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Análise de 
Investimentos 
Ufscar – São Carlos. 
Setembro/2012 
Universidade Federal de São Carlos 
Departamento de Engenharia de Produção (DEP) 
Roberto Ivo 
1 
Conteúdo da Aula 
 (1) Primeira Parte: 
 
 Juros Simples; 
 Juros Compostos; 
 Equivalência de Taxas em Juros Compostos; 
 Inflação e Juros Reais; 
 Séries de Pagamentos e Perpetuidade; 
 Amortização (Sistema Tabela Price / Francês, SAC e Misto); 
 
 (2) Segunda Parte: 
 
 Payback – Simples e Descontado; 
 Taxa Interna de Retorno; 
 Valor Presente Líquido 
 
 
Avaliação 
 (1) Primeira Prova (40%): 05/12/2012 
 
 (2) Segunda Prova(50%): 23/01/2013 
 
 (3) Prova Substutiva: 30/01/2013 
 
 (4) Lista de Exercícios (10%): 4 listas 
 
 
REFERÊNCIAS 
 ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. 9.ed. São Paulo: Atlas, 2007. 
 BRUNI, A; FAMÁ, R. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 4.ed. São Paulo, Atlas, 2007 
 PILÃO, N; HUMMEL, P. Matemática Financeira e Engenharia Econômica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006 
 ZENTGRAF, W. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: Elsevier, 2007. 
 Fleischer, Gerald A Teoria e Aplicação do Capital: um estudo das decisões de investimento.São Paulo: Ed. Edgar Blücher Ltda, 
1973. 
 Hirchfeld, Henrique. Engenharia Econômica. São Paulo: Atlas, 1982, 453 p. 
 Hummel, Paulo R.V.; Taschner, Mauro R. B. Análise de decisões e Investimentos. São Paulo: Atlas, 1988, 214 p. 
 Pilão, N. E. e Hummel, P. R. V. Matemática Financeira e Engenharia Econômica ? A teoria e a prática da análise de projetos de 
investimentos. São Paulo: Pioneira Thonson Learning, 2003. 273 p. 
 Oliveira, José Alberto Nascimento de - Engenharia Econômica: Uma abordagem às decisões de Investimento. São Paulo: Edit. 
McGraw-Hill do Brasil, 1982, 172 p. 
I - Introdução 
• Conceitos Iniciais: 
• Valor Presente ou Valor Atual (PV): Se refere ao valor de aplicação ou 
empréstimo no tempo atual; 
• Juros (J): É a remuneração do capital; 
• Taxa de Juros (i): Expressa o valor da remuneração paga ao capital; 
 • Valor Futuro ou Montante (FV): Se refere ao valor de resgate de uma operação 
financeira. 
 FV = PV + J 
 
• Prazo (n): É o intervalo de tempo da operação financeira; 
• Regime de Capitalização: É a maneira pela qual os juros são calculados . Pode 
ser simples (linear) ou compostos (geométrico); 
• Série de Prestações Uniformes: É uma sequência de ‘n’ pagamentos iguais, cujo 
objetivo é constituir um valor futuro (FV) ou amortizar um empréstimo (PV). 
 
I - Introdução 
• Conceitos Iniciais: 
• Fluxo de Caixa: Movimento de entrada (+) e saída (-) de recursos monetários em 
um determinado intervalo de tempo; 
Diagrama do Fluxo de Caixa Saídas de Caixa 
Entradas de Caixa 
( - ) 
( + ) 
( n = períodos ) 
II - Juros Simples 
• É aquele cuja incidência se dá apenas sobre o valor inicialmente aplicado ou 
tomado emprestado; 
• Independente do número de períodos da aplicação ou empréstimo, o valor do juros 
é fixo ; 
 
• Exemplo: 
1 2 3 
(-) 100.000 
1.000 1.000 1.000 1.000 
4 
Empréstimo = R$ 100.000 
i = 1% a.m 
II - Juros Simples 
• Matematicamente é uma relação linear; isto é: 
)**( niPVPVFV  )*1(* niPVFV 
ou 
• Onde: 
 
 FV = valor futuro ou montante 
 PV = valor presente ou valor atual 
 i = taxa de juros simples 
 n = número de períodos da aplicação ou 
 empréstimo 
 
• Lembrando que: 
JPVFV 
II - Juros Simples 
• Exemplo 1: 
 Flávia tem R$ 10.000 para aplicar. Considerando um regime de juros simples com 
taxa de 1,5% ao mês, qual é valor do juros obtido por Flávia ao final de 7 meses? 
 
• Solução: 
 
FV = PV + (PV * i * n) 
 FV = 10.000 + (10.000 * 0,015 * 7) 
FV = 11.050 
Como FV = PV + J, temos que J = FV – PV 
Juros = 11.050 – 10.000 
Juros = 1.050 
II - Juros Simples 
• Exemplo 2: 
 João tomou um empréstimo com prazo de 5 meses e pagou R$ 500 de juros. 
Considerando o regime de juros simples com taxa de 1% a.m, qual o valor do 
empréstimo tomado por João? 
 • Solução: 
 
FV = PV + (PV * i * n) 
 FV = PV + (PV * 0,01 * 5) 
Conforme visto, FV = PV + J. Substituindo na fórmula, temos: 
PV + 500 = PV + (PV * 0,01 * 5) 
PV + 500 = PV + 0,05 PV 
500 = PV + 0,05 PV – PV 
0,05 PV = 500 
 PV = 10.000 
II - Juros Simples 
• Exemplo 3: 
 Você tem a opção de aplicar R$ 2.500 e resgatar R$ 3.200 ao final de 12 meses. 
Considerando um regime de capitalização simples, qual a taxa de juros obtida nesta 
operação financeira? 
 • Solução: 
 
FV = PV + (PV * i * n) 
 3.200 = 2.500 + (2.500 * i * 12) 
3.200 – 2.500 = 30.000 i 
30.000 i = 700 
i = 700 / 30.000 
 i = 2,33% a.m 
II - Equivalência de Taxas em 
Juros Simples 
• Taxas proporcionais ou equivalentes: são aquelas que incidem sobre um mesmo 
capital, em um mesmo período de tempo e produzem um mesmo montante. 
 
