Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 3 - CD23NB - 2017/1 Professor: Geovani Raulino Lista de Exerc´ıcios - 2ª Avaliac¸a˜o Superf´ıcies Parametrizadas e suas a´reas 1. Identifique a superf´ıcie que tem equac¸a˜o parame´trica dada. (a) ~r(u, v) = 〈u+ v, 3− v, 1 + 4u+ 5v〉 (b) ~r(u, v) = 〈2 sen u, 3 cos u, v〉, 0 6 v 6 2 (c) r(u, v) = (u, cos v, sen v) (d) r(u, v) = (u, u cos v, u sen v) 2. Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie parametrizada dada no ponto especifi- cado. (a) x = u+ v, y = 3u2, z = u− v; (2, 3, 0). (b) x = u2, y = v2, z = uv; u = 1 e v = 1 (c) ~r(u, v) = 〈u2, 2u sen v, u cos v〉; u = 1 e v = 0. (d) ~r(u, v) = 〈uv, u sen v, v cos u〉; u = 0 e v = pi. 3. Determine a a´rea da superf´ıcie: (a) A parte do plano 3x+ 2y + z = 6 que esta´ no primeiro octante. (b) A parte do plano 2x+ 5y + z = 10 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 9. (c) A superf´ıcie z = 2 3 (x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1. (d) A parte do plano com equac¸a˜o r(u, v) = (1+v, u−2v, 3−5u+v) que e´ dada por 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 1. (e) A parte da superf´ıcie z = xy que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1. (f) A parte do paraboloide hiperbo´lico z = y2 − x2 que esta´ entre os cilindros x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4. (g) A superf´ıcie com equac¸o˜es parame´tricas x = u2, y = uv, z = 1 2 v2, 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 2. (h) Encontre a a´rea da parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4z que esta´ dentro do paraboloide z = x2 + y2. 1 Integrais de Superf´ıcie 4. Calcule a integral de superf´ıcie. (a) ∫∫ S x2yz dS, onde S e´ a parte do plano z = 1 + 2x + 3y que esta´ acima do retaˆngulo [0, 3]× [0, 2]. (b) ∫∫ S xy dS, onde S e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 2). (c) ∫∫ S yz dS, onde S e´ a parte do plano x+ y + z = 1 que esta´ no primeiro octante. (d) ∫∫ S y dS, onde S e´ a superf´ıcie z = 2 3 (x3/2 + y3/2), onde 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1. (e) ∫∫ S yz dS, onde S e´ a superf´ıcie com equac¸o˜es parame´tricas x = u2, y = u sen v, z = u cos v, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 pi 2 . (f) ∫∫ S √ x2 + y2 + 1 dS, onde S e´ o helicoide com equac¸a˜o vetorial ~r(u, v) = 〈u cos v, u sen v, v〉, com 0 6 u 6 1, 0 6 v 6 pi. (g) ∫∫ S x2z2 dS, onde S e´ a parte do cone z2 = x2 + y2 que esta´ entre os planos z = 1 e z = 3. (h) ∫∫ S z dS, onde S e´ a superf´ıcie x = y + 2z2, 0 6 y 6 1, 0 6 z 6 1. e acima do plano xy. (i) ∫∫ S (x2z + y2z) dS, onde S e´ o hemisfe´rio x2 + y2 + z2 = 4, z > 0. (j) ∫∫ S (z + x2y) dS, onde S e´ a parte do cilindro y2 + z2 = 1 que esta´ entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante. 5. Calcule a integral de superf´ıcie ∫∫ S ~F .d~S para o campo vetorial ~F e a superf´ıcie orientada S. Em outras palavras, determine o fluxo de ~F atrave´s de S. Para superf´ıcies fechadas, use a orientac¸a˜o