Lista de exercício Cálculo III

Prévia do material em texto

UFV - Campus Florestal
2a Lista de Exerc´ıcios
MAF 243 - Ca´lculo Diferencial e Integral III
Prof.a Ceil´ı Moreira
1. Determine o domı´nio da aplicac¸a˜o dada por −→r (t) =
(
t− 2
t+ 2
, sin t, ln(9− t2)
)
.
Resp.: Dom(γ) = (−3,−2) ∪ (−2, 3).
2. Calcule lim
t→0
−→r (t) nos seguintes casos:
(a) −→r (t) =
(
et − 1
t
,
√
1 + t− 1
t
,
3
t+ 1
)
;
(b) −→r (t) =
(
e−3t,
t2
sin2 t
, cos 2t
)
.
Resp.: (a) γ(t) =
(
1,
1
2
, 3
)
(b) γ(t) = (1, 1, 1).
3. Esboce o trac¸o de cada curva dada abaixo. Indique, tambe´m, a orientac¸a˜o segundo a qual a curva e´
trac¸ada a` medida que t cresce.
(a) −→r (t) = (4 cos t, 3 sin t);
(b) −→r (t) = (t, cos(2t), sin(2t));
(c) −→r (t) = (sin t, 3, cos t);
(d) −→r (t) = (1 + t, 3t,−t).
Resp.: (a) Elipse no plano xy (b) He´lice circular (c) Circunfereˆncia no plano y = 3
(d) Reta que passa pelo ponto P (1, 0, 0) e tem vetor diretor −→v = (1, 3,−1).
4. Encontre a equac¸a˜o vetorial e equac¸o˜es parame´tricas para o segmento de reta que liga P (1,−1, 2) e
Q(4, 1, 7).
Resp.: −→r (t) = (3t+ 1, 2t− 1, 5t+ 2), 0 ≤ t ≤ 1.
5. Mostre que a curva, cujas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o dadas por:
(γ) =
 x = t
2
y = 1− 3t, t ∈ R
z = 1 + t3
passa pelos pontos P (1, 4, 0) e Q(9,−8, 28), mas na˜o passa pelo ponto R(4, 7,−6).
Resp.: γ(−1) = (1, 4, 0), γ(3) = (9,−8, 28) e na˜o existe t ∈ R tal que γ(t) = (4, 7,−6).
6. Mostre que a curva, cujas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o dadas por:
(γ) =
 x = t cos ty = t sin t, t ∈ R
z = t
esta´ no cone z2 = x2 + y2. Use este fato para esboc¸ar tal curva.
Resp.: Basta observar que x2 + y2 = t2 sin2 t+ t2 cos2 t = t2 = z2.
7. Mostre que a curva, cujas equac¸o˜es parame´tricas sa˜o dadas por:
(γ) =

x = sin t
y = cos t, t ∈ R
z = sin2 t
e´ a curva de intersec¸a˜o das superf´ıcies z = x2 e x2 + y2 = 1.
Resp.: Basta observar que x2 + y2 = sin2 t+ cos2 t = 1 e z = sin2 t = x2.
1
8. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da curva obtida pela intersec¸a˜o do cone z =
√
x2 + y2 com o plano
z = 1 + y.
Resp.: γ(t) =
(
t,
1
2
t2 − 1
2
,
1
2
t2 +
1
2
)
.
9. Sejam γ1(t) = (t, 2t
2, 3t3) e γ2(t) = (2t, t,−3t2) duas curvas definidas para t ≥ 0. Determine o que se
pede:
(a) γ1(t) + γ2(t);
(b) γ1(t)× γ2(t);
(c) γ1(t) · γ2(t);
(d) t2γ1(t) +
(t+ 1)
2
γ2(t).
Resp.: (a) (3t, 2t2 + 1, 3t3−3t2) (b) (−6t4−3t3, 6t4 + 3t3, t−4t3) (c) 4t2−9t5 (d) 1
2
(2t3 + 2t2 + 2t, 4t4 +
t+ 1, 6t5 − 3t3 − 3t2).
10. Verifique se a curva
γ(t) =

( |t− 3|
t− 3 , t
2, 0
)
se t 6= 3,
(0, 0, 0), se t = 3.
e´ cont´ınua em t = 0 e t = 3.
Resp.: Cont´ınua em t = 0 e descont´ınua em t = 3.
11. Esboce o gra´fico da curva plana com equac¸a˜o vetorial dada, o vetor posic¸a˜o e o vetor tangente para o
valor de t dado.
(a) −→r (t) = (t− 2, t2 + 1), t = −1;
(b) −→r (t) = (sin t, cos t), t = pi
4
.
Resp.: (a) Para´bola y = x2+4x+5;
−→
r′ (t) = (1, 2t) (b) Circunfereˆncia x2+y2 = 1;
−→
r′ (t) = (cos t,− sin t).