• Exemplo: 
Aplicação de R$ 1.000 com juros de 1% a.m por 12 meses 
FV = PV + (PV * i * n) FV = 1000 + (1000 * 0,01 * 12) 
FV = 1.120 
Aplicação de R$ 1.000 com juros de 12% a.a por 12 meses 
FV = PV + (PV * i * n) FV = 1000 + (1000 * 0,12 * 1) 
FV = 1.120 
O período e a taxa relatada na operação financeira devem estar sempre 
na mesma unidade! 
II - Equivalência de Taxas em 
Juros Simples 
• Exemplo 1: 
 Quanto 1,2% ao mês equivale ao dia, ao semestre e ao 
ano? 
 • Solução: 
Ao dia: 0,012 / 30 = 0,0004 ou 0,04% a.d 
Ao semestre: 0,012 * 6 = 0,0720 = 7,20% a.s 
Ao ano: 0,012 * 12 = 0,1440 ou 14,40% a.a 
II - Exercícios 
Exercício 1: 
Você aplicou R$ 32.000 em um banco por um prazo de 7 meses a uma taxa de 1,25% 
ao mês. Considerando regime de capitalização simples, qual será os juros ganho na 
aplicação e o montante recebido no final da aplicação, respectivamente? 
 
Exercício 2: 
Danilo ganhou uma prêmio na sua empresa de R$ 40.000 pela sua perfomance em 
vendas durante o ano de 2011. Ele resolveu aplicar todo o dinheiro em seu banco, que 
paga um juros simples de 1,2% a.m. Quanto Danilo terá aplicado após 20 meses? 
 
Exercício 3: 
Adriana exagerou nas compras no mês passado e atrasou o pagamento da fatura do 
seu cartão de crédito em 13 dias. Considerando regime de capitalização simples com 
taxa de 8% a.m e que o valor da fatura é de R$ 5.000, quanto Adriana pagará de juros? 
III - Juros Compostos 
• No Regime de Capitalização Composta a incidência de juros ocorre de forma 
cumulativa; conhecido popularmente como “juros sobre juros”; 
 
1 2 3 
110 
121 
133,1 
100 
0 
i = 10% i = 10% i = 10% 
... 
• Diferente do regime de capitalização simples, que o juros incide sempre sobre o 
valor inicial da operação, no regime de capitalização composta os juros incidem 
sobre o valor acumulado no período anterior; 
 
 
 
Onde: FV = valor futuro ou montante; PV = Valor presente ou valor atual; 
 i = taxa de juros compostos; 
 n = número de períodos da operação financeira 
 
 
ou 
niPVFV )1(* 
ni
FV
PV
)1( 

III - Juros Compostos 
• Dessa forma, o valor acumulado no regime de capitalização composto será sempre 
superior ao acumulado no regime de capitalização simples, considerando a mesma 
taxa, prazo e valores da operação. 
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Juros Simples
$ 
Tempo 
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
30,00
35,00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
Juros Compostos
$ 
Tempo 
III- Exercícios Juros Compostos 
• Exercício 1: 
 Você quer comprar um carro dos seus sonhos por R$ 80.000. Ao chegar a uma 
concessionária, o vendedor lhe dá a seguinte opção: pagar 50% de entrada e o 
restante ao final de quatro anos. Considerando juros de 1,25% a.m., quanto será 
pago por esse carro e qual o valor do juro pago na operação? 
 
• Exercício 2: 
 Fabio investiu R$ 1.000 há 4 meses. Considerando que esta aplicação rendeu R$87 
de juros, qual foi a taxa de juros mensal da aplicação? 
 
• Exercício 3: 
 Calcule a taxa de juros mensal de um empréstimo de R$ 100.000 que será pago após 
3 anos um total de R$ 160.000? 
 
 
 
III - Equivalência de Taxas em Juros 
Compostos 
 A taxa é equivalente em juros compostos quando resulta no mesmo montante, no 
fim do prazo da operação, dado o mesmo valor presente. 
 
1)1(  t
q
n
n
tq ii
Onde 
q = período que eu quero expressar a taxa; 
t = período no qual eu tenho a taxa. 
 
Exemplo: 
a) Qual a taxa mensal equivalente a 9,00% a.a.? 
 ia.m = (1+0,0900)
1/12
 - 1 = 0,007207 ou 0,7207% a.m 
b) Qual a taxa mensal equivalente a 0,15% a.d.? 
 ia.m = (1+0,0015)
30/1
 – 1 = 0,0460 ou 4,60% a.m. 
 
 
 
III – Exercícios Equivalência de Taxas 
em Juros Compostos 
 Exercícios: 
 
a) Se taxa básica de juros no final de 2011 era de 10,50% 
ao ano, quanto isso equivalia em taxa mensal? 
 
 
b) Se em uma aplicação com rendimento de 1,8769% a.m. 
eu permanecer um ano, qual será o meu rendimento? 
III - Inflação e Juros Reais 
 Juros reais é definido como os juros já está descontada a inflação do período; isto 
é: 
1
)1(
)1(




Inf
i
r
1)1(*)1(  Infri
ou 
 
• Onde: 
r = juros reais; i = juros nominais e Inf = inflação. 
Exemplos de indicadores de inflação: IPCA, IGP-M, INCC, etc. 
Para acumular taxa de inflação, segue-se a fórmula abaixo: 
1)1(*...*)1(*)1( 21  pnppacum txInftxInftxInfInf
III - Inflação e Juros Reais 
 Exercício 1: 
 
 Calcule o juro real obtido em aplicação no Brasil no final de 2011, considerando a 
Selic em 10,50% a.a. e o IPCA de 6,50% 
 
 Exercício 2: 
 
 De acordo com o Tesouro Direto em 09/05/12, a taxa de rendimento de um título 
prefixado de 10 anos no Brasil era de 10,17% a.a. Considerando a expectativa para 
o IPCA médio neste período de 4,5% a.a., qual a expectativa da taxa de juros real 
no Brasil para o referido período? Compare a taxa de juros real brasileira com ao 
taxa de juros real americana, considerando que a expectativa de rendimento de um 
título público americano de 10 anos é de 1,84% e a expectativa de inflação de 1,5%. 
 
