10. Funções Trigonométricas

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Funções Trigonométricas
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: Apêndice C - p. 229
Das seis funções trigonométricas que podem ser definidas de acordo com as razões
trigonométricas conhecidas (seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e
cossecante), estudaremos as funções seno, cosseno e tangente. Para isso, é
importante que lembremos de alguns conceitos básicos da trigonometria.
1. Cada medida de arco na circunferência trigonométrica, dado em radianos, está
associada a um número real. Assim, por exemplo, quando nos referimos a sen2,
estamos nos referindo ao valor do seno de um arco que mede 2 rad; cos 3π2 significa o
valor de cosseno para um arco que mede 3π2 rad; e assim por diante.
2. O valor do seno de um arco na circunferência trigonométrica corresponde ao
valor da ordenada do ponto que é extremidade desse arco. Por isso, no sistema
trigonométrico, o eixo vertical (eixo dos y) é dito eixo dos senos.
3. O valor do cosseno de um arco na circunferência trigonométrica corresponde ao
valor da abscissa do ponto que é extremidade desse arco. Por isso, no sistema
trigonométrico, o eixo horizontal (eixo dos x) é dito eixo dos cossenos.
4. O valor da tangente de um arco pode ser obtido usando a relação entre o seno e
o cosseno do mesmo arco (tanα = senαcosα ) ou, no sistema trigonométrico, pode ser
determinado pela projeção do prolongamento do raio que passa pela extremidade do
arco sobre o eixo paralelo ao eixo dos y, no ponto 1, 0, por isso chamado de eixo das
tangentes.
1) A função seno: fx = senx
x ∈ R ⇒Df = R
−1 ≤ senx ≤ 1  Imf = −1, 1
Para construir seu gráfico e considerando apenas uma volta na circunferência
trigonométrica, vamos considerar alguns arcos para os quais conhecemos os valores de
seno. Organizamos a tabela seguinte com esses valores:
x 0 π6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6 π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6 2π
senx 0 12
2
2
3
2 1
3
2
2
2
1
2 0
−1
2
− 2
2
− 3
2 −1
− 3
2
− 2
2
−1
2 0
1
Plotamos esses pontos:
1 2 3 4 5 6
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
Passamos sobre os pontos uma curva suave:
1 2 3 4 5 6
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
Observando que os valores de seno se repetem a cada volta na circunferência
trigonométrica, concluímos que a curva acima se repete a cada 2π radianos. Dessa
forma, obtemos o gráfico de fx = senx.
-2 2 4 6 8 10 12 14
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
Funções que, como a função seno, de ”tempos em tempos” repetem um mesmo
comportamento são chamadas de funções periódicas. E, também como ocorre com a
função seno, funções que têm um menor e um maior valor de imagem são ditas
funções limitadas. A essas idéias estão vinculados dois conceitos: o de período e o de
2
amplitude.
Numa função y = fx, o período (representado por P) é a medida desse ”tempo”,
melhor dizendo, é a medida do intervalo de x no qual se complete todo o
comportamento da função. No caso da função seno, é a medida do maior intervalo de x
necessário para se completar um ciclo da senóide.
E, a amplitude (representada por A) é definida como sendo a metade da medida
entre a menor e a maior imagem produzida pela função.
⋙ Dessa forma, para a função seno, o período é P = 2π e a amplitude é A = 1.
2) A função cosseno: fx = cos x
x ∈ R ⇒Df = R
−1 ≤ senx ≤ 1  Imf = −1, 1
Procedendo de forma semelhante ao que fizemos para a função seno, obtemos a curva
que é gráfico da função fx = cosx a seguir.
-2 2 4 6 8 10 12 14
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
⋙ Também para a função cosseno, o período é P = 2π e a amplitude é A = 1.
3) A função tangente: fx = tan x
Atividade 1:
Lembrando que tan x = senxcosx :
- apresente 06 valores de x para os quais não existe tan x:
- o que levou você a concluir que para os valores de x acima não existe o valor de tan x?
- com base nisso, escreva uma expressão geral que expresse todos os valores de x
para os quais a tan x não existe:
3
- assim, pode-se definir a função tangente por fx = tan x para
x ∈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ou seja, a função tangente associa a cada valor de
x ∈. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . um único valor y = tan x pertencente ao conjunto dos números
reais;
- então, Dtan x =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e Imtan x =. . . . . . . . . . . . .
Atividade 2:
Use calculadora e complete a tabela com os valores de tan x para os valores dados de x:
x 0 π6
π
4
π
3 1. 1 1. 4 1. 55 1. 57
π
2
tan x
O que acontece com os valores de tan x à medida que os valores de x ficam cada vez
mais próximos de π2 , por valores menores que ele?
Use calculadora e complete a tabela com os valores de tan x para os valores dados de x:
x π 5 π6 3
π
4 2
π
3 1. 7 1. 59 1. 58 1. 571
π
2
tan x
O que acontece com os valores de tan x à medida que os valores de x ficam cada vez
mais próximos de π2 , por valores maiores que ele?
Então, em x = π2 a função tangente não existe, porém, quando os valores de x estão
muito próximos de π2 a função ”cresce ilimitadamente” ou ”decresce ilimitadamente”.
Isso caracteriza a reta de equação x = π2 como sendo uma assíntota vertical do
gráfico da função tangente.
Veja parte do gráfico da função tangente, para valores de x entre 0 e π:
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0
-20
-10
0
10
20
x
y
Assim como acontece em x = π2 , a função tangente tem esse mesmo comportamento
em todos os valores de x para os quais a função não está definida. Isto é, a função
tangente apresenta assíntotas verticais em todos os valores de x = π2 + kπ, com k ∈ Z.
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Observe como fica o gráfico de fx = tan x abaixo:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-10
-5
5
10
x
y
Dessa forma,
Df = R − x ∈ R; x = π2 + kπ,com k ∈ Z. .
Imf = R
⋙ Para a função tangente, o período é P = π e a amplitude não está definida.
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