Mat Fin - Aula 02 - Descontos simples. Taxa de desconto efetiva. Equivalência Simples de Capitais.

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Olá pessoal! 
Conforme a nossa programação, estudaremos nesta aula os Descontos 
Simples e Equivalência Simples de Capitais. 
São assuntos de grande relevância em matéria de concursos. Além 
disso, um bom aprendizado desta aula nos ajudará bastante no bom 
entendimento dos Descontos Compostos e Equivalência Composta de 
Capitais. 
Descontos Simples 
Imagine que você tem uma dívida de R$ 10.000,00 para ser paga daqui 
a dois anos. Mas você foi aprovado no seu tão sonhado concurso e 
decidiu liquidar a sua divida com o primeiro salário. É justo você pagar 
R$ 10.000,00 mesmo pagando dois anos antes da data combinada? É 
óbvio que não! Daí surge a pergunta: Quanto eu devo pagar hoje a 
minha dívida de R$ 10.000,00? 
Essa é uma situação típica de uma operação de desconto. Desconto é 
o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando ela é 
negociada antes da data de vencimento. Notas promissórias, 
duplicatas, letras de câmbio são alguns documentos que atestam 
dívidas e são chamados títulos de créditos. Esses títulos apresentam os 
seguintes conceitos de valores: 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
É o valor que está escrito no título. 
É o valor que deve ser pago na 
data do vencimento. 
Valor Atual, Valor Presente, 
Valor Líquido, Valor Descontado 
(A) 
O valor líquido é obtido pela 
diferença entre o valor nominal e o 
desconto. 
 
Desconto (D) 
Desconto é o abatimento que se 
faz no valor de uma dívida quando 
ela é negociada antes da data de 
vencimento. É a diferença entre o 
valor nominal e o valor atual. 
 
Para caracterizar uma operação de desconto, devemos saber qual é o 
tempo de antecipação do pagamento. Esse tempo de antecipação 
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será denotado pela letra “n”. E já que estamos “transportando” uma 
quantia no tempo, devemos saber qual é a taxa percentual que fará 
esse transporte. A taxa do desconto será denotada pela letra “i”. 
 
O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto 
racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto 
racional é o desconto “teoricamente” correto. Existe também o 
desconto comercial ou desconto por fora. É o desconto sem 
fundamentação teórica, mas muito praticado no mercado financeiro. 
Pode ainda ser simples ou composto. Isso gera quatro tipos de 
descontos: 
Î Desconto Racional Simples 
Î Desconto Racional Composto 
Î Desconto Comercial Simples 
Î Desconto Comercial Composto 
 