 Exercício 3: 
 
 Em 2010 fiz uma aplicação R$ 10.000 com rendimento de 10,1250% a.a. 
Considerando que o prazo da aplicação foi de três meses, e que a inflação do mês 1 
= 0,29%, mês 2 = 0,85% e mês 3 = 0,52%, qual o ganho real obtido nessa aplicação? 
 
III – Taxa de Juros Over 
 A taxa de juros over foi criada com o objetivo dos agentes do mercado financeiro 
não perderem dinheiro , já que a remuneração era diária. 
 A construção da taxa é feita da seguinte forma: 
 Converte-se a taxa para taxa de juros ao dia útil; 
 Multiplica-se; então, por 30 dias. 
• Exemplo: 
 José aplica R$ 200.000,00 em um ativo financeiro por um período de 61 dias 
corridos, nos quais estão contidos 42 dias úteis. No fim do período, o montante é 
de R$ 215.000,00. 
 i= (VF/VP) ^(1/42) – 1 (n= 42 dias úteis) 
 id = (215.000/200.000) ^(1/42) - 1 = 0,1723% a.d útil 
 iover = 30 * id 
 iover = 5,1702% a.m.o 
III – Taxa de Juros Over 
 Exercícios: 
 
 (1) Dada a taxa over de 3,e% a.m, determinar a taxa efetiva mensal num mês de 21 
dias úteis. 
 
 (2) Um investidor obtém, numa dada aplicação, a taxa efetiva de 7,2% a.p (período 
com 37 dias úteis). Determinar a taxa over correspondente. 
 
 (3) Uma operação financeira é fechada à taxa over de 2,40% a.m. por um período 
de 47 dias úteis. Determinar a taxa efetiva no período. 
III – Ativos de Renda Fixa 
 São títulos cujos rendimentos são discriminados previamente 
 Pré-fixado 
 Pós-fixado 
 
 Podem ser emitidos por empresas, instituições financeiras e pelo governo 
 
 Exemplos de ativos de renda fixa: 
 
 Caderneta de Poupança 
 Certificado de Depósito Bancário (CDB) 
 Letras do Tesouro Nacional (LTN) 
 Debêntures (não conversível em ações) 
III – Ativos de Renda Fixa 
 Certificado de Depósito Bancário (CDB): 
 Títulos emitidos pelos bancos para captação de recursos 
 Pode ser pré ou pós-fixado 
 
• Exemplo de CDB: 
• Um investidor aplicou R$ 12.000 em um CDB pré-fixado com uma taxa de 10,8% 
ao ano. Considerando que ele fez o resgate após 2 anos, qual o montante 
resgatado pelo investidor? Considere o ano comercial (360 dias) e que não há 
incisão de impostos 
• Solução HP: 
12.000 CHS PV 
10,8 i 
2 n 
FV = ? 
 
FV = 14.731,97 
• Solução Excel: 
 
=VF(taxa;nper;pgto;pv;tipo) 
 
=VF(10,8%;2;0;-12.000;0) 
 
VF = 14.731,97 
 
III – Ativos de Renda Fixa 
 Letras do Tesouro Nacional (LTN): 
 Título prefixado do Governo Federal 
 Não paga juros intermediários 
 Valor de face de cada título = R$ 1.000 
 É vendido com deságio 
 As taxas de juros são calculadas com base em dias úteis (1 ano = 252 dias úteis) 
• Exemplo de LTN: 
 
 Você comprou uma LTN em 09/05/2012 com vencimento para 01/01/2014 a 
um preço de R$ 874,28. Considerando que o período entre a data de compra 
e o vencimento do título é de 415 dias úteis, qual a taxa paga por essa LTN? 
• Solução: 
 
874,28 CHS PV 1000 FV 415/252 n i = ? i = 8,50% a.a. 
 
III – Ativos de Renda Fixa 
 Exercício 1: 
 
 Você quer aplicar seu bônus anual recebido da empresa (R$ 112.000) em um CDB 
pós-fixado que rende 95% do CDI (Certificado de Depósito Interbancário – 
considere CDI = 9,00% a.a). Considerando que você permaneceu 8 meses aplicado, 
qual o valor a ser resgatado? 
 
 Exercício 2: 
 
 Quanto você deve pagar hoje por uma LTN que rende 9,58% a.a. com prazo de 
vencimento em 918 dias úteis? 
 
