Aula_15_Serie_Fourier_Continuo_Parte1

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Série de Fourier
Tempo Contínuo
Modelagem de Sistemas Dinâmicos Michel Leles
Representações por Fourier
� Nas últimas aulas discutimos a modelagem de sistemas a 
partir do domínio da frequência. 
� Contínuo �Transformada de Laplace
� Discreto �Transformada Z
Nessa aula começaremos a discutir a modelagem de 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 12
� Nessa aula começaremos a discutir a modelagem de 
sinais a partir do domínio da frequência.
� Começaremos a partir de sinais periódicos no tempo que 
são tratados pela Série de Fourier
� Capítulo 3: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulos 6: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
Representações por Fourier
� Fourier�
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 13
� Fourier�
Representações por Fourier
� A representação e a análise de sistemas LTI utilizando 
convolução é baseada em expressar sinais como uma 
combinação linear de impulsos deslocados e ponderados. 
� Agora, continuaremos a desenvolver a representação e 
análise de sistemas LTI expressando os sinais como uma 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 14
análise de sistemas LTI expressando os sinais como uma 
combinação linear de exponenciais complexas. 
Representações por Fourier
� Veremos que se a entrada de um sistema LTI é uma 
combinação linear de exponenciais complexas, a saída 
poderá ser expressa nessa mesma forma. 
� Primeiro faremos a análise para sinais periódicos, que 
resulta nas Séries de Fourier: 
Através de � somas ponderadas de exponenciais complexas 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 15
� Através de � somas ponderadas de exponenciais complexas 
harmonicamente relacionadas. 
� Em seguida, veremos a análise para sinais aperiódicos, que 
resulta nas Transformadas de Fourier: 
� Através de � integrais ponderadas de exponenciais complexas 
não-harmonicamente relacionadas. 
Representações por Fourier
� Linearidade
� Representar sinais como a contribuição de vários sinais básicos
� Novas formas de modelagem e análise
� Fórmula de Euller:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 16
� Domínio da Frequência
� Interpretação alternativa
� Comportamento é analisado tendo a frequência como variável 
(antes era o tempo)
Representações por Fourier
Senoide -Tempo Senoide - Frequência
1.2
1.4
Senoide: f0 = 10 (Hz)
0.6
0.8
1
Senoide: f0 = 10 (Hz)
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 17
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Representações por Fourier
Senoide -Tempo Senoide - Freqüência
1.2
1.4
Senoide: f1 = 10 (Hz) + Senoide: f2 = 25 (Hz) 
1.5
2
Senoide: f1 = 10 (Hz) + Senoide: f2 = 25 (Hz) 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 18
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Representações por Fourier
Senoide -Tempo Senoide - Freqüência
1
1.5
Senoide: f1 = 10 (Hz) + Senoide: f2 = 25 (Hz) 
1.2
1.4
Senoide: f1 = 10 (Hz) + Senoide: f2 = 25 (Hz) 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 19
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Série de Fourier � Análise Intuitiva
� Sinal Periódico
� Exemplo: onda quadrada
� Representado por uma soma de 
senóides harmonicamente 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 110
senóides harmonicamente 
relacionadas
� Analisar o efeito de acréscimo de 
harmônicos
� Múltiplo da frequência fundamental
� Amplitude do harmônico
Série de Fourier � Análise Intuitiva
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 111
Animações podem ser encontradas em: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
Série de Fourier � Análise Intuitiva
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 112
Série de Fourier � Análise Intuitiva
� Conjunto de Bases Ortogonais
� Produto Vetorial � NULO
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 113
Resposta a uma Exponencial Complexa 
� Vamos analisar a resposta de um sistema LTI contínuo a 
uma entrada exponencial complexa: 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 114
Resposta a uma Exponencial Complexa 
� Vamos analisar a resposta de um sistema LTI discreto a 
uma entrada exponencial complexa: 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 115
Resposta a uma Exponencial Complexa
� De um modo geral, as variáveis s e z podem ser um 
número complexo geral. 