Existe uma diferença entre o desconto comercial e o chamado 
desconto bancário. O desconto bancário leva em conta também 
despesas administrativas (ou impostos) cobradas pelos bancos para a 
efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto bancário é 
uma modalidade de desconto comercial, acrescida de taxas e 
despesas administrativas. 
Para se responder qualquer questão sobre descontos, devemos saber 
qual é a modalidade do desconto (racional ou comercial) e o regime 
da operação (simples ou composto). Nesta aula, falaremos apenas dos 
descontos simples. 
Quando a questão nada falar acerca do regime trabalhado, 
adotaremos a convenção de usar o regime simples. 
E quanto à modalidade do desconto? Adiante falaremos que o 
desconto racional simples equivale a uma operação de juros simples. 
Então se o enunciado deixar claro que a taxa percentual de desconto é 
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na realidade uma taxa de juros, devemos inferir que se trata de uma 
operação de desconto racional. Caso contrário, trata-se de uma 
operação de desconto comercial. Essa convenção também será 
utilizada quando estudarmos os descontos compostos. 
Não importa qual o tipo de desconto que estamos trabalhando: o valor 
atual sempre será igual ao valor nominal menos o desconto. Esse 
raciocínio é válido para os quatro tipos de desconto. 
A N D= − 
Voltando ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. E 
quando você foi ao banco negociar a dívida, seu gerente disse que 
você ia ter um desconto de R$ 2.000,00. Logicamente, você irá pagar 
R$ 8.000,00. 
10.000 2.000 8.000A N D= − = − = 
Alternativamente, podemos dizer que o desconto é a diferença entre os 
valores nominal e atual. 
D N A= − 
Voltemos ao nosso exemplo. Você tinha uma dívida de R$ 10.000,00. Foi 
ao banco e eles disseram que a dívida poderia ser quitada hoje por 
R$ 8.000,00. Podemos, então, concluir que o desconto dado pelo banco 
foi de R$ 2.000,00. 
10.000 8.000 2.000D N A= − = − = 
Falarei agora separadamente sobre cada um dos tipos de descontos e 
em seguida resolverei questões diversas de concursos passados. 
Comecemos pelo desconto racional simples ou desconto simples por 
dentro. 
Então para deixar bem clara a situação: Existe uma dívida para ser 
paga em alguma data futura. O valor dessa dívida é chamado de 
VALOR NOMINAL (N). Quero antecipar o pagamento dessa dívida. 
Obviamente, se eu antecipar o pagamento da dívida, pagarei um 
valor menor do que o valor nominal. O valor que será acordado para 
que o pagamento seja antecipado será denominado VALOR ATUAL (A). 
A diferença entre o valor nominal e o valor atual é denominada 
DESCONTO (D). 
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Desconto Racional Simples (por dentro) 
A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente 
a uma operação de juros simples. 
Enquanto que na operação de juros simples, o nosso objetivo é projetar 
um valor presente para o futuro, na operação de desconto racional 
simples teremos como objetivo projetar o Valor Nominal para a data 
atual. 
O desconto simples por dentro ou desconto simples racional é obtido 
aplicando-se a taxa de desconto ao valor atual do título, ou seja, 
corresponde ao juro simples sobre o valor atual durante o tempo que 
falta para o vencimento do título. 
Já que o desconto racional simples equivale à operação de juros 
simples, podemos fazer um desenho comparativo. 
 
 
Æ O valor atual do desconto racional simples corresponde ao capital 
inicial da operação de juros simples. 
Æ O valor nominal do desconto racional simples corresponde ao 
montante da operação de juros simples. 
Æ O desconto da operação de desconto racional simples corresponde 
ao juro da operação de juros simples. 
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Podemos dizer que o valor nominal é o montante do valor atual em uma 
operação de juros simples em que o juro é igual ao desconto racional 
simples!! 
Correspondência entre os elementos das operações 
Juros Simples Desconto Racional Simples (por 
dentro) 
Capital Inicial (C) Valor Atual (A) 
Montante (M) Valor Nominal (N) 
Juro (J) Desconto (D) 
 
Vamos então “deduzir” as fórmulas da operação de desconto racional 
simples (por dentro). 
Juros Simples: J C i n= ⋅ ⋅ 
 
Desconto Racional Simples: 
 
Juros Simples: (1 )M C i n= ⋅ + ⋅ 
 
Desconto Racional Simples: 
 
 
 
E não podemos nos esquecerque a taxa e o tempo devem estar 
sempre na mesma unidade! 
 
De acordo com as fórmulas explicitadas acima, só podemos calcular o 
desconto racional simples se soubermos o valor atual. Vamos então 
D A i n= ⋅ ⋅  
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅
 
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deduzir uma fórmula para calcular o desconto racional simples em 
função do valor nominal. 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
O fator (1+i.n) que está “multiplicando” no segundo membro, “passará 
dividindo” para o primeiro membro. 
(1 )
N A
i n
=+ ⋅ 
Devemos agora substituir essa expressão na fórmula D A i n= ⋅ ⋅ . 
 