IV - Séries de Pagamento 
 Série Postecipada: Modo End na HP = 0 + Parcela 
PV 
Pagamentos 
• Série Antecipada: Modo Begin na HP = Entrada + Parcela 
PV 
Pagamentos 
IV - Séries de Pagamento 

 































n
j
nsérie
nsérie
nsérie
n
n
série
i
PPV
iiii
PPV
i
P
i
P
i
P
i
P
PV
i
P
i
P
i
P
i
P
PV
1
32
32
3
3
2
21
)1(
1
*
)1(
1
...
)1(
1
)1(
1
1
1
*
)1(
...
)1()1(1
)1(
...
)1()1(1
IV - Séries de Pagamento 
  
     
 







 








 









 




































i
v
PPV
i
v
i
i
P
i
v
ivP
i
i
v
vPPV
v
vv
PPV
v
i
qv
i
aonde
q
qa
GPdeSoma
n
série
nnn
série
n
série
n
1
*
1
*)1(*
1
1
*
1
*)1(**
1
11
1
**
1
1
*
)1(
1
;
)1(
1
,
1
)1(
..
1
1
IV - Séries de Pagamento 
 Exemplo: um carro é financiado em 48 meses a uma taxa de 1,5% a.m. com 
parcelas fixas de R$ 823. Qual é o valor presentedo carro? 
 
Na HP: 
 
823 PMT 
1,5 i 
48 n 
0 FV 
PV = ? 
PV = 28.017,02 
 
PV = ? 
PMT = 823 
48 parcelas 
No Excel: Fórmula ‘VP’ 
 
=VP(taxa;Nper;PMT;FV;tipo) 
 
=VP(1,5%;48;823;0;0) 
 
VP = 28.017,02 
IV - Séries de Pagamento 
 Exercício 1: 
 Isac parcelou a revisão do seu carro em 4 vezes de R$ 500. Considerando o 
pagamento feito em uma entrada + 3 parcelas mensais e que a operação teve um 
juros de 1% a.m., quanto custaria a revisão do carro à vista? 
 
 
 
 
 
 Exercício 2: 
 Ao comprar um apartamento, Gisleide parcelou o saldo devedor de R$ 100.000 em 
80 prestações mensais fixas de R$ 2000. Qual a taxa de juros compostos mensal da 
operação? 
 
IV - Séries de Pagamento 
 Exercício 3: 
 A empresa de Leonardo pegou um empréstimo de R$ 80.000 na linha de 
financiamento BNDES Finame para renovar parte de seu maquinário. A taxa 
de juros desse tipo de financiamento é de 10% a.a e existe uma carência de 
6 meses para início do pagamento, isto é, a primeira parcela será paga no 7° 
mês após a concessão do empréstimo. Considerando que o prazo de 
pagamento é de 60 meses (a carência influencia o prazo), qual o valor da 
parcela que a empresa deve pagar nas seguintes situações: 
 
 a) Os juros dos 6 primeiros meses são inseridos nas parcelas a serem 
pagas a partir do 7° mês 
 b) Não há cobrança de juros para o período de carência 
 
 Exercício 4: 
 Patrícia tem R$ 300.000 em caixa e quer comprar um apartamento deste 
mesmo valor. Sua gerente do banco lhe ofereceu um CDB que rende 1,2% 
a.m. líquido de impostos e a construtora lhe ofereceu a possibilidade de 
comprar pelos R$ 300.000 a vista ou em 120 parcelas de R$ 4.000, sendo a 
primeira paga daqui a 30 dias. Qual a melhor alternativa para Patrícia? 
 
IV - Séries de Pagamento 
 Exercício 5: 
 Uma pessoa toma emprestado R$ 10.000,00, obrigando-se a 
pagá-las em 3 parcelas mensais iguais, com juros compostos 
de 8% a.m. De quanto serão estes pagamentos, se o 1º 
vencer a 90 dias do empréstimo (série diferida) . R. R$ 
4.526,02 
 
 Exercício 6: 
 Faltando 3 pagamentos mensais de R$1.200,00 para o 
término de um contrato de financiamento, o devedor deseja 
liquidá-lo (NA DATA EM QUE DEVERIA PAGAR O 1º DOS 
3 PGTOS). Quanto deverá pagar se a taxa é de 50% a.a.? R. 
R$3.481,72 
VI - Perpetuidade 
 Perpetuidade é uma série infinita , cujos juros são constantes. 
 
100 100 100 100 100 
i = 10% 
i = 10% 
i = 10% 
i = 10% 
PV = 90,91 
PV = 82,65 
PV = 75,13 
PV = 68,30 
PV = ? 
i
FC
PV nperp 
PVperp = 100 / 0,10 
 
PVperp = 1.000 
VI - Perpetuidade 
 Se o fluxo constante e perpétuo tiver crescimento constante (g), tem-se que: 
 
gi
FC
PV nperp


Onde: 
 
 PVperp = valor presente do fluxo de caixa de uma perpetuidade com crescimento 
constante 
 FCn = fluxo de caixa no período ‘n’ 
 i = taxa de juros do fluxo 
 g = taxa de crescimento do fluxo na perpetuidade 
 
VI - Perpetuidade 
 Exemplo 1: Considerando uma taxa de 10% a.a., qual o valor presente de 
um fluxo infinito de R$ 100 com crescimento de 2% a.a. na perpetuidade? 
 
PVperp = 100 / (0,10 – 0,02) 
PVperp = 100 / 0,08 
PVperp = 1.250 
 
 
 Exercício 1: 
 Quanto você deve aplicar em um banco hoje para ter uma renda ad eternum 
mensal de R$ 1.200, considerando uma taxa de 1% a.m? 
 
 Exercício 2: 
 Uma empresa de alimentos deve gerar um fluxo de caixa de R$ 100 no seu 
primeiro ano, R$ 112 no segundo ano e R$ 115 no terceiro ano. A partir daí, 
a empresa espera crescer seu fluxo de caixa em 2% na perpetuidade. 
Considerando uma taxa de 10% a.a, qual é o valor presente dos fluxos de 
caixa da empresa? 
 
VI – Sistemas de Amortização 
Amortização é o processo pelo qual se extingue 
progressivamente uma dívida, mediante pagamento de 
uma série de prestações. 
 
