Gabarito Lista de Exercícios 1

Prévia do material em texto

CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 - CD23NB - 2016/2
Professor: Geovani Raulino
Lista de Exerc´ıcios - 1ª Avaliac¸a˜o
Curvas Parame´tricas
1. (a) C : r(t) = (t, 2t, 3t), 0 6 t 6 1.
(b) C : r(t) = (4− 5t, 5− 2t), 0 6 t 6 1.
(c) C : r(t) = (2t,−1+ 4
3
t, 1−7t), 0 6 t 6 1.
(d) C : r(t) = (1, 3t, 1 + t), 0 6 t 6 1.
2. (a) y = x2 + 2x+ 1.
(b) y = x4 − 4x3 + 2x2 + 4x− 3.
(c) x2 + (1− y)2 = 1.
(d) x2 + z2 = 1, y = −x.
(e) x = 1− y2.
3. (a) C : r(t) = (2 cos t, 1− 2 sen t), 0 6 t 6 2pi.
(b) C : r(t) = (2 cos t, 1 + 2 sen t), pi
2
6 t 6 3pi
2
.
1
4. (i) As part´ıculas ira˜o colidir se para um mesmo instante de tempo elas estejam na mesma
posic¸a˜o, ou seja, para algum instante de tempo t, o seguinte sistema possui soluc¸a˜o u´nica:
t = 1 + 2t, t2 = 1 + 6t, t3 = 1 + 14t
Na 1ª equac¸a˜o temos que t = −1, pore´m este valor na˜o satisfaz as outras equac¸o˜es, disto
conclu´ımos que as part´ıculas na˜o se colidem.
(ii) As trajeto´rias se interceptam, se as curvas obtidas se interceptam, ou seja, se existe(m)
ponto(s) comum entre elas. Para isto, devemos ter, para algum t e s, as seguintes equac¸o˜es:
t = 1 + 2s, t2 = 1 + 6s, t3 = 1 + 14s
Substituindo a 1ª eq. na segunda obtemos 4s2−2s = 0 e assim, s = 0 ou s = 1
2
. Voltando
na 1ª eq. temos que para s = 0 encontramos t = 1; e para s = 1
2
encontramos t = 2. Estes
valores tambe´m satisfazem a 3ª terceira equac¸a˜o. Assim, as trajeto´rias se interceptam nos
pontos (1, 1, 1) e (2, 4, 8).
5. (a) y = −x (b) y = pix+ pi2 (c) y = 1
2
x− 1
2
6. (a) y = 1
6
x (b) y = 2x+ 3
7. (a) L =
∫ 4pi
0
2 dt = [2t]4pi0 = 8pi.
(b) L =
∫ 1
0
√
4t2 + 9t4 dt =
[
1
27
(4 + 9t2)
3
2
]1
0
≈ 1, 44
(c) L =
∫ 1
0
et + e−t dt = [et − e−t]10 = e1 − e−1 ≈ 2, 35
8. (3 sen 1, 4, 3 cos 1)
9. (a) ~r′(t) = 〈(1− t)e−t, 2
t2+1
, 2et〉 e ~T (0) = 〈1
3
, 2
3
, 2
3
〉.
(b) ~r′(t) = 〈3t2 + 3, 2t, 3〉 e ~T (1) = 〈6
7
, 2
7
, 3
7
〉.
(c) ~r′(t) = 〈−sen t, 3, 4 cos 2t〉 e ~T (0) = 〈0, 3
5
, 4
5
〉.
(d) ~r′(t) = 〈2sen t cos t,−2sen t cos t, 2 tan t sec2 t〉 e ~T (pi
4
) = 〈− 1√
18
, 1√
18
, 4√
18
〉.
2
Campos Vetoriais
10. .
