
Lista de Exercícios Integrais de Superfície
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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 - CD23NB - 2017/1 Professor: Geovani Raulino Lista de Exerc´\u131cios - 2ª Avaliac¸a\u2dco Superf´\u131cies Parametrizadas e suas a´reas 1. Identifique a superf´\u131cie que tem equac¸a\u2dco parame´trica dada. (a) ~r(u, v) = \u3008u+ v, 3\u2212 v, 1 + 4u+ 5v\u3009 (b) ~r(u, v) = \u30082 sen u, 3 cos u, v\u3009, 0 6 v 6 2 (c) r(u, v) = (u, cos v, sen v) (d) r(u, v) = (u, u cos v, u sen v) 2. Determine uma equac¸a\u2dco do plano tangente a` superf´\u131cie parametrizada dada no ponto especifi- cado. (a) x = u+ v, y = 3u2, z = u\u2212 v; (2, 3, 0). (b) x = u2, y = v2, z = uv; u = 1 e v = 1 (c) ~r(u, v) = \u3008u2, 2u sen v, u cos v\u3009; u = 1 e v = 0. (d) ~r(u, v) = \u3008uv, u sen v, v cos u\u3009; u = 0 e v = pi. 3. Determine a a´rea da superf´\u131cie: (a) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que esta´ no primeiro octante. (b) A parte do plano 2x+ 5y + z = 10 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 9. (c) A superf´\u131cie z = 2 3 (x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1. (d) A parte do plano com equac¸a\u2dco r(u, v) = (1+v, u\u22122v, 3\u22125u+v) que e´ dada por 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 1. (e) A parte da superf´\u131cie z = xy que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1. (f) A parte do paraboloide hiperbo´lico z = y2 \u2212 x2 que esta´ entre os cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. (g) A superf´\u131cie com equac¸o\u2dces parame´tricas x = u2, y = uv, z = 1 2 v2, 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 2. (h) Encontre a a´rea da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4z que esta´ dentro do paraboloide z = x2 + y2. 1 Integrais de Superf´\u131cie 4. Calcule a integral de superf´\u131cie. (a) \u222b\u222b S x2yz dS, onde S e´ a parte do plano z = 1 + 2x + 3y que esta´ acima do reta\u2c6ngulo [0, 3]× [0, 2]. (b) \u222b\u222b S xy dS, onde S e´ a regia\u2dco triangular com ve´rtices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2). (c) \u222b\u222b S yz dS, onde S e´ a parte do plano x+ y + z = 1 que esta´ no primeiro octante. (d) \u222b\u222b S y dS, onde S e´ a superf´\u131cie z = 2 3 (x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1. (e) \u222b\u222b S yz dS, onde S e´ a superf´\u131cie com equac¸o\u2dces parame´tricas x = u2, y = u sen v, z = u cos v, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 pi 2 . (f) \u222b\u222b S \u221a x2 + y2 + 1 dS, onde S e´ o helicoide com equac¸a\u2dco vetorial ~r(u, v) = \u3008u cos v, u sen v, v\u3009, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 pi. (g) \u222b\u222b S x2z2 dS, onde S e´ a parte do cone z2 = x2 + y2 que esta´ entre os planos z = 1 e z = 3. (h) \u222b\u222b S z dS, onde S e´ a superf´\u131cie x = y + 2z2, 0 6 y 6 1, 0 6 z 6 1. e acima do plano xy. (i) \u222b\u222b S (x2z + y2z) dS, onde S e´ o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z > 0. (j) \u222b\u222b S (z + x2y) dS, onde S e´ a parte do cilindro y2 + z2 = 1 que esta´ entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante. 5. Calcule a integral de superf´\u131cie \u222b\u222b S ~F .d~S para o campo vetorial ~F e a superf´\u131cie orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de ~F atrave´s de S. Para superf´\u131cies fechadas, use a orientac¸a\u2dco positiva (para fora). (a) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k, onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 9. (b) ~F (x, y, z) = xy~i + yz~j + zx~k, onde S e´ a parte do paraboloide z = 4 \u2212 x2 \u2212 y2 que esta´ acima do quadrado 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, com orientac¸a\u2dco para cima. (c) ~F (x, y, z) = y~i+x~j+ z2~k, onde S e´ o helicoide do exerc´\u131cio 4.f com orientac¸a\u2dco para cima. (d) ~F (x, y, z) = xzey~i \u2212 xzey~j + z~k, onde S e´ a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, com orientac¸a\u2dco para baixo. (e) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j+ z4~k, onde S e´ a parte do cone z = \u221a x2 + y2 abaixo do plano z = 1, com orientac¸a\u2dco para baixo. (f) ~F (x, y, z) = x~i+ 2y~j + 3z~k, onde S e´ o cubo de ve´rtices (±1,±, 1,±1). (g) ~F (x, y, z) = y~j \u2212 z~k, onde S e´ formado pelo parabolo´ide y = x2 + z2, 0 6 y 6 1 e pelo c´\u131rculo x2 + z2 6 1, y = 1. 