Exercícios - Vetor Gradiente e Derivadas Direcionais

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Cálculo Vetorial 
UNINASSAU 
Prof.: Marco Mialaret Júnior 
 
 
2ª Lista de Exercícios – Vetor Gradiente , Derivadas Direcionais. 
 
 
1. Determine a derivada direcional Duf das funções abaixo no ponto dado e na direção e 
sentido do versor u. 
 P(1,2) 
13
12
,
13
5
u
 
 
 P(1,-3) 
5
3
,
5
4
u
 
 
 P(3,0,2) 
3
1
,
3
2
,
3
2 
u
 
 P(1,3,1) 
7
6
,
7
3
,
7
2
u
 
 
2. Determine a derivada direcional da função no ponto dado e na direção e sentido 
definidos pelo vetor v. 
(3,4) 
3,4 v

 
 
(2,1) 
2,1v

 
 
(2,0) 
jiv 

 
 
 
3
,0 
 
jiv 23 

 
 
 
(1,2,-2) 
3,6,6 v

 
 
 
(4,1,1) 
3,2,1v

 
 
 
 (1,1,2) 
kjv  2

 
,),,()
,.),,()
),ln(.),()
,45),()
2
32
yzxzyxfd
exzyxfc
xyyxfb
yxxyyxfa
yz




2
3
222
2
22
)32(),,()
,
2
),,()
,),,()
.),()
),()
),ln(),()
,21),()
zyxzyxfg
zy
x
zyxff
zyxzyxfe
senergd
estsgc
yxyxfb
yxyxfa
r
t









 
 
 
3. Determine a derivada direcional de 
xyyxf ),(
em P(3,8) na direção de Q(5,4). 
Determine os planos tangentes ao gráfico de f no ponto (1,2,f(1,2)) e no ponto (3,1,f(3,1)). 
 
4. Determine os vetores unitários para os quais a derivada de 
2( , )f x y xy y 
 em 
(2,3)P
 
é igual à zero. 
 
5. Existe uma direção 
u
 na qual a taxa de variação de 
2 2( , ) 3 4f x y x xy y  
 em 
(1,2)P
 
é igual a 14? Justifique sua resposta. 
 
6. Encontre o vetor gradiente f paras as funções a seguir, nos pontos indicados. 
 
 
 
 
 
 
a) 
yxyxyxf  32),( 22
 (1,-2) 
b) 
916
),(
22 yx
yxf 
 (4,3) 
 
c) 
)(.),,( yzsenxzyxf 
 (1,3,0) 
 
7. Considere que a densidade 
2( , ) kg / mx y
 em todos os pontos de uma placa retangular 
(0 , 10)x y 
 no plano xy seja dada pela função 
2 2
1
( , )
3
x y
x y
 
 
. 
a) Ache a taxa de variação da densidade no ponto (3,2) na direção e sentido do 
vetor
2 2
cos i sin j
3 3
       
   
 
b) Ache a direção e o valor da maior taxa de variação de 

 em (3,2). 
 
8. O potencial elétrico é ( , )V x y volts em qualquer ponto do plano xy e 
 2( , ) cos 2xV x y e y . A distância é medida em metros. 
a) Ache a taxa de variação do potencial elétrico no ponto 
0,
4
 
 
  na direção do vetor 
1 1
6 6
cos i sen j  . 
b) Ache a direção e o valor da taxa de variação máxima de V em 
0,
4
 
 
  . 
Regra: 
k
z
f
j
y
f
i
x
f
zyxf









 ),,(
 
 
9. A equação da superfície de uma montanha é 2 21200 3 2z x y   onde a distância é 
medida em metros, o eixo x aponta para o leste e o eixo y para o norte. Um alpinista está no 
ponto correspondente a  10,5,850 . 
 
a) Qual a direção onde a subida é mais íngreme? 
 
b) Se o alpinista se move na direção leste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa? 
 
c) Se o alpinista se move na direção sudeste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua 
taxa? 
 
10. Suponha que a temperatura em graus Celsius em um ponto ( , )x y no plano xy seja 
 ( , ) sen 2T x y x y e que a distância no plano xy seja medida em metros. Uma partícula 
está se movendo no sentido horário ao redor da circunferência de raio 1m centrada na 
origem a uma taxa constante de 2 m/s. 
 
a) Qual é a velocidade da variação de temperatura “sentida” pela partícula, em grau Celsius 
por metro, no ponto 
1 3
,
2 2
P
 
  
  ? 
 
b) Qual é a velocidade da variação de temperatura “sentida” pela partícula, em grau 
Celsius por segundo em P? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BONS ESTUDOS! 
“O que não dá prazer não dá proveito. Em resumo, senhor, estude apenas o que 
lhe agradar.” 
William Shakespeare