Livro de cálculo II (atualizado)

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Cálculo II
Cálculo II
Organizado pela Universidade Luterana do Brasil
Universidade Luterana do Brasil – ULBRA
Canoas, RS
2016
Ana Brunet
Arno Bayer
Aureo Martins
Janor Araujo Bastos
Leomir Joel Schweig
Agostinho Iaqchan Ryokiti Homa
 1 Diferencial ............................................................................1
 2 Integral Indefinida ..............................................................11
 3 Integral Definida .................................................................40
 4 Aplicações da Integral Definida ...........................................94
 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas ............123
 6 Integração por Partes ........................................................146
 7 Integrais de Potências de Funções Trigonométricas ............163
 8 Funções Trigonométricas Inversas ......................................176
 9 Integrais por Substituição ..................................................205
 10 Integração de Funções Racionais .......................................219
Sumário
Capítulo 1
Diferencial
Introdução
Continuando o estudo das derivadas, das tangentes às curvas 
e o estudo dos infinitésimos, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm 
Leibniz, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Euler, Lapla-
ce, Cauchy e outros, a partir desses estudos, deram ao cálculo 
a sua forma atual.
Neste capítulo, estudaremos a diferencial de uma função, 
sua definição, interpretação e aplicações.
1 Doutor em Ciência da Educação. Docente pesquisador do PPGECIM.
2 Adaptado por Leomir Joel Schweig, Mestre Professor da Universidade Luterana 
do Brasil.
Arno Bayer1
Leomir Joel Schweig2
2 Cálculo II
1 Acréscimos de uma função
Consideremos a função y = f(x), onde x é a variável indepen-
dente e y a variável dependente. Na função y = f(x), quando a 
variável independente sofre variações, a variável dependente 
também estará sujeita à comportamento semelhante.
Se, por exemplo, a variável x variar de x1 para x2, isto é, 
um 
 
, a variável y passará de y1 para y2, sofrerá uma 
variação 12 yyy −=∆ ou )()( 12 xfxfy −=∆ .
Figura 1.1 Acréscimos de uma função.
2 Diferencial de uma função f(x)
Dada a função y = f(x) derivável, denominamos diferencial da 
função e indicamos por dy, ao produto de sua derivada f´(x) 
pelo acréscimo arbitrário ∆x da sua variável independente.
Capítulo 1 Diferencial 3
Calculando a diferencial da função identidade y = x, temos:
Então:
Considerando a expressão e dividindo os dois 
membros por dx, teremos:
Isso nos mostra que a derivada da função, f´(x), pode ser 
também expressa como o quociente entre as diferenciais dy e dx.
3 Interpretação geométrica da diferencial
Figura 1.2 Interpretação Geométrica.
4 Cálculo II
Mas, , então:
Da interpretação geométrica e das considerações, pode-
mos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado 
da função quando a variável independente recebe um acrésci-
mo. No gráfico, fica claro que, enquanto ∆x = dx, ∆y ≠ dy, mas 
quando ∆ x → 0, dy tende a se aproximar de ∆y.
O erro cometido na substituição de ∆y por dy pode ser des-
prezado por ser muito pequeno, tornando-se cada vez menor 
na medida em que dx for diminuindo.
4 Aplicação da diferencial
Exemplo:
Usando o diferencial de uma função, determinar aproximada-
mente a raiz quadrada de 83.
Podemos formar a função: y = 
Capítulo 1 Diferencial 5
A diferencial:
 dy = acréscimo aproximado
Então:
 Considerando:
Temos: 
Exercícios exemplos:
 1) Calcular a diferencial das funções:
Solução:
Solução:
6 Cálculo II
 2) Dada a função para e :
a) Calcular o valor de ∆y.
 Solução:
b) Calcular o valor de dy.
 Solução:
c) Calcular a diferença entre dy e ∆y em módulo.
 Solução:
A diferença é pequena e será sempre menor na medida em 
que dx for diminuindo.
Capítulo 1 Diferencial 7
 3) Calcular a , usando diferencial.
Podemos associar a função .
Solução:
, acréscimo aproximado de y.
 e
Sendo: x = 25 e , 
Logo: 
Valor real: 
 4) Calcular a variação que deve sofrer o lado de um qua-
drado, que mede 4 cm, para que sua área não sofra uma 
variação maior do que 1 cm2.
Temos: 
€ 
l = 4 cm, dA = 1 cm2
A = 
€ 
l2
€ 
l
€ 
l
€ 
l
€ 
l
€ 
l
8 Cálculo II
 5) Calcular quanto deve ser o aumento da aresta de um cubo 
para que o seu volume aumente 12%.
 do volume =0,12V
, mas V = a3
 ou 4% de a.
Recapitulando
Neste capítulo, vimos a definição da diferencial e sua interpre-
tação geométrica, que nos indica a variação ou o acréscimo 
aproximado que uma função sofre quando a variável indepen-
dente sofre uma variação ou um acréscimo. Quanto menor a 
variação da variável independente, a diferencial se torna mais 
próximo da variação exata da função.
Referências
CUNHA, Felix da e outros. Matemática Aplicada.
Atlas. São Paulo.
IEZZI, Gelson. Elementos de Matemática Elementar.
Atlas. São Paulo.
LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica.
Capítulo 1 Diferencial 9
Harbra. São Paulo.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica.
Mc Graw-Hill. São Paulo.
TAYLOR, Howard E. e outro. Cálculo Diferencial e Integral. 
Limusa.
Atividades
 1) Calcular a diferencial das funções:
a) b) 
2) Dada a função . Para e 
:
a) Calcular b) Calcular 
c) Calcular a diferença
 3) Calcular a , usando diferencial.
 4) Calcular a variação que deve sofrer o raio de um círculo, 
que mede 10 cm, para que sua área não sofra uma varia-
ção maior do que 2 cm².
 5) Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera 
para que seu volume aumente 15%.
 6) Use diferenciais para aproximar:
a) b) c) d) e) 
10 Cálculo II
 7) O raio de uma circunferência aumenta de 10 m para 10,1 
m. Utilize diferenciais para estimar o aumento na área do 
círculo correspondente.
 8) Usando diferencial, calcule de quanto por cento deve au-
mentar a medida da aresta de um cubo para que seu volu-
me aumente 15%. E para que seu volume aumente 20%?
 9) A aresta de um cubo aumenta de 20 cm para 20,01 cm. 
Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume do 
cubo.
 10) O raio de uma esfera aumenta de 8 cm para 8,01 cm. 
Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume da 
esfera.
 11) Usando diferencial, calcule o aumento da área de um 
quadrado de lado 20 cm quando ele sofrer um acréscimo 
de 1%.
 12) O raio de uma esfera aumenta de 10 cm para 10,01 cm. 
Utilize diferenciais para estimar o aumento no volume da 
esfera.
 13) Usando diferenciais, calcule de quanto por cento deve au-
mentar o volume de um cubo quando a sua aresta aumen-
ta 15%. E quando a aresta aumentar 5%?
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 2
Integral Indefinida
Introdução
Na disciplina de Cálculo I, o estudo se concentrou no limite 
e na derivada de funções. A partir da derivada, verificou-se 
como se determina a taxa de variação de uma função, o co-
eficiente angular da reta tangente a uma curva em um ponto 
dado e a definição de velocidade. Essa é apenas uma das 
partes do Cálculo, chamada de Cálculo Diferencial. A outra 
parte, chamada de Cálculo Integral, basicamente consiste no 
problema inverso da derivada, isto é, encontrar uma função 
cuja derivada conhecemos. Por meio do Cálculo Integral, ve-
remos, no Capítulo III, como se calcula a área de uma região 
1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.
12 Cálculo II
do plano xy e, em consequência, a resolução de inúmeros pro-
blemas. Depois, a partir do Teorema Fundamental do Cálculo, 
veremos qual a relação que existe entre o Cálculo Diferencial 
e o Cálculo Integral.
Neste capítulo, iniciaremos o estudo do Cálculo Integralpor meio da definição da antiderivada e suas propriedades 
operatórias e regras para o seu cálculo.
1 Definição de antiderivada
Uma função F(x) é uma antiderivada ou primitiva de uma 
função f(x) se
F'(x) = f(x)
para qualquer x pertencente ao domínio de f.
Por exemplo:
 Â A função é uma antiderivada ou primitiva 
da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
Capítulo 2 Integral Indefinida 13
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
 Â A função é uma antiderivada ou pri-
mitiva da função , pois .
Assim, podemos escrever infinitas funções F(x) que são an-
tiderivadas ou primitivas da mesma função , cada 
uma diferente da outra por uma constante, que simbolizamos 
por C. Então, podemos dizer que a função 
representa todas as antiderivadas ou primitivas da função 
, pois:
O conjunto de todas as antiderivadas ou primitivas de f(x) é 
chamado de integral indefinida de f(x) em relação à variável 
x e é escrita por:
O símbolo ∫ é o símbolo da integral. A função f(x) é o 
integrando da integral e dx indica que se está integrando em 
relação à variável x.
Assim, simbolizamos a integral de uma função f(x) em rela-
ção à variável x da seguinte maneira:
, onde C é chamada de constante de 
integração.
14 Cálculo II
No caso do exemplo dado no início do capítulo, escre-
vemos:
integrando 
 
antiderivada 
ou primitiva 
constante de 
integração
A integração e a diferenciação são operações inversas uma 
da outra. Verificamos esse fato substituindo-se F'(x) no integra-
do, obtendo-se:
 (a integração é o inverso da dife-
renciação)
Ainda, se , então podemos dizer que:
 (a diferenciação é o inverso da inte-
gração)
Assim, podemos obter fórmulas de integração diretamente 
das fórmulas de diferenciação, fazendo a operação inversa. O 
Quadro 2.1 a seguir enumera várias integrais simples ao lado 
das fórmulas das derivadas que as originaram.
Capítulo 2 Integral Indefinida 15
Quadro 2.1 Fórmulas de integrais e derivadas.
16 Cálculo II
Propriedades da integral indefinida:
(a) Quando tivermos a integral do produto de uma cons-
tante por uma função, a constante pode ser deslocada 
para fora da integral, multiplicando-a:
(b) A integral de uma soma é igual à soma das integrais:
(c) A integral de uma diferença é igual à diferença das 
integrais:
2 Exemplos
 1) Calcular as seguintes integrais:
Capítulo 2 Integral Indefinida 17
 
