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VETORES 1 Vetores são grandezas que têm: - módulo ou intensidade; - direção; - sentido Um vetor “0A” é representado geometricamente por um segmento de reta orientado, de origem em “0” e extremidade em “A”. O seu sentido é representado pela ponta de flecha em “A”. Representação de um vetor: Ex.: força, deslocamento, velocidade, aceleração, etc. VETORES Um vetor é caracterizado por: - Módulo; - Direção; - Sentido. 2 A 0 0A Módulo do vetor: é indicado pelo comprimento da flecha (usa-se uma escala apropriada para desenhar o vetor). Direção do vetor: é indicada pela própria direção da flecha que representa o vetor. Sentido do vetor: é indicado pelo próprio sentido da flecha que representa o vetor. VETORES 3 Soma de vetores: Método Gráfico a b a b+ = s a b s VETORES 4 Etapas para efetuar a soma de dois vetores - Método gráfico: 1) Desenhe, em escala, o primeiro vetor com direção e sentido corretos em um sistema de coordenadas adequado. 2) Desenhe o segundo vetor, na mesma escala, com sua origem na ponta do primeiro vetor (anteriormente desenhado). 3) Trace uma linha com origem no primeiro vetor até à extremidade do segundo vetor. Obtém-se assim, o vetor soma. Observação: No caso da soma de mais de dois vetores, cada vetor é sucessivamente colocado com sua origem na ponta do vetor anterior. O vetor soma é desenhado da origem do primeiro vetor até à extremidade do último. VETORES 5 Subtração de vetores: Método Gráfico O negativo de um vetor é um outro vetor de mesmo módulo e direção, mas de sentido oposto. a b- a - b a b- = a ( -b )+ Assim, a subtração segue a mesma regra da soma. VETORES 6 Soma de vetores: Método Analítico A soma de vetores pelo método analítico envolve a decomposição de um vetor em suas componentes com relação a um sistema de coordenadas particular. a ax x y ay 0 α ax = a.cosα ay = a.senα a = ax2 + ay2 tg α = ay ax VETORES 10 EM TRÊS DIMENSÕES ax = a.senα.cos θ ay = a.senα.senθa ay y z az 0 α x ax θ az = a.cos α VETORES 7 j y z 0 x i k OBSERVAÇÃO: Quando um vetor e decomposto em suas componentes, é conveniente utilizar vetores unitários ( i , j , k ) nos sentidos positivos dos eixos “x”, “y” e “z”, respectivamente. Deste modo, um vetor “ a “ em um sistema de coordenadas tridimensional é escrito em termos de suas componentes e dos vetores unitários. a = ax i + ay j + az k VETORES 8 Exemplo 1: tridimensional a = ax i + ay j + az k a ay y z az 0 α x ax θ Considere: α = 30o; θ = 60o e intensidade do vetor a = 20m. Pede- se: escreva o vetor a em termos de suas componentes e dos vetores unitários ( i , j , k ). VETORES 9 Soma de vetores: Método das Componentes a b+=s Se dois vetores são iguais, eles têm de ter: - mesmo módulo; - mesma direção; - mesmo sentido. Isto somente pode ocorrer se suas componentes correspondentes são iguais. +=sx i sy j+ ax i ay j bx i+ + by j VETORES 10 Soma de vetores: Método das Componentes Como as componentes correspondentes são iguais, tem-se: =sx i sy j+ (ax + bx) i + (ay + by) j Sx = ax + bx e Sy = ay + by Módulo e direção de S: S = Sx2 + Sy2 S = (ax+bx)2 + (ay+by)2⇒ tgθ = Sy Sx ⇒ tgθ = ay + by ax + bx VETORES 11 Multiplicação de vetores Como os vetores têm módulo, direção e sentido, a multiplicação vetorial não segue exatamente as mesmas regras algébricas da multiplicação escalar. Tipos de operações de multiplicação de vetores que vamos estudar: 1) Multiplicação de um vetor por um escalar; 2) Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar; 3) Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor. VETORES 12 Multiplicação de um vetor por um escalar a 1,4 a -0,5 a Observação: A multiplicação de um vetor “ a “ por um escalar “c” resulta no vetor “c a “, cujo módulo é “c” vezes o módulo de “ a “. O vetor “c a “ tem o mesmo sentido de “ a “ se “c” é positivo e sentido oposto se “c” é negativo. VETORES 13 Multiplicação de dois vetores resultando em um escalar O produto escalar de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como: a b θ a b = a. b cos θ ângulo entre os dois vetores a e b Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas como produto escalar de dois vetores: - Trabalho mecânico; - Energia potencial; - Potência elétrica. VETORES 14 Observação: Se dois vetores são perpendiculares entre si, seu produto escalar é nulo. j y z 0 x i k i . i = j . j = k . k = 1 i . j = i . k = j . k = 0 Resultados do produto escalar entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ): VETORES 15 j y z 0 x i k a = ax i + ay j + az k Produto escalar entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”: b = bx i + by j + bz k a . b = (ax.bx )+(ay.by)+(az.bz) VETORES 35 Multiplicação de dois vetores resultando em outro vetor O produto vetorial de dois vetores “ a “ e “ b “ é definido como: (um outro vetor), cujo: a Λ b = c a Λ b = a. b senθMódulo de c é: Direção de c é: a perpendicular ao plano formado por a e b. Sentido de c é: Regra da mão direita (o dedo polegar indica o sentido). a b θ c = a Λ b a b θ c = b Λ a VETORES 16 Observação: Se dois vetores são paralelos entre si, seu produto vetorial é nulo. j y z 0 x i k i Λ i = j Λ j = k Λ k = 0 i Λ j = k Resultados do produto vetorial entre os vetores unitários cartesianos ( i , j , k ): j Λ k = i k Λ i = j j Λ i = -k k Λ j = -i i Λ k = -j VETORES 17 j y z 0 x i k a = ax i + ay j + az k Produto vetorial entre dois vetores ( a ) e ( b ) em um sistema de coordenadas tridimensional “xyz”: b = bx i + by j + bz k a Λ b = (aybz - azby) i + (azbx - axbz) j + (axby - aybx) k VETORES 18 Exemplos de grandezas físicas que podem ser descritas com produto vetorial de dois vetores: - Torque; - Momento angular; - Fluxo de energia eletromagnética. Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20
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