Existem três principais tipos de Sistema de Amortização: 
 
(1) Sistema de Amortização Constante (SAC); 
 
(II) Sistema de Amortização Francês (ou Tabela Price); 
 
(III) Sistema de Amortização Americano 
 
VI – Sistemas de Amortização 
(I) SAC caracteriza-se por ter a parcela de amortização 
sempre igual. Exemplo: 
Amortizar R$ 3.000 em 3 meses com juros de 1% a.m. 
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 3.000 - - -
1
2
3
TOTAL
1.000
1.000
1.000
30 1.0302.000
20
10
1.020
1.010
1.000
0
3.000 60 3.060
VI – Sistemas de Amortização 
 itn
n
PV
JAP
JurosoAmortizaçãestação
itn
n
PV
i
n
PV
n
PV
PVJ
in
n
PV
i
n
PV
n
PV
PVJ
in
n
PV
i
n
PV
PVJ
iPVJuros
estaçõesdeNonesenteValorPVonde
n
PV
oAmortizaçã
t
*))1((1*
Pr
*))1((**...
...
*)2(**
*)1(**
*
Pr;Pr,
3
2
1


























VI – Sistemas de Amortização 
Também conhecido como Tabela Price, o Sistema Francês 
caracteriza-se por ter as prestações sempre iguais. 
Exemplo: Amortizar R$ 3.000 em 3 meses com juros de 
1%a.m. 
 
3000 CHS PV; 3 n; 1 i; 0 FV; PMT = ? PMT = 1.020,07
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 3.000 - - -
1
2
3
TOTAL
990,07
999,97
1009,97
3.000
30,00 1.020,072.009,93
20,10
10,10
60,20
1.020,07
1.020,07
3.060,20
1.009,96
0
VI – Sistemas de Amortização 












 









n
n
t
t
v
i
PV
i
v
PVestação
iAA
temponoonencialA
iPVPJPA
iPVJuros
JurosJestaçãoPonde
JPoAmortizaçã
1
*
1
*Pr
)1(*
exp
)*(
*
;Pr,
1
1
1
11
1
VI – Sistemas de Amortização 
 
iSDJ
iSDJ
iAPVJ
iPVJuros
JurosJestaçãoPonde
JPoAmortizaçã
tt *
...
*
*
*
;Pr,
1
12
12
1






VI – Sistemas de Amortização 





 














 







i
v
PSD
períododooAmortizaçãTempodeInícionoDevidoDevedorSaldo
v
i
PV
i
v
PVestação
iAA
temponoonencialA
iPVPJPA
tn
t
n
n
t
t
1
*
1
*
1
*Pr
)1(*
exp
)*(
1
1
1
11
VI – Sistemas de Amortização 
• No Sistema Americano, o principal é pago apenas no final 
do período e o juros pagos periodicamente. 
• Exemplo: Amortizar R$ 3.000 em 3 meses com juros de 
1% a.m. 
Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação
0 5.000 - - -
1
2
3
TOTAL
0
0
5.000
5.000
50 505.000
50
50
150
50
5.050
5.150
5.000
0
VI – Sistemas de Amortização 
• Exercício 1: ao financiar um apartamento de R$ 
400.000,00 em 5 anos com desembolsos anuais pelo 
sistema de amortização constante com taxa de juros de 
1% ao mês, qual será o valor dos desembolsos de cada 
ano? 
• Exercício 2: Uma instituição financeira está oferecendo 
um empréstimo de capital de giro para uma construtora 
com uma taxa de 2% ao mês pelo prazo de 6 meses. O 
valor do empréstimo é de R$ 200.000,00 e a amortização 
deve ser feita pelo sistema americano de amortização. 
Qual será o valor de cada prestação e o valor total pago 
pelo empréstimo? 
 
 
VI – Sistemas de Amortização 
• Exercício 3: você quer pagar uma dívida de R$ 300.000,00 
que você pegou para comprar seu apartamento. Essa 
dívida deve ser amortizada pela tabela price em 48 meses 
com uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Qual será o valorde cada prestação a pagar e o valor total pago para quitar 
essa dívida? 
 
• Exercício 4: Você financiou um aparelho de ar 
condicionado de R$1.000 em 4 meses pela tabela price. 
Considerando um juros de 1,2% a.m., qual o valor do 
juros pago na 3ª prestação e o valor total pago pelo ar 
condicionado? 
 
 
VI – Sistemas de Amortização 
• Exercício 5: Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel 
pelo valor de R$ 350.000,00. As condições de pagamento são as 
seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Sendo a taxa de juros mensal de 1,5%, determine o valor dos 
desembolsos mensais (amortização, juros e prestação) que devem 
ser efetuados caso os negócios sejam efetuados nessa situação 
 
 
1° mês R$ 70.000,00
2° mês R$ 50.000,00
3° mês R$ 80.000,00
4° mês R$ 60.000,00
5° mês R$ 90.000,00
VI – Sistemas de Amortização 
• Exercício 5: Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel 
pelo valor de R$ 350.000,00. As condições de pagamento são as 
seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Sendo a taxa de juros mensal de 1,5%, determine o valor dos 
desembolsos mensais (amortização, juros e prestação) que devem 
ser efetuados caso os negócios sejam efetuados nessa situação 
 
 
Avaliação de Investimentos 
 A avaliação de investimentos tem por objetivo analisar se um investimento é 
rentável ou não para o investidor; 
 
 Existem três métodos principais de avaliação de investimentos: 
 
 (1) Payback (Simples e Descontado) 
 
 (2) Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) 
 
 (3) Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) 
 
Taxa Mínima de Atratividade (TMA) 
 Um projeto de investimento só será interessante do ponto de vista econômico se a 
sua taxa de rendimento for superior à taxa do custo de capital; 
 
 Para analisar um projeto deve-se levar em conta a taxa de juros do mercado 
financeiro; 
 
 Custo de oportunidade do investimento: 
 
 Custo de Capital de uma empresa (ponderação de custo de terceiros e próprio) 
 Taxa de juros do mercado financeiro 
 