(fórmula 3, com n = -1/2)
 (propriedades (b) e (c) 
e fórmula 3)
18 Cálculo II
 2) Em cada caso a seguir, encontre a função )(xf conforme 
as condições iniciais:
a) 24)(' −= xxf , com 8)2( =f .
Veja que temos a derivada da função )(xf e queremos a 
função. Para obter essa função, basta integrarmos a função 
)(' xf :
Como 8)2( =f :
4
488
848
82.22.2 2
=
+−=
=+−
=+−
C
C
C
C
Logo: 422)( 2 ++−= xxxf 4
b) 26)('' 2 +−= xxxf , com 2)1(' =f e 3)0( =f .
Agora, conhecemos a derivada segunda. Integrando a 
derivada segunda )('' xf encontramos a derivada pri-
meira )(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos 
).(xf Em cada passo, devemos usar as condições ini-
ciais dadas para calcular as constantes de integração. 
Então:
Capítulo 2 Integral Indefinida 19
 Como 2)1(' =f :
3
8
3
1322
223
3
1
21.21.3
3
1 23
=
−+−=
=++−
=++−
C
C
C
C
Logo: 
3
823
3
)(' 2
3
++−= xxxxf
Calculando )(xf :
Como 3)0( =f :
c) θθ )('' senf = , com 2)(' =pif e 5)( =pif .
Conhecemos a derivada segunda. Integrando a deri-
vada segunda )('' xf encontramos a derivada primeira 
20 Cálculo II
)(' xf . Após, integramos )(' xf e encontramos Em 
cada passo devemos usar as condições iniciais dadas 
para calcular as constantes de integração. Então:
∫ +−=→= cos)(' )(' Cfdsenf θθθθθ
Como 2)(' =pif :
1
21
2)1(
2)( cos
=
=+
=+−−
=+−
C
C
C
Cpi
Logo: 1 cos)(' +−= θθf
Calculando )( θf :
( )
1)(
1 cos)( 
Csenf
df
++−=
+−= ∫
θθθ
θθθ
Como :5)( =pif
pi
pi
pipi
−=
=++−
=++−
5
50
5)( 
1
1
1
C
C
Csen
Logo: piθθθ −++−= 5 )( senf
3) Um avião decola da superfície com uma aceleração 
constante de 8 m/s². Qual será a sua velocidade 1 
minuto após a decolagem, sabendo que sua velocidade 
no instante inicial era de 60 m/s?
Capítulo 2 Integral Indefinida 21
 à à 
Como a velocidade inicial (quando t = 0) é igual a 60 m/s, 
podemos calcular C:
 à 
A equação da velocidade é: 
A velocidade após 1 minuto = 60 s será:
4) Estima-se que daqui a x meses, a população de certa 
cidade variará segundo a taxa de pessoas por 
mês. A população atual é de 10.200 pessoas. Qual a 
população daqui a 3 anos?
Vamos chamar a taxa de variação da população de P’: 
A população é a integral da taxa de variação, logo: 
 à 
Como a população atual (x = 0) é 10.200 pessoas, 
podemos calcular a constante C:
 à 
Então: .
22 Cálculo II
Para x = 3 anos = 36 meses:
 à 
3 Integração por substituição ou mudança 
de variável
O método da substituição ou mudança de variável é utilizado 
quando no integrando temos uma função composta gfo . Para 
isso, vamos examinar a regra da cadeia usada para calcular 
a derivada de funções compostas no ponto de vista da antide-
rivação.
Seja, então, a função F uma antiderivada de f e que g 
seja uma função diferenciável. A derivada de ))(( xgF ) pode, 
pela regra da cadeia, ser expressa como
e, em forma integral, pode ser escrita como
sabendo que F é uma entiderivada de f , podemos escrever 
ainda na forma
Para facilitar nossos cálculos, será útil fazer )(xgu = e 
escrever ou . Assim, a última integral 
pode ser escrita na forma
Capítulo 2 Integral Indefinida 23
O processo de escrever a integral na forma acima com a 
substituição de )(xgu = e é denominado méto-
do da substituição ou mudança de variável u.
4 Exemplos
Exemplo 1: calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Voltando à variável x, substituímos u por 35 +x . Daí o resulta-
do final fica: Cx ++
5
)35( 5 .
Veja que escolhemos 35 += xu conveniente para substituir 
na integral e obtermos o integrando apenas em termos de u 
e du. Após integramos como se fosse uma integral simples, 
usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos 
24 Cálculo II
u pela função de x para voltarmos à variável original da in-
tegral.
Para verificarmos se a integral está correta, basta derivar o 
resultado e comparar com o integrando (que devem ser iguais):
Exemplo 2: calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Voltando à variável x, substituímos u por 17 2 −x . Daí o 
resultado final fica: 
Veja que escolhemos 17 2 −= xu conveniente para substi-
tuir na integral e obtermos o integrando apenas em termos de 
Capítulo 2 Integral Indefinida 25
u e du. Após, integramos como se fosse uma integral simples, 
usando as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos 
u pela função de x para voltarmos à variável original da in-
tegral.
Verificando se o resultado está correto:
Exemplo 3: calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Veja que escolhemos xu 2= conveniente para substituir na 
integral e obtermos o integrando apenas em termos de u e du. 
Após, integramos como se fosse uma integral simples, usando 
as fórmulas de integrais já vistas. Por fim, substituímos u pela 
função de x para voltarmos à variável original da integral.
Verifique você o resultado, derivando.
26 Cálculo II
Exemplo 4: calculeSolução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Voltando à variável x fica: Cx +− 33 )2(
9
2
Exemplo 5: calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Capítulo 2 Integral Indefinida 27
Exemplo 6: calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Exemplo 7: calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
28 Cálculo II
Exemplo 8: calcule 
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Exemplo 9: calcule 
Solução:
Fazendo 
Capítulo 2 Integral Indefinida 29
Substituindo na integral dada:
Exemplo 10: calcule 
Solução: neste caso, vamos usar a relação: Então 
temos:
Fazendo 
Substituindo na integral dada:
Logo:
Sabendo que 
x cos
1 xsec = , temos:
30 Cálculo II
Então, a integral da tangente também pode ser escrita 
como:
Exemplo 11: calcule 
Nesse caso, não temos uma substituição mais evidente. Mas 
podemos fazer:
Substituindo na integral dada:
Capítulo 2 Integral Indefinida 31
32 Cálculo II
Capítulo 2 Integral Indefinida 33
Recapitulando
Neste capítulo, iniciamos o estudo do Cálculo Integral, defi-
nindo inicialmente a antiderivada ou primitiva para depois de-
finir a integral indefinida. Tratamos a operação de integração 
como a operação inversa da derivação e vimos a técnica de 
integração chamada de mudança de variável ou de substitui-
ção.
Referências
Referências básicas
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. V. 1. Porto 
Alegre: Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. V. 1. Rio 
de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002.
STEWART, James. Cálculo. V. 1. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2006.
Referências complementares
FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau-
lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007.
LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. V. 1. 3. 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
34 Cálculo II
MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. V. 1. Rio de Ja-
neiro: LTC, 1992.
SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. V. 
I. São Paulo: Mc
SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. V. 
1. São Paulo: 
Leituras e sites recomendados
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: 
LTC, 2003. v. 1 à 3.
HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas 
aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1.
THOMAS, George B. – Cálculo. V. I. São Paulo. Addison Wes-
ley, 2005.
www.impa.br
www.sbem.com.br
www.somatematica.com.br
Atividades
1) Calcule as integrais:
Capítulo 2 Integral Indefinida 35
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
g) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
r) 
s) 
t) 
u) 
v) 
w) 
y) 
x) 
z) 
2) Em cada caso a seguir encontre a função f(x) conforme 
as condições iniciais:
36 Cálculo II
a) xxf =)('' , com 1)0(' =f e 0)0( =f .
 b) 12)('' 3 +−= xxxf , com 1)0(' =f e 0)0( =f .
 c) 12)('' 3 +−= xxxf , com 0)1(' =f e 4)1( =f .
 d) θθ cos)('' =f , com 12
' =

