Variavel aleatoria continua

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BARBETTA, REIS e BORNIA – Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 2004
Estatística para Cursos de Engenharia e Estatística para Cursos de Engenharia e 
InformáticaInformática
Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia
São Paulo: Atlas, 2004
Cap. 6 Cap. 6 –– Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias 
contínuascontínuas
APOIO:
Fundação de Apoio à Pesquisa Científica e Tecnológica do Estado de Santa Catarina 
(FAPESC)
Departamento de Informática e Estatística – UFSC (INE/CTC/UFSC)
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Variável aleatóriaVariável aleatória
os possíveis resultados estão 
contidos em um conjunto 
finito ou enumerável
os possíveis resultados 
abrangem todo um intervalo 
de números reais
variável 
aleatória
discreta contínua
0 1 2 3 4 ...
número de defeitos em ...
Ex.
0
Ex.
tempo de resposta de ...
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Variáveis aleatórias contínuasVariáveis aleatórias contínuas
– tempo de resposta de um sistema computacional;
– rendimento de um processo químico;
– tempo de vida de um componente eletrônico;
– resistência de um material; etc.
• Variáveis aleatórias discretas com grande número de 
possíveis resultados (podem ser aproximadas para 
contínuas):
– número de transações por segundo de uma CPU;
– número de defeitos numa amostra de 5.000 itens; etc.
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Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínua
DiscretaDiscreta
1
2
x
p(x)
1 2
½
x
f(x)
1 2
½
área total = 1
8
1
x
f(x)
1 2 3 4 5 6 7 8
1
23
4
5
6 7
8
8 setores
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00
00
2700
1800
900
IIIIII
II I
x
360
1
x3600
f(x)
área total = 1
Variável aleatória: discreta x contínuaVariável aleatória: discreta x contínua
ContínuaContínua
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
evento {0 ≤ X < 90}
x360900
f(x)
360
1
00
00
2700
1800
900
IIIIII
II I
x
x3600
f(x)
área total = 1
360
1
área = P( 0 ≤ X < 90)
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
• As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória
contínua X podem ser calculadas através de uma função densidade 
de probabilidade f, que deve satisfazer: 
exxf ℜ∈∀≥ ,0)(
x
f(x)
a b
1)()( =∫+∞∞− xdxf
Se A = [a, b], então 
∫= ba xdxfAP )()()(
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
• Exemplo 6.3
⎩⎨
⎧
<
≥=
−
0 para,0
0 para,2)(
2
t
tetf
t
t
f(t)
2
3
6)3(2
3
2
3
2
3
0
2
122)()3( −−
+∞
−∞+ −∞+ =+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−===> ∫∫ eeedtedttfTP tt
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
• Função de distribuição acumulada
ℜ∈∀=≤= ∫ ∞− xdssfxXPxF x ,)()()(
⎩⎨
⎧
<
≥−=
−
0 para,0
0 para,1)(
2
t
tetF
t F(t)
1
t
• Exemplo 6.3
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Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua
• Valor esperado e variância
∫+∞∞−== dxxxfXE )()(µ
∫+∞∞− −== dxxfxXV )()()( 22 µσ 22 )()( µ−= XEXV
∫+∞∞−= dxxfxXE )()( 22onde:
ou
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição uniformeDistribuição uniforme
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉
∈−=
],[ para ,0
],[ para,1)(
βα
βααβ
x
xxf
00
00
2700
1800
900
IIIIII
II I
x
360
1
x3600
f(x)
área total = 1
• Exemplo:
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição uniformeDistribuição uniforme
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∉
∈−=
],[ para ,0
],[ para,1)(
βα
βααβ
x
xxf
β
βα
α
αβ
α
≥
<≤
<
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−=
x
x
x
xxF
 para
 para
 para
,1
,
,0
)(
xα0
f(x)
β
αβ −
1
xα0
F(x)
β
2
)(
βα +=XE ( )
12
)(
2αβ −=XV
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição exponencialDistribuição exponencial
• Exemplos:
– tempo (em minutos) até a próxima consulta a uma base de dados;
– tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;
– distância (em m) entre defeitos de uma fita.
0 t
x x x
Número X de 
ocorrências do 
evento em [0, t)
Poisson
Tempo T até a 
ocorrência do 
evento
Exponencial
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição exponencialDistribuição exponencial