positiva (para fora). (a) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j + z~k, onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 9. (b) ~F (x, y, z) = xy~i + yz~j + zx~k, onde S e´ a parte do paraboloide z = 4 − x2 − y2 que esta´ acima do quadrado 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, com orientac¸a˜o para cima. (c) ~F (x, y, z) = y~i+x~j+ z2~k, onde S e´ o helicoide do exerc´ıcio 4.f com orientac¸a˜o para cima. (d) ~F (x, y, z) = xzey~i − xzey~j + z~k, onde S e´ a parte do plano x + y + z = 1 no primeiro octante, com orientac¸a˜o para baixo. (e) ~F (x, y, z) = x~i+ y~j+ z4~k, onde S e´ a parte do cone z = √ x2 + y2 abaixo do plano z = 1, com orientac¸a˜o para baixo. (f) ~F (x, y, z) = x~i+ 2y~j + 3z~k, onde S e´ o cubo de ve´rtices (±1,±, 1,±1). (g) ~F (x, y, z) = y~j − z~k, onde S e´ formado pelo parabolo´ide y = x2 + z2, 0 6 y 6 1 e pelo c´ırculo x2 + z2 6 1, y = 1. 2 (h) ~F (x, y, z) = xy~i + 4x4~j + yz~k onde S e´ a superf´ıcie z = xey, 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 com orientac¸a˜o para cima. (i) ~F (x, y, z) = y~i + (z − y)~j + x~k, onde S e´ a superf´ıcie do tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). (j) ~F (x, y, z) = x~i+y~j+5~k, onde S e´ a fronteira da regia˜o delimitada pelo cilindro x2+z2 = 1 e pelos planos y = 0 e x+ y = 2. 6. Suponha que um fluido com densidade ρ(x, y, z) e campo de velocidade ~v(x, y, z) que flui atrave´s de uma superf´ıcie S. A taxa de fluxo (massa por unidade de tempo) por unidade de a´rea e´ ρ~v. Temos que ~F = ρ~v e´ um campo vetorial em R, enta˜o a integral∫∫ S ~F .d~S = ∫∫ S ρ~v.d~S representa a vaza˜o do flu´ıdo atrave´s de S. Considere um flu´ıdo tem densidade 870 kg/m3 e escoa com velocidade ~v(x, y, z) = z~i+y2~j+x2~k, onde x, y e z sa˜o medidos em metros e as componentes de ~v em metros por segundo. Encontre a vaza˜o para fora do cilindro x2 + y2 = 4, 0 6 z 6 1. 7. Se ~E e´ um campo ele´trico, enta˜o a integral de superf´ıcie ∫∫ S ~E.d~S chama-se fluxo ele´trico de ~E atrave´s da superf´ıcie S. Uma importante lei de eletrosta´tica e´ a Lei de Gauss, que diz que a carga total englobada por uma superf´ıcie S e´ Q = �0 ∫∫ S ~E.d~S onde �0 e´ uma constante (denominada permissividade no va´cuo) que depende das unidades usadas. Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfe´rio so´lido x2 + y2 + z2 6 a2, z > 0, se o campo ele´trico for ~E(x, y, z) = x~i+ y~j + 2z~k. 8. Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Enta˜o o fluxo de calor e´ definido como o campo vetorial ~F = −K∇u, onde K e´ uma constante determinada experimentalmente, chamada condutividade da substaˆncia. A taxa de transmissa˜o de calor atrave´s da superf´ıcie S no corpo e´ enta˜o dada pela integral de superf´ıcie∫∫ S ~F .d~S = −K ∫∫ S ∇u.d~S Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em uma substaˆncia com condutividade K = 6, 5 e´ u(x, y, z) = 2y2 + 2z2. Determine a taxa de transmissa˜o de calor nessa substaˆncia para dentro da superf´ıcie cil´ındrica y2 + z2 = 6, 0 6 x 6 4. 