 pif e 62 =

 pif
.
3) Uma partícula começa a se mover em linha reta com 
aceleração 2
2
14)( tta −= (m/s2). Sabendo que inicialmente a 
partícula estava em repouso e que s(0) = 20 m, determine 
as funções velocidade e posição.
4) Calcule as integrais:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
k) l) 
m) m) 
o) p) 
Capítulo 2 Integral Indefinida 37
5) Sabendo que 72)(´ += xxf e que f(2) = 0, calcule f(x).
6) Sabendo que xxf 62)´´( −= e que 4)0(´ =f e f(0) = 1, 
calcule f(x).
7) A equação da velocidade de um corpo é v(t) = 5 + 9,8t, 
em unidades SI. Sabendo que s(0) = 10 m, determine a 
equação da posição s em função do tempo.
8) Sabendo que , com 2)2( =f , determine 
9) No instante t = 0, um carro andando a uma velocidade de 96 
pés/s começa a diminuir sua velocidade com desaceleração 
constante a = -12 pés/s2. Determine a função velocidade 
v(t) e a distância percorrida até parar.
10) Calcule a função , sabendo que , 
 e .
11) Uma partícula começa a se mover em linha reta com 
aceleração (m/s²). Sabendo que inicialmente 
a partícula está em repouso e que , determine 
as funções velocidade e aceleração.
12) Calcule as integrais:
a) b) 
38 Cálculo II
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
k) l) 
m) n) 
o) p) 
q) r) 
s) t) 
u) v) 
13) Num dia típico, uma certa cidade consome água a uma 
taxa de (em milhares de litros por 
hora), onde t é o número de horas a partir da meia noite. 
Calcule o consumo diário de água.
14) Os itens abaixo informam a aceleração num instante t 
segundos, a velocidade e a posição num instante específico 
que um objeto se desloca sobre uma reta coordenada. 
Encontre a função posição em cada caso:
Capítulo 2 Integral Indefinida 39
a) 2
2
1)( tta = , v(0) = 1 m/s e s(0) = 5 m
b) 32
1)(
t
ta = , v(1) = 4 m/s e s(1) = 1 m
15) Um carro acelera de tal maneira que a sua velocidade 
varia de 25 km/h para 80 km/h em 13 segundos. Supondo 
a aceleração constante, calcule a aceleração em m/s e a 
distância percorrida nesses 13 segundos.
Aureo Martins1
Leomir Joel Schweig2
Capítulo 3
Integral Definida 2
 ÂNeste capítulo, iniciaremos com um problema para chegarmos ao cálculo de áreas de figuras planas. 
Veremos a Soma de Riemann, a definição de Integral De-
finida, a interpretação geométrica e suas propriedades. 
Estudaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que 
estabelece a ligação entre as operações de derivação e 
integração.
1 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
2 Adaptado por Leomir Joel Schweig, Mestre Professor da Universidade Luterana 
do Brasil.
Capítulo 3 Integral Definida 41
1 Notação sigma
Quando trabalhamos com a soma de muitos termos utilizamos 
a notação sigma para facilitar a representação da soma. Essa 
notação usa o símbolo Σ, que é a letra sigma maiúscula do 
alfabeto grego que corresponde a nossa letra S.
Alguns exemplos dessa notação:
Em geral, temos:
Onde m e n são inteiros com m < n.
O número m é chamado limite inferior da soma e n é cha-
mado limite superior. O símbolo i é o índice da soma e é a 
42 Cálculo II
variável do somatório. A função ai é denominada termo geral 
do somatório.
Algumas vezes os termos da soma envolvem subíndices, 
como nos exemplos:
Propriedades
Fórmulas
Capítulo 3 Integral Definida 43
Exemplo 1:
Encontre as somas:
Resolução
2 Integral definida – questão motivadora
A questão motivadora para o estudo da integral definida é 
o cálculo de área de região que não é contemplado com as 
44 Cálculo II
fórmulas geométricas conhecidas, como área do quadrado, 
triângulo, retângulo, trapézio, círculo.
Por exemplo, como calcular a área A (sombreada no plano 
cartesiano) no intervalo de 0 a 2 entre o gráfico dado na figura 
e o eixo x?
Figura 3.1 Área da região.
Capítulo 3 Integral Definida 45
Observe que não é fácil encontrar a área de uma região 
com lados curvos!
O cálculo desta área pode ser feito por aproximação da 
figura dada por meio de outras figuras cujas áreas são conhe-
cidas, até a exaustão, isto é, teremos que utilizar o conceito de 
limite. Utilizaremos, neste caso, o retângulo para facilitar os 
cálculos.
Primeiramente, vamos construir retângulos com as bases 
no eixo x que cubram a largura do intervalo de domínio e di-
vidir o intervalo [0, 2] em 2 subintervalos, usando como altura 
a imagem do extremo direito de cada um destes subintervalos. 
Observamos que a escolha do número cuja imagem é usada 
como altura pode ser qualquer número do subintervalo, mas 
vamos optar por usara imagem do extremo direito neste mo-
mento.
Então, na divisão do intervalo [0, 2] em dois subintervalos, 
eles serão [0,1] e [1,2]. Portanto cada subintervalo tem tama-
nho Δx = 1 u.c. As alturas são os valores de 1)( 2 += xxf 
no extremo direito de cada um, isto é: 211)1( 2 =+=f e 
.512)2( 2 =+=f Veja a representação geométrica da situa-
ção.
46 Cálculo II
Figura 3.2 Decomposição da região em dois retângulos.
Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos:
Obtemos uma área de 7 u.a. que é uma aproximação da 
área desejada.
Para melhorarmos nossa aproximação, vamos aumentar o 
número de retângulos dividindo o intervalo [0, 2] em quatro 
subintervalos de mesmo tamanho e tomá-los como base de 
quatro retângulos de altura f(x i
*
 ), onde xi
* é o extremo direito 
de cada subintervalo. Veja a representação da atual situação.
Capítulo 3 Integral Definida 47
Figura 3.3 Decomposição da região em quatro retângulos.
Calculando a soma das áreas dos retângulos de base Δx = 
0,5 u.c e altura f(xi
*), vem:
Obtemos uma área de 5,75 u.a. que é uma aproximação 
melhor da área desejada.
De maneira intuitiva, podemos observar que ao aumentar-
mos o número de retângulos (podemos fazer isso dividindo o 
48 Cálculo II
domínio em mais subintervalos) a soma das áreas dos retângu-
los vai ficando mais próxima da área da região compreendida 
entre o eixo das abscissas e o gráfico da função x2+1 no inter-
valo [0, 2]. Observe as representações para divisão em 8 e 16 
subintervalos tomando o extremo direito de cada subintervalo 
para o cálculo da altura de cada retângulo.
Calculando a área pela soma das áreas dos retângulos 
obtemos 5,19 u.a. para 8 retângulos e 4,9 u.a. para 16 re-
tângulos.
Quanto mais retângulos, menor será a base (Δx) de cada 
retângulo e a soma de suas áreas será mais próxima da área 
da região desejada. Mas essa base não pode ser zero... Mas 
podemos imaginá-la bem, bem pequena.
Capítulo 3 Integral Definida 49
3 Soma de Riemann
Vamos expandir a ideia anterior do cálculo f(xi
*).Δx, que nos 
fornecia a área de cada retângulo, admitindo-o para funções 
que assumem valores negativos também. Neste caso, o produ-
to f(xi
*).Δx não irá nos fornecer uma área. Além disso, vamos 
admitir, também, subintervalos de diferentes tamanhos. Algu-
mas definições se fazem necessárias.
Vamos considerar uma função f definida em um intervalo [a, 
b]. Uma partição do intervalo [a, b] é qualquer divisão deste 
intervalo em subintervalos. Por exemplo, podemos dividir o in-
tervalo [-2, 4] nos subintervalos [-2,0], [0,1], [1; 2,5],[2,5; 4].
Intervalo [-2, 4]
Uma possível divisão em subintervalos, no caso 4 subinter-
valos, do intervalo [-2, 4].
Esta partição do intervalo [-2, 4] é determinada pelo con-
junto dos pontos x: {-2; 0; 1; 2,5; 4}. O tamanho de cada 
subintervalo determinado pela partição do exemplo é:
50 Cálculo II
A norma de uma partição P (Notação: ||P||) é o tama-
nho do maior subintervalo da partição. No exemplo, o maior 
subintervalo tem tamanho 2, portanto a norma da partição é 
2, neste caso (ou seja, ||P|| = 2).
Uma partição é dita regular se todos os subintervalos têm 
mesmo tamanho.
Chamamos de Soma de Riemann da função f no interva-
lo [a, b] o somatório:
onde,
• n é o número de subintervalos no intervalo [ ]ba, .
• é o tamanho de cada subintervalo.
• xi
* é um ponto qualquer do subintervalo chamado au-
mento. 
Capítulo 3 Integral Definida 51
Exemplo 2:
O gráfico representa a função e oito retângulos de 
mesma base e alturas dadas pelo valor da f no extremo direito 
de cada subintervalo.
a) Determine o valor Δx, isto é, a medida da base de 
cada retângulo.
b) Determine a altura de cada retângulo.
c) Calcule a soma de Riemann da função f no intervalo 
[0, 4] representada pelos retângulos.
Resolução
a) 
b) 1º retângulo: altura = 
2º retângulo: altura = 
52 Cálculo II
3º retângulo: altura = 
4º retângulo: altura = 
5º retângulo: altura = 
6º retângulo: altura = 
7º retângulo: altura = 
8º retângulo: altura = 
Exemplo 3:
Calcule a soma de Riemann da função 
em [1, 3]. Para tanto, utilize quatro subintervalos de mesmo 
tamanho e tome o extremo esquerdo de cada subintervalo 
para aumento. Represente no gráfico essa soma.
Capítulo 3 Integral Definida 53
Resolução
1º retângulo: altura = 
2º retângulo: altura = 
3º retângulo: altura = 
4º retângulo: altura = 
54 Cálculo II
Gráfico
Exemplo 4
Considere a função no intervalo [-1, 2].
a) P = {-1; 0; 0,5; 1; 1,5; 2} é uma partição do intervalo 
[-1, 2]. Determine a norma dessa partição.
Capítulo 3 Integral Definida 55
b) Calcule a soma de Riemann dessa função nesse inter-
valo com a partição determinada pelo conjunto P dado 
em (a) e os aumentos: ; ; ; 
; .
c) Represente no plano cartesiano a soma de Riemann 
calculada em (b).
Resolução
a) 
A norma é ||P|| = 1
56 Cálculo II
Gráfico
Capítulo 3 Integral Definida 57
4 - Integral definida
Definimos a integral definida da função f no intervalo [a, b] 
pelo limite:
Se o limite da definição existe, então dizemos que a função 
é integrável no intervalo [a, b] e a integral definida 
existe.
Observamos que, assim como a soma de Riemann, a inte-
gral definida de uma função em um intervalo dado pode assu-
mir qualquer valor real e não um conjunto de antiderivadas 
como na integral indefinida. Porém, esse objeto matemático 
emergiu da ideia geométrica de área e podemos nos valer 
disso para determinar o valor numérico de algumas integrais 
definidas. Veja os exemplos a seguir.
Exemplo 5
A proposta desta atividade é calcular o valor da Integral 
Definida com uso da relação que ela possui com a área de re-
giões limitadas por curvas e o cálculo de áreas da Geometria. 
Lembramos que:
Figura Geométrica Plana Área da região limitada pela curva
Triângulo de base b e altura h
Retângulo de lados b e h
58 Cálculo II
Quadrado de lado l
Trapézio de bases B e b e altura h
Circunferência de raio r
a) Para calcular a integral definida: 
observamos que essa integral equivale numericamente 
à área da semicircunferência sombreada no gráfico:
Então o valor da integral será dado pela metade do valor 
da área região limitada pela circunferência de raio 2. Assim
Capítulo 3 Integral Definida 59
b) Outro exemplo é o cálculo de: . A área 
da região triangular sombreada no gráfico a seguir 
possui valor simétrico ao desta integral, pois a função 
integrando assume valores negativos neste intervalo.
Assim,
60 Cálculo II
c) Mesmo que a função integrando assuma valores posi-
tivos e negativos no intervalo de integração, podemos 
relacionar a Integral Definida com as conhecidas fór-
mulas de Geometria. Por exemplo, a Integral Definida 
da função representada no gráfico abaixo assume va-
lores positivos e negativos e pode ser calculada pela 
diferença entre as áreas das regiões que estão acima 
do eixo das abscissas e abaixo.
Neste caso, f é positiva no intervalo [-2, 3] e a área da 
região limitada pelas curvas y = f(x), y = 0 (eixo x), x = -2 e x 
= 3 é dada pela área do trapézio de base maior B = 5, base 
menor b = 3 e altura h = 2, ou seja, essa área vale 8 u.a. A 
área da região limitada pelas curvas y = 0, y = f(x), x = 3 e x 
= 4 é dada pela área do triângulo de base b = 1 e altura 1, 
ou seja, essa área vale ½. Assim,
Capítulo 3 Integral Definida 61
Exemplo 6
Calcular a área da região limitada pelo gráfico de 
, o eixo x, desde x = 0 até x = 1, usando a defini-
ção de integral (soma de Riemann).
Resolução
Veja no gráfico da função a seguir, que a mesma é contí-
nua e não-negativa no intervalo [0, 1]. 
62 Cálculo IIVamos dividir o intervalo [0, 1] em n subintervalos 
iguais: . Como podemos utilizar qualquer valor 
de no i-ésimo intervalo, escolheremos os extremos direitos de 
cada intervalo. Então:
 
