Derivadas parciais

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática 
 
Cálculo B (Informática) – Turmas 128 e 138 
 
 Tópico 8 - Página 1 de 8 
Tópico 9 – Derivadas Parciais 
Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 323 a 342 
 
Limites de Funções de Duas ou Mais Variáveis 
 
 
Dada uma função f = f(x,y), dizemos que o limite de f é igual a L quando (x,y) se aproxima de um ponto de 
referência (a,b), se pudermos tornar os valores de f(x,y) tão próximos de L conforme (x,y) se aproximar de 
(a,b). Nesse caso escrevemos 
L)y,x(flim
)b,a(x
=→ . 
 
O conceito de limite novamente está associado ao conceito de tendência. 
 
 
 
Perguntas Importantes: 
 
1. De quantas formas diferentes podemos nos aproximar de um ponto no eixo real? 
2. De quantas formas diferentes podemos nos aproximar de um ponto no plano? 
3. Como você relaciona essas informações com o conceito de limite? 
 
 
Limites de Funções de Duas Variáveis: Dificuldades de Cálculo 
 
Para se estimar o limite de uma função de duas variáveis f no ponto (x0,y0) é necessário calcular esse valor 
por todas as trajetórias que passem por (x0,y0). Se em todos os casos o resultado for sempre o mesmo, 
digamos L, diz-se que o limite existe e que vale L. Caso o limite não exista em alguma trajetória ou dê um 
valor diferente para trajetórias diferentes, dizemos que o limite não existe. 
 
 
Exemplo 
Calcule o limite da função 22),( yx
xyyxf += em (0,0): 
a) ao longo da trajetória x = 0; 
 
b) ao longo da trajetória x = y; 
 
c) ao longo da trajetória y = x2; 
 
Qual sua conclusão? 
 
 
 
 
 
 Tópico 8 - Página 2 de 8 
Como se pode intuir, em geral é bastante complicado definir a existência de um limite para uma região 
“problemática” de uma função. Isso porque não há um raciocínio fortemente estruturado como no caso de 
limites de funções de uma variável. Essa dificuldade traz algumas conseqüências importantes: 
 
ƒ Como não há um meio geral de se definir o limite de uma função de duas variáveis, torna-se um 
tanto complicado definir se essa função é contínua; 
 
ƒ Como não há um meio geral de se definir o limite de uma função de duas variáveis, torna-se 
impraticável definir a existência da derivada dessa função. 
 
 
Continuidade de Funções de Duas Variáveis 
 
 
Uma função é contínua se o resultado de sua avaliação em cada ponto é igual a sua tendência ao se 
aproximar daquele ponto. Isto é, no caso de uma superfície, f, 
 
f é uma função contínua ⇔ )y,x(f)y,x(flim),y,x( 00)y,x()y,x(00 00 =∀ → 
 
 
Como visto, essa definição não é trivial de ser utilizada. Alguns resultados, porém, são conhecidos: 
 
ƒ A soma, a subtração e o produto de funções contínuas é contínua; 
 
ƒ A divisão de funções contínuas é contínua desde que o denominador não se anule; 
 
ƒ A composição de funções contínuas é contínua. 
 
 
Exemplos 
 
1. Determine se as funções abaixo são contínuas e justifique por quê: 
 
 a) 3/2),( yxeyxf xy += 
 
 b) ||)cos(),( 3 xyxyyxf −= 
 
 c) 221
),(
yx
xyyxf ++= 
 
 d) 
xy
yxyxf −= 1),(
23
 
 
2. Calcule: 
 a) 22)2,1(),(
lim
yx
xy
yx +−→ 
 b) 22)0,0(),(
1lim
yxyx +→ 
 
 
 
 
 
 
 Tópico 8 - Página 3 de 8 
Derivação de Funções de Duas Variáveis: Derivadas Parciais 
 
Como visto anteriormente, o cálculo de limites com duas ou mais variáveis é difícil, ainda mais em 
indeterminações. 
 
