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AP3 MÉTODOS DETERMINÍSTICOS 1 2016 1 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Este texto e´ comum as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Considere o conjunto
A =
{
x ∈ Z :
(
−
√
17 < x <
5
3
)
∧ (x > −4)
}
isto e´, A e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta(
−√17 < x < 5
3
)
∧ (x > −4).
Considere tambe´m o conjunto
B =
{
x ∈ Z : (−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0)}
isto e´, B e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta
(−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0).
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir.
Questa˜o 1 (0.5 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto A.
Soluc¸a˜o: Como a proposic¸a˜o “
(
−√17 < x < 5
3
)
∧ (x > −4)”e´ uma conjunc¸a˜o, para que ela seja
verdadeira, e´ preciso que as duas proposic¸o˜es simples envolvidas sejam verdadeiras. Isto e´, x deve
ser um inteiro que satisfaz, ao mesmo tempo, a restric¸a˜o −√17 < x < 5
3
e a restric¸a˜o x > −4.
Como −5 = −√25 < −√17 < −√16 = −4 e 1 = 3
3
<
5
3
<
6
3
= 2, temos que{
x ∈ Z : −
√
17 < x <
5
3
}
= {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1} .
Por outro lado,
{x ∈ Z : x > −4} = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . . } .
Portanto,
A = {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1} ∩ {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . . }
= {−3 , −2 , −1 , 0 , 1}
Me´todos Determin´ısticos I AP3 2
Questa˜o 2 (0.7 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto B
Soluc¸a˜o: Como a proposic¸a˜o “(−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0)”e´ uma disjunc¸a˜o, para que ela
seja verdadeira, basta que uma das proposic¸o˜es simples envolvidas seja verdadeira. Isto e´, x deve ser
um inteiro que satisfaz a restric¸a˜o −3 < x ≤ 1, ou a restric¸a˜o x2 − x− 42 = 0.
Observe que
{x ∈ Z : −3 < x ≤ 1} = {−2 , −1 , 0 , 1}
Por outro lado, {
x ∈ Z : x2 − x− 42 = 0} = {−6 , 7} ,
uma vez que,
x2 − x− 42 = 0 ⇐⇒ x = −(−1)±
√
(−1)2 − 4(1)(−42)
2
⇐⇒ x = 1±
√
1 + 168
2
⇐⇒ x = 1±
√
169
2
⇐⇒ x = 1± 13
2
⇐⇒ x = 1− 13
2
ou x =
1 + 13
2
⇐⇒ x = −12
2
ou x =
14
2
⇐⇒ x = −6 ou x = 7.
Portanto,
B = {−2 , −1 , 0 , 1} ∪ {−6 , 7}
= {−2 , −1 , 0 , 1 , −6 , 7}
Questa˜o 3 (0.5 pt) Verifique se a proposic¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa.
∃x ∈ A ∩B, (−x2 + x ≥ −6) .
Soluc¸a˜o: Em primeiro lugar, observe que
A ∩B = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1} ∩ {−2 , −1 , 0 , 1 , −6 , 7}
= {−2 , −1 , 0 , 1} .
Por tratar-se de uma proposic¸a˜o do tipo “∃x ∈ A ∩ B”, devemos analisar se ha´ um elemento
de A ∩ B, para o qual a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´ verdadeira. Analisando os elementos do
conjunto A ∩B, observamos que, para para x = −2, segue que
−(−2)2 + (−2) = −4− 2
= −6.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 3
desta forma, para x = −2, a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´ verdadeira.
Conclu´ımos, assim, que existe um elemento do conjuntoA∩B, para o qual, a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´
verdadeira.
Portanto, ∃x ∈ A ∩B, (−x2 + x ≥ −6) e´ verdadeira.
Questa˜o 4 (0.7 pt) Verifique se a proposic¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa.
∀x ∈ B, ( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0).
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “x e´ ı´mpar”e de b a proposic¸a˜o simples “x ≤ 0”.
Isto e´
a: “x e´ ı´mpar.”
b: “x ≤ 0.”
A proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ uma disjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das
proposic¸o˜es simples envolvidas seja verdadeira.
Como trata-se de uma proposic¸a˜o do tipo “∀x ∈ B”, devemos analisar se a proposic¸a˜o “a ∨ b”e´
verdadeira ou falsa para cada elemento do conjunto B.
Para x = 1 e x = 7, temos que, a proposic¸a˜o a e´ verdadeira, pois 1 e 7 sa˜o nu´meros ı´mpares.
Logo, para x = 1 e x = 7, temos que a disjunc¸a˜o “( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”e´ verdadeira, pois, para
estes valores de x, ““( x e´ ı´mpar )”e´ verdadeira.
