Conceitos Básicos: Sistemas de Forças

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Mecânica Geral
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Prof. M.Sc. João Carlos de CamposProf. M.Sc. João Carlos de CamposProf. M.Sc. João Carlos de CamposProf. M.Sc. João Carlos de Campos
Cap.1 – I. Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças – 2.ª aula
Bases
� Noções Básicas preliminares
• Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional
1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Em Geometria Analítica plana as 
equações contêm duas variáveis. Na 
espacial, três variáveis. Sejam x, y e 
equações contêm duas variáveis. Na 
espacial, três variáveis. Sejam x, y e 
z, três retas orientadas mutuamente 
perpendiculares
entre si e concorrentes no ponto “O”
Principais elementos :
- Ponto O origem do sistema 
cartesiano.
- retas orientadas segundo eixos 
cartesianos.
- planos xy, xz, yz planos cartesianos.
(x,y,z)
2
Bases
� Noções Básicas preliminares
• Sistemas de coordenadas no espaço 
tridimensional
1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
• Pelo ponto P traçam-se três planos paralelos 
aos planos coordenados e juntamente com 
estes individualiza-se um paralelepípedo 
retângulo, cujas faces interceptam os eixos:retângulo, cujas faces interceptam os eixos:
x em P (P,P1Px e P2), y em P e z em P .
• Podemos associar a cada ponto P do espaço 
uma tríade de números reais. Assim o ponto 
“P” fica determinado por suas coordenadas 
cartesianas ortogonais:
P = (x, y, z)
Sendo: 
OX = OPx --- Abscissa
OY = OPy --- Ordenada
OZ = OPz --- Cota
P
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Bases
� Noções Básicas preliminares
• Sistemas de coordenadas no espaço 
tridimensional
1. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Particularidades
a) O = (0, 0, 0) origem do sistema cartesiano.a) O = (0, 0, 0) origem do sistema cartesiano.
b) P1 = (x, y, 0); P2 = (x, 0, z); P3 =(0, y, z) 
representam as projeções ortogonais do ponto 
P sobre os planos coordenados xy, xz e yz.
c) Px =(x, 0, 0); Py = (0, y, 0); Pz =(0, 0, z) 
representam as projeções ortogonais do ponto 
P sobre os eixos coordenados x, y e z.
4
Bases
� Definição
• Chamamos de Base a qualquer seqüência ordenada de 
três vetores LI (não coplanares) 
B = V1, V2, V3 . Portanto, B é um conjunto de 
vetores LI
Então, como já vimos Então, como já vimos 
anteriormente, todo e qualquer 
vetor u do espaço pode ser 
escrito como combinação 
linear desses três vetores, do 
conjunto “B” tal que:
U = aV1 + bV2 + cV3
Sendo: a, b e c números reais.
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Bases
� Base Ortogonal ou Ortonormal
• Chamamos de Base Ortogonal ou Ortonormal positiva, quando 
esses três vetores possuírem as seguintes características:
a) serão representados por i, j e k, sendo que 
B = i, j, k 
a) serão ortogonais, dois a dois e representados com origem a) serão ortogonais, dois a dois e representados com origem 
no ponto “O”, dos eixos cartesianos;
b) Seus módulos serão unitários 
i = j = k = 1
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Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Sendo “O” a origem de um sistema de referência cartesiano
Oxyz, a força (F,P) poderá ser expressa pelas componentes
cartesianas nesse sistema, na base (i, j, k).
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P
(x, y, z)
Produto Escalar
� Produto Escalar ou Interno
Essa notação é atribuída ao físico norte-americano J. 
W. Gibbs (1839 - 1903).
o Expressão Cartesiana do Produto Escalaro Expressão Cartesiana do Produto Escalar
A expressão cartesiana de u . v, Num sistema cartesiano 
ortogonal (Base i, j, k) são conhecidos os vetores u e v por suas 
expressões cartesianas:
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Produto Escalar
o Expressão Cartesiana do Produto Escalar
9
Produto Escalar
o Expressão Cartesiana do Produto Escalar
10
Produto Vetorial
� Produto Vetorial ou Externo
Regra da Mão 
Esquerda
Produto Vetorial
� Produto Vetorial ou Externo 
Produto Vetorial
� Produto Vetorial ou Externo 
Produto Vetorial
� Produto Vetorial ou Externo 
As coordenadas do vetor P resultado do produto 
vetorial do vetor u pelo vetor v, pode ser obtido 
através do determinante simbólico
Produto Vetorial
� Produto Vetorial ou Externo 
Regra de Laplace
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Sendo “O” a origem de um sistema de referência cartesiano
Oxyz, a força (F,P) poderá ser expressa pelas componentes
cartesianas nesse sistema, na base (i, j, k).