12. Mostre que a curva γ(t) =
(
1
2
sin t,
1
2
cos t,
√
3
2
)
esta´ sobre a esfera unita´ria centrada na origem. Deter-
mine o valor do vetor tangente a essa curva no ponto P
(
0,
1
2
,
√
3
2
)
.
Resp.: x2 + y2 + z2 =
1
4
sin2 t+
1
4
cos2 t+
3
4
= 1;
−→
γ′ (t) =
(
1
2
cos t,
−1
2
sin t, 0
)
;
−→
γ′ (0) =
(
1
2
, 0, 0
)
.
13. Calcule −→r ′(t) nos seguintes casos:
(a) −→r (t) = (tan t, sec t, 1
t2
);
(b) −→r (t) = (et2 ,−1, ln(1 + 3t)).
Resp.: (a)
−→
r′ (t) =
(
sec2 t, sec t tan t,−2t−3) (b) −→r′ (t) = (2tet2 , 0, 3
1 + 3t
)
.
14. Determine o vetor tangente unita´rio
−→
T (t) a` curva γ(t) = (cos t, 3t, 2 sin(2t)) em t = 0.
Resp.:
−→
T (0) =
1
5
(0, 3, 4).
15. Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a` curva γ(t) = (e−t cos t, e−t sin t, e−t), no ponto
P (1, 0, 1).
Resp.: x = 1− t, y = t, z = 1− t.
16. Encontre o comprimento de cada curva dada abaixo no intervalo especificado:
(a) γ(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t), com −10 ≤ t ≤ 10;
(b) γ(t) = (
√
2t, et, e−t), com 0 ≤ t ≤ 1;
2
(c) γ(t) = (t2, sin t− t cos t, cos t+ t sin t), com 0 ≤ t ≤ pi.
Resp.: (a) 20
√
29 (b) e− e−1 (c)
√
5
2
pi2.
17. Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ(t) = (e2t cos(2t), 2, e2t sin(2t)). Sem perda de gene-
ralidade, suponha que o comprimento de arco e´ medido a partir do ponto t = 0, na direc¸a˜o crescente de
t.
Resp.: Func¸a˜o comprimento de arco:s(t) =
√
2(e2t − 1);
γ(t) =
((
s√
2
+ 1
)
cos
(
ln
(
s√
2
+ 1
))
, 2,
(
s√
2
+ 1
)
sin
(
ln
(
s√
2
+ 1
)))
.
18. Determine a func¸a˜o curvatura para:
(a) γ(t) = (t, t, 1 + t2);
(b) γ(t) = (3t, 4 sin t, 4 cos t), com −10 ≤ t ≤ 10;
Resp.: (a) k(t) =
1
(2t2 + 1)
3
2
(b) k(t) =
4
25
.
19. Para a he´lice circular γ(t) = (2 sin t, 5t, 2 cos t), determine os vetores tangente e normal unita´rios. Ache a
func¸a˜o curvatura dessa curva.
Resp.:
−→
T (t) =
1√
29
(2 cos t, 5,−2 sin t); −→N (t) = (− sin t, 0,− cos t); k(t) = 2
29
.
20. Qual e´ a curvatura e o raio de curvatura da curva γ(t) = (et cos t, et sin t, t) no ponto (1, 0, 0)?
Resp.: k(0) =
2
√
6
9
; R(0) =
3
√
6
4
.
21. Determine os vetores tangente, normal e binormal unita´rios a` curva associada a γ(t) = (et, et sin t, t cos t),
no ponto (1, 0, 1).
Resp.:
−→
T (0) =
(
1√
3
,
1√
3
,
1√
3
)
;
−→
N (0) =
(
0,
1√
2
,
−1√
2
)
;
−→
B (0) =
(−2√
6
,
1√
6
,
1√
6
)
.
22. Determine a equac¸a˜o dos planos normal e osculador da cu´bica retorcida γ(t) = (t, t2, t3), no ponto (1, 1, 1).
Resp.: x+ 2y + 3z = 0; 3x− 3y + z = 1.
23. Calcule a integral de linha, onde C e´ a curva dada:
(a)
∫
C
y3 ds, C : x = t3, y = t, 0 ≤ t ≤ 2.
(b)
∫
C
xy4 ds, C e´ a metade direita do c´ırculo x2 + y2 = 16.
(c)
∫
C
(x2y3 −√x) ds, C e´ o arco da curva y = √x de (1, 1) a (4, 2).
(d)
∫
C
xy dx+ (x− y) dy, C consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a (2, 0) e de (2, 0) a (3, 2).
(e)
∫
C
xy3 ds, C : x = 4 sin t, y = 4 cos t, z = 3t, 0 ≤ t ≤ pi
2
.
(f)
∫
C
xeyz ds, C e´ o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3).
(g)
∫
C
(x+ yz) dx + 2x dy + xyz dz, C consiste nos segmentos de reta de (1, 0, 1) a (2, 3, 1)
e de (2, 3, 1) a (2, 5, 2).