 Taxa do rendimento do projeto deve ser superior ao custo de oportunidade: 
 
 Taxa de Rendimento do Projeto = Taxa de Juros do Mercado Financeiro + 
Remuneração pelo Risco do projeto 
 
Payback 
 O Payback, ou Payback Simples, é utilizado para avaliar o período de recuperação 
de um investimento; 
 Exemplo 1: Uma empresa comprou uma máquina por R$ 150.000. A expectativa é 
que só esta máquina gere fluxos de caixa anuais de R$ 60.000. Qual o payback 
deste investimento? 
-150.000 
60.000 60.000 60.000 
• O retorno ocorre entre o 2° e o 3° ano 
• Divide-se o Investimento restante necessário 
• pelo retorno, que neste caso: 
 
30.000 / 60.000 = 0,5 (Inversão do Fluxo) 
 
Conclusão: Payback = 2,5 anos ou 2 anos e 6 meses 
 
Período Investimento Retorno
0 -150.000 -
1 -90.000 60.000
2 -30.000 60.000
3 30.000 60.000
t
t
t
FC
FC
FPj

 )1(
Payback 
 Limitações do Payback: 
 
 Não considera os fluxos de caixa futuros 
 
 Não considera o valor do dinheiro no tempo 
 
 Vantagens do Payback: 
 
 Rapidez de cálculo 
 
 Simplicidade: pode ser utilizado pelo nível operacional 
 
 
Payback Descontado 
 Diferentemente do Payback simples, o descontado considera o valor do tempo; 
 Utilizando uma taxa de 8% a.a., calcula-se o payback descontado do exemplo 
anterior: 
 
Período Investimento Retorno
Retorno 
Descontado
0 -150.000 - -
1 -94.444,44 60.000 55.555,56
2 -43.004,11 60.000 51.440,33
3 4.625,82 60.000 47.629,93
 
 
 
Nesse caso: 
43.004,11 / 47.629,93 
= 0,90 
Conclusão: Payback = 2,90 anos ou aproximadamente 2 anos e 11 meses 
-150.000 
60.000 60.000 60.000 
Payback 
 Critério de Decisão: Aceitar & Rejeitar 
 
 O período de payback obtido deve ser confrontado com o 
padrão limite da empresa; isto é,sua meta; 
 
 Como nos exemplo s anteriores , se empresa define um 
retorno de 2 anos, ambos os projetos devem ser aceitos? 
 
 NÃO, pois o retorno está acima do teto requisitado. 
 
 
 
 
Payback 
 Exercício 1: 
 Eduardo trabalha em uma indústria de ar condicionado. Essa 
indústria lançou uma nova máquina que consome menos 
energia, mas custa um pouco mais caro que seus 
concorrentes. Para vender para um determinado cliente, 
Eduardo fez os cálculos e defendeu que, se o cliente 
comprasse sua máquina, teria uma economia mensal de R$ 
1.200 na conta de energia. Considerando que a máquina de 
Eduardo tem uma vida útil de 10 anos e que ela custa R$ 
15.600 a mais que a do concorrente, você aconselharia ao 
cliente comprar essa máquina? Avalie de acordo com o 
método do Payback Simples. 
Payback 
 Exercício 2: Ricardo quer comprar um caminhão para fazer as 
entregas de sua indústria. O preço do caminhão é de R$ 
80.000 e a economia gerada com despesa de entrega através 
da compra do caminhão será de R$ 40.000 por ano. Calcule o 
payback descontado. Considere uma taxa de 12% ao ano. 
 
 Exercício 3: Rodrigo tem uma microempresa de biscoito e 
precisa comprar uma nova máquina para produzir biscoito tipo 
Waffer. A máquina custa R$ 90.000 e deve gerar um fluxo 
anual de 25.000. Ao final de sua vida útil de 5 anos, Rodrigo 
conseguirá vender a máquina por R$ 15.000. Calcule o 
payback descontado para a empresa de Rodrigo considerando 
uma taxa de 10% ao ano. 
 
Payback 
 Exercício 4: O CFO da empresa Valaquenta analisou duas 
propostas de investimentos , A e B. Cada projeto tem custo 
inicial de R$10.000,00. 
 (a) Qual projeto deve ser escolhido pelo método de payback 
simples? 
 (b) Se utilizar o payback descontado, a decisão continuaria a 
mesma? 
 ANO Projeto A Projeto B 
0 - R$10.000 - R$10.000 
1 R$7.500 R$4.000 
2 R$2.000 R$4.000 
3 R$1.500 R$4.000 
4 R$1.000 R$4.000 
Payback 
 Exercício 5: O Banco UBS analisou duas propostas de projeto 
de financiamento de infraestrutura, A e B. Cada projeto tem 
custo inicial de R$25.000,00, com fluxo de caixa abaixo. 
 (a) Qual projeto deve ser escolhido pelo método de payback 
simples? 
 (b) Se utilizar o payback descontado, a decisão continuaria a 
mesma? 
 
ANO Projeto A Projeto B 
0 - R$ 25.000 - R$25.000 
1 R$9.090,91 R$ 2.727,27 
2 R$ 6.611,57 R$ 4.133,23 
3 R$ 4.507,89 R$ 5.259,20 
4 R$ 3.415,07 R$ 6.146,12 
5 R$ 2.483,69 R$ 6.830,13 
Payback 
 Exercício 6: O CEO da Coteminas deve decidir duas propostas 
de projeto de investimentos, A e B. Considerando o custo de 
capital de 15% : 
 (a) Qual projeto deve ser escolhido pelo método de payback 
simples? 
 (b) Se utilizar o payback descontado, a decisão continuaria a 
mesma? 
 