 A área é calculada por: 
 u.a.
Exemplo 7
Calcular a integral , usando a definição 
(soma de Riemann).
Resolução
Veja no gráfico da função a seguir, que a mesma é contí-
nua e possui um trecho positivo e um trecho negativo no in-
tervalo [0, 4]. Portanto a soma de Riemann (a integral) não 
representa a soma das áreas. Ela representa a soma das áreas 
dos retângulos acima do eixo do x menos a soma das áreas 
dos retângulos abaixo do eixo x.
Capítulo 3 Integral Definida 63
Vamos dividir o intervalo [0, 4] em n subintervalos 
iguais: .
Então: 
A integral é calculada por: 
64 Cálculo II
A integral Definida goza das seguintes propriedades:
I. 
II. 
III. 
IV. 
Capítulo 3 Integral Definida 65
V. 
VI. 
5 Teorema fundamental do cálculo
Estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o 
cálculo diferencial e o cálculo integral.
PARTE 1: Se f for contínua em [ ]ba, , então a função g de-
finida por , com bxa ≤≤ é contínua em [ ]ba, e 
diferenciável em ),( ba e )()(' xfxg = , ou escrevendo de outra 
maneira:
PARTE 2: Se f for contínua em [ ]ba, , então:
onde F é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal 
que .' fF =
66 Cálculo II
Essas duas partes do Teorema nos informam que a diferen-
ciação e a integração são processos inversos. O que a diferen-
ciação faz, a integração desfaz e vice-versa.
Observe que, na aplicação desse teorema, não há neces-
sidade de incluir uma constante de integração nas antideriva-
das, pois ela irá sumir. Usando o teorema teremos:
Portanto, no cálculo da integral definida, podemos omitir a 
constante de integração.
Outra observação importante é sempre lembrar que o cál-
culo da integral definida só é correto se a função for contínua 
no intervalo de integração, pois, se desconsiderarmos essa 
premissa, os resultados obtidos quase certamente não serão 
corretos.
Para calcular a Integral Definida, usaremos as Regras de 
Integração, as propriedades e o Teorema Fundamental do 
Cálculo. Agora, retornaremos ao Problema do início do ca-
pítulo.
Capítulo 3 Integral Definida 67
Problema
Como calcular a área A da região entre o gráfico da função: 
f(x)= x² + 1 e o eixo x, no intervalo de x= 0 a x=2 ?
Solução: a área pedida é calculada usando a Parte 2 do 
Teorema Fundamental, cujo resultado dará a área exata abai-
xo do gráfico da função e acima do eixo das abscissas, no 
intervalo de x = 0 a x = 2, em unidades de área (u.a.):
Portanto, a área A exata entre o gráfico da função e o eixo 
x no intervalo de [0;2] é 4,67 unidades de área.
68 Cálculo II
Exercícios resolvidos
 1) Aplicar as propriedades das integrais definidas:
a) Propriedade 1 – Achar: 
b) Propriedade 2 – Provar que 
c) Propriedade 3: Achar 
Capítulo 3 Integral Definida 69
 2) Achar a área sob a parábola 2)( xxf = de x=0 até x=2 
conforme o gráfico abaixo.
 3) Achar a área sob a reta 2)( += xxf de x=0 até x=4 con-
forme o gráfico abaixo.
70 Cálculo II
Solução: observe que o gráfico é uma reta e, portanto, a 
área demarcada no gráfico é uma figura que pode ser calcu-
lada sem a necessidade do uso do cálculo da integral. Usando 
a integral, teremos:
 4) Achar a área sob a parábola 1)( 2 += xxf de x=-2 até 
x=2 conforme o gráfico abaixo.
Capítulo 3 Integral Definida 71
 5) Achar a área do gráfico da função 3)( xxf = de x=-2 até 
x=2 conforme o gráfico abaixo.
72 Cálculo II
Solução: observe que o gráfico da função de x=-2 a x=0 
está abaixo do eixo x (valor negativo) e de x=0 a x=2 está 
acima do eixo x (valor positivo).
Logo, se calcularmos a integral definida da função de x=-2 
a x=2, obteremos um resultado zero, porque a área abaixo do 
eixo x é igual à área acima do eixo x. Portanto, para acharmos 
a soma da área de x = -2 a x = 2, vamos calcular da seguinte 
forma:
1º) Na área de x = -2 até x = 0, vamos usar a propriedade 
2, que consiste em inverter os valores do intervalo de integra-
ção:
2º) Calcular a área de x = 0 até x = 2:
Logo, a área total será: A = A1 + A2 = 4 + 4 = 8 u.a.
 6) Calcular a área hachurada do gráfico abaixo.
Capítulo 3 Integral Definida 73
 7) Calcular a área hachurada do gráfico abaixo.
74 Cálculo II
 8) Calcular a área hachurada do gráfico.
 9) Calcular a área hachurada do gráfico.
Capítulo 3 Integral Definida 75
 10) Determine a área da região limitada pelos gráficos das 
funções: conforme o gráfico abai-
xo.
 11) Determine a área da região limitada pelos gráficos das 
funções: e x=5 conforme o gráfico 
abaixo.
76 Cálculo II
 12) Resolva as seguintes integrais definidas, usando a segunda 
parte do Teorema Fundamental do Cálculo:
Capítulo 3 Integral Definida 77
78 Cálculo II
 13) Calcular a integral se =)(xf x2, se x < 2 e =)(xf
x + 2, se x ≥ 2.
 14) Calcular a integral 
A função modular: 2)( −= xxf é igual a 2)( +−= xxf se 
2<x e 2)( −= xxf se 2≥x , logo:
 15) Calcular a integral 
A função modular: 33)( −= xxf é igual a 33)( +−= xxf
se e 33)( −= xxf se 1≥x , logo:
Capítulo 3 Integral Definida 79
6 Cálculo de integrais definidas por 
substituição ou mudança de variável
Na seção 3 do capítulo 2, foi visto o método da substituição ou 
mudança de variável quando no integrando temos uma função 
composta.
Para calcular uma integral definida do tipo , 
vamos verificar dois métodos:
Primeiro método:
Calcula-se a integral indefinida e, após, utiliza-se o 
Teorema Fundamental para calcular a integral definida. 
Esse procedimento não requer modificação no intervalo 
de integração.
Exemplo 1: calcule , usando o primeiro método.
Solução:
80 Cálculo II
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Segundo método:
Faz-se a substituição na integral definida e usa-se a re-
lação u = g(x) para substituir os limites de integração x = 
a e x = b pelos correspondentes limites de u = g(a) e u = 
g(b), produzindo uma nova integral definida: .
Exemplo 2: calcule , usando o segundo mé-
todo.
Solução:
Fazendo 
Mudando o intervalo de integração:
Se x = 1 então u = 12 +3 = 4 e x = 3 então u = 32 + 3 = 12
Exemplo 3: calcule usando o primeiro e o se-
gundo método.
Capítulo 3 Integral Definida 81
Solução pelo primeiro método:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Solução pelo segundo método:
Fazendo 
Mudando o intervalo de integração:
Se x = 2 então u = 2 – 2 = 0 e x = 6 então u = 6 – 2 = 4
Verifica-se que o resultado da integral definida por substi-
tuição, tanto pelo primeiro quanto pelo segundo método, é o 
mesmo e, por conseguinte, a escolha do método a ser usado 
passa por uma questão de gosto e facilidade.
Exemplo 4: calcule 
 