A definição da derivada de uma função de duas variáveis é dada por 
 
))y,x(),y,x((d
)y,x(f)y,x(f
lim)y,x(f
00
00
)y,x()y,x(00 00
−=′ → 
 
onde ))y,x(),y,x((d 00 é a distância entre os pontos (x,y) e (x0,y0). 
 
Se nos dermos conta de que esta expressão gera, na maior parte das vezes, uma indeterminação, então 
fica claro que não é possível obter "a" derivada de uma função de duas ou mais variáveis, em geral. 
 
Este problema pode ser contornado através do conceito de derivada parcial. 
 
 
A derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis é obtida pela derivação de uma curva que 
represente um caminho sobre a função e paralelo à variável escolhida. Por conseqüência, as demais 
variáveis de entrada não variam ao longo desse caminho. Assim, uma derivada parcial é obtida 
considerando-se apenas uma variável de cada vez. 
 
 
Ou seja: 
 
ƒ a derivada parcial de f em relação a x considera apenas x como variável. Notações: xf ou x
f
∂
∂ 
ƒ a derivada parcial de f em relação a y considera apenas y como variável. Notações: yf ou y
f
∂
∂ 
ƒ a derivada parcial de f em relação a z considera apenas z como variável. Notações: zf ou z
f
∂
∂ 
ƒ etc. 
 
 
Os procedimentos e regras de derivação são similares aos utilizados para funções de uma variável. 
 
Exemplo: Determine as derivadas parciais: 
x
f
∂
∂ e 
y
f
∂
∂ 
a) xyyxyxf 42.2),( 23 ++= 
 
 
b) 22),( yxyxf += 
 
 
Exercícios 
1. Determine as derivadas parciais 
x
z
∂
∂
e 
y
z
∂
∂
das funções: 
 a) z = 4x2y – 5x3y2 + 2x – y b) z = yx c) z = ln(xy2) 
 
 d) z = 122 −+ yx e) z = 
yx
xy
23
2
− f) z = yx
yx
4
32
2 +
−
 
 
 
 
 Tópico 8 - Página 4 de 8 
 g) z = (2x – y)exy h) z = 2x2y.ln 2y i) z = 
yx 2
11 − + ln exy 
 
 j) z = cos (x+y) – e2x+ e5y k) f(x,y) = ye x cos
2
 l)f(x,y)=sen ( x2+y2) 
 
 
2. Mostre que: 
 
a) se z = 22ln yx + , então 1=∂
∂+∂
∂
y
zy
x
zx 
 
b) se z = 2
22ln
x
y
,então 0=∂
∂+∂
∂
y
zy
x
zx 
 
 
 
Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais 
 
 
 Considere a superfície abaixo, gráfico de uma função z = f(x,y). 
 
 Para y = k (constante) a função f se reduz a uma função de uma variável x, z = f(x,k). 
 
 
 
Derivada parcial em relação a x 
 
Derivada parcial de f em relação a y 
 
 
 
 Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x1,y1) representa a declividade da superfície 
no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo x, isto é x
f
∂
∂
(x1,y1)=mt 
 
 
 Analogamente , a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x1,y1) representa a declividade da 
superfície no ponto (x1,y1) na direção paralela ao eixo y, isto é y
f
∂
∂
(x1,y1)=mt 
 
 
 
 
 
 Tópico 8 - Página 5 de 8 
Exemplo 
 
Dado 32 5),( yyxyxf += , determine: 
 
a) A inclinação de f no ponto (1,–2) na direção do eixo x 
 
 
b) A inclinação de f no ponto (1,–2) na direção do eixo y 
 
 
Exercícios 
 
3. Encontrar a declividade da reta tangente à curva resultante da intersecção de: 
 
 a) z = x2 + y2 com o plano x = 1, no ponto ( 1,2,5) 
 
 b) z = x2 + y2 com o plano y = 2, no ponto (2,2,8) 
 
 c) z = 22 4934 yx −− com o plano y = 2, no ponto (1,2,3) 
4. Dada a função ,1),(
22
2
yx
yyxf
+
+= determine : 
 a) o domínio de f b) fx(3,4) c) fy(3,4) 
 d) o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a intersecção do gráfico de f com o plano x = 3 
no ponto em que y = 4. 
 
5. Seja a função dada por yxyxf −=),( 
 a)Represente graficamente o domínio da f b)Encontre 
y
f
∂
∂
. 
6. Seja a função dada por 
xy
yxyxyxf −
−+=
22 3),( 
a) Determine e represente graficamente o domínio da f. 
b) Encontre 
x
f
∂
∂
 
7. Determine as equações da reta tangente à curva que é a interseção do gráfico de f(x,y)= 22 210 yx −− 
com o plano y = 1, no ponto x = 2. 
 
 
 
Taxas de variação 
 
 
x
f
∂
∂
 fornecea taxa de variação de ),( yxf em relação à x para y = k (constante), isto é, mede a taxa de 
variação de ),( yxf quando (x,y) se move na direção do eixo x. 
 
 
 
y
f
∂
∂
 fornece a taxa de variação de ),( yxf em relação à y para x = k (constante), isto é, mede a taxa de 
variação de ),( yxf quando (x,y) se move na direção do eixo y. 
 
 
 
 
 
 Tópico 8 - Página 6 de 8 
Exercícios 
 
8. Uma placa de metal aquecida está situada em um plano xy de modo que a temperatura T no ponto (x,y) é 
dada por T(x,y) =10( x2 + y2 )2 . Determine a taxa de variação de T em relação à distância no ponto P(1,2) 
na direção: 
 
a) do eixo das abscissas 
b) do eixo das ordenadas 
 
9. O volume de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por: 
hrrhV 2
3
1),( π= 
Qual é a taxa de variação do volume em relação ao raio? Interprete o resultado. 
 
10. O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V = hr 2π onde r representa a medida do 
raio da base e h a altura do cilindro. 
 
a) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a “r” se ”h” permanece 
constante; 
b) Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a “h” se ”r” 
permanece constante; 
c) Suponha que “h” tem um valor constante de 4cm mas “r “ varia. Determine a taxa de variação de V 
em ralação a “r” quando r = 6cm; 
d) Suponha que “r” tem um valor constante de 8cm mas “h“ varia. Determine a taxa de variação de V 
em ralação a “h” quando h = 10cm; 
e) Suponha agora que r = g(t) e h = f(t). Determine a taxa de variação de V em relação a “t”; 
f) Mostre que a solução de e) tem a forma 
dt
dh
h
V
dt
dr
r
V
dt
dV .. ∂
∂+∂
∂= 
 
 
Derivadas de Ordem Superior 
 
Derivadas parciais de ordem superior são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de primeira 
ordem. No entanto, deve-se observar que para uma função de duas variáveis existirão duas derivadas de 
segunda ordem para cada derivada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de f são dadas por: 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂
x
f
xx
f
2
2
 
 
ou 
 ( )xxxx ff = 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂
∂
y
f
yy
f
2
2
 
 
ou 
 ( )
yyyy
ff = 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂∂
∂
x
f
yxy
f2 
 
ou 
 ( )yxxy ff = 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=∂∂
∂
y
f
xyx
f2 
 
ou 
 ( )
xyyx
ff = 
Derivando duas vezes 
em relação a x 
Derivando duas vezes 
em relação a y 
Derivando primeiro em 
relação a x e depois em 
relação a y 
Derivando primeiro em 
relação a y e depois em 
relação a x 
Derivadas Puras Derivadas mistas 
 
Atenção à notação! 
Note que ( )yxfx
f
y
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ , isto é, xy
2
f
xy
f =∂∂
∂ . 
 
 
 
 Tópico 8 - Página 7 de 8 
Exemplo 
 
Determine as derivadas de segunda ordem das funções dadas: 
 
a) yxyxyxf 432),( += 
 
b) yeyyxf x += 2),( 
 
c) xyyexyxf 2),( = 
 
d) 22),( yxyxf += 
 
 
Observação 
 
 As derivadas parciais de segunda ordem mistas são iguais para funções continuas com derivadas parciais 
continuas. 
 
Exercícios 
 
11) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem das funções dadas por: 
 
 a) z = x2y – xy2 + 2x – y b) z = xy c) z = ln(xy) d) z = 
2xye− 
 
 e) z = 
x
y2
 f) z = x3y2 g) z = xe-y h) z = xln exy 
 
12) Seja a função dada por z = .
y
x
 
 a) Faça a curva de nível para z = 2. 
 
 b) Encontre as derivadas parciais de segunda ordem da z. 
 
 
 
Respostas 
 
1) a) fx(x,y)=8xy–15x2y2+2; fyx,y)=4x2–10x3y–1 b)fx(x,y)= y ; fy(x,y)=
y
x
2
 
 c) fx(x,y)= x
1
; fyx,y)= y
2
 d)fx(x,y)=
122 −+ yx
x
; fy(x,y)=
122 −+ yx
y
 
 e) fx(x,y)= 2
2
)23(
4
yx
y
−
−
 ; fyx,y)= 2
2
)23(
6
yx
x
− f)fx(x,y)= 22
2
)4(
862
yx
yxyx
+
++−
;fy(x,y)= 22
2
)4(
83
yx
xx
+
−−
 
 
 g) fx(x,y)= exy(2xy – y2 + 2); fyx,y)= exy(2x2 – xy–1) h)fx(x,y)= 4xyln 2y ; fy(x,y)=2x2(ln 2y + 1) 
 
 i) fx(x,y)= y
x
+− 21 ; fy(x,y)= xy +22
1
 j) fx(x,y)= -sen(x+y)-2e2x ; fyx,y)=-sen(x+y) +5e5x 
 
 k) fx(x,y)= ex22xcosy; fyx,y)=-ex2seny l) fx(x,y)=2xcos(x2+y2) fy(x,y)=2ycos(x2+y2) 
 
 
 
 Tópico 8 - Página 8 de 8 
 
 3) a) 4 b) 4 c) -3 4) a) )}0,0{(2 −IR b)
125
3− c)
125
996
 d) 
125
996
 
 
5) a) Dom f = }0/),{( 2 ≥−∈ yxIRyx b) 
yx
yxf y −
−=
2
1),( 
 
6) a) Dom f = }0/),{( 2 ≠−∈ yxIRyx b) fx(x,y) = 2
22
)(
22
xy
xyxy
−
−+
 
 
7) y = 1 e z = -x+4 8) a) 200 b) 400 
 
9) rh
r
V π
3
2=∂
∂
. O volume aumenta aproximadamente em 2/r à medida que r cresce uma unidade e a altura 
permanece constante. 
 
10) a) hrhr
r
V π2),( =∂
∂
 b) 2),( rhr
h
V π=∂
∂
 c) π48)4,6( =∂
∂
r
V
 d) π64)10,8( =∂
∂
h
V
 
 
 e) 
dt
dhr
dt
drhrhr
dt
dV ..2),( 2ππ += 
 
11) a) 2y ; -2x ; 2x–2y b) 0 ; 0 ; 1 c) 2
1
x
− ; 
2y
1− ; 0 d) 24 xyey − ; )12(2 22 −− xyxe xy ; )(2 32 yxye xy −− 
e) 3
4
x
y
; 0 ; 2
2
x
− f) 6xy2 ; 2x3 ; 6x2y g) 0 ; xe-y ; -e-y h) 2y ; 0 ; 2x 
12) a) 
2
xy = b) zxx(x,y) = 0 , zyy = 3y
x2 , zxy(x,y) = zyx (x,y) = 2
1
y
− 
 
Exercícios Complementares 
 
Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume 2. 
Página Exercícios 
330 9, 11, 13,15,17 
338 1,3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 23, 25, 27, 29, 31 
340 43, 45, 47, 49, 51, 55, 73 (importante) 
341 81, 83, 87