� Todavia, a análise de Fourier envolve restrições nessas variáveis: 
� Para o tempo contínuo, o interesse está em valores 
puramente imaginários: 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 116
� Para o tempo discreto, o interesse está em valores de 
magnitude unitária: 
Resposta a uma Exponencial Complexa
� Considere um sistema contínuo LIT
� Considere a entrada
� Convolução:
Permite obter a saída a partir da entrada conhecendo-se a 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 117
� Permite obter a saída a partir da entrada conhecendo-se a 
resposta ao impulso
� Com base na resposta ao impulso:
Resposta a uma Exponencial Complexa
� H(jw) sendo complexo:
� Assim:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 118
� Diagrama: 
Resposta a uma Exponencial Complexa
� Autofunção:
� Sinal de entrada é denominado autofunção de um sistema 
quando a saída é igual a entrada multiplicada por uma 
constante (pode ser complexa)
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 119
� Exponencial: autofunção
� H(jw): autovalor
Resposta a uma Exponencial Complexa
� Autofunção:
� Vantagem � para uma entrada
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 120
� Convolução Multiplicação 
Sinais Contínuos Periódicos
� Quando um sinal contínuo é periódico?
� Um sinal contínuo é periódico se existe uma constante 
positiva T, tal que: 
� O menor valor para T é chamado de período fundamental –To
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 121
� é a frequência fundamental de x(t) em hertz
� é a frequência fundamental de x(t) em radianos por 
segundo 
Sinais Contínuos Periódicos
� Sinal Periódico:
� Senoides
� Exponenciais
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 122
� Harmônicos
� Frequências múltiplas de 
� , onde
ω
Sinais Contínuos Periódicos
� O sinal é periódico, com frequência fundamental 
a e período fundamental . 
� O conjunto de harmônicas é: 
� Como as harmônicas possuem frequências que são 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 123
� Como as harmônicas possuem frequências que são 
múltiplas da frequência fundamental, elas também são 
periódicas com período To. 
� Então, uma combinação linear de exponenciais complexas 
harmonicamente relacionadas também resultará num sinal 
periódico com período To:
Série de Fourier
�Série de Fourier:
� Representação de sinais periódicos
� combinação linear
� exponenciais complexas
� harmonicamente relacionadas
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 124
� Forma Exponencial da Série de Fourier �
Matlab – Fourier Series Demonstration
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 125
Série de Fourier
� Outras Formas da Série de Fourier:
� Para sinais reais
Fazendo k=-k
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 126
� Fazendo k=-k
Série de Fourier
� Forma Trigonométrica
� Reescrevendo a Série de Fourier:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 127
Série de Fourier
� Forma Trigonométrica Compacta:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 128
Série de Fourier
� Forma Trigonométrica Completa:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 129
Série de Fourier
� Forma Trigonométrica (cont.):
� Coeficientes:
� Para determinar an (coeficiente do n-ésimo harmônico)
� Multiplicando:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 130
� Multiplicando:
� Integrando:
Série de Fourier
� Forma Trigonométrica (cont.):
� Resultado:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 131
� Para n=0 � Valor médio de x(t) - offset
Série de Fourier
� Formas da Série de Fourier:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 132
� Para cálculo dos coeficientes:
� quantificam a contribuição de cada harmônica
Convergência
� Condições de Dirichlet
� X(t) deve ser absolutamente integrável
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 133
Convergência
� Condições de Dirichlet (cont.):
� X(t) deve ter um número finito de descontinuidades em um 
período
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 134
Convergência
� Condições de Dirichlet (cont.):
� X(t) deve ter um número finito de máximos ou mínimos 
� Sua variação deve ser limitada
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 135
Material de Estudo e Exercícios
� Material de Estudo:
� Capítulo 3: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulo 6: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
�Matlab Seção 6 �Aplicações da Série de Fourier
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 136
� Exercícios
� Oppenheim (2011) � 3.1
� Lathi (2004) �Todos das seções: 6.1, e 6.2,