Resp.: (a)
1
54
(1453/2 − 1) (b) 1638, 4 (c)243
8
(d)
17
3
(e) 320 (f)
1
12
√
14(e6 − 1) (g) 97
3
.
24. Calcule a integral de linha
∫
C
F · dr, onde C e´ dada pela func¸a˜o vetorial −→r (t).
(a) F(x, y) = xy
−→
i + 3y2
−→
j , −→r (t) = 11t4−→i + t3−→j , 0 ≤ t ≤ 1.
(b) F(x, y) = sinx
−→
i + cos y
−→
j + xz
−→
k , −→r (t) = t3−→i − t2−→j + t−→k ), 0 ≤ t ≤ 1.
Resp.: (a) 45 (b)
6
5
− cos 1− sin 1.
3
25. Dado o campo vetorial
−→
F = (xex,−(x+ 2y)), calcule
∫
γ
−→
F · −→T ds, em que γ e´:
(a) o segmento de reta de (0, 0) a (−1,−2).
(b) a trajeto´ria parabo´lica y = −2x2 de (0, 0) a (−1,−2).
Pergunta: A integral
∫
γ
−→
F · −→T ds e´ independente do caminho?
Resp.: (a) − 2
e
− 4 (b) 2
e
+
13
3
; Na˜o e´ independente do caminho de integrac¸a˜o.
26. Calcule o campo gradiente de cada func¸a˜o escalar f dada abaixo:
(a) f(x, y) = e2x
2+y.
(b) f(x, y) =
2x
x− y .
(c) f(x, y, z) = 2xy + yz2 + ln z.
(d) f(x, y, z) = xy + xz + yz.
Resp.: (a) ∇f(x, y) = 4xe2x2+y−→i + e2x2+y−→j (b) ∇f(x, y) = − 2y
(x− y)2 4xe
2x2+y−→i + 2x
(x− y)2 4xe
2x2+y−→j
(c) ∇f(x, y, z) = 2y−→i + (2x+ z2)−→j + (2yz + 1
z
)
−→
k (d) ∇f(x, y, z) = (y + z)−→i + (x+ z)−→j + (x+ y)−→k .
27. Verifique se os campos vetoriais
−→
F : D ⊆ R2 → R2 sa˜oconservativos ou na˜o em D. Em caso afirmativo,
determine uma func¸a˜o potencial f : D ⊆ R2 → R para o campo vetorial −→F .
(a)
−→
F (x, y) = (x3 + 4xy)
−→
i + (4xy − y3)−→j , D = R2.
(b)
−→
F (x, y) = ey
−→
i + xey
−→
j , D = R2.
(c)
−→
F (x, y) = (6x+ 5y)
−→
i + (5x+ 4y)
−→
j , D = R2.
(d)
−→
F (x, y) =
x
(x2 + y2)
3
2
−→
i +
y
(x2 + y2)
3
2
−→
j , D = {x ∈ R2 | x2 + y2 < 1}.
(e)
−→
F (x, y) = (ex sin y)
−→
i + (ex cos y)
−→
j , D = R2.
Resp.: (a) Na˜o e´ conservativo (b) Conservativo; f(x, y) = xey + c, c ∈ R
(c) Conservativo; f(x, y) = 3x2 + 5xy + 2y2 + c, c ∈ R (d) Na˜o e´ conservativo (e) Conservativo;
f(x, y) = ex sin y + c, c ∈ R.
28. Use o Teorema Fundamental das Integrais de Linha para avaliar
∫
γ
−→
F ·−→T ds em cada situac¸a˜o apresentada
abaixo:
(a)
−→
F (x, y) = (y, x+ 2y) e (γ) e´ qualquer curva ligando o ponto (0, 1) ao ponto (2, 1), nessa ordem.
(b)
−→
F (x, y) = (x3y4, x4y3) e (γ) e´ qualquer curva ligando o ponto (0, 1) ao ponto (1, 2), nessa ordem.
(c)
−→
F (x, y) = (sinx, cos y) e (γ) e´ qualquer curva ligando o ponto (0, 0) ao ponto (−2, 1), nessa ordem.
(d)
−→
F (x, y, z) = (ey, xey, (z + 1)ex) e (γ) e´ qualquer curva ligando o ponto (0, 0, 0) ao ponto (1, 1, 1),
nessa ordem.
(e)
−→
F (x, y, z) = (2xz + y2, 2xy, x2 + 3z2) e (γ) e´ qualquer curva ligando o ponto (0, 1,−1) ao ponto
(1, 2, 1), nessa ordem.
Resp.: (a) 2 (b) 4 (d) 2e (e) 7.
29. Mostre que
∫
γ
(1 − ye−x) dx + e−x dy e´ independente do caminho de integrac¸a˜o. Use esse fato para
avaliar a integral em que (γ) e´ qualquer caminho ligando o ponto (0, 1) ao ponto (1, 2), nessa ordem.
Resp.: Mostre que
−→
F (x, y) = (1− ye−x)−→i + e−x−→j e´ conservativo.
4