração: Exemplo 8: calcular Veja que essa também é uma integral definida. Capítulo 6 Integração por Partes 155 Primeiro vamos calcular a integral como se fosse uma integral indefinida: Fazendo: xu = , então então Substituindo na fórmula (1): temos: Agora, utilizando os extremos de integração: Exemplo 9: calcular a área da região limitada pelo gráfico da função o eixo x, desde x = 1 até x = 2. 156 Cálculo II A seguir, o gráfico da função: A área será calculada pela integral: . Cálculo da integral indefinida: Fazendo: , então e , então . Substituindo na fórmula (1): , temos: Capítulo 6 Integração por Partes 157 Agora, utilizando os extremos de integração: Exemplo 10: a velocidade de um móvel varia em função do tempo de acordo com a função , no Sistema Interna- cional. Sabendo que sua posição inicial é a origem, determine sua posição no instante t e no instante 10 segundos. A posição é calculada pela integral da velocidade. Cha- mando de s(t) a posição em função do tempo, temos: . Logo: (que é uma integral por partes). Fazendo: tu = , então e , então .
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