1
ND i n
i n
= ⋅ ⋅+ ⋅ 
 
 
 
 Logo, 
 
Portanto, há três expressões básicas que precisamos saber em uma 
operação de desconto racional simples. São elas: 
 
 
 
Vejamos um exemplo: 
01. (BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com 
antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa 
de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.666,67 
1
N i nD
i n
⋅ ⋅= + ⋅  
D A i n= ⋅ ⋅   (1 )N A i n= ⋅ + ⋅  
1
N i nD
i n
⋅ ⋅= + ⋅  
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c) R$ 32.000,00 
d) R$ 40.000,00 
e) R$ 160.000,00 
Resolução 
Lembre-se sempre que uma operação de desconto racional equivale a 
uma operação de juros simples, de tal forma que o valor atual equivale 
ao capital inicial e o valor nominal equivale ao montante. 
Além disso, a questão usou alguns “apelidos” do valor atual e do valor 
nominal. Vamos relembrar: 
Valor Nominal, Valor de Face, 
Valor Futuro (N) 
Valor Atual, Valor Presente, 
Valor Líquido, Valor Descontado (A) 
 
Então, já que a questão está pedindo o valor de face, queremos, 
portanto, o valor nominal. Já os R$ 8.000,00 que a questão chamou de 
valor descontado nós estamos acostumados a chamá-lo de valor atual. 
De posse dessas informações, podemos desenhar o diagrama abaixo. 
 
Utilizaremos a fórmula (1 )N A i n= ⋅ + ⋅ que é idêntica à fórmula do 
montante em juros simples. A taxa é igual a 5% = 0,05 ao mês. 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
8.000 (1 0,05 5)N = ⋅ + ⋅ 
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10.000,00N = 
Letra A 
02. (AFRE-MG 2005 ESAF) Um cheque pré-datado é adquirido com um 
desconto de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes 
de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operação 
considerando um desconto simples por dentro. 
a) 6,25%. 
b) 6%. 
c) 4%. 
d) 5%. 
e) 5,5%. 
Resolução 
O enunciado não informou o valor do cheque pré-datado. Isso mostra 
que o seu valor não influenciará a resposta. Portanto, em situações 
como essa, podemos assumir certo valor para o cheque, para que os 
nossos cálculos tornem-se mais fáceis. É costume em matemática, 
principalmente em questões que envolvem porcentagem, utilizarmos o 
valor R$ 100,00. 
Portanto, admita por hipótese que o VALOR NOMINAL do cheque é igual 
a R$ 100,00. Esse valor é o que está escrito no cheque (valor de face). 
Se o cheque está sendo adquirido quatro meses antes do seu 
vencimento com um desconto de 20%, então o cheque será resgatado 
por R$ 80,00 (já que 20% de R$ 100,00 são iguais a R$ 20,00). R$ 80,00 é, 
portanto, o valor atual do cheque. Obviamente, o valor do desconto foi 
de R$ 20,00 (100 – 80). 
Além disso, o enunciado deixou explicito que estamos trabalhando com 
um desconto racional simples. Podemos desenhar, então, o seguinte 
diagrama: 
 
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Lembre-se que a operação de desconto racional simples equivale a 
uma operação de juros simples. 
Juros Simples: J C i n= ⋅ ⋅ 
 
Desconto Racional Simples: 
 
