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Lista de Exercícios   Integrais de Superfície

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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 - CD23NB - 2017/1
Professor: Geovani Raulino
Lista de Exerc´ıcios - 2ª Avaliac¸a˜o
Superf´ıcies Parametrizadas e suas a´reas
1. Identifique a superf´ıcie que tem equac¸a˜o parame´trica dada.
(a) ~r(u, v) = 〈u+ v, 3− v, 1 + 4u+ 5v〉
(b) ~r(u, v) = 〈2 sen u, 3 cos u, v〉, 0 6 v 6 2
(c) r(u, v) = (u, cos v, sen v)
(d) r(u, v) = (u, u cos v, u sen v)
2. Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie parametrizada dada no ponto especifi-
cado.
(a) x = u+ v, y = 3u2, z = u− v; (2, 3, 0).
(b) x = u2, y = v2, z = uv; u = 1 e v = 1
(c) ~r(u, v) = 〈u2, 2u sen v, u cos v〉; u = 1 e v = 0.
(d) ~r(u, v) = 〈uv, u sen v, v cos u〉; u = 0 e v = pi.
3. Determine a a´rea da superf´ıcie:
(a) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que esta´ no primeiro octante.
(b) A parte do plano 2x+ 5y + z = 10 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 9.
(c) A superf´ıcie z = 2
3
(x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1.
(d) A parte do plano com equac¸a˜o r(u, v) = (1+v, u−2v, 3−5u+v) que e´ dada por 0 6 u 6 1,
0 6 v 6 1.
(e) A parte da superf´ıcie z = xy que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
(f) A parte do paraboloide hiperbo´lico z = y2 − x2 que esta´ entre os cilindros x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 4.
(g) A superf´ıcie com equac¸o˜es parame´tricas x = u2, y = uv, z = 1
2
v2, 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 2.
(h) Encontre a a´rea da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4z que esta´ dentro do paraboloide
z = x2 + y2.
1
Integrais de Superf´ıcie
4. Calcule a integral de superf´ıcie.
(a)
∫∫
S
x2yz dS, onde S e´ a parte do plano z = 1 + 2x + 3y que esta´ acima do retaˆngulo
[0, 3]× [0, 2].
(b)
∫∫
S
xy dS, onde S e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2).
(c)
∫∫
S
yz dS, onde S e´ a parte do plano x+ y + z = 1 que esta´ no primeiro octante.
(d)
∫∫
S
y dS, onde S e´ a superf´ıcie z = 2
3
(x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1.
(e)
∫∫
S
yz dS, onde S e´ a superf´ıcie com equac¸o˜es parame´tricas x = u2, y = u sen v, z =
u cos v, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 pi
2
.
(f)
∫∫
S
√
x2 + y2 + 1 dS, onde S e´ o helicoide com equac¸a˜o vetorial ~r(u, v) =
〈u cos v, u sen v, v〉, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 pi.
(g)
∫∫
S
x2z2 dS, onde S e´ a parte do cone z2 = x2 + y2 que esta´ entre os planos z = 1 e z = 3.
(h)
∫∫
S
z dS, onde S e´ a superf´ıcie x = y + 2z2, 0 6 y 6 1, 0 6 z 6 1. e acima do plano xy.
(i)
∫∫
S
(x2z + y2z) dS, onde S e´ o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z > 0.
(j)
∫∫
S
(z + x2y) dS, onde S e´ a parte do cilindro y2 + z2 = 1 que esta´ entre os planos x = 0
e x = 3 no primeiro octante.
5. Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
~F .d~S para o campo vetorial ~F e a superf´ıcie orientada S.
Em outras palavras, determine o fluxo de ~F atrave´s de S. Para superf´ıcies fechadas, use a
orientac¸a˜o positiva (para fora).
(a) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k, onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 9.
(b) ~F (x, y, z) = xy~i + yz~j + zx~k, onde S e´ a parte do paraboloide z = 4 − x2 − y2 que esta´
acima do quadrado 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, com orientac¸a˜o para cima.
(c) ~F (x, y, z) = y~i+x~j+ z2~k, onde S e´ o helicoide do exerc´ıcio 4.f com orientac¸a˜o para cima.
(d) ~F (x, y, z) = xzey~i − xzey~j + z~k, onde S e´ a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro
octante, com orientac¸a˜o para baixo.
(e) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j+ z4~k, onde S e´ a parte do cone z =
√
x2 + y2 abaixo do plano z = 1,
com orientac¸a˜o para baixo.
(f) ~F (x, y, z) = x~i+ 2y~j + 3z~k, onde S e´ o cubo de ve´rtices (±1,±, 1,±1).
(g) ~F (x, y, z) = y~j − z~k, onde S e´ formado pelo parabolo´ide y = x2 + z2, 0 6 y 6 1 e pelo
c´ırculo x2 + z2 6 1, y = 1.
2
(h) ~F (x, y, z) = xy~i + 4x4~j + yz~k onde S e´ a superf´ıcie z = xey, 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 com
orientac¸a˜o para cima.