0,)( >= − tetf tλλ
tetTPtF λ−−=≤= 1)()(
t
λ tetf λλ −=)(
0)( 0
tetTP λ−=>
t0
λ
1)( =TE
2
1)( λ=TV
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição exponencialDistribuição exponencial
Resp.
⎩⎨
⎧
<
≥=
−
0 para,0
0 para,2)(
2
t
tetf
t
?)32( =≤≤ TP
t
f(t)
32
∫ −=≤≤ 3
2
22)32( dteTP t ou
0158,0)3()2()32( 64)3(2)2(2 =−=−=>−≥=≤≤ −−−− eeeeTPTPTP
• Exemplo 6.3
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição normalDistribuição normal
µ + σµµ -σ x
σσ
f(x)
área total = 1
+∞<<∞−= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
xexf
x
 ,
2
1)(
2
2
1
σ
µ
πσ
µ=)(XE
2)( σ=XV
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição normalDistribuição normal
e21 µµ ≠ 21 σσ =
e43 µµ = 43 σσ <
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Distribuição normal padrãoDistribuição normal padrão
P(X > 180) = P(Z > 1)
1
10
170180 =−=−= σ
µxz
Distribuição de Z:
normal padrão
Distribuição de X:
normal com µ = 170 e σ = 10
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Tabela da distribuição normal padrãoTabela da distribuição normal padrão
(pela tabela)
0,0
0,1
0,2
...
0,09...0,020,010,00z
segunda decimal de z
(área na cauda 
superior )0,4168
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Principais Modelos ContínuosPrincipais Modelos Contínuos
Tabela da distribuição normal padrãoTabela da distribuição normal padrão
P(-0,42 < Z < 0,42) = ?
Então, P(-0,42 < Z < 0,42) = 1 – 2 (0,3372) = 0,3256
= -
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A normal como limite de outras distribuiçõesA normal como limitede outras distribuições
Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
• Condição:
– n grande e 
– p não muito próximo de 0 (zero) ou de 1 (um).
• Parâmetros:
np= µ
)1( pnp = −σ
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,0440,044
0,205
0,117
0,205
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X > 6) = p(7) + p(8) + p(9) + p(10) 
= 0,172
Ex. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em
10 lançamentos de uma moeda “honesta”?
Pela binomial:
( ) ( ) xx ..
x
 xp −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= 105,05,010)(
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
Ex. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em
10 lançamentos de uma moeda “honesta”?
Pela normal:
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X > 6,5)
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Aproximação normal à binomialAproximação normal à binomial
Ex. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em
10 lançamentos de uma moeda “honesta”?
Pela normal:
z0 0,95
0,1711
x5 6,5
P(X > 6,5)
95,0
5,2
55,6 =−=−= σ
µxz
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A normal como limite de outras distribuiçõesA normal como limite de outras distribuições
Aproximação normal à PoissonAproximação normal à Poisson
• Aproximação válida quando λ for grande
0 1 2 3 4 5
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4 p(x)
x
0 2 4 6 8 10 12
0,00
0,05
0,10
0,15
p(x)
x 10 20 30
0,00
0,04
0,08 p(x)
x
λ =20λ =5λ =1
Parâmetros da normal: λµ =
λσ =
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal
• Ex. Dados:74,0; 74,4; 74,7; 74,8; 75,9 
valor observado
v
a
l
o
r
 
e
s
p
e
r
a
d
o
p
e
l
a
 
n
o
r
m
a
l
-1,4
-1,0
-0,6
-0,2
0,2
0,6
1,0
1,4
73,6 74,0 74,4 74,8 75,2 75,6 76,0
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal
• Dados com distribuição normal
valores observados
v
a
l
o
r
e
s
 
e
s
p
e
r
a
d
o
s
 
p
e
l
a
 
n
o
r
m
a
l
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
72,5 73,5 74,5 75,5 76,5 77,5 78,5
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal
• Dados com distribuição normal, mas com um ponto discrepante
valores observados
v
a
l
o
r
e
s
 
e
s
p
e
r
a
d
o
s
 
p
e
l
a
 
n
o
r
m
a
l
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
72 74 76 78 80 82 84
valor discrepante
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Gráfico de probabilidade normalGráfico de probabilidade normal
• Dados com distribuição assimétrica
valores observados
v
a
l
o
r
e
s
 
e
s
p
e
r
a
d
o
s
 
p
e
l
a
 
n
o
r
m
a
l
x
f(x)