ANO Projeto A Projeto B 
0 - R$30.000 - R$25.000 
1 R$ 10.000 R$6.000 
2 R$ 12.000 R$10.000 
3 R$ 14.000 R$12.000 
4 R$ 15.000 R$12.000 
5 R$ 8.000 R$ 10.000 
Valor Presente Líquido 
 Consiste em calcular o Valor Presente de cada um dos fluxos de caixa gerado pelo 
projeto ,considerando o custo de capital (custo de oportunidade). Em seguida esses 
valores são somados e subtraídos do investimento inicial. 
 
Investimento 
FC1 FC2 FC3 FC4 FCn 
... 
n
n
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
PV
)1(
...
)1()1()1()1( 4
4
3
3
2
2
1
1










toInvestimenPVVPL FC 
Valor Presente Líquido 
 Na prática, o VPL significa a geração de riqueza daquele 
investimento; 
 
 Do ponto de vista teórico, é o melhor método de 
avaliação de investimentos: 
 
 Se VPL > 0; o investimento / projeto deve ser aceito Se VPL < 0; o investimento / projeto NÃO deve ser aceito 
 
Valor Presente Líquido 
 Exemplo 1: Calcule o VPL do fluxo abaixo, dada a taxa de 5% ao período: 
 
200 
350 
200 
300 
-500 
1 2 3 4 
Solução na HP: 
500 CHS g CF0 
200 g CFj 
350 g CFj 
200 g CFj 
300 g CFj 
5 i 
F NPV = ? VPL = 427,51 
Solução no Excel: Fórmula ‘VPL’ 
 
=VPL(taxa;valor1;valor2;valor3;...)+(-
Investimento) 
 
=VPL(5%;200;350;200;300)+(-500) 
 
VPL = 427,51 
 
Valor Presente Líquido 
 Exemplo 2: Calcule o VPL do fluxo abaixo, dada a taxa de 8% ao período: 
 
250 
-500 
1 2 3 4 
Solução na HP: 
 
500 CHS g CF0 
250 g CFj 
4 g Nj 
8 i 
F NPV = ? VPL = 328,03 
Solução no Excel: Fórmula ‘VPL’ 
 
=VPL(taxa;valor1;valor2;valor3;...)+(-
Investimento) 
 
=VPL(8%;250; 250; 250; 250)+(-500) 
 
VPL = 328,03 
Valor Presente Líquido 
 Exercício 1: 
 Uma empresa está modernizando seu processo de fabricação 
e possui duas alternativas. A primeira consiste na 
automatização de uma de suas etapas, com investimento inicial 
de R$ 20.000,00. Esse investimento gerará uma economia 
anual de R$ 4.120,00 durante 10 anos consecutivos. A outra 
alternativa semi-automatiza essa etapa, no entanto possui 
investimento de R$ 10.000,00, mas gera uma economia de 
R$1.980,00. Desenhe o fluxo de caixa da operação e, com base 
no custo de oportunidade de 12%, calcule o valor presente 
líquido e avalie qual a melhor alternativa para a empresa. 
 
Valor Presente Líquido 
• Exercício 2: 
 Um corretor lhe ofereceu uma sala comercial para sua empresa que poderia ser 
paga das seguintes maneiras: 
a) R$ 50.000 à vista + 6 prestações semestrais de R$ 10.000 cada 
b) R$ 30.000 à vista + 12 prestações trimestrais de R$ 7.000 cada 
 Considerando uma taxa de 1,2% ao mês, qual seria a melhor forma de pagar 
a sala comercial 
Valor Presente Líquido 
 Exercício 3: Uma empresa quer comprar uma máquina e 
recebeu três propostas de diferentes fornecedores com seus 
respectivos fluxos de caixas esperados para o tempo de vida 
útil da máquina: 
 
Ano 
Fornecedor 
1 
Fornecedor 
2 
Fornecedor 
3 
0 (30.000) (28.500) (33.000) 
1 8.000 9.000 10.000 
2 12.000 9.000 11.000 
3 9.000 10.000 10.000 
4 13.000 12.000 15.000 
5 14.000 12.000 15.000 
 Com base nas propostas apresentadas, qual máquina seria a melhor opção de 
compra? Considere o custo de oportunidade de 9,00% ao ano. 
Taxa Interna de Retorno 
 É a taxa que torna o VPL = 0; ou seja, 
 PV das entradas – PV das saídas = 0 
 É uma boa alternativa de avaliação por ser intuitiva e 
comparável com outras taxas da economia; 
 Uma grande deficiência é considerar que os fluxos são 
reinvestidos pela própria TIR; 
 Regra: 
 
 Se TIR > Custo de Capital: aceita o projeto 
 
 Se TIR < Custo de Capital: não aceita o projeto 
 
Taxa Interna de Retorno 
 É viável um projeto com o fluxo de caixa abaixo considerando custo de capital de 
13%? 
 
200 
350 
200 
300 
-500 
1 2 3 4 
Solução na HP: 
500 CHS g CF0 
200 g CFj 
350 g CFj 
200 g CFj 
300 g CFj 
F IRR = ? TIR = 
36,43% 
Como TIR > Custo Capital: aceita o projeto 
Solução no Excel: Fórmula ‘TIR’ 
 
=TIR(valores;estimativa) 
 
TIR = 36,43% 
Taxa Interna de Retorno 
 Exercício 1: Um financiamento bancário internacional 
apresenta o seguinte fluxo de caixa do ponto de vista do 
banco financiador, em dólares. 
50.000 
76.000 
-200.000 
3 7 1 2 4 5 6 8 Anos 
 Admitindo uma taxa mínima de atratividade de 8% ao ano, calcule a TIR do 
financiamento. 
Taxa Interna de Retorno Modificada 
(TIRM) 
 Quando o fluxo de caixa tem mais de uma mudança de 
sinal, a TIR tem respostas múltiplas ; 
 Procura eliminar as desvantagens do método da TIR: 
 Respostas múltiplas quando há mais de uma mudança de sinal; 
 Não considera que os fluxos são reinvestidos à própria TIR. 
 Na prática, para o cálculo da TIRM, os fluxos negativos 
são levados a valor presente e os fluxos positivos são 
levados para o último período do fluxo. 
 
