Axiomas e propriedades dos numeros reais.

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Universidade Federal de Goia´s
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo 1 - Professor Jose´ Hila´rio - 21 de agosto de 2017
Axiomas e propriedades dos nu´meros reais.
Aceitaremos a existeˆncia de um conjunto chamado de nu´meros reais e representado por R.
Os nu´meros reais se aplicam em todas as a´reas da matema´tica e suas aplicac¸o˜es.
Sobre R define uma relac¸a˜o de igualdade que tem as seguintes propriedades
• Para qualquer a ∈ R temos que a = a. (Reflexiva)
• Para qualquer a, b ∈ R. Se a = b enta˜o b = a. (Sime´trica)
• Para qualquer a, b, c ∈ R. Se a = b e b = c enta˜o a = c. (Transitiva)
Ale´m disso, o conjunto dos nu´meros reais e´ fechado com relac¸a˜o a`s operac¸o˜es de adic¸a˜o ou
soma (representada por + ) e o produto ou multiplicac¸a˜o (representada por × ou · ). Isto
significa que dados dois nu´meros reais quaisquer, a soma e a multiplicac¸a˜o deles tambe´m e´ um
nu´mero real.
Estas operac¸o˜es satisfazem as seguintes propriedades, chamadas axiomas de corpo.
Dados a, b e c nu´meros reais quaisquer, temos que
• Comutatividade a+ b = b+ a, a · b = b · a.
• Associatividade a+ (b+ c) = (a+ b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c.
• Elemento Neutro ou Identidade a+ 0 = a, a · 1 = a.
• Elemento Inverso a+ (−a) = 0, a · a−1 = 1 se a 6= 0.
• Distributividade a · (b+ c) = a · b+ a · c.
Observe que 0 na˜o tem inverso multiplicativo ja´ que na˜o existe um nu´mero que multiplicado
por 0 deˆ 1.
Exerc´ıcio 1. Seja a =
1
4
, b = 5 e c = −
1
3
. Verifique que:
a) a+ b = b+ a
b) a · b = b · a
c) a+ (b+ c) = (a+ b) + c
d) a · (b · c) = (a · b) · c
e) a+ 0 = a, b+ 0 = b e c+ 0 = c
f) a+ (−a) = 0, b+ (−b) = 0 e c+ (−c) = 0
g) a · a−1 = 1, b · b−1 = 1 e c · c−1 = 1
h) a · (b+ c) = a · b+ a · c.
i) Encontre os valores de x ∈ R tais que: 2(x− 1) = 0
j) Encontre os valores de x ∈ R tais que: (x+ 1) · (x− 1) = 0
k) Encontre os valores de x ∈ R tais que: (2x+ 1) · (3x− 1) = 0
l) Encontre os valores de x ∈ R tais que: (x2 − 5x+ 6) · (x2 + 1) = 0
m) Encontre os valores de x ∈ R tais que: (x− 1) · (x+ 1) · (x+ 2) = 0
Diferenc¸a.
Com a adic¸a˜o podemos definir a diferenc¸a
a− b := a+ (−b).
De forma ana´loga, definimos a divisa˜o em usando a multiplicac¸a˜o, para b ∈ R, b 6= 0,
a : b := a · b−1.
E´ comum representar a divisa˜o por uma frac¸a˜o
a
b
,
da´ı, se b 6= 0 temos que b−1 =
1
b
.
Exerc´ıcio 2. Seja a =
4
5
e b =
1
3
. Calcule:
a) a− b b) b− a c) a : b d) b : a
Propriedades
Agora, vamos listar algumas propriedades importantes do conjunto dos nu´meros reais. A
demonstrac¸a˜o delas, sa˜o consequeˆncias dos axiomas do corpo.
Para quaisquer nu´meros rais a, b, c e d temos que
• a · 0 = 0.
• a = b se, e somente se, a+ c = b+ c.
• Se c 6= 0, temos que a = b se e somente se a · c = b · c.
• a · b = 0 se e somente se a = 0 ou b = 0.
• −(−a) = a.
• −(a+ b) = −a− b.
• −(a · b) = (−a) · b = a · (−b).
• Para a 6= 0 temos que (a−1)
−1
= a.
• Para a 6= 0, b 6= 0 temos (a · b)−1 = a−1 · b−1.
• Para b 6= 0, d 6= 0 temos
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
e
a
b
·
c
d
=
a · c
c · d
a
b
−
c
d
=
ad− bc
bd
e
a
b
:
c
d
=
a
b
·
d
c
=
a · d
b · c
.
Exerc´ıcio 3. Sejam a =
1
2
, b =
1
3
, c =
1
9
e d = 2. Calcule:
a) −(−a), −(−b) e −(−c)
b) −(a+ b), −(a+ c) e −(b+ c)
c) −a− b, −a− c e −b− c
d) −(a · b), −(a · c) e −(b · c)
e) (−a) · b, (−a) · c e (−b) · c)
f) a · (−b), a · (−c) e b · (−c)
g) (a−1)−1, (b−1)−1 e (c−1)−1
h) (a · b)−1, (a · c)−1 e (b · c)−1
i) a−1 · b−1, a−1 · c−1 e b−1 · c−1
j)
a
b
+
c
d
,
b
a
+
c
d
e
b
a
+
d
c
k)
ad+ bc
bd
,
bd+ ac
ad
e
bc+ ad
ac
l)
ad− bc
bd
,
bd− ac
ad
e
bc− ad
ac
m)
ad− bc
bd
,
bd− ac
ad
e
bc+ ad
ac
n)
a
b
·
c
d
,
b
a
·
c
d
e
b
a
·
d
c
n)
ac
bd
,
bc
ad
e
bd
ac
n)
a
b
:
c
d
,
b
a
:
c
d
e
b
a
:
d
c
n)
ad
bc
,
bd
ac
e
bc
ad
Exerc´ıcio 4. Escreva a representac¸a˜o decimal do nu´mero:
a)
1
2
b)
1
4
c)
1
3
d)
1
7
e)
1
17