usando o primeiro método.
82 Cálculo II
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Exemplo 5: calcule usando o primeiro méto-
do.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral defi-
nida:
Exemplo 6: calcule usando o primeiro método.
Capítulo 3 Integral Definida 83
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornandopara a variável x e calculando a integral defi-
nida:
Exemplo 7: calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Exemplo 8: calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
84 Cálculo II
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Exemplo 9: calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Retornando para a variável x e calculando a integral defi-
nida:
Exemplo 10: calcule usando o primeiro método.
Solução:
Fazendo 
Substituindo na integral dada e calculando a integral inde-
finida, teremos:
Capítulo 3 Integral Definida 85
Retornando para a variável x e calculando a integral definida:
Recapitulando
Começamos este capítulo revisando a notação e as proprie-
dades de somatório e calculando somas indicadas com esta 
notação.
Utilizamos o somatório para calcular a área aproximada de 
uma região entre o gráfico de uma função contínua e o eixo 
x, num intervalo [a, b]. Para isso dividimos o intervalo em su-
bintervalos, determinando retângulos com esses subintervalos. 
Vimos que quanto maior o número de subintervalos, maior o 
número de retângulos e a soma das áreas desses retângulos 
vai ficando mais próxima da área exata da região. Essa soma 
recebe o nome de Soma de Riemann. A área exata da região 
é obtida quando levamos a soma de Riemann ao limite, com 
86 Cálculo II
o número de subintervalos tendendo ao infinito. A integral de-
finida foi definida como sendo esse limite.
Vimos também as duas partes do Teorema Fundamental do 
Cálculo, onde relaciona as operações de derivação e integra-
ção entre si (uma é o inverso da outra) e mostra como pode-
mos calcular uma integral definida a partir da antiderivada.
Referências
Referências básicas
STEWART, James. Cálculo. V. 1. São Paulo: Pioneira Thom-
son Learning, 2006.
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. V. 1. Porto 
Alegre: Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de uma variável. V. 1. 
Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002.
Referências complementares
FLEMMING, Diva, GONÇALVES, Mirian. Cálculo A. São Pau-
lo: Prentice Hall. 2006. Graw-Hill. 2007.
LEITOHLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. V. 1. 3. 
ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
MUNEM, Mustafá, FOULIS, David. Cálculo. V. 1. Rio de Ja-
neiro: LTC, 1992.
Capítulo 3 Integral Definida 87
SIMONNS, George F. Cálculo com geometria analítica. V. 
I. São Paulo: Mc
SWOKOWSKY, Earl W. Cálculo com geometria analítica. V. 
1. São Paulo: 
Leituras e sites recomendados
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: 
LTC,2003. v. 1 à 3.
HOFFMANN, L. D. Um curso moderno de cálculo e suas 
aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2002. v.1.
THOMAS, George B. Cálculo. V. I. São Paulo. Addison Wesley, 
2005.
www.impa.br
www.sbem.com.br
www.somatematica.com.br
Atividades
1. Em cada item, use a Geometria para calcular a 
Integral Definida da função representada no plano 
cartesiano.
a) 
88 Cálculo II
Sugestão: calcule a área do retângulo e subtraia da área 
do semicírculo.
b) , com 
Capítulo 3 Integral Definida 89
c) com 
90 Cálculo II
2. Sabendo que , e 
, utilize as propriedades das integrais 
definidas para calcular:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
Capítulo 3 Integral Definida 91
3. Calcule o valor das integrais definidas:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) j) 
4. Calcular as integrais definidas usando a regra da 
substituição:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
5. Calcular a área da região entre a curva da função e o 
eixo x, no intervalo dado:
92 Cálculo II
a) , b) , 
c) , d) ,
e) , f) , 
6. (ENADE-2005) Considere uma função 
cujo gráfico está representado na figura a seguir:
Assinale a opção que melhor representa o gráfico da fun-
ção .
Capítulo 3 Integral Definida 93
Janor Araujo Bastos
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 4
Aplicações da Integral 
Definida1
 ÂNeste capítulo, abordaremos algumas aplicações da integral definida, tais como áreas entre curvas, vo-
lumes de sólidos e o trabalho realizado por uma força 
variável.
1 Adaptado por Leomir Joel SchweigMestre, Professor da Universidade Luterana 
do Brasil.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 95
1 Áreas entre curvas
Nos tempos antigos, o procedimento mais utilizado pelos ma-
temáticos para o cálculo de área era o método da exaustão, 
que consiste em aproximar a figura em questão por meio de 
outras, cujas áreas sejam conhecidas.
Hoje, conforme visto no Capítulo 3, sabemos que o valor 
da integral definida de uma função f é numericamente igual a 
área da região limitada pelo gráfico dessa função e o eixo das 
abscissas em um intervalo dado, se f for positiva e contínua 
nesse intervalo. Considerando a Figura 4.1.1 abaixo, temos:
Figura 4.1.1
96 Cálculo II
Partindo dessa mesma ideia, podemos calcular a área limi-
tada pelos gráficos de duas funções. Na figura 4.1.2, temos 
uma região limitada pelos gráficos das funções f(x) e g(x). Se 
integrarmos a função f(x) de a até b, teremos o valor da área 
da região limitada pelo gráfico de f(x), o eixo das abscissas e 
as retas x = a e x=b. Se integrarmos a função g(x) de a até 
b teremos o valor da área da região limitada pelo gráfico da 
g(x) o eixo das abscissas e as retas x = a e x = b. Se da área 
limitada na parte superior pelo gráfico de f(x) subtrairmos a 
área limitada na parte superior pelo gráfico de g(x), teremos a 
área sombreada que procuramos. Então:
A área da região limitada pelo gráfico de f(x) será 
A área da região limitada pelo gráfico de g(x) será 
.
Subtraindo A1 de A2, temos a área A, ou seja:
 desde que f(x) > g(x) 
em todo intervalo [a; b].
Usando as propriedades das integrais, podemos escrever:
Obs.: devermos subtrair a função cujo gráfico está limitan-
do por cima da função cujo gráfico está limitando por baixo 
naquele intervalo.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 97
Figura 4.1.2
Exercícios resolvidos
 1) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-
ções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 no intervalo [0; 1].
Solução:
Observando a figura, vemos que, no intervalo considerado, o 
gráfico de f(x) = 2x+1 é a fronteira superior e gráfico de g(x) 
= x2 é a fronteira inferior. Então, a área será:
Figura 4.1.3
98 Cálculo II
 2) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-
ções y = x + 1 e y = x2-1
Solução:
Observe que não foram fornecidos os limites de integração. 
Nesse caso, devemos considerar os pontos onde os dois gráfi-
cos se interceptam, que são os pontos onde as funções têm o 
mesmo valor. Então, fazendo:
x + 1 = x2-1
ou
x2 – x – 2 = 0
Resolvendo essa equação, encontramos x1 = -1 e x2 = 2, que 
são os valores de x dos pontos onde os gráficos se interceptam 
e que representam os limites da área procurada.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 99
Figura 4.1.4.
A região está limitada por cima pela reta e por baixo pela 
parábola. Então, a área será dada pela integral da equação 
da reta menos a equação da parábola. Logo:
100 Cálculo II
 3) Achar a área da região delimitada pelos gráficos das fun-
ções y = x + 1 e y = X2-1 e pelas retas x = 0 e x = 3.
Solução:
Figura 4.1.5
Observando o gráfico, podemos verificarque no intervalo 
[0; 2] a região está limitada na parte superior pela reta e no 
intervalo [2; 3] pela parábola. Então devemos fazer a integra-
ção em cada um dos intervalos separadamente. No intervalo 
[0; 2], a fronteira superior é feita pela reta, então, devemos in-
tegrar a equação da reta menos a equação da parábola e, no 
intervalo [2; 3], onde a fronteira superior é feita pela parábola, 
devemos integrar a equação da parábola menos a equação 
da reta, ou seja:
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 101
 4) Achar a área de região delimitada pelas curvas 
.
Solução:
A figura mostra os gráficos e a região.
Figura 4.1.6
102 Cálculo II
Observe que a fronteira inferior consiste em porções de 
dois gráficos diferentes, por isso não podemos obter a área 
utilizando apenas uma integral definida. Devemos considerar 
uma integral das funções y = x + 6 e no intervalo 
[-4; 0], pois a região é limitada por essas duas retas nesse in-
tervalo, e a outra integral com as funções y = x + 6 e y = x3 
no intervalo [0; 2], que são as fronteiras superior e inferior da 
região nesse intervalo.
 5) Calcule a área da região limitada pelos gráficos das fun-
ções
 .
Solução:
A região está ilustrada na figura abaixo.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 103
Figura 4.1.7
Como no exemplo anterior, devemos dividir o intervalo em 
duas partes e integrar 4xye4xy +−=+= no inter-
valo [– 4; – 3] e 2xye4xy +=+= no intervalo [– 3; 0]. 
Então temos:
104 Cálculo II
Mas, se considerarmos x em função de y, teremos menos 
trabalho. Veja:
2yx2xy
4yx4xy4xy 22
−=⇒+=
−=⇒+=⇒+=
Nessas condições, a região está delimitada à direita pela 
reta x = y – 2 e à esquerda pela curva x = y2 – 4. Então, deve-
mos realizar a integração dessas funções em relação à y.
Nesse caso, fazemos apenas uma integral da fronteira di-
reita menos a fronteira da esquerda, ou seja:
 u.a.
2 Sólidos de revolução
Se fizermos girar uma região em torno de uma reta, o resul-
tado será um sólido de revolução. Por exemplo, ao girarmos 
um retângulo com um dos lados fixo a uma reta, teremos um 
cilindro circular reto; se girarmos triângulo retângulo com um 
dos catetos fixo em uma reta, teremos um cone circular reto; 
se girarmos um semicírculo com extremidade do diâmetro fixo 
na reta, teremos uma esfera. Dizemos que a reta é o eixo de 
revolução e que o sólido foi gerado pela região.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 105
 