11. (a) II (b) I (c) IV (d) III
12. (a) IV (b) I (c) III (d) II
13. (a) 5f = 〈yex + xyex, xex〉
(b) 5f = 〈3sec2(3x− 4y),−4sec2(3x− 4y)〉
(c) 5f = 〈 x√
x2 + y2 + z2
,
y√
x2 + y2 + z2
,
z√
x2 + y2 + z2
〉
(d) 5f = 〈cos (y
z
),−x
z
sen (y
z
), xy
z2
sen (y
z
)〉
14. (2.04, 1.03)
15. (a) 5f = 〈2x, 2y〉 - (III)
(b) 5f = 〈2x+ y, x〉 - (IV)
(c) 5f = 〈2(x+ y), 2(x+ y)〉 - (II)
(d) 5f = 〈x.cos(
√
x2+y2)√
x2+y2
,
y.cos(
√
x2+y2)√
x2+y2
〉 - (I)
Intergrais de Linha
16. (a)
1
54
(1453/2 − 1)
(b)
8
√
2 + 8
15
(c) 1638, 4.
(d)
20
3
(
sen 6− sen 3− 3cos 6
3
)
.
(e)
243
8
(f)
5
2
(g)
√
5pi
(h)
236
√
21
15
.
(i)
1
12
√
14(e6 − 1)
(j)
√
5
(
8pi3 + 6pi
3
)
(k)
3
2
(l)
35
3
17. (a) 45
(b) Anulada
(c)
11
8
− 1
e
(d)
17
15
.
(e)
6
5
− cos 1 + sen − 1
(f) 0.
18. m = 2kpi e (x, y) =
(
4
pi
, 0
)
3
19. m =
√
2
(
8pi3 + 6pi
3
)
e (x, y, z) =
(
6pi3 + 3pi
4pi2 + 3
, 0, 0
)
20. Ix =
√
2
(
8pi3 + 6pi
3
)
, Iy =
√
2
(
24pi3 + 15pi
6
)
, Iz =
√
2(4pi3 + 7pi)
21. (a) 2pi2 (b)
7
3
22. 16650 pe´s-lb.
Campos Conservativos, Rotacional e Divergente
23. (a) rot(~F ) = 〈x(z2 − y2), y(x2 − z2), z(y2 − x2)〉, div(~F ) = 6xyz.
(b) rot(~F ) = 〈zex, xyez − yzex,−xez〉, div(~F ) = y(ez + ex).
(c) rot(~F ) = 〈0, 0, 0〉, div(~F ) = 2√
x2 + y2 + z2
.
(d) rot(~F ) = 〈x(cos xy − cos zx), y(cos yz − cos xy), z(cos zx− cos yz)〉, div(~F ) = 0.
(e) rot(~F ) = 〈−eycoz z,−ezcos x,−excos y〉, div(~F ) = exsen y + eysen z + ezsen x.
(f) rot(~F ) = 〈 y
z2
,
z
x2
,
x
y2
〉, div(~F ) = 1
x
+
1
y
+
1
z
.
24. (a) f(x, y, z) = xy2z3 + C
(b) Na˜o e´ conservativo.
(c) Na˜o e´ conservativo.
(d) f(x, y, z) = x+ ysen z + C
(e) f(x, y, z) = xeyz + C
(f) Na˜o e´ conservativo.
25. .
Teorema Fundamental de Integrais de Linha
26. (a) f(x, y) =
x3
3
+
y3
3
+ C e
∫
C
~F .d~r = 171.
(b) f(x, y) =
1
2
x2y2 + C e
∫
C
~F .d~r = 2.
(c) f(x, y, z) = xyz + z2 + C e
∫
C
~F .d~r = 77.
(d) f(x, y, z) = yexz + C e
∫
C
~F .d~r = 4
27. (a) O campo e´ conservativo, com f(x, y) = x tg y + C .∫
C
tg y dx+ x sec2y dy = f(2, pi
4
)− f(1, 0) = 2
4
(b) O campo e´ conservativo, com f(x, y) = x+ ye−x + C∫
C
(1− ye−x) dx+ e−x dy = f(1, 2)− f(0, 1) = 2e−1.
28. (a) f(x, y) = 2xy
3
2 + C e
∫
C
~F .d~r = 30.
(b) f(x, y) = xe−y + C e
∫
C
~F .d~r = 2.
Teorema de Green
29. (a) 8pi
(b)
9
2
(c)
2
3
(d)
22
105
(e) 12
(f)
1
3
(g) 0
(h) −24pi
30. (a) −16
3
(b) −3
2
pi
(c) 4pi
(d) ln(
√
2)− pi
4
31. − 1
12
32. 12pi
5