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Álgebra Linear Professor Elvézio 2 1. Matrizes 1.1 Definição de Matrizes Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m×n elementos (números, polinômios, funções, etc...) dispostos em m linhas e n colunas: mn3m2m1m n3333231 n2232221 n1131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A 1.2 Classificação 1.2.1 Matriz Retangular Quando o número de linhas é diferente do número de colunas. 1.2.2 Matriz Quadrada Quando o número de linhas é igual do número de colunas. 1.2.3 Matriz Diagonal A matriz quadrada ijaA que tem os elementos 0aij quando ji é denominada de matriz diagonal. Diagonal Principal Numa matriz quadrada ijaA de ordem n, os elementos i ja em que ji , constituem a diagonal principal. Diagonal Secundária Numa matriz quadrada ijaA de ordem n, os elementos i ja em que 1nji , constituem a diagonal secundária. Álgebra Linear Professor Elvézio 3 1.2.4 Matriz Transposta A matriz transposta da matriz A de ordem m×n é a matriz TA de ordem n×m, que se obtém da matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. Propriedades: I) TTT BABA II) TT AA III) AA TT IV) TTT ABBA Exemplo 1. Dada a matriz 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A sua transposta é 332313 322212 312111 T aaa aaa aaa A . Note que como a matriz é quadrada, sua ordem não alterou. Os elementos que compõem a diagonal principal da matriz A são a11, a22 e a33 e os que compõem a diagonal secundária da matriz A são a13, a22 e a31. EXERCÍCIO PROPOSTO: 1. a) Descreva a matriz ijaA de ordem 3×3 no qual jise0 jiseji2 a ij . b) Indique os elementos que compõe a diagonal principal e a diagonal secundária. c) Ache a transposta da matriz A. d) Essa é uma matriz diagonal? 1.2.5 Matriz Simétrica Dada uma matriz quadrada ijaA de ordem n ela será denominada matriz simétrica se TAA . O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta TA é uma matriz simétrica, isto é, SAA T . Álgebra Linear Professor Elvézio 4 EXERCÍCIO PROPOSTO: 2. Verifique se as matrizes quadradas 312 150 202 A e 022 243 231 B são ou não simétrica. 1.2.6 Matriz Triangular Superior A matriz quadrada ijaA de ordem n que tem os elementos 0aij para ji é uma matriz triangulas superior. 1.2.7 Matriz Triangular Inferior A matriz quadrada ijaA de ordem n que tem os elementos 0aij para ji é uma matriz triangulas inferior. Exemplo 2. A matriz quadrada 4000 5100 8620 0312 A é uma matriz triangular superior, isso porque os elementos que se encontram abaixo da diagonal principal são todos nulos, ou seja, 0aij para ji . 1.2.8 Matriz Identidade Diz-se que uma matriz quadrada ijaA de ordem n pode ser classificada como uma matriz identidade se ela for uma matriz diagonal ( 0aij quando ji ) e 1aij para ji . Em outras palavras, uma matriz identidade possui como elementos da diagonal principal a constante 1, enquanto que os elementos abaixo e acima da diagonal principal são todos iguais a zero. Exemplo 3. As matrizes quadradas de ordem 1, 2, 3 e 4 que podem ser classificadas como identidade são: 1I1 , 10 01 I2 , 100 010 001 I3 e 1000 0100 0010 0001 I4 Álgebra Linear Professor Elvézio 5 1.2 Igualdade de Matrizes Duas matrizes ijaA e ijbB de mesma ordem m×n são iguais se, e somente se, ijij ba . EXERCÍCIO PROPOSTO: 3. Dadas as matrizes ijaA de ordem 2×3 no qual j2iaij e 8z2x1y 75yx B , determine os valores de x, y e z para que A e B sejam iguais. 