2 (h) ~F (x, y, z) = xy~i + 4x4~j + yz~k onde S e´ a superf´\u131cie z = xey, 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 com orientac¸a\u2dco para cima. (i) ~F (x, y, z) = y~i + (z \u2212 y)~j + x~k, onde S e´ a superf´\u131cie do tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). (j) ~F (x, y, z) = x~i+y~j+5~k, onde S e´ a fronteira da regia\u2dco delimitada pelo cilindro x2+z2 = 1 e pelos planos y = 0 e x+ y = 2. 6. Suponha que um fluido com densidade \u3c1(x, y, z) e campo de velocidade ~v(x, y, z) que flui atrave´s de uma superf´\u131cie S. A taxa de fluxo (massa por unidade de tempo) por unidade de a´rea e´ \u3c1~v. Temos que ~F = \u3c1~v e´ um campo vetorial em R, enta\u2dco a integral\u222b\u222b S ~F .d~S = \u222b\u222b S \u3c1~v.d~S representa a vaza\u2dco do flu´\u131do atrave´s de S. Considere um flu´\u131do tem densidade 870 kg/m3 e escoa com velocidade ~v(x, y, z) = z~i+y2~j+x2~k, onde x, y e z sa\u2dco medidos em metros e as componentes de ~v em metros por segundo. Encontre a vaza\u2dco para fora do cilindro x2 + y2 = 4, 0 6 z 6 1. 7. Se ~E e´ um campo ele´trico, enta\u2dco a integral de superf´\u131cie \u222b\u222b S ~E.d~S chama-se fluxo ele´trico de ~E atrave´s da superf´\u131cie S. Uma importante lei de eletrosta´tica e´ a Lei de Gauss, que diz que a carga total englobada por uma superf´\u131cie S e´ Q = \ufffd0 \u222b\u222b S ~E.d~S onde \ufffd0 e´ uma constante (denominada permissividade no va´cuo) que depende das unidades usadas. Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfe´rio so´lido x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0, se o campo ele´trico for ~E(x, y, z) = x~i+ y~j + 2z~k. 8. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Enta\u2dco o fluxo de calor e´ definido como o campo vetorial ~F = \u2212K\u2207u, onde K e´ uma constante determinada experimentalmente, chamada condutividade da substa\u2c6ncia. A taxa de transmissa\u2dco de calor atrave´s da superf´\u131cie S no corpo e´ enta\u2dco dada pela integral de superf´\u131cie\u222b\u222b S ~F .d~S = \u2212K \u222b\u222b S \u2207u.d~S Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substa\u2c6ncia com condutividade K = 6, 5 e´ u(x, y, z) = 2y2 + 2z2. Determine a taxa de transmissa\u2dco de calor nessa substa\u2c6ncia para dentro da superf´\u131cie cil´\u131ndrica y2 + z2 = 6, 0 6 x 6 4. 3 Teorema de Stokes 9. Use o Teorema de Stokes para calcular \u222b\u222b S rot ~F .d~S. (a) ~F (x, y, z) = x2z2~i + y2z2~j + xyz~k, onde S e´ a parte do paraboloide z = x2 + y2 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 4, com orientac¸a\u2dco ascendente. (b) ~F (x, y, z) = xyz~i+ xy~j+ x2yz~k, onde S e´ formada pelo topo pelos quatro lados (mas na\u2dco pelo fundo) do cubo com ve´rtices (±1,±1,±1) com orientac¸a\u2dco para fora. 10. Use o Teorema de Stokes para calcular \u222b C ~F .d~r. Em cada caso, C e´ orientada no sentido anti-hora´rio quando visto de cima. (a) ~F (x, y, z) = (x+ y2)~i+ (y + z2)~j + (z + x2)~k, onde C e´ o tria\u2c6ngulo com ve´rtices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). (b) ~F (x, y, z) = yz~i+ 2xz~j + exy~k, onde C e´ o c´\u131rculo x2 + y2 = 16, z = 5. (c) ~F (x, y, z) = x2z~i+xy2~j+ z2~k, onde C e´ a curva da intersec¸a\u2dco do plano x+ y+ z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 9. 11. Uma part´\u131cula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1), e de volta para a origem sob a influe\u2c6ncia do campo de forc¸as ~F (x, y, z) = z2~i+ 2xy~j + 4y2~k Encontre o trabalho realizado. Teorema do Divergente 12. Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superf´\u131cie \u222b\u222b S ~F .d~S, ou seja, calcule o fluxo de ~F atrave´s de S. (a) ~F (x, y, z) = xyez~i+ xy2z3~j\u2212 yez~k, onde S e´ a superf´\u131cie da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 3, y = 2, z = 1. (b) ~F (x, y, z) = 3xy2~i + xez~j + z3~k, onde S e´ a superf´\u131cie do so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 1 e os planos x = \u22121, x = 2. (c) ~F (x, y, z) = x2sen y~i+ x cos y~j \u2212 xz sen y~k, onde S e´ a \u201cesfera gorda\u201d x8 + y8 + z8 = 8. (d) ~F (x, y, z) = (cos z+xy2)~i+xe\u2212z~j+(sen y+x2z)~k, onde S e´ a superf´\u131cie do so´lido limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e o plano z = 4. (e) ~F = \u2016~r\u2016~r, onde ~r(x, y, z) = x~i + y~j + z~k, e S consiste no hemisfe´rio z = \u221a1\u2212 x2 \u2212 y2 e no disco x2 + y2 6 1 no plano xy.
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