 
 
(c) 
x 
y 
(b) 
x 
y 
r=f(x) 
(a) 
x 
y 
(d) 
x 
y 
Figura 4.2.1.
Se interceptarmos um sólido de revolução com um plano 
perpendicular ao eixo x, obteremos uma secção transversal 
circular. Se o plano cortar o eixo x no ponto x = a, o raio do 
círculo é f(a), e sua área será [ ]2)(afpi .
Se um sólido está entre x=a e x=b, a área da secção trans-
versal é A(x), e se A(x) é uma função contínua, utilizando a 
soma de Riemann, podemos escrever uma definição para o 
volume dos sólidos de revolução:
106 Cálculo II
Como nos sólidos de revolução a secção transversal será 
sempre um circulo de área [ ] ,)( 2xfA pi= o volume do sólido 
é dado por:
No caso do cilindro, f(x) = r é uma função constante, onde 
f(x) é o raio do círculo. A base do cilindro tem área é 2.rpi . Então:
altura do cilindro. 
Figura 4.2.2
Exercícios resolvidos
 1. Encontre o volume do sólido de revolução gerado pela 
rotação da região R delimitado pelo gráfico da função 
f(x) = 3 e as retas x = 1 e x = 5 em torno do eixo x.
Solução:
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 107
A Figura 4.2.3 mostra a região R, e o sólido por ela gerado 
é um cilindro circular reto mostrado na Figura 4.2.2. Devemos 
integrar a função f(x) = 3 de 1 até 5.
Figura 4.2.3
 2) Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da re-
gião sob a curva xy = em torno do eixo x entre 0 e 4. 
Esboce a região e o sólido aproximado típico.
Solução:
A Figura 4.2.4 mostra a região e o sólido gerado.
108 Cálculo II
 
Figura 4.2.4
Devemos integrar a função xy = de 0 até 4.
 3) Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = x2 
+ 2 e o eixo x entre -1 e 2, e calcule o volume do sólido 
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 109
gerado pela rotação da região em torno do eixo x. Esboce 
o sólido aproximado típico.
Solução:
A Figura 4.2.5 mostra a região e o sólido gerado
 
Figura 4.2.5.
 4) Esboce a região delimitada pelo gráfico da função y = 
x2+2 entre y = 2 e y = 4 e calcule o volume do sólido 
gerado pela rotação da região em torno do eixo y. Esboce 
o sólido aproximado típico.
Solução:
110 Cálculo II
A Figura 4.2.6 mostra a região e o sólido gerado.
Figura 4.2.6
Como a região está girando em torno do eixo y, devemos 
fazer a integração em relação a y. Para que isso seja possível, 
a equação y = x2 + 2 deve ser escrita em função de y, ou seja:
Logo: 
 5) Esboce a região delimitada pelos gráficos das funções 
xy = e xy
2
1
= de x = 0 até x = 4 e calcule o volume 
do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do 
eixo x. Esboce o sólido aproximado típico.
Solução:
A Figura 4.2.7 mostra a região e o sólido gerado.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 111
Figura 4.2.7.
 6) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região 
delimitada pelos gráficos das funções y = 6 e y = x + 1 
em torno do eixo x de 1 até 4. Faça um esboço da região 
e do sólido aproximado típico.
112 Cálculo II
Solução:
A Figura 4.2.8 mostra a região e o sólido gerado.
 
