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Introdução a Matrizes

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Álgebra Linear Professor Elvézio 
 2 
1. Matrizes 
 
1.1 Definição de Matrizes 
 
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m×n elementos (números, polinômios, 
funções, etc...) dispostos em m linhas e n colunas: 
 

















mn3m2m1m
n3333231
n2232221
n1131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A





 
 
1.2 Classificação 
 
1.2.1 Matriz Retangular 
 
Quando o número de linhas é diferente do número de colunas. 
 
1.2.2 Matriz Quadrada 
 
Quando o número de linhas é igual do número de colunas. 
 
1.2.3 Matriz Diagonal 
 
A matriz quadrada 
 ijaA 
 que tem os elementos 
0aij 
 quando 
ji 
 é denominada de 
matriz diagonal. 
 
 Diagonal Principal 
Numa matriz quadrada 
 ijaA 
 de ordem n, os elementos 
i ja
 em que 
ji 
, constituem a 
diagonal principal. 
 
 Diagonal Secundária 
Numa matriz quadrada 
 ijaA 
 de ordem n, os elementos 
i ja
 em que 
1nji 
, 
constituem a diagonal secundária. 
Álgebra Linear Professor Elvézio 
 3 
1.2.4 Matriz Transposta 
 
A matriz transposta da matriz A de ordem m×n é a matriz TA de ordem n×m, que se obtém da 
matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. 
 
 Propriedades: 
 
I) 
  TTT BABA 
 
II) 
  TT AA 
 
III) 
  AA TT 
 
IV) 
  TTT ABBA 
 
 
Exemplo 1. Dada a matriz 











333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
 sua transposta é 











332313
322212
312111
T
aaa
aaa
aaa
A
. Note que 
como a matriz é quadrada, sua ordem não alterou. Os elementos que compõem a diagonal principal da 
matriz A são a11, a22 e a33 e os que compõem a diagonal secundária da matriz A são a13, a22 e a31. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO: 
 
1. a) Descreva a matriz 
 ijaA 
 de ordem 3×3 no qual 






jise0
jiseji2
a ij
. 
b) Indique os elementos que compõe a diagonal principal e a diagonal secundária. 
c) Ache a transposta da matriz A. 
d) Essa é uma matriz diagonal? 
 
1.2.5 Matriz Simétrica 
 
Dada uma matriz quadrada 
 ijaA 
 de ordem n ela será denominada matriz simétrica se 
TAA 
. 
 O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta TA é uma matriz simétrica, isto é, 
SAA T 
. 
 
Álgebra Linear Professor Elvézio 
 4 
EXERCÍCIO PROPOSTO: 
2. Verifique se as matrizes quadradas 














312
150
202
A
 e 














022
243
231
B
 são ou não simétrica. 
 
1.2.6 Matriz Triangular Superior 
 
A matriz quadrada 
 ijaA 
 de ordem n que tem os elementos 
0aij 
 para 
ji 
é uma matriz 
triangulas superior. 
 
1.2.7 Matriz Triangular Inferior 
 
A matriz quadrada 
 ijaA 
 de ordem n que tem os elementos 
0aij 
 para 
ji 
é uma matriz 
triangulas inferior. 
 
Exemplo 2. A matriz quadrada 















4000
5100
8620
0312
A é uma matriz triangular superior, isso porque 
os elementos que se encontram abaixo da diagonal principal são todos nulos, ou seja, 
0aij 
 para 
ji 
. 
 
1.2.8 Matriz Identidade 
 
Diz-se que uma matriz quadrada 
 ijaA 
 de ordem n pode ser classificada como uma matriz 
identidade se ela for uma matriz diagonal (
0aij 
 quando 
ji 
) e 
1aij 
 para 
ji 
. Em outras 
palavras, uma matriz identidade possui como elementos da diagonal principal a constante 1, enquanto 
que os elementos abaixo e acima da diagonal principal são todos iguais a zero. 
 
Exemplo 3. As matrizes quadradas de ordem 1, 2, 3 e 4 que podem ser classificadas como identidade são: 
 1I1 
, 







10
01
I2
, 











100
010
001
I3
 e 













1000
0100
0010
0001
I4 
Álgebra Linear Professor Elvézio 
 5 
1.2 Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes 
 ijaA 
 e 
 ijbB 
 de mesma ordem m×n são iguais se, e somente se, 
ijij ba 
. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO: 
 
3. Dadas as matrizes 
 ijaA 
 de ordem 2×3 no qual 
j2iaij 
 e 









8z2x1y
75yx
B
, determine 
os valores de x, y e z para que A e B sejam iguais. 
 
1.3 Operações entre Matrizes 
 
1.3.1 Adição e Subtração de Matrizes 
 
A soma ou a diferença de duas matrizes 
 ijaA 
 e 
 ijbB 
 de mesma ordem m×n, é uma 
matriz 
 ijcC 
 também de ordem m×n, tal que: 
 
ijijij bac 
 
 
1.3.2 Produto de uma Matriz por um escalar 
 
Se 

 é um escalar (uma constante qualquer), o produto de uma matriz 
 ijaA 
 de ordem 
m×n por esse escalar é uma matriz 
 ijbB 
 de mesma ordem m×n, tal que: 
 
ijij ab 
 
 
1.3.3 Multiplicação de Matrizes 
 
A multiplicação de duas matrizes 
 ijaA 
 de ordem m×n e 
 jkbB 
 de ordem n×p, é uma 
matriz 
 ikcC 
 de ordem m×p, tal que o elemento 
ikc
 é a soma dos produtos dos elementos da i-
ésima linha da matriz A pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da matriz B. 
 