3 Teorema de Stokes 9. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫∫ S rot ~F .d~S. (a) ~F (x, y, z) = x2z2~i + y2z2~j + xyz~k, onde S e´ a parte do paraboloide z = x2 + y2 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 4, com orientac¸a˜o ascendente. (b) ~F (x, y, z) = xyz~i+ xy~j+ x2yz~k, onde S e´ formada pelo topo pelos quatro lados (mas na˜o pelo fundo) do cubo com ve´rtices (±1,±1,±1) com orientac¸a˜o para fora. 10. Use o Teorema de Stokes para calcular ∫ C ~F .d~r. Em cada caso, C e´ orientada no sentido anti-hora´rio quando visto de cima. (a) ~F (x, y, z) = (x+ y2)~i+ (y + z2)~j + (z + x2)~k, onde C e´ o triaˆngulo com ve´rtices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). (b) ~F (x, y, z) = yz~i+ 2xz~j + exy~k, onde C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 16, z = 5. (c) ~F (x, y, z) = x2z~i+xy2~j+ z2~k, onde C e´ a curva da intersec¸a˜o do plano x+ y+ z = 1 com o cilindro x2 + y2 = 9. 11. Uma part´ıcula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1), e de volta para a origem sob a influeˆncia do campo de forc¸as ~F (x, y, z) = z2~i+ 2xy~j + 4y2~k Encontre o trabalho realizado. Teorema do Divergente 12. Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superf´ıcie ∫∫ S ~F .d~S, ou seja, calcule o fluxo de ~F atrave´s de S. (a) ~F (x, y, z) = xyez~i+ xy2z3~j− yez~k, onde S e´ a superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 3, y = 2, z = 1. (b) ~F (x, y, z) = 3xy2~i + xez~j + z3~k, onde S e´ a superf´ıcie do so´lido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 1 e os planos x = −1, x = 2. (c) ~F (x, y, z) = x2sen y~i+ x cos y~j − xz sen y~k, onde S e´ a “esfera gorda” x8 + y8 + z8 = 8. (d) ~F (x, y, z) = (cos z+xy2)~i+xe−z~j+(sen y+x2z)~k, onde S e´ a superf´ıcie do so´lido limitado pelo paraboloide z = x2 + y2 e o plano z = 4. (e) ~F = ‖~r‖~r, onde ~r(x, y, z) = x~i + y~j + z~k, e S consiste no hemisfe´rio z = √1− x2 − y2 e no disco x2 + y2 6 1 no plano xy.4 Observac¸o˜es Os exerc´ıcios 2.a, 3.b, 4.g, 5.b, 6, 7, 9.b, 10.c, 11, 12.d devera˜o ser entregues no dia da 2ª avaliac¸a˜o (19/05) e esta sera´ a 2ª APS que tera´ peso 2 na 2ª nota. Gabarito 1. (a) Plano que passa por (0, 3, 1) e conte´m os vetores (1, 0, 4) e (1,−1, 5). (b) Cilindro el´ıptico x 2 4 + y 2 9 = 1. (c) Cilindro de equac¸a˜o y2 + z2 = 1. (d) Cone de equac¸a˜o y2 + z2 = x2. 2. (a) 3x− y + 3z = 3 (b) x+ y − 2z = 0 (c) x− 2z = −1 (d) y = 0 3. (a) 3 √ 14 (b) 9pi √ 30 (c) 4 15 (9 √ 3− 8√2 + 1) (d) √ 107 (e) 2pi 3 (2 √ 2− 1) (f) pi 6 (17 √ 17− 5√5) (g) 4 (h) 4pi 4. (a) 171 √ 14 (b) √ 6 6 (c) √ 3 24 (d) 36 √ 3 + 16 √ 2− 8 105 (e) 50 √ 5 + 2 480 (f) 4pi 3 (g) 364pi √ 2 3 (h) 13 √ 2 12 (i) 16pi (j) 12 5. (a) 108pi (b) 713 180 (c) pi3 6 (d) −1 6 (e) pi 3 (f) 48 (g) 0 (h) 2 3 (1− e) (i) −1 6 (j) 2pi 5 6. 0kg/s 7. 8pia3�0 3 8. 1248pi 9. (a) 0 (b) 0 10. (a) −1 (b) 80pi (c) 40, 5pi 11. 3 12. (a) 9 2 (b) 9pi 2 (c) 0 (d) 32pi 3 (e) 2pi 6
Compartilhar