Para x = −2, x = −1, x = 0 e x = −6, a proposic¸a˜o b verdadeira, pois −2, −1, 0 e −6 sa˜o
menores ou iguais a zero. Desta forma, para x = −2, x = −1, x = 0 e x = −6 a disjunc¸a˜o “( x e´
ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”tambe´m e´ verdadeira, pois, para estes valores de x, “(x ≤ 0)”e´ verdadeira.
Conclu´ımos, portanto, que a disjunc¸a˜o “( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”e´ verdadeira, para todo x ∈ B.
Logo, ∀x ∈ B, ( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0) e´ verdadeira.
Este texto e´ comum as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Considere as func¸o˜es f(x) =
3x
2
− 4 e g(x) = −2x2 + 18x − 28. A func¸a˜o h e´ definida como
h(x) =
√
f(x)√
g(x)
.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 4
Questa˜o 5 (1.3 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o
dom´ınio da func¸a˜o h
Soluc¸a˜o: Observe que na definic¸a˜o da func¸a˜o h, tomamos a raiz quadrada da func¸a˜o f , da func¸a˜o
g e ainda realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a func¸a˜o h esteja bem
definida, precisamos que todas estas operac¸o˜es sejam va´lidas. Isto significa que, o que for radicando,
ou seja, o que estiver dentro do s´ımbolo de raiz quadrada, precisara´ ser maior ou igual a zero e, o
que for denominador, precisara´ ser diferente de zero. Desta forma, o dom´ınio de h e´ formado pelos
valores de x ∈ R, tais que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0. Desta forma, temos que
f(x) ≥ 0 ⇔ 3
2
x− 4 > 0
⇔ 3
2
x ≥ 4
⇔ x ≥ 2
3
· 4
⇔ x ≥ 8
3
⇔ x ∈
[
8
3
,∞
)
e
g(x) > 0 ⇔ −2x2 + 18x− 28 > 0
⇔ 2 < x < 7
⇔ x ∈ (2, 7) .
Portanto, o dom´ınio de h e´ dado por
x ∈
[
8
3
,∞
)
∩ (2, 7)
x ∈
[
8
3
, 7
)
Explicamos a seguir como resolver a inequac¸a˜o −2x2 + 18x − 28 > 0 ou, equivalentemente,
−x2 + 9x− 14 > 0, onde dividimos a inequac¸a˜o por 2, para simplificarmos as contas.
Podemos resolver a inequac¸a˜o utilizando nossos conhecimentos de para´bola. Desta forma, cha-
mando y de −x2 + 9x − 14, isto e´ y = −x2 + 9x − 14, podemos estudar o sinal da inequac¸a˜o
−x2 + 9x− 14 > 0 estudando o sinal do y da para´bola.
Primeiro, vamos determinar as ra´ızes da equac¸a˜o −x2 + 9x− 14 = 0.
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −1, b = 9 e c = −14, temos que
∆ = b2 − 4ac = (9)2 − 4(−1)(−14) = 81− 56 = 25.
Logo,
P =
−b±√∆
2a
=
−(9)±√25
2(−1) =
−9± 5
−2 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 5
Ou seja, as soluc¸o˜es de 8−x2+9x− 14 = 0 sa˜o x = −9 + 5−1 =
−4
−2 = 2 e x =
−9− 5
−2 =
−14
−2 = 7.
De posse das ra´ızes e, como a = −1 < 0, temos que a para´bola possui concavidade para baixo e
corta o eixo x em x = 2 e x = 7. Desta forma, y sera´ positivo para valores de x, tais que, 2 < x < 7.
Uma forma alternativa de fazer a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o
−x2 + 9x− 14 = − (x− 2) (x− 7) > 0
e´ utilizar a tabela abaixo.
(−∞, 2) (2, 7) (7,∞)
sinal de −1 − − −
sinal de (x− 2) − + +
sinal de (x− 7) − − +
sinal de − (x− 2) (x− 7) − + −
Como vemos na tabela acima,
−x2 + 9x− 14 = − (x− 2) (x− 7) > 0 ⇐⇒ 2 < x < 7.
Questa˜o 6 (1.0 pt) Calcule
(
−
4
√
5
2
)2
· h(3)
Soluc¸a˜o: Temos que (
−
4
√
5
2
)2
· h(3) =
(
4
√
5
)2
(2)2
· h(3)
=
(
51/4
)2
4
· h(3)
=
(5)1/24
· h(3)
=
√
5
4
· h(3).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 6
Vamos agora calcular o valor de h(3).
h(3) =
√
f(3)√
g(3)
=
√
3
2
· 3− 4√−2(3)2 + 18 · 3− 28
=
√
9
2
− 4
√−2 · 9 + 54− 28
=
√
9− 2 · 4
2√−18 + 54− 28
=
√
9− 8
2√
8
=
√
1
2√
8
=
1√
2 · √8
=
1√
16
=
1
4
.
