Apostila 7 - Variável Aleatória

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI MARTINS 
 
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VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
1 - Introdução 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A variável pode ser qualitativa, 
quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo, cor), ou pode ser quantitativa, quan-
do seus valores são expressos em números. A variável quantitativa pode ser contínua, quando 
assume qualquer valor entre dois limites (ex: peso, altura, medições), ou pode ser discreta, 
quando só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável (ex: número de filhos, 
contagens em geral). 
Quando o espaço amostral de um experimento não é constituído por números reais, não podemos 
utilizar as medidas descritivas (média, variância, desvio padrão, etc.). Estabelecemos, então, 
uma função que transforma o espaço amostral não numérico em um espaço amostral numérico. 
 
2 – Conceito 
Considere um experimento  e seu espaço amostral S = { a1 , a2 , a3 , ..., an } 
Qualquer função X que transforma os valores a1, a2, a3,..., an em números reais é chamada Variá-
vel Aleatória (v.a.) 
Uma variável aleatória (v.a.) é uma variável que tem um valor numérico para cada resultado de 
um experimento. 
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas: 
Variável Aleatória Discreta  a variável assume valores pontuais, discretos. 
Variável Aleatória Contínua  a variável pode assumir valores entre dois pontos da reta, con-
tínuos. 
 
3 – Função de Probabilidade 
Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente com suas respectivas 
probabilidades, temos uma distribuição de probabilidade. 
Qualquer distribuição de probabilidades é uma função que satisfaz as condições: 









xtodoparaxXP
possíveisvaloresostodosassumexondexXP
,1)(0
,1)(
 
Notação: Variáveis aleatórias são denotadas por letras maiúsculas. Os valores observados das 
variáveis aleatórias são denotados por letras minúsculas. 
 
 
 
 
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4 – Valor Esperado 
Dada a variável aleatória X discreta, assumindo os valores x1 ,... , xn , chamamos valor médio ou 
esperança matemática de X ao valor 



n
i
ii xXPxXE
1
)()(
  se X for discreta 



 dxxfxXE )(.)(
  se X for contínua 
 
5 – Variância e Desvio Padrão 
Chamamos de variância da variável aleatória X o valor 
  i
n
i
i pXExXVAR 


1
2
)()(
 
O desvio padrão de X, DP(X), é definido como a raiz quadrada positiva da variância. 
A variância pode ser calculada pela fórmula simplificada: 
 
    
  i
n
i
pXXE
onde
XEXEXVAR




1
22
22
,
)(
 
6 – Propriedades do Valor Esperado 
1ª. – Se uma variável aleatória X assume um único valor real k, então: 
 E(X) = k 
2ª. – Se k é um número real e X uma variável aleatória, então o valor esperado de kX é dado 
 por: 
 E(k.X) = k . E(X) 
 
3ª. – Se uma variável aleatória Y é dada por Y = a X + b onde a e b são números reais e X é 
 outra variável aleatória, então: 
 E(Y) = a . E(X) + b 
 
7 – Propriedades da Variância 
1ª. – Se uma variável aleatória X assume um único valor real k, então: 
 VAR(X) = 0 
2ª. – Se k é um número real e X uma variável aleatória, então: 
 VAR(k.X) = k2 . VAR(X) 
3ª. – Se uma variável aleatória Y é dada por Y = a X + b onde a e b são números reais e X é 
 outra variável aleatória, então: 
 VAR(Y) = a2 . VAR(X)