 
Dessa forma, 20 80 4i= ⋅ ⋅ 
 
20
320
i =
 
Para transformar essa taxa em termos percentuais, devemos multiplicá-
la por 100%. 
20 2.000100% % 6, 25%
320 320
i = ⋅ = = 
Letra A 
03. (BNB 2003 – ACEP) José tomou emprestado R$ 10.000,00, 
pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada 
foi de 30% a.a. Qual valor José pagaria a dívida 5 meses antes do 
vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a 
taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples 
racional? 
a) R$ 16.000,00 
b) R$ 13.800,00 
c) R$ 17.600,00 
d) R$ 14545,45 
e) R$ 14.800,00 
Resolução 
Primeiramente vamos resumir os dados do enunciado. 
D A i n= ⋅ ⋅  
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O valor do empréstimo é o valor atual da operação. A = 10.000,00 
Taxa de juros do empréstimo: 30% a.a. 
Tempo para pagamento do empréstimo: 2 anos. 
Prazo de antecipação do pagamento do empréstimo: 5 meses 
Taxa de desconto racional: 24% a.a. 
O próximo passo é saber quanto José se comprometeu a pagar daqui a 
2 anos. Queremos saber o montante em uma operação de juros 
simples. Esse valor do montante será o valor nominal da dívida (que 
depois será renegociada). 
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ 
10.000 (1 0,30 2)M = ⋅ + ⋅ 
16.000M = 
Ou seja, o valor nominal da dívida é igual a R$ 16.000,00. De posse 
desse valor, deixe-me “recontar” o enunciado. 
José tem uma dívida de R$ 16.000,00 para ser paga daqui a 2 anos. 
Quanto José deve pagar se ele quer antecipar o pagamento 5 meses 
antes do vencimento a uma taxa de juros simples de 24% a.a.? 
Ou seja, temos agora uma operação de desconto racional simples, já 
que existe uma dívida que será antecipada usando uma taxa de juros 
simples. Comentei anteriormente que o desconto racional simples 
EQUIVALE, ou seja, é a mesma coisa que uma operação de juros 
simples. 
Temos um valor nominal N = 16.000,00 que será antecipado 5 meses a 
uma taxa de juros simples igual a 24% a.a. = 2% a.m. Observe que para 
transformar a taxa anual para taxa mensal basta dividir por 12. 
Queremos saber o valor atual do desconto racional simples. 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
Portanto, 1
NA
i n
= + ⋅ 
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16.000 16.000 14545, 45
1 0,02 5 1,1
A = = =+ ⋅ 
Letra D 
04. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 
10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de 
desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do 
título? 
a) R$ 60.000,00. 
b) R$ 46.157,00. 
c) R$ 56.157,0 
d) R$ 50.000,00. 
e) R$ 55.000,00. 
Resolução 
Sabemos que no desconto simples por dentro a taxa é incidida sobre o 
valor atual. Assim, 
ܦ ൌ ܣ · ݅ · ݊ 
10.000 ൌ ܣ · 0,04 · 5 
10.000 ൌ ܣ · 0,2 
ܣ ൌ
10.000
0,2
ൌ 50.000 
Dessa forma, o valor nominal será dado por 
N = A + D = 50.000 + 10.000 = 60.000,00 
Letra A 
05. (UnB/CESPE – PMCE 2008) Julgue o item seguinte. Caso um título de 
R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o 
regime de juros simples e à taxa dejuros de 12% ao ano, então o valor 
do desconto racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. 
 
Resolução 
A operação de desconto racional simples, por definição, é equivalente 
a uma operação de juros simples. 
Temos três fórmulas básicas no desconto racional simples. Uma que 
relaciona o desconto com o valor atual. ࡰ ൌ ࡭ · ࢏ · ࢔ 
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A segunda fórmula relaciona o valor de face (N) com o valor atual (A): 
ࡺ ൌ ࡭ · ሺ૚ ൅ ࢏ · ࢔ሻ. 
A terceira fórmula relaciona o desconto (D) com o valor de face (N). 
ࡰ ൌ
ࡺ · ࢏ · ࢔
૚ ൅ ࢏ · ࢔
 