(i) ~F (x, y, z) = y~i + (z − y)~j + x~k, onde S e´ a superf´ıcie do tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0),
(1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
(j) ~F (x, y, z) = x~i+y~j+5~k, onde S e´ a fronteira da regia˜o delimitada pelo cilindro x2+z2 = 1
e pelos planos y = 0 e x+ y = 2.
6. Suponha que um fluido com densidade ρ(x, y, z) e campo de velocidade ~v(x, y, z) que flui atrave´s
de uma superf´ıcie S. A taxa de fluxo (massa por unidade de tempo) por unidade de a´rea e´
ρ~v. Temos que ~F = ρ~v e´ um campo vetorial em R, enta˜o a integral∫∫
S
~F .d~S =
∫∫
S
ρ~v.d~S
representa a vaza˜o do flu´ıdo atrave´s de S.
Considere um flu´ıdo tem densidade 870 kg/m3 e escoa com velocidade ~v(x, y, z) = z~i+y2~j+x2~k,
onde x, y e z sa˜o medidos em metros e as componentes de ~v em metros por segundo. Encontre
a vaza˜o para fora do cilindro x2 + y2 = 4, 0 6 z 6 1.
7. Se ~E e´ um campo ele´trico, enta˜o a integral de superf´ıcie
∫∫
S
~E.d~S chama-se fluxo ele´trico de
~E atrave´s da superf´ıcie S. Uma importante lei de eletrosta´tica e´ a Lei de Gauss, que diz que
a carga total englobada por uma superf´ıcie S e´
Q = �0
∫∫
S
~E.d~S
onde �0 e´ uma constante (denominada permissividade no va´cuo) que depende das unidades
usadas.
Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfe´rio so´lido x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0,
se o campo ele´trico for ~E(x, y, z) = x~i+ y~j + 2z~k.
8. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Enta˜o o fluxo
de calor e´ definido como o campo vetorial ~F = −K∇u, onde K e´ uma constante determinada
experimentalmente, chamada condutividade da substaˆncia. A taxa de transmissa˜o de calor
atrave´s da superf´ıcie S no corpo e´ enta˜o dada pela integral de superf´ıcie∫∫
S
~F .d~S = −K
∫∫
S
∇u.d~S
Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substaˆncia com condutividade
K = 6, 5 e´ u(x, y, z) = 2y2 + 2z2. Determine a taxa de transmissa˜o de calor nessa substaˆncia
para dentro da superf´ıcie cil´ındrica y2 + z2 = 6, 0 6 x 6 4.
3
Teorema de Stokes
9. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫∫
S
rot ~F .d~S.
(a) ~F (x, y, z) = x2z2~i + y2z2~j + xyz~k, onde S e´ a parte do paraboloide z = x2 + y2 que esta´
dentro do cilindro x2 + y2 = 4, com orientac¸a˜o ascendente.
(b) ~F (x, y, z) = xyz~i+ xy~j+ x2yz~k, onde S e´ formada pelo topo pelos quatro lados (mas na˜o
pelo fundo) do cubo com ve´rtices (±1,±1,±1) com orientac¸a˜o para fora.
10. Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
~F .d~r. Em cada caso, C e´ orientada no sentido
anti-hora´rio quando visto de cima.
(a) ~F (x, y, z) = (x+ y2)~i+ (y + z2)~j + (z + x2)~k, onde C e´ o triaˆngulo com ve´rtices (1, 0, 0),
(0, 1, 0) e (0, 0, 1).
(b) ~F (x, y, z) = yz~i+ 2xz~j + exy~k, onde C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 16, z = 5.
(c) ~F (x, y, z) = x2z~i+xy2~j+ z2~k, onde C e´ a curva da intersec¸a˜o do plano x+ y+ z = 1 com
o cilindro x2 + y2 = 9.
11. Uma part´ıcula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1),
(0, 2, 1), e de volta para a origem sob a influeˆncia do campo de forc¸as
~F (x, y, z) = z2~i+ 2xy~j + 4y2~k
Encontre o trabalho realizado.
Teorema do Divergente
12. Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superf´ıcie
∫∫
S
~F .d~S, ou seja, calcule
o fluxo de ~F atrave´s de S.
(a) ~F (x, y, z) = xyez~i+ xy2z3~j− yez~k, onde S e´ a superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos
coordenados e pelos planos x = 3, y = 2, z = 1.
(b) ~F (x, y, z) = 3xy2~i + xez~j + z3~k, onde S e´ a superf´ıcie do so´lido limitado pelo cilindro
y2 + z2 = 1 e os planos x = −1, x = 2.
(c) ~F (x, y, z) = x2sen y~i+ x cos y~j − xz sen y~k, onde S e´ a “esfera gorda” x8 + y8 + z8 = 8.
(d) ~F (x, y, z) = (cos z+xy2)~i+xe−z~j+(sen y+x2z)~k, onde S e´ a superf´ıcie do so´lido limitado
pelo paraboloide z = x2 + y2 e o plano z = 4.
(e) ~F = ‖~r‖~r, onde ~r(x, y, z) = x~i + y~j + z~k, e S consiste no hemisfe´rio z = √1− x2 − y2 e
no disco x2 + y2 6 1 no plano xy.