Aula_17_Serie_Fourier_Discreto

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Série de Fourier
Tempo Discreto
Modelagem de Sistemas Dinâmicos Michel Leles
Introdução
� Nessa aula continuaremos a discutir a modelagem de 
sinais a partir do domínio da frequência.
� Agora para sinais periódicos no tempo discreto que são 
tratados pela Série de Fourier de Tempo Discreto
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Discreto |2
� Capítulo 3: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulos 9: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
� Seção 9.1
Série de Fourier de Tempo Discreto
� Sinais Discretos
� Abordagem similar ao caso contínuo
� Contudo há diferenças
� Lembremos da resposta de um sistema LTI discreto a 
uma exponencial complexa: 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Discreto |3
Série de Fourier de Tempo Discreto
� Quando um sinal discreto é periódico? 
� Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante 
positiva N, tal que: 
� O menor valor para N é chamado de período fundamental – No
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� é a frequência fundamental de x[n] em radianos por 
segundo
Série de Fourier de Tempo Discreto
� Fundamental:
� Conjunto de harmônicas para o caso discreto: 
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� Lembrando que: 
� Dessa forma, existem N harmônicas distintas!
Série de Fourier de Tempo Discreto
� Analogamente ao caso contínuo: 
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� O somatório é feito num intervalo de “tamanho” N
� em função de haver N harmônicas distintas... 
� O somatório pode ir de 0 até N-1, de 3 até N+2, e assim 
sucessivamente. 
Série de Fourier de Tempo Discreto
� não existem problemas de convergência:
� Somatório Finito
� Coeficientes da Série:
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Série de Fourier de Tempo Discreto
� Exemplo 1:
� Calcular os coeficientes da Série de Fourier de tempo Discreto 
para o sinal:
� Euller�
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� Para sinais discretos periódicos reais: 
Série de Fourier de Tempo Discreto
� Exemplo 2:
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�
� 24
2
0
pipi
==w
40 =N
Série de Fourier de Tempo Discreto
� Exemplo 2 (cont):
� Lembrando que:
� Substituindo valores:






+





= nkjnke njk
2
sin
2
cos2
pipipi
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� Resolvendo 5,0;
4
2
;1 ;
4
2
4
4
3
32
4
3
1 ====
−
aeaaea
jj pipi
Série de Fourier de Tempo Discreto
� Exemplo 3:
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Série de Fourier de Tempo Discreto
� Exemplo 3 (cont.):
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Série de Fourier de Tempo Discreto
� Exemplo 3 (cont.):
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Propriedades
� Notação:
� Linearidade:
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� Deslocamento:
� Reversão:
Propriedades
� Escala temporal:
� Modifica os coeficientes da serie de Fourier de tempo discreto
� O que não ocorria no caso contínuo
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� Multiplicação:
� Relação de Parseval:
Propriedades
� Como vimos, as propriedades da Série de Fourier de 
tempo Discreto são similares às da Série de Fourier de 
tempo Contínuo, embora existam diferenças:
� Estão resumidas na Tabela 3.2, Oppenheim (2011). 
� São interessantes para facilitar a determinação dos 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Discreto |16
� São interessantes para facilitar a determinação dos 
coeficientes da Série de Fourier de um sinal.
� Conforme exemplo a seguir...
� Leiam sobre as propriedades, pois o livro apresenta 
comentários interessantes, 
� Estudem os exemplos 3.13, 3.14 e 3.15... 
Propriedades
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Propriedades
� Exemplo
� Determine os coeficientes da Série de Fourier para o sinal:
1.4
1.6
1.8
2
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-6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Inicialmente iremos resolver esse problema sem a utilização 
das propriedades...
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Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Valor Médio:
� Primeiro Harmônico:
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� Segundo Harmônico:
� Finalmente �



−==
==
1236,0
3236,0
32
41
aa
aa
Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Agora iremos resolver esse problema com a utilização das 
propriedades...
0.5
1
x1
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� Observa-se que:
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
0
0.5
1
x2
Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Sinal x1:
� Sinal simples
� Constante
� Possui apenas um coeficiente
� ao = valor médio = 1
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� ao = valor médio = 1
� Sinal x2:
� Onda quadrada
� Inicialmente iremos resolver o caso geral para esse tipo de sinal
� Devemos fazer uma analogia com o caso continuo...
Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Onda quadrada
� Caso Geral:
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� Fazendo a substituição de variáveis:
� Obtém-se:
� Após simples manipulações algébricas:
Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Onda quadrada
� Caso Geral:
� Usando a propriedade:
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� Para
� Para 
Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Substituindo valores...
� N1 = 1
� N = 5
� Para �
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� Para �
� Para �
� Compare com a metodologia anterior (slides 19 e 20)
Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Usando o princípio da superposição:



+=
+=
21
21
kkk aaa
xxx
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� Dessa forma:



Material de Estudo e Exercícios
� Material de Estudo:
� Capítulo 3: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulo 9: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
� Seção 9.1
�Matlab Seção 9 �Aplicações da Série de Fourier
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�Matlab Seção 9 �Aplicações da Série de Fourier
� Exercícios
� Oppenheim (2011) � 3.14, 3.15, 3.19, 3.20, 3.26(a,b,c), 3.28(a), 
3.29(a,b), 3.31(a,b,c), 3.40(a,b,c,d).
� Lathi (2004) � 9.1.1 a 9.1.8