 Não existe cálculo direto na HP. No Excel a fórmula é 
MTIR (port) e MIRR (inglês) 
 
 
Taxa Interna de Retorno Modificada 
(TIRM) 
Custo de Oportunidade = 5% 
a.a. 
200 
350 
-200 
300 
-500 
1 2 3 
4 
-500 – 172,77 = - 672,77 
300 + 231,53 + 385,88 = 
917,41 
672,77 CHS g CF0 
0 g CFj 
3 g Nj 
917,41 g CFj 
f IRR = ? TIR = 
8,06% 
0 
VPL x TIR 
 Qual método utilizar para analisar investimentos? 
 
 Projetos Independentes: fluxos de caixa são independentes. 
A aceitação de um não depende do outro. 
 
 Projetos Mutuamente Excludentes: conjunto de projetos dos 
quais apenas um pode ser aceito. 
 
 Em projetos mutuamente excludentes, caso haja conflito entre VPL 
e TIR, opta-se pelo projeto com maior VPL. 
 
 
VPL x TIR 
 Exemplo: 
 Calcule a TIR e o VPL dos projetos abaixo. Considerando 
que são projetos mutuamente excludentes, qual projeto 
deve ser escolhido? Por quê? Custo de Oportunidade = 
10% a.a. 
 ANO PROJETO A PROJETO B 
0 -42.000 -45.000 
1 14.000 28.000 
2 14.000 12.000 
3 14.000 10.000 
4 14.000 10.000 
5 14.000 10.000 
VPL x TIR 
Projeto A 
 
42.000 CHS g CF0 
14.000 g CFj 
5 g Nj 
f IRR 
TIR = 19,86% 
 
10 i 
f NPV 
 
VPL = 11.071,01 
 
Projeto B 
 
45.000 CHS g CF0 
28.000 g CFj 
12.000 g CFj 
10.000 g CFj 
3 g Nj 
f IRR 
TIR = 21,65% 
 
10 i 
f NPV 
 
VPL = 10.924,40 
Opta-se pelo projeto A por ter maior VPL 
Taxa Interna de Retorno 
 Exercício 2: A empresa TipoGraf tem a opção entre a 
compra de três máquinas, cujos investimentos e fluxos de 
caixa anuais estão relacionados a seguir. Com base em um 
custo de oportunidade de 9,75% ao ano, calcule o VPL, a 
TIR e o Payback Simples. Qual a melhor opção para a 
empresa? 
Ano 
Fornecedor 
1 
Fornecedor 
2 
Fornecedor 
3 
0 -30.000 -28.500 -33.000 
1 8.000 9.000 10.000 
2 12.000 9.000 11.000 
3 9.000 10.000 10.000 
4 13.000 12.000 15.000 
5 14.000 12.000 15.000 
Exercícios de Revisão 
 Exercício 1: A empresa X possui um imposto sobre 
receitas no valor de 38%. Ela planeja um nova planta, a 
qual requererá um investimento inicial de R$ 3 milhões 
para gerar lucros sucessivos de R$ 1 milhão. De acordo 
com a Receita Federal, a empresa poderá deduzir da 
receita o valor de R$ 500.00,00 em impostos como 
depreciação. Sabendo que o ciclo de vida da nova planta é 
de 5 anos e assumindo uma taxa de juros de 10% a.a. , 
você recomendaria a construção desta nova planta? 
Exercícios de Revisão 
 Exercício 2: A empresa Bayside está considerando 
doisprojetos de investimento, cujos retornos são 
resumidos na tabela abaixo. Sabendo que o custo de 
capital esperado é de 12% a.a. , qual projeto deve ser 
escolhido? 
Ano Projeto 1 Projeto 2 
0 -25.000 -19.000 
1 7.000 6.000 
2 8.000 6.000 
3 9.000 6.000 
4 9.000 6.000 
5 5.000 6.000 
Exercícios de Revisão 
 Exercício 3: Considerando os dados do exercício 2, 
calcule: 
 (a) Calcule o TIR de ambos projetos; 
 (b) Se o custo de financiamento do projeto for de 
17%a.a., qual projeto deve ser considerado? 
 (c) Verificar se a taxa for 1% menor, o VPL(1) > 0; 
 (d) Verificar se a taxa for 1% maior o VPL(2) <0. 
 (e) Ilustre graficamente o VPL dos projetos 1 e 2; 
 (f) qual o valor da taxa que iguala os dois projetos? 
 (g) Se o custo de capital for maior que a taxa em (f), qualprojeto deve ser escolhido? 
Exercícios de Revisão 
 Exercício 4: Supondo a oportunidade de investimento 
que requer um desembolso de R$50.000,00, com uma 
expectativa de retorno igual a R$150.000,00 depois de 20 
anos, Pergunta-se: 
 (a) O investimento será rentável a um custo de capital 
igual a 6%a.a.? E a 5.5%a.a.? 
 (b) Qual o custo de capital, no qual o investidor será 
indiferente? 
Exercícios de Revisão 
 Exercício 5: Considerando o fluxo de caixa abaixo, 
calcule: 
 
 
 
 (a) Esse projeto possui várias taxas internas de retorno? 
Quantas? Quais são respectivos valores? 
 (b) Esboce o gráfico. 
 (c) Calcule a nova TIR de forma a resolver esta dicotomia, 
dado um custo de capital igual a 10%a.a.. 
Ano Projeto 1 
0 -500 
1 4.000 
2 -5.000