1.3 Operações entre Matrizes 1.3.1 Adição e Subtração de Matrizes A soma ou a diferença de duas matrizes ijaA e ijbB de mesma ordem m×n, é uma matriz ijcC também de ordem m×n, tal que: ijijij bac 1.3.2 Produto de uma Matriz por um escalar Se é um escalar (uma constante qualquer), o produto de uma matriz ijaA de ordem m×n por esse escalar é uma matriz ijbB de mesma ordem m×n, tal que: ijij ab 1.3.3 Multiplicação de Matrizes A multiplicação de duas matrizes ijaA de ordem m×n e jkbB de ordem n×p, é uma matriz ikcC de ordem m×p, tal que o elemento ikc é a soma dos produtos dos elementos da i- ésima linha da matriz A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da matriz B. Álgebra Linear Professor Elvézio 6 nkink22ik11i n 1i jkijik babababacBAC Como, na multiplicação de matrizes, devemos, “multiplicar linha por coluna”, ou seja, multiplicamos o 1º elemento da linha pelo 1º elemento da coluna, o 2º elemento da linha pelo 2º elemento da coluna, o 3º elemento da linha pelo 3º elemento da coluna, e assim sucessivamente, então a quantidade de colunas de A deve ser igual à quantidade de linhas de B. A matriz produto C terá o número de linhas de A e o número de colunas de B. Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por outra: I) Dadas as matrizes A, B e C de ordem m×n, n×p e p×r, respectivamente e o escalar , tem-se: CBACBA CBCACBA BCACBAC BABABA II) Seja dI a matriz identidade, vale: AAIIA dd III) A multiplicação matricial não é em geral comutativa, isto é, pode acontecer de ABBA . IV) Dadas duas matrizes A e B, se o produto delas for a matriz zero 0 , não é necessário que A ou B sejam zero, isto é, pode acontecer de 0BA com 0A e 0B . V) A matriz B que satisfaz a condição: dIABBA diz-se inversa de A e se representa por 1A , logo: d 11 IAAAA iguais pmpnnm CBA Álgebra Linear Professor Elvézio 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 4. Considerando as matrizes abaixo, 25 32 42 A , 13 11 02 B , 20 31 54 C , 121 323 D e 120 153 124 E realize as seguintes operações: a) CBA b) TD2B3 c) DC d) BA e) EAT f) TAE g) Qual é o valor do elemento 23e da matriz 2E . 5. Descreva a matriz ijaA de ordem 2×3 no qual jisej2i jiseji3 a ij. A seguir multiplique a matriz a matriz A pela sua transposta e verifique se o resultado do produto é uma matriz simétrica. 6. Descreva as matrizes ijaA de ordem 2×2 e ijbB de ordem 3×2 no qual jiseji2 jisej2i aij e jisej jise1 b 1i i ij . e faça as seguintes operações: a) BA ; b) AB ; c) Verifique a propriedade IV da matriz transposta TTT BAAB ; 7. Verifique se 11 12 A é inversa de 21 11 B . 8. Seja 20 21 A e x0 11 B duas matrizes quadradas de ordem 2. Determine o valor de x para que B seja a matriz inversa de A. Álgebra Linear Professor Elvézio 8 Problemas para a seção 1_______ ______________________________ 1) Dadas as matrizes: 42 73 54 A , 853 364 B , 21 34 C e 011 200 051 D Calcular: a) TBA b) CBT c) DB.A T 2) Dada a matriz 344 232 112 A , calcular AAA2 . 3) Seja 01x2 x2 A 2. Se AAT , então o valor de x é: 4) Se A é uma matriz triangular superior, então TA é __________________. 5) Sejam as matrizes 3x2ij aA , tal que i3jaij , 2x3ij bB , tal que 2 ij ji2b , e 2x2ij cC , tal que jic ij . Determine a matriz P no qual C20BAP . Qual é o valor do elemento de maior módulo dentre os que formam a diagonal principal da matriz P? 6) Seja 2x2ij aA onde j3iaij . Determine a matriz TAA . Qual é o nome dado a essa matriz? 7) Sabendo que 300 040 001 A e 20x 040 002 B , calcule x para que ABBA . Álgebra Linear Professor Elvézio 9 8) Seja 100 120 321 A e 100 2/1x0 211 B duas matrizes quadradas de ordem 3. Determine o valor de x para que B seja a matriz inversa de A. Respostas para os problemas da seção 1______________________________ 1) a) 386552 8171 491 b) 254 829 619 c) 13029814 34137 1815 2) 344 232 112 3) x = 1 4) Triangular Inferior 5) –12 6) 8976 7665 . É uma matriz simétrica. 7) x = 0 8) x = 1/2
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