É justamente dessa formula que precisamos para resolver essa questão. 
Observe que a taxa é de 12% ao ano e que o tempo de antecipação é 
de 3 meses. Para que possamos utilizar a fórmula acima, devemos ter 
uma conformidade entre a taxa e o tempo. Como a taxa é de 12% ao 
ano, e o ano tem 12 meses, então a taxa mensal será de 1% (12%/12). 
Temos os seguintes dados da questão: 
ܰ ൌ 15.000, ݅ ൌ 0,01, ݊ ൌ 3 ݉݁ݏ݁ݏ. 
Logo, o desconto racional simples será 
ܦ ൌ
15.000 · 0,01 · 3
1 ൅ 0,01 · 3
ൌ
450
1,03
؆ 436,89 
Portanto, o item está errado, pois 436,89 < 450,00. 
06. (Economista – IBRAM – UnB/CESPE - 2009) Com relação a desconto, 
julgue o item abaixo. Considere que um título de valor nominal igual a 
R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois 
meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é 
de 36% ao ano e se o desconto considerado é o racional (ou por 
dentro), então a quantia que o devedor está deixando de pagar por 
liquidar o título antecipadamente é inferior a R$ 290,00. 
 
Resolução 
 
O título será descontado dois meses antes da data de vencimento. E já 
que a taxa nominal é de 36% ao ano, devemos transformá-la em uma 
taxa mensal. O ano possui 12 meses, então a taxa mensal é de 3% = 
0,03. 
 
A quantia que o devedor está deixando de pagar é o que 
denominamos desconto. 
 
Sabemos que é válida a seguinte expressão para o desconto racional. 
 
ܦ ൌ
ܰ · ݅ · ݊
1 ൅ ݅ · ݊
 
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ܦ ൌ
5.000 · 0,03 · 2
1 ൅ 0,03 · 2
؆ 283,02 
 
Como 283,02 < 290,00, então o item está certo. 
07. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal – Vitória – 2007 – Unb/ Cespe) 
Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do 
vencimento, um título de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for 
usado o desconto racional simples à taxa de 60% ao ano, a pessoa 
deve pagar menos de R$ 6.300,00. 
 
Resolução 
 
O que a pessoa deve pagar na antecipação de um título é o que 
chamamos de valor atual ou valor descontado. 
 
Temos então um título com o valor nominal (N) de R$ 7.800,00 e 
queremos descontá-lo a uma taxa de 60% ao ano. Já que o tempo de 
antecipação é de quatro meses, devemos transformar a taxa anual 
para taxa mensal. Considerando que o ano tem 12 meses, a taxa de 
60% ao ano é equivalente a uma taxa de 5% = 0,05 ao mês (60%/12 = 
5%). 
 
Sabemos que em um desconto racional simples (por dentro) é válida a 
seguinte relação: 
 
ܰ ൌ ܣ · ሺ1 ൅ ݅. ݊ሻ 
 
Logo, 
 
ܣ ൌ
ܰ
ሺ1 ൅ ݅. ݊ሻ
ൌ
7.800
1 ൅ 0,05 · 4
ൌ
7.800
1,2
ൌ 6.500,00 
 
 
O item está errado. 
 
Desconto Comercial Simples (por fora) 
Vimos que o desconto racional simples equivale a uma operação de 
juros simples. Na operação de juros simples, a taxa de juros incide sobre 
o capital inicial. Obviamente, no desconto racional simples (que 
equivale ao juro simples) a taxa incide sobre o valor atual. 
Imagine que você fosse aplicar alguma quantia no banco e o gerente 
te dissesse que a taxa de juros iria incidir sobre o montante (valor final). 
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Estranho ou não? Pois é justamente o que acontece no desconto 
comercial simples. A taxa não incide sobre o valor atual como em uma 
operação de juros simples. No caso do desconto comercial a taxa 
incide sobre o valor nominal (valor futuro). É justamente por isso que o 
desconto comercial simples não é o “teoricamente” correto, mas é 
usado em larga escala no mercado financeiro. 
Os elementos da operação de desconto comercial simples são os 
mesmos do desconto racional simples. A única coisa que vai mudar é o 
fato de a taxa incidir sobre o valor nominal. Portanto, o desconto 
comercial simples será dado por 
 
 
 
Em qualquer tipo de desconto, o valor atual é igual ao valor nominal 
menos o desconto. 
A N D= − 
Substituindo a primeira expressão na segunda: 
A N N