Figura 4.2.8
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 113
 7) Repita o exemplo 5 com a região girando em torno do eixo y.
Solução:
A figura 4.2.9 mostra a região e o sólido gerado.
Figura 4.2.9
114 Cálculo II
3 Aplicações
Definição:
Se uma força constante F atua sobre um objeto, fazendo-o 
mover-se por uma distância d na direção e sentido da força, o 
trabalho W é dado por:
W = F.d
Se f(x) é uma força variável e contínua em um intervalo [a; 
b], o trabalho W realizado para mover um objeto de x = a até 
x = b é:
Pela lei de Hooke, a força f(x) necessária para distender 
uma x unidades além do seu comprimento natural é dada por:
f(x) = kx, onde k é uma constante chamada constante da 
mola.
Exemplos
 1) Calcular o trabalho para distender uma mola de seu com-
primento normal de 20 cm até 30 cm, sabendo que, para 
distendê-la 5 cm, é necessária uma força de 40 N.
Solução:
20 cm = 0,2 m, 30 cm = 0,3 m e 5 cm = 0,05 m
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 115
Devemos primeiramente determinar a constante k da mola.
 2) Um cabo de 10 m de comprimento e pesando 25 N pen-
de verticalmente do topo de um edifício. Uma barra de 
ferro de 80 N está presa na extremidade inferior do cabo. 
Calcular o trabalho para transportar a barra até o topo do 
edifício.
Solução:
O trabalho para transportar a barra de ferro até o topo é:
O trabalho para elevar o cabo:
Considerando a extremidade inferior do cabo na origem 
do eixo y e a extremidade superior em y = 10 e dy o incremen-
to do comprimento do cabo. Como cada metro pesa 2,5 kg o 
peso do incremento é 2,5 dy. Consideremos y a distância de 0 
até o ponto de incremento.
Temos:
Incremento da massa: 2,5 dy
116 Cálculo II
Distância percorrida: 10 – y
Incremento do trabalho: (10-y).g.2,5dy
Então:
3) Uma certa quantidade de gás está dentro de um reci-
piente cilíndrico que contém um êmbolo móvel, ocupan-
do um volume inicial de 1 m³ e sob pressão de 20 N/m². 
O êmbolo é deslocado fazendo com o gás se expandir 
até atingir um volume de 3 m³. Calcule o trabalho rea-
lizado pelo gás, supondo que a pressão é inversamente 
proporcional aovolume.
Solução
Se a força é constante, então o trabalho realizado pelo gás é 
dado por: . pois:
 à à à 
Logo, o trabalho para expandir o gás é dado por: 
Como a pressão é inversamente proporcional ao volume, 
temos: , o trabalho fica:
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 117
Calculando a constante : à à 
podemos calcular o trabalho:
Recapitulando
Neste capítulo, estendemos o cálculo da integral definida com 
algumas aplicações, tais como o cálculo da área entre duas 
curvas, o volume de sólidos de revolução e aplicações na Fí-
sica, como o trabalho realizado por uma força e a pressão de 
um gás.
Referências bibliográficas
ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu-
lo, V. 2, 8. ed. Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, V. 2, 
7. ed. LTC, 2003.
118 Cálculo II
LEYTHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica, Vol I. 
Harbra. São Paulo.
PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I. 10. ed. 
Em língua portuguesa. Lopes da Silva, Porto: 1992.
STEWART, James. Cálculo, V. 2, 6. ed. Editora Cengage Lear-
ning, 2009.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São 
Paulo: Makron Brooks.
Atividades
1. Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos 
das funções e calcule a sua área, em cada caso a 
seguir:
a) e , de até .
b) e , de até .
c) e .
d) e , de até .
e) 
 e , de até .
f) e , de até .
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 119
g) e .
2. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação 
da região limitada pelas curvas em torno da reta 
especificada. Faça um esboço da região e do sólido.
a) de até , em torno do eixo x.
b) 
 de até , em torno do eixo x.
c) de até , em torno do eixo y.
d) e , em torno do eixo y.
e) e , em torno do eixo y.
f) e , de até , em 
torno do eixo x.
g) Repita o exercício (f) fazendo a região girar em 
torno do eixo y.
3. Um gorila de 1.800 N de peso sobe uma árvore de 5 
metros em 10 segundos. Calcule o trabalho realizado 
pelo gorila para chegar ao topo da árvore.
4. Uma mola de 25 cm de comprimento natural sofre 
uma distensão de 3,8 cm sob a ação de um peso de 
35 N. Usando integral calcule o trabalho realizado 
pela mola:
a) De seu comprimento normal para 35,5 cm.
120 Cálculo II
b) De 28 cm para 33 cm.
5. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e 
calcule a área desta região:
a) xy = , eixo x, x= 1 e x = 9.
b) xxy 6
2
−= e xy 2= .
6. Calcule a área da região limitada pela curva 
xxy 42 −= , o eixo x, e as retas x = 1 e x = 3. 
Construa o gráfico indicando a região.
7. Calcule a área da região limitada pela curva 
2xxy −= , o eixo x, desde x = 0 até x = 1. Construa 
o gráfico e indique a região.
8. Calcule a área da região limitada pelo gráfico da 
função 13)( 2 += xxf , o eixo x, desde x = 0 até x= 2. 
9. Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e 
calcule a área desta região.
a) 1+= xy , 
29 xy −= , x = -1 e x = 2.
b) senxy = , 
xey = , x = 0 e 2/pi=x .
c) xy = e 
2xy = .
d) 
25 xxy −= , xy = .
e) 
1
1
+
=
x
y , 2+= xy , x = 0 e x = 2.
Capítulo 4 Aplicações da Integral Definida 121
10. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da 
região delimitada pelas curvas dadas em torno das 
retas especificadas. Esboce a região e o sólido:
a) 
xy
2
12 −= , y = 0, x = 1, x = 2, em torno do eixo x.
b) xy /1= , y = 0, x = 1, x = 3, em torno do eixo x.
c) xxy 4
2
−= , y = 0, em torno do eixo x.
d) 
2xy = , y = 2, em torno do eixo y.
e) 
24 yyx −= , x = 0, em torno do eixo y.
11. (ENADE-2011) Considere a função 
definida por , para cada 
. A área da região limitada pelo gráfico da 
função , o eixo e as retas e 
 é igual a:
a) 16/15 u.a. b) 38/15 u.a. c) 44/15 u.a. 
d) 60/15 u.a. e) 76/15 u.a.
12. Um reservatório, inicialmente vazio, está sendo 
abastecido de água a uma taxa de . 
Qual é a quantidade de água no reservatório de pois 
de 6 horas?
13. A taxa de fabricação de televisores de uma fábrica é 
 televisores por semana (t em semanas). 
Quantos televisores foram fabricados do dia 8 até o 
dia 21?
122 Cálculo II
14. A concessionária de uma rodovia modelou o fluxo 
de tráfego num ponto de uma rodovia e encontrou 
a expressão , com t 
medido em horas e t = 0 corresponde a 7 horas da 
manhã. Calcule quantos carros passam pelo ponto 
das 7 horas às 9 horas da manhã.
Ana Brunet1
Leomir Joel Schweig2
Capítulo 5
Funções Logarítmicas, 
Exponenciais e 
Hiperbólicas 2
Introdução
Neste capítulo, vamos apresentar a função logaritmo natural 
a partir da necessidade de uma primitiva para a função 1/t no 
cálculo integral. Sua inversa será definida e, com ela, o núme-
ro e. As funções hiperbólicas aparecem em muitas aplicações 
das ciências naturais e engenharia. Veremos que tais funções 
são combinações de funções exponenciais.
1 Mestre em Matemática (UFRGS), docente da ULBRA.
2 Adaptado por Leomir Joel SchweigMestre, Professor da Universidade Luterana 
do Brasil.
124 Cálculo II
1 A função logaritmo natural
No Capítulo 2, Integrais Indefinidas, vimos a operação de inte-
gração como inversa da derivada. A regra de integração para 
funções do tipo xn, com n racional e diferente de – 1, foi apre-
sentada como:
e para n = -1, como:
Em (*) é fácil ver que a derivada da função dada como a 
primitiva é a função integrando, o que ratifica a fórmula. Po-
rém, para justificar (**) precisaremos do Teorema Fundamental 
do Cálculo enunciado no Capítulo 3.
Primeiro, vamos observar o gráfico da função 1/t na Figura 
5.1 para valores positivos de t.
Figura 5.1 Gráfico da função 1/t.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 125
Podemos ver que existe uma região entre o gráfico da fun-
ção e o eixo das abscissas. Se considerarmos um intervalo de 
números positivos [a, b], então terá uma região limitada pelas 
curvas y = 1/t, y = 0, t = a e t = b (Figura 5.2). Vimos no 
Capítulo 3 que a área dessa região, já que a função assume 
valores positivos nesse intervalo, é dada pela integral definida:
Figura 5.2 Região limitada pelo gráfico de y = 1/x, y = 0, x = a e x = b.
Definimos a função logaritmo natural (Notação: y = ln x) por:
onde
126 Cálculo II
Consequências da definição
Das propriedades da integral definida, decorre o estudo do 
sinal da função ln.
Para x = 1, temos:
Para x = c > 1, temos:
Nesse caso, o valor da integral coincide com o valor da 
área da região limitada pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = 1 e t 
= c. Isto é, a função ln assume valores positivos para x > 1.
Para x = c, com 0 < c <1, temos:
Para valores de c entre zero e um, a área da região limitada 
pelas curvas y = 1/t, y = 0, t = c e t = 1 é dada pelo cálcu-
lo da integral definida com limite inferior igual a c e superior 
igual a 1, pois c < 1. Então a função ln assume valores nega-
tivos no intervalo (0, 1).
Vamos apresentar, de maneira intuitiva, o estudo do com-
portamento da função logaritmo natural ao x tender ao infinito 
e ao x tender a zero pela direita. Iniciaremos com o limite no 
infinito.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 127
A ideia geométrica desse limite é o cálculo da área da re-
gião não limitada representada na Figura 5.3.
Figura 5.3 Área sob o gráfico de y = 1/t com t >1.
A Figura 5.4 nos fornece uma visualização de uma aproxi-
mação por falta da integral procurada.
Figura 5.4 Aproximação por falta da área abaixo do gráfico de y = 1/t 
com t > 1.
128 Cálculo II
O que estamos fazendo aqui é parecido com a Soma de 
Riemannquando se toma para aumento o limite superior do 
subintervalo de tamanho unitário, porém, o intervalo não é 
limitado superiormente. Podemos escrever, então:
mas
e
Ou seja, estamos somando ½ infinitas vezes, o que resulta 
em uma soma infinita. Assim,
O estudo do comportamento da função logaritmo natural 
ao x tender a zero pela direita pode ser realizado de forma 
parecida. Nesse caso, o limite resulta em menos infinito.
A função 1/t é contínua para valores positivos de t, então a 
parte I do Teorema Fundamental do Cálculo fornece:
Ou seja, a derivada da função logaritmo natural é 1/x.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 129
Em geral, se temos:
Assim, por exemplo, para calcularmos a derivada da fun-
ção procedemos da seguinte maneira:
Gráfico da função Logaritmo Natural
Vimos que a derivada da função ln é 1/x. Logo, ln é cres-
cente em todo seu domínio, pois 1/x é positiva nesse intervalo. 
Além disso, a função não apresenta pontos críticos, pois sua 
derivada é contínua e sempre diferente de zero em A 
derivada de segunda ordem é -1/x2, função que é sempre ne-
gativa quando assume valores em Portanto, a função ln 
é côncava em todo seu domínio. Vimos, também que:
Desse modo, o gráfico da função Logaritmo Natural pode 
ser representado como na Figura 5.5.
130 Cálculo II
Figura 5.5 Gráfico da função ln.
Diferenciação Logarítmica
Podemos utilizar a função logaritmo e suas propriedades 
para calcular derivadas de funções do tipo uv, onde u e v 
são funções de x. Por exemplo, para calcular a derivada 
da função podemos proceder do seguinte 
modo:
Derivando membro a membro, lembrando que e 
usando a regra da derivada do produto, vem:
isto é,
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 131
logo,
Como podemos escrever:
Um caso particular da aplicação da diferenciação loga-
rítmica é o cálculo da derivada da função exponencial y = 
ax, com a > 0. Para tanto, procedemos da mesma forma do 
exemplo anterior. Porém, nesse caso, a é uma constante real 
positiva.
Derivando membro a membro, vem:
ou seja,
Como y = ax, podemos escrever:
Em geral, se temos:
132 Cálculo II
Então, a derivada da função y = 53x+2, por exemplo, pode 
ser determinada pela fórmula acima:
Para calcularmos a derivada da função logaritmo em uma 
base a qualquer, com pode-
mos escrever esse logaritmo como um logaritmo natural por 
mudança de base. Ou seja,
Daí, como a é constante, portanto, ln a também, temos:
isto é,
em geral,
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 133
Por exemplo, a derivada da função é:
A diferenciação logarítmica também pode facilitar o cálcu-
lo da derivada de funções em que suas expressões envolvem 
quocientes, produtos e potências. Por exemplo, vamos usar 
diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função 
Aplica-se a função ln em ambos os lados:
Usa-se as propriedades da função ln:
Como ln e = 1, vem:
134 Cálculo II
Derivando membro a membro, obtemos:
isto é,
ou seja,
Experimente encontrar a derivada da função y dada pelas 
regras de derivação anteriores, você perceberá que a diferen-
ciação logarítmica facilita os cálculos.
2 A função exponencial natural
A função Logaritmo Natural é contínua e bijetora, então ad-
mite inversa. Definimos a função Exponencial Natural como 
a inversa da função Logaritmo Natural. (Notação: y = exp x) 
Então:
onde
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 135
Para determinarmos a derivada da função Exponencial Na-
tural, vamos derivar membro a membro a segunda parte dessa 
equivalência e usar o fato de que y = exp x é uma função que 
depende da variável x. Daí vem:
ou seja,
isto é,
Mas y = exp x, então:
Assim, a derivada da função Exponencial Natural é ela 
mesma!
Definimos o número e como aquele cujo logaritmo natural 
assume o valor 1. Ou seja, ln e = 1. Pela definição, temos:
Decorre daí que exp x = ex, pois:
136 Cálculo II
Mas, pela propriedade dos logaritmos, é possível escrever:
Então podemos reescrever a derivada da função Exponen-
cial Natural como:
Em geral, se vem:
Por exemplo,
O gráfico da função Exponencial Natural (Figura 5.6) pode 
ser obtido pela reflexão em relação à reta y = x.
 