Substituindo agora, h(3) =
1
4
, segue que(
−
4
√
5
2
)2
· h(3) =
√
5
4
· 1
4
=
√
5
16
.
Questa˜o 7 (0.8 pt) Qual o valor ma´ximo de g? Em que ponto x esse valor ma´ximo ocorre?
Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o g e´ uma func¸a˜o quadra´tica, de modo que seu gra´fico e´ uma para´bola.
Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o g e´ a para´bola y = −2x2 + 18x − 28. Note que esta
para´bola possui concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente de x2 e´ negativo. O valor do
ma´ximo de g e´ dado pelo y do ve´rtice da para´bola, calculado abaixo, e o ponto em que a func¸a˜o g
atinge seu ma´ximo e´ dado pelo x do ve´rtice da para´bola, calculado abaixo.
yv = −∆
4a
= −(18)
2 − 4(−2)(−28)
4(−2)
=
324− 224
8
=
100
8
=
25
2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 7
e
xv = − b
2a
= − 18
2(−2)
= − 18−4
=
9
2
.
Portanto, o valor ma´ximo de g e´ igual a yv =
25
2
e ocorre no ponto xv =
9
2
.
Este texto e´ comum as Questo˜es 8, 9, 10, 11 e 12 a seguir.
O sala´rio de um vendedor e´ formado de uma parte fixa igual a R$ 1.050,00, mais 2, 5% do va-
lor das vendas efetivadas no meˆs.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 8, 9, 10, 11 e 12 a seguir.
Questa˜o 8 (0.6 pt) Considere que a varia´vel x representa o valor das vendas efetivadas. Determine
uma expressa˜o que relacione o sala´rio em func¸a˜o de x.
Soluc¸a˜o: Chamando de S a func¸a˜o que define o sala´rio do vendedor, temos que
S(x) = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0.
Questa˜o 9 (0.3 pt) Em um meˆs que o sala´rio foi de R$ 1.730,00, qual foi o valor das vendas?
Soluc¸a˜o: Para descobrir o valor das vendas quando o sala´rio foi de R$ 1.730,00, precisamos resolver
a equac¸a˜o
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x.
Desta forma, segue que
1.730 = 1.050 +
2, 5
100
· x ⇔ 2, 5
100
· x = 1.730− 1.050
⇔ 2, 5
100
· x = 680
⇔ x = 680 · 100
2, 5
⇔ x = 68.000
2, 5
⇔ x = 68.0000
25
⇔ x = 27.200.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 8
Portanto, quando o sala´rio foi de R$ 1.730,00, o valor das vendas foi de R$ 27.200,00.
Questa˜o 10 (0.8 pt) Seu empregador lhe fez uma proposta de diminuir a parte fixa em 15% e
aumentar a porcentagem sobre o valor das vendas realizadas para 3%. Determine a func¸a˜o sala´rio
que representa a proposta feita pelo empregador.
Soluc¸a˜o: Vamos chamar de PF a parte fixa da proposta feita pelo empregador. Desta forma, como
ele propo˜e uma diminuic¸a˜o de 15%, temos que
PF = 1.050− 15% · 1.050
= 1.050− 15
100
· 1.050
= 1.050− 15 · 1.050
100
= 1.050− 15.750
100
= 1.050− 157, 50
= 892, 50.
Chamando de Sp a func¸a˜o que define a proposta de sala´rio feita pelo empregador, temos que
Sp(x) = = 892, 50 +
3
100
· x, x ≥ 0.
Questa˜o 11 (0.8 pt) Esboce o gra´fico da func¸a˜o sala´rio da Questa˜o 8 e o da func¸a˜o sala´rio pro-
posto na Questa˜o 10 em um mesmo sistema de eixos.
Soluc¸a˜o: Observe que as func¸o˜es S e Sp sa˜o func¸o˜es afins, de modo que seus gra´ficos sa˜o retas.
Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o S e´ a reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, x ≥ 0, e o gra´fico da
func¸a˜o Sp e´ a reta y = 892, 50+
3
100
·x, x ≥ 0 . Desta forma, para determinar o gra´fico da func¸o˜es
S e Sp, basta determinarmos dois pontos de cada reta.
