8. Função Exponencial

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Funções exponenciais
DEMANA, F. D. et. al. Pré-cálculo: capítulo 11 - p. 127
Definição: Denominamos função exponencial a função definida por y = ax, com a > 0 e a ≠ 1.
Na lei y = ax, o número a é denominado base da função e assume valores nos intervalos reais
0 < a < 1 ou a > 1.
São exemplos de funções exponenciais: fx = 2x, y = 13
x
, gt = 5 t, y = 10x e
y = 0, 001x.
Obs.: Cuidado para não confundir a função exponencial com a função potência. Uma função
exponencial tem a base constante e o expoente variável. A função potência tem a base variável e o
expoente constante. Veja, por exemplo, que y = 2x é uma função exponencial e y = x2 é uma função
potência.
Gráfico da função exponencial
A partir da lei y = ax (a > 0 e a ≠ 1) e considerando que a pode pertencer aos intervalos 0 < a < 1
ou a > 1, verifica-se que o gráfico da função exponencial assume aspectos distintos em cada um desses
intervalos. Vamos observar esses aspectos, construindo os gráficos de y = 2x (a > 1) e de y = 12
x
(0 < a < 1).
 gráfico de y = 2x
Consideremos alguns pontos organizados na tabela:
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y = 2x 18
1
4
1
2 1 2 4 8
Marcando os pontos no plano cartesiano, Passando a curva pelos pontos marcados,
obtemos: obtemos o gráfico de y = 2x.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
 gráfico de y = 12
x
Consideremos alguns pontos organizados na tabela:
x −3 −2 −1 0 1 2 3
y = 12
x
8 4 2 1 12
1
4
1
8
1
Marcando os pontos no plano cartesiano, Passando a curva pelos pontos marcados,
obtemos: obtemos o gráfico de y = 12
x
.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Importante: Observe pelos gráficos que:
1) A função y = ax é crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1;
2) Dax = R e Imax = 0,+∞;
3) y = ax não intercepta o eixo dos x e é sempre positivo: o gráfico está todo acima do eixo dos x;
4) O gráfico de y = ax intercepta o eixo dos y no ponto 0, 1;
5) Se a > 1, então, à medida que percorremos o gráfico de y = ax da esquerda para a direita, os
valores de ax crescem sem parar, enquanto percorrendo o gráfico da direita para a esquerda os valores
de ax decrescem em direção a zero, sem nunca atigí-lo. Analogamente, se 0 < a < 1, à medida que
percorremos o gráfico de y = ax da esquerda para a direita, os valores de ax decrescem em direção a
zero, sem nunca atigí-lo, enquanto percorrendo o gráfico da direita para a esquerda os valores de ax
crescem sem parar.
6) O gráfico da função y = ax tem uma assíntota horizontal: a reta y = 0.
 Os gráficos de algumas funções exponenciais aparecem na figura a seguir. Da esquerda para a
direita, temos, nessa ordem, os gráficos de y = 12
x
, y = 13
x
, y = 110
x
, y = 10x, y = 3x e
y = 2x. Essa figura mostra que o gráfico de y = 1b
x
é a reflexão do gráfico de y = bx em relação ao
eixo y . A figura também dá a entender que, quanto maior a base b > 1, mais rapidamente a função
y = bx cresce para x > 0.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
y
A Função Exponencial Natural
Dentre todas as bases possíveis para as funções exponenciais, há uma em particular que desempenha
papel especial no Cálculo. Essa base, denotada pela letra e, é um número irracional cujo valor até a
sexta casa decimal é e ≈ 2, 718282.
2
A função fx = ex é denominada função exponencial natural. Como o número e está entre 2 e 3, o
gráfico de y = ex se encaixa entre os gráficos de y = 2x e y = 3x.
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
x
y
fx = ex
OBS. : Assim como para as demais funções estudadas, os gráficos de funções obtidas pela
composição de funções exponenciais pode ser construído com base nesses que construímos até o
momento.
Exemplo 1: Construa o gráfico das funções, cada uma no mesmo sistema de eixos que a função que a
origina (e que é dado abaixo). Além disso, diga quais são as assíntotas.
a) fx = 2x − 3
b) y = 3 12
x
c) gx = −ex
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
Exemplo 2: Identifique as funções que são exponenciais e para aquelas que forem, diga se são
crescentes ou decrescentes:
(1) y = x8 (2) y = 3x (3) y = 5x (4) y = 42 (5) y = x x
(6) y = x1,3 (7) y = 2−x (8) y = 0. 5x (9) y = x2/3 (10) y = ex
Observação:
Modelos matemáticos envolvendo a função exponencial natural ocorrem em muitos campos, tais
como Química, Física, Biologia, Psicologia, Sociologia, Administração e Economia. Os modelos que
envolvem, por exemplo, as leis de crescimento e decaimento, surgem quando a taxa de variação de uma
quantidade em relação ao tempo é proporcional à quantidade existente num dado instante. Por exemplo,
é possível que a taxa de crescimento da população de uma comunidade seja proporcional à população
existente num dado instante. Em Biologia, sob certas circunstâncias, a taxa de crescimento de uma
cultura de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias presentes em qualquer instante. Numa
3
reação química é frequente o caso em que a velocidade da reação é proporcional à quantidade da
substância presente; por exemplo, sabe-se experimentalmente que a taxa de decaimento do rádio é
proporcional à quantidade de rádio existente num dado momento. Uma aplicação em Administração
ocorre quando os juros são compostos continuamente.
Exemplo 3: Esboce os gráficos das seguintes funções exponenciais e determine as assíntotas
horizontais:
1. fx = 2x (já é dado); gx = 2x−3
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
2
4
6
8
10
x
y
2. fx = 3x (já é dado); gx = 3x+4
-5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5
1
2
3
4
5
x
y
3. fx = 0. 5x (já é dado); gx = 0. 5x + 4
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Exercícios :
Do livro indicado na Bibliografia Básica (Demana, páginas 138 e 139) resolva os exercícios de
números: 2, 4, 6, 7 a 10, 15, 16, 19, 20, 25 a 30, 45 a 48; e 53 a 55.
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