Álgebra Linear Professor Elvézio 
 6 
nkink22ik11i
n
1i
jkijik babababacBAC  


 
 
Como, na multiplicação de matrizes, devemos, “multiplicar linha por coluna”, ou seja, 
multiplicamos o 1º elemento da linha pelo 1º elemento da coluna, o 2º elemento da linha pelo 2º 
elemento da coluna, o 3º elemento da linha pelo 3º elemento da coluna, e assim sucessivamente, então 
a quantidade de colunas de A deve ser igual à quantidade de linhas de B. A matriz produto C terá o 
número de linhas de A e o número de colunas de B. 
 
 
 
 
 
 Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por outra: 
 
I) Dadas as matrizes A, B e C de ordem m×n, n×p e p×r, respectivamente e o escalar 

, tem-se: 
   CBACBA 
 
  CBCACBA 
 
  BCACBAC 
 
     BABABA 
 
 
II) Seja 
dI
a matriz identidade, vale: 
AAIIA dd 
 
 
III) A multiplicação matricial não é em geral comutativa, isto é, pode acontecer de 
ABBA 
. 
 
IV) Dadas duas matrizes A e B, se o produto delas for a matriz zero 
 0
, não é necessário que A ou B 
sejam zero, isto é, pode acontecer de 
0BA 
 com 
0A 
 e 
0B 
. 
 
V) A matriz B que satisfaz a condição: 
dIABBA 
 
diz-se inversa de A e se representa por 1A , logo: 
d
11 IAAAA  
 
 
iguais 
pmpnnm CBA  
 
Álgebra Linear Professor Elvézio 
 7 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
4. Considerando as matrizes abaixo, 













25
32
42
A
, 












13
11
02
B
, 













20
31
54
C
, 









121
323
D
 e 














120
153
124
E
 
realize as seguintes operações: 
a) 
CBA 
 b) 
TD2B3 
 
c) 
DC
 d) 
BA
 
e) 
EAT 
 f) TAE 
g) Qual é o valor do elemento 
23e
 da matriz 2E . 
 
5. Descreva a matriz 
 ijaA 
 de ordem 2×3 no qual 






jisej2i
jiseji3
a ij. A seguir multiplique a 
matriz a matriz A pela sua transposta e verifique se o resultado do produto é uma matriz simétrica. 
 
6. Descreva as matrizes 
 ijaA 
 de ordem 2×2 e 
 ijbB 
 de ordem 3×2 no qual 






jiseji2
jisej2i
aij
 e  
 






jisej
jise1
b
1i
i
ij
. 
e faça as seguintes operações: 
a) 
BA
; 
b) 
AB
; 
c) Verifique a propriedade IV da matriz transposta 
  TTT BAAB 
; 
 
7. Verifique se 









11
12
A
 é inversa de 







21
11
B
. 
 
8. Seja 







20
21
A
 e 





 

x0
11
B
 duas matrizes quadradas de ordem 2. Determine o valor de x para 
que B seja a matriz inversa de A. 
 
Álgebra Linear Professor Elvézio 
 8 
Problemas para a seção 1_______ ______________________________ 
 
1) Dadas as matrizes: 














42
73
54
A
, 









853
364
B
, 





 

21
34
C
 e 









 

011
200
051
D
 
 Calcular: 
a)
 TBA
 
b) 
CBT 
 
c) 
  DB.A T 
 
 
2) Dada a matriz 














344
232
112
A
, calcular 
AAA2 
. 
 
3) Seja 










01x2
x2
A
2. Se 
AAT 
, então o valor de x é: 
 
4) Se A é uma matriz triangular superior, então TA é __________________. 
 
5) Sejam as matrizes 
 
3x2ij
aA 
, tal que 
i3jaij 
, 
 
2x3ij
bB 
, tal que 
2
ij ji2b 
, e 
 
2x2ij
cC 
, 
tal que 
jic ij 
. Determine a matriz P no qual 
C20BAP 
. Qual é o valor do elemento de 
maior módulo dentre os que formam a diagonal principal da matriz P? 
 
6) Seja 
 
2x2ij
aA 
 onde 
j3iaij 
. Determine a matriz TAA . Qual é o nome dado a essa matriz? 
 
7) Sabendo que 











300
040
001
A
 e 











20x
040
002
B
, calcule x para que 
ABBA 
. 
 
Álgebra Linear Professor Elvézio 
 9 
8) Seja 











100
120
321
A
 e 













100
2/1x0
211
B
 duas matrizes quadradas de ordem 3. Determine o 
valor de x para que B seja a matriz inversa de A. 
 
 
Respostas para os problemas da seção 1______________________________ 
 
1) a) 













386552
8171
491
 b) 













254
829
619
 c) 













13029814
34137
1815
 
 
2) 













344
232
112
 
 
3) x = 1 
 
4) Triangular Inferior 
 
5) –12 
 
6) 






8976
7665 . É uma matriz simétrica. 
 
7) x = 0 
 
8) x = 1/2

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