Gra´fico de S:
Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
• x = 0⇐⇒ y = 1.050. Ou seja, (0, 1.050) e´ um ponto da reta.
• y = 0⇐⇒ 1.050+ 2, 5
100
·x = 0⇐⇒ 2, 5
100
·x = −1.050⇐⇒ x = −1.050 · 100
2, 5
= −105.000
2, 5
=
−42.000. Ou seja, (−42.000 , 0) e´ um ponto da reta.
Gra´fico de Sp:
Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 9
• x = 0⇐⇒ y = 892, 50. Ou seja, (0 ; 892, 50) e´ um ponto da reta.
• y = 0 ⇐⇒ 892, 50 + 3
100
· x = 0 ⇐⇒ 3
100
· x = −892, 50 ⇐⇒ x = −892, 50 · 100
3
=
−892.500
3
= −29.750. Ou seja, (−29.750 , 0) e´ um ponto da reta.
Para o esboc¸o ficar mais preciso, vamos identificar a abscissa do ponto de intersec¸a˜o das duas retas.
1.050 +
2, 5
100
· x = 892, 50 + 3
100
· x ⇔ 3
100
· x− 2, 5
100
· x = 1.050− 892, 50
⇔ 0, 5
100
· x = 157, 50
⇔ x = 157, 50 · 100
0, 5
⇔ x = 31.500
Na Figura 1 plotamos o gra´fico das func¸o˜es S e Sp.
S
Sp
-42 000 -29 750 31 500
x
892.5
1050
1837.5
y
Figura 1: Questa˜o ??
Questa˜o 12 (0.4 pt) O funciona´rio possui uma me´dia de vendas em torno de R$ 28.000,00. Ele
deve aceitar a proposta do empregador, pois sera´ mais vantajosa para ele, ou deve recusar, pois lhe
sera´ prejudicial?
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 10
Soluc¸a˜o: Graficamente, podemos observar que quando x > 31.500, a reta y = 892, 50 +
3
100
· x,
gra´fico da func¸a˜o Sp, esta´ acima da reta y = 1.050 +
2, 5
100
· x, gra´fico da func¸a˜o S. Isto significa
que para x > 31.500, Sp(x) > S(x). Ja´ para 0 ≤ x < 31.500, a reta y = 1.050 + 2, 5
100
· x,
gra´fico da func¸a˜o S, esta´ acima da reta y = 892, 50 +
3
100
· x, gra´fico da func¸a˜o Sp. Isto significa
que para 0 ≤ x < 31.500, S(x) > Sp(x). Como a me´dia de vendas do vendedor e´ em torno de
R$ 28.000,00, que e´ um valor entre 0 e 31.500, a proposta do empregador e´ prejudicial, pois, ele
ganharia menos com o sala´rio calculado pela func¸a˜o Sp do que com o sala´rio calculado pela func¸a˜o S.
Este texto e´ comum as Questo˜es 13 e 14 a seguir.
Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, res-
pectivamente, por
D(P ) = −8P 2 + 16P + 330 e Q(P ) = 20P + 218, P > 0
onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em
milho˜es de unidades.
Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 13 e 14 a seguir.
Questa˜o 13 (0.7 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades?
Soluc¸a˜o: Para encontrar o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades,
devemos igualar a func¸a˜o demanda D a 330 e encontrar os valores de P correspondentes.
−8P 2 + 16P + 330 = 330 ⇔ 8P 2 − 16P = 0
⇔ P (P − 2) = 0
⇔ P = 0 ou P = 2.
Como P > 0, desprezamos o zero e ficamos apenas com P = 2.
Resposta: O prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades e´ R$2,00.
Questa˜o 14 (0.9 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto?
Soluc¸a˜o: Pela definic¸a˜o de prec¸o de equil´ıbrio, precisamos determinar o prec¸o P em que D = Q,
ou seja,
−8P 2+16P +330 = 20P +218⇐⇒ 8P 2−16P +20P −330+218 = 0⇐⇒ 8P 2+4P −112 = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I AP3 11
Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = 8, b = 4 e c = −112, temos que
∆ = b2 − 4ac = (4)2 − 4(8)(−112) = 16 + 3584 = 3600.
Logo,
P =
−b±√∆
2a
=
−(4)±√3600
2(8)
=
−4± 60
16
.
Ou seja, as soluc¸o˜es de 8P 2 + 4P − 112 = 0 sa˜o P1 = −4 + 60
16
=
7
2
, P2 =
−4− 60
16
= −4. Como,
o prec¸o de equil´ıbrio P deve satisfazer P > 0, ficamos apenas com P =
7
2
= 3, 5.
Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$3,50.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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