Figura 5.6 Gráfico da função y = ex.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 137
3 Funções hiperbólicas
Catenária é o nome que se deu à curva como as que fios sus-
pensos apresentam (Figura 5.7). Por muito tempo, procurou-se 
uma parábola para descrever essa curva, porém a função que 
a descreve envolve as funções e x e e – x.
Figura 5.7 Uma catenária.
As funções que estudaremos agora são chamadas funções 
hiperbólicas. As funções e x e e – x estão envolvidas em suas 
leis de formação e possuem esse nome porque têm com a 
hipérbole a mesma relação que as funções trigonométricas 
possuem com o círculo, como ilustram as Figura 5.8 e 5.9. 
Além disso, as funções hiperbólicas se relacionam entre si de 
maneira semelhante às trigonométricas. Mais especificamente, 
são denominadas de seno hiperbólico, cosseno hiperbóli-
co, tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante 
hiperbólica e cossecante hiperbólica e definidas por:
138 Cálculo II
O domínio das funções seno e cosseno hiperbólico são 
todos os reais, bem como o domínio das funções secante e 
tangente hiperbólicas, pois o cosseno hiperbólico não possui 
raiz real. Já as funções cossecante e cotangente hiperbólicas 
possuem domínio em isto é, em todos os reais menos no 
zero, pois a função seno hiperbólico se anula em x = 0.
Uma catenária, como a representada na Figura 5.7, possui 
equação da forma:
 
Figura 5.8 Ponto P sobre o círculo. Figura 5.9 Ponto P sobre a hipérbole.
Os valores reais de t que determinam P(cos t, sen t) sobre o 
círculo de raio unitário e centro na origem podem ser interpreta-
dos como a medida, em radianos, do ângulo CÔP e representa 
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 139
o dobro da área do setor circular da região sombreada na Figura 
5.8. Já os valores reais de t que determinam P(cosh t, senh t) sobre 
o ramo direito da hipérbole não representa ângulo, porém, nos 
fornece o dobro da área sombreada do setor hiperbólico da Figura 
5.9.
Identidades Hiperbólicas
Algumas identidades hiperbólicas são:
Pelas duas últimas identidades apontadas, vemos que a 
função seno hiperbólico é uma função ímpar e cosseno hiper-
bólico é uma função par. Essa informação é útil em muitas si-
tuações, como no cálculo de integrais definidas, por exemplo. 
Essas identidades são de fácil verificação. Por exemplo, vamos 
verificar que:
140 Cálculo II
Derivada de funções hiperbólicas
Outra semelhança das funções hiperbólicas com as trigono-
métricas são as fórmulas de derivação. Observe a lista das 
derivadas das funções hiperbólicas:
Essas regras podem ser combinadas com a Regra da Ca-
deia. Por exemplo,
Outro exemplo,
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 141
Gráfico das funções hiperbólicas
Apresentaremos os gráficos das funções hiperbólicas, mas in-
dicaremos somente a construção da função seno hipérbólico. 
Para tanto, vamos estudar o comportamento dessa função pe-
los recursos do cálculo.
Já vimos que a derivada da função seno hiperbólico é a 
função cosseno hiperbólico, e que a derivada da função cos-
seno hiperbólico é o seno hiperbólico. Então, a derivada se-
gunda da função seno hiperbólico é a própria seno hiperbóli-
co. Isto é,
Para x = 0, se anula e é o único valor real de x que essa 
expressão assume o valor zero. Portanto, é a única raiz real 
dessa função. Para x < 0, a função assume valores negativos 
e, para x> 0, assume valores positivos. Sua derivada , não 
se anula, portanto, não existem pontos críticos e, além disso, 
 é sempre positiva, o que indica função crescente em todo 
seu domínio. A derivada segunda possui uma raiz em x 
= 0 a qual não é ponto crítico da função, portanto, é ponto de 
inflexão. Temos, também, negativa para x < 0 e positiva 
para x > 0, então a função é convexa para x < 0 e côncava 
para x > 0. O estudo do limite no infinito dessa função nos dá 
infinito negativo no menos infinito e infinito positivo no infinito.
142 Cálculo II
Figura 5.10 Gráfico da função seno hiperbólico.
As Figuras 5.11 e 5.12 apresentam os gráficos das funções 
cosseno e tangente hiperbólicas, os quais podem ser construí-
dos pelos recursos do cálculo como apresentado para o seno 
hiperbólico, assim como os gráficos das demais funções hiper-
bólicas. Nesse momento, você pode usar um recurso gráfico 
como uma calculadora gráfica ou software matemático para 
construir ou verificar sua construção.
Figura 5.11 Gráfico da função cosseno hiperbólico.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 143
Figura 5.12 Gráfico da função tangente hiperbólica.
Recapitulando
Usamos a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para 
definir a função logaritmo natural como a primitiva da função 
1/t. Seu domínio são os reais positivos e sua imagem os reais. 
Por ser uma função bijetora, a função logaritmo admite inversa 
que é a função exponencial natural y = ex. Seu domínio é o 
conjunto dos números reais e sua imagem os reais positivos. 
Com a função logaritmo e suas propriedades, podemos deri-
var funções nas quais a variável aparece na base e no expoen-
te, chamada derivação logarítmica.
As funções hiperbólicas são combinações das funções ex 
e e-x. Por sua ampla aplicação nas ciências naturais e enge-
nharia, merecem atenção especial e foram apresentadas neste 
capítulo.
144 Cálculo II
Referências
ANTON, Howard A.; DAVIS, Stephen L.; BIVENS, Irl C. Cálcu-
lo, V. 2, 8. ed. Bookman, 2007.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo – Funções de Uma Variável, V. 2, 
7. ed. LTC, 2003.
STEWART, James. Cálculo, V. 2, 6. ed. Cengage Learning, 
2009.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São 
Paulo: Makron Brooks.
Atividades
 1) Use diferenciação logarítmica para encontrar a derivada 
da função y dada em cada item.
 2) Use as definições das funções hiperbólicas para verificar 
as identidades hiperbólicas apresentadas neste capítulo.
 3) Encontre y’ e y’’.
Capítulo 5 Funções Logarítmicas, Exponenciais e Hiperbólicas 145
 4) Encontre o ponto da curva em que a reta tan-
gente possui inclinação 1.
 5) Esboce o gráfico de cada função.
a) 
b) 
c) 
d) 
 6) Verifique que as funções y1 = senh x e y2 = cosh x são so-
luções da equação diferencial: y’’ – y = 0.
Leomir Joel Schweig1
Capítulo 6
Integração por Partes
Introdução
Quando não podemos fazer manipulações algébricas no in-
tegrando de uma integral para utilizar uma das fórmulas de 
integração vistas nos capítulos anteriores, devemos buscar mé-
todos para resolver a integral.
O primeiro método de integração que vamos estudar é o 
método de integração por partes. Essa técnica é utilizada 
principalmente quando o integrando é formado pelo produto 
de duas funções, geralmente uma função algébrica e uma fun-
ção não algébrica, como, por exemplo, 
1 Mestre, Professor da Universidade Luterana do Brasil.
Capítulo 6 Integração por Partes 147
1 O método da integração por partes
O método da integração por partes baseia-se na derivada do 
produto, vista nos Capítulos 6 e 7 do livro de Cálculo I.
Se u e v são funções de x, a regra da derivada do produto 
é escrita na forma:
Ou simplesmente: 
Se u e v são contínuas, podemos integrar ambos os lados 
dessa equação;
Reescrevendo essa integral, isolando o termo fica-
mos com:
 
 (1)
Que é a fórmula utilizada na integração por partes.
Veja que essa fórmula expressa uma integral (primeiro 
membro da equação) em função de uma outra integral (no 
148 Cálculo II
segundo membro da equação). Dependendo das escolhas de 
u e , a integral do segundo membro pode se tornar mais 
fácil ou mais complicada para resolver.
2 Exemplos
Exemplo 1: calcular 
O primeiro passo é escolher u e apropriados, para que 
possamos ter uma integral mais simples no segundo membro 
da fórmula (1).
Assim, vamos fazer: 
Logo: 
Aplicando na fórmula (1):
 
A integral do segundo membro é bem mais simples, fican-
do o resultado final:
Capítulo 6 Integração por Partes 149
Veja o que ocorre se escolhermos da seguinte manei-
ra, isto é, fazendo:
No segundo membro da igualdade, a integral 
é mais complicada do que a integral do primeiro membro. 
Nesse caso, devemos fazer novamente a integração por partes 
para essa integral e conforme escolhermos os novos u e 
para essa integral, pode-se ter uma nova integral por partes 
mais complicada, e assim por diante, nunca chegando ao fim.
Quando vamos aplicar a fórmula (1), o primeiro passo é 
escolher qual o fator do integrando será . A expressão que 
escolhermos para deve vir acompanhada pelo diferencial 
. O restante do integrando será u . Calculamos, então, v 
e . Em geral, chamamos de a parte mais complicada do 
integrando que pode ser logo integrada.
150 Cálculo II
O mais importante na integração por partes é decidir o 
produto inicial de modo que se obtenha o produto 
mais fácil para integrar. De modo geral:
 Â Escolha u de modo que seja mais simples do que a 
própria u .
 Â Escolha de modo que possa ser facilmente 
calculada.
Exemplo 2: calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Exemplo 3: calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Capítulo 6 Integração por Partes 151
Exemplo 4: calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Exemplo 5: neste exemplo, vamos integrar por partes mais 
de uma vez.
Calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
152 Cálculo II
Exemplo 6: calcular 
Fazendo: então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Capítulo 6 Integração por Partes 153
Podemos então reduzi-las a uma só:
OBS.: Resolva essa integral novamente, mas chamando ini-
cialmente xu cos= e 
Exemplo 7: calcular Veja que essa é uma inte-
gral definida.
Primeiro vamos calcular a integral como se fosse 
uma integral indefinida:
Fazendo: xu = , então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
154 Cálculo II
Agora, utilizando os extremos de integração:
Exemplo 8: calcular Veja que essa também 
é uma integral definida.
Capítulo 6 Integração por Partes 155
Primeiro vamos calcular a integral como se fosse 
uma integral indefinida:
Fazendo: xu = , então então 
Substituindo na fórmula (1): temos:
Agora, utilizando os extremos de integração:
Exemplo 9: calcular a área da região limitada pelo gráfico 
da função o eixo x, desde x = 1 até x = 2.
156 Cálculo II
A seguir, o gráfico da função:
A área será calculada pela integral: .
Cálculo da integral indefinida: 
Fazendo: , então e , então 
.
Substituindo na fórmula (1): , temos:
Capítulo 6 Integração por Partes 157
Agora, utilizando os extremos de integração:
Exemplo 10: a velocidade de um móvel varia em função do 
tempo de acordo com a função , no Sistema Interna-
cional. Sabendo que sua posição inicial é a origem, determine 
sua posição no instante t e no instante 10 segundos.
A posição é calculada pela integral da velocidade. Cha-
mando de s(t) a posição em função do tempo, temos: 
. Logo:
 (que é uma integral por 
partes).
Fazendo: tu = , então e , então 
.