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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2 Esta e´ a u´ltima versa˜o do gabarito. Na inicial, houve um erro. Depois, foi postada uma correc¸a˜o, na qual, indevidamente, o item (f) foi alterado de forma incorreta. A presente versa˜o traz todas as observac¸o˜es sobre estes erros. Questa˜o 1 (2,5 pontos) Na figura, sa˜o representados os conjuntos R, S e T , dentro de um con- junto universo U. Cada letra minu´scula da figura representa a quantidade de elementos na regia˜o correspondente. A afirmac¸a˜o “O nu´mero de elementos de elementos de R e´ o dobro do nu´mero de elementos que pertencem, simultaneamente, a S e T”pode ser escrita, de acordo com as informac¸o˜es da figura, como a+ d+ g + f = 2(g + e), e a afirmac¸a˜o “A quantidade de elementos que pertencem a, no m´ınimo, dois conjuntos e´ dois terc¸os da quantidade dos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos”pode ser escrita, de acordo com as informac¸o˜es da figura, como d+ e+ f + g = 2 3 · (a+ b+ c+ d+ e+ f + g). Como nos exemplos acima, escreva por meio de uma igualdade envolvendo as informac¸o˜es da figura, as seguintes afirmac¸o˜es: (a) A quantidade de elementos que pertencem a somente um dos treˆs conjuntos e´ o triplo do nu´mero de elementos que pertencem ao conjunto T . (b) O nu´mero de elementos que pertencem a pelo menos um dos treˆs conjuntos, mas na˜o aos treˆs simultaneamente, e´ igual ao nu´mero de elementos que na˜o pertencem a R, nem a S e nem a T . (c) A quantidade de elementos que pertencem a apenas um dos conjuntos e´ metade da que pertencem a pelo menos dois dos conjuntos. (d) O nu´mero de elementos que pertencem pelo menos um dos treˆs conjuntos, mas na˜o pertencem a T e´ o triplo do nu´mero de elementos que pertencem a T . (e) A quantidade de elementos que na˜o pertencem a T e´ sete quintos da quantidade de elementos que esta˜o apenas em R. Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 1 da AD 1 – 2017-2 2 (f) O nu´mero de elementos que pertencem a, no ma´ximo, um dos conjuntos e´ metade do nu´mero de elementos que pertencem a algum deles. Observac¸a˜o: Nos itens acima, a palavra “conjunto”se refere a R, S e T , na˜o ao conjunto-universo U . Soluc¸a˜o: (a) A quantidade de elementos que pertencem a somente um dos treˆs conjuntos e´ dada por a+b+c. A quantidade dos elementos que pertence a T e´ dada por c + e + f + g. Assim, a afirmac¸a˜o corresponde a a+ b+ c = 3 · (c+ e+ f + g). Na primeira versa˜o, havia um “2”indevido no lugar do 3 destacado em vermelho. (b) O nu´mero de elementos que pertencem a pelo menos um dos treˆs conjuntos e´ dada por a+ b+ c+ d+ e+ f + g, log0, descontando os que pertencem aos treˆs (g), temos a+ b+ c+ d+ e+ f . O nu´mero de elementos que na˜o pertencem a R, S e T e´ dado por h. Assim, a+ b+ c+ d+ e+ f = h. (c) Os elementos que pertencem a somente um dos treˆs conjuntos e´ a+ b+ c, e os que pertencem a pelo menos dois, sa˜o d+ e+ f + g. Assim, a+ b+ c = 1 2 · (d+ e+ f + g). (d) A quantidade dos elementos que pertencem a pelo menos um dos treˆs conjuntos, mas na˜o pertencem a T e´ dada por a+ b+ d, e os que pertencem a T sa˜o c+ e+ f + g. Assim, a+ b+ d = 3(c+ e+ f + g). (e) A quantidade de elementos que na˜o pertencem a T e´ a + b + d + h e os que esta˜o apenas em R sa˜o a. Assim, a+ b+ d+ h = 7 5 a. (f) Os elementos que pertencem a, no ma´ximo, um dos conjuntos sa˜o a + b + c + h. Note que, os h elementos “fora”dos conjuntos R, S e T pertencem a nenhum conjunto, logo, atendem a` condic¸a˜o de pertencer a, no ma´ximo, zero. Os que pertencem a algum deles sa˜o a+ b+ c+ d+ e+ f + g, assim, a+ b+ c+ h = 1 2 (a+ b+ c+ d+ e+ f + g). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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