16
P
(x, y, z)
Logo, o momento da força em relação a 
origem será: 
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Pode-se escrever o produto vetorial:
Conhecendo
17
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Os momentos dessa força em relação aos eixos 
coordenados são:
18
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Observe ainda que se existir a força (F,P), com o ponto “P” no 
plano xy e um eixo OZ, pode-se calcular o momento dessa força 
em relação a esse eixo.
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Fz//k =0
=1
=b
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Conseqüência: Se uma força for paralela a um eixo concorrer 
com ele, não terá momento em relação a esse eixo. Fica, 
portanto, evidente que é necessário que força e eixo não 
sejam coplanares, isto é, sejam reversos entre sí, para que 
exista o momento da força
20
exista o momento da força
Introdução - Fundamentos
21
Introdução - Fundamentos
F =
22
r
90o
rx
rxz
Introdução - Fundamentos
23
Produto Misto
Produto Misto
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
9. Momento de uma força em relação a um eixo
O’
e
Define-se momento da força (P, F) em 
relação ao eixo “e” (MeF), como sendo a 
projeção vetorial do momento (MoF) 
26
P
O
F
No Plano(Vetor unitário )
projeção vetorial do momento (MoF) 
sobre o eixo “e”
Sendo o eixo “e” orientado, pode-se 
definir um vetor unitário na direção e 
sentido do eixo. A projeção do momento 
MoF sobre o eixo “e” será dado pelo 
escalar resultante do produto misto
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
9. Momento de uma força em relação a um eixo
O’
e
Diante da definição anterior pode-se demonstrar 
que a projeção do momento da força F sobre o 
eixo”e” será sempre a mesma, qualquer que seja o 
ponto considerado sobre o eixo “e”
27
P
O
F
Logo, MeF independe do pólo 
escolhido sobre o eixo:
=0
No Plano(Vetor 
unitário)
ponto considerado sobre o eixo “e”
Bases – Operações Vetoriais
� Vetor unitário - Versor
• Noções Básicas Preliminares
ou
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BH=(H-B)=[(0,875-0,5), (0,75-0), (0-0,75)]
BH=(H-B)= (0,375, 0,75, -0,75)
BH = 1,125
30
450 N
31
450 N
Bases
� Módulo de um vetor u, a partir de suas 
coordenadas (x,y,z)
� Noções Básicas Fundamentais
(No plano)
Bases
� Noções Básicas preliminares
• Sistemas de coordenadas no espaço tridimensional
2. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Particularidades
Dados dois pontos P1 e P2, a distância “d” Dados dois pontos P1 e P2, a distância “d” 
entre eles será igual a:
Bases – Operações Vetoriais
� Módulo de um Vetor u, a partir de suas 
coordenadas (x,y,z)
F
Fxz
Fx
Operações Vetoriais
� Ângulos Diretores e Cossenos Diretores 
de um vetor
• Noções Básicas Preliminares
Bases – Operações Vetoriais
� Ângulos Diretores e Cossenos Diretores 
de um vetor
• Noções Básicas Preliminares
Operações Vetoriais
� Ângulos Diretores e Cossenos Diretores 
de um vetor
• Noções Básicas Preliminares
Até aqui
Bases – Operações Vetoriais
� Ângulos Diretores e Cossenos Diretores 
de um vetor
Bases – Operações Vetoriais
� Ângulos Diretores e Cossenos Diretores 
de um vetor
Bases – Operações Vetoriais
� Ângulos Diretores e Cossenos Diretores 
de um vetor
Bases – Operações Vetoriais
� Ângulos Diretorese Cossenos Diretores 
de um vetor
� Teoremas
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Força dada por seu Módulo e 2 pontos de sua linha de ação
Dada uma força (A,F), com linha de ação AB, sendo A e B pontos
conhecidos e fornecido o módulo de F, pede-se determinar as componentes
cartesianas da força (A,F)
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F
Fxy
Fx
Fz
Fz
dz(AB)
d(AB)
dx(AB)
dy(AB)
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Exercício: Uma força F de módulo 150 N é aplicada à alavanca 
de controle AB, conforme mostra a figura. Sabendo-se que AB 
= 0,20 m e que MBF = 22,55 N.m, determine o valor de α. 
43
∴65o
d
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Exercício: Uma força P de intensidade 500 N, atua segundo a 
diagonal de uma face de um paralelogramo, conforme figura. 
Determinar o momento de P em relação a uma reta que une os 
vértices:
a) G e C;
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vértices:
a) G e C;
b) O e C;
c) A e C;
d) D e E;
e) A e B.
Respostas:
a) -3748 N.cm
b) -2880 N.cm
c) -3283 N.cm
d) +2880 N.cm
e) zero
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Exercício: a) G e C;b) O e C;
c) A e C;
d) D e E;
e) A e B.
αααα
Py
Pz
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a) G e C
Momento de P em relação ao eixo GC
Vetores: 
P (Px, Py, Pz) = (0, -Pcosα, Psenα) = (0,-400,300)
(C-G) = GC [(15,16,12)-(0,16,0)] = (15,0,12)
αααα
Senα = 16/20
Cosα = 12/20 Vetor unitário = Versor de GC:
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
Exercício:
a) G e C
Momento de P em relação ao eixo GC
Produto misto:
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Produto misto:
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
10. Momento de um sistema de forças em relação a 
um eixo
Seja um sistema de forças (Fi,Pi) e o eixo u e, Ou, por 
definição:
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definição:
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
11. Translação de uma força
Pode-se transformar ou transladar uma
força (F,P) para um ponto “Q”
Acrescentando em “Q”, um par de forçasP
F
+F
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Acrescentando em “Q”, um par de forças
diretamente opostas: (F,Q) e (-F,Q),
Obtendo assim uma força (+F,Q) e um
binário de transporte (F,P) e (-F,Q); dessa
forma a força (+F,Q) é a força de transporte
de P para Q.
P
Q
+F
-F
Binário de
transporte
d
Observa-se que o momento da força (F,P) em relação a Q é igual ao 
momento do binário de transporte da força F, de P para Q.
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
12. Sistemas de forças equivalentes
Definição: Dois sistemas de forças são equivalentes quando as 
resultantes e os momentos, em relação a um pólo qualquer, são 
iguais.
49
iguais.
Se R’ = R e Mo = M’o, então os sistemas de forças (Fi,Pi) e (Fj,Pj) são 
EQUIVALENTES.
Se dois sistemas de forças são equivalentes podem ser reduzidos um ao outro,
mediante operações elementares.
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
12. Sistemas de forças eqüipolentes
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Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
12. Sistemas de forças equivalentes
Definição: Dois sistemas de forças são equivalentes quando as 
resultantes e os momentos, em relação a um pólo qualquer, são 
iguais.
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iguais.
Se R’ = R e Mo = M’o, então os sistemas de forças (Fi,Pi) e (Fj,Pj) são 
EQUIVALENTES.
Se dois sistemas de forças são equivalentes podem ser reduzidos um ao outro,
mediante operações elementares.
Cap.1 – I. – Conceitos Básicos: Sistemas de 
Forças
12. Sistemas de forças equivalentes
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Cap.1 – II. – Redução de Sistemas
1. Definição
Reduzir um sistema de forças é obter outro
sistema que lhe seja equivalente,
geralmente mais simples.
P
F1
+F
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2. Teorema fundamental
Dado um sistema qualquer de forças (Fi,Pi)
e um pólo arbitrário “O”, sempre pode-se
esse sistema a uma única força (ΣFi,O) e
um binário de momento
P1
O
+F1
-F1
Binário de
transporte
Cap.1 – II. – Redução de Sistemas
2. Teorema
Em matemática , um teorema é uma afirmação que pode ser 
provada como verdadeira através de outras afirmações já 
demonstradas, como outros teoremas, juntamente com afirmações 
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demonstradas, como outros teoremas, juntamente com afirmações 
anteriormente aceitas, como axiomas (Na lógica tradicional, um 
axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é 
provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um 
consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma 
teoria).
Prova é o processo de mostrar que um teorema está correto. 
O termo teorema foi introduzido por Euclides , em Elementos , 
para significar "afirmação que pode ser provada". 
Cap.1 – II. – Redução de Sistemas
P
F1
+F
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P1
O
+F1
-F1
Binário de
transporte
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
“O” é denominado pólo de redução do sistema
Cap.1 – II. – Redução de Sistemas
3. Tipos de sistemas:
a) Sistema equivalente a zero:
b) Sistema equivalente a um binário:
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b) Sistema equivalente a um binário:
c) Sistema equivalente a uma única força:
d) Sistema geral:
Cap.1 – II. – Redução de Sistemas
Foram utilizados na montagem desta aula, 
materiais dos professores:
1. Plínio Norberto de Menezes
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2. João Carlos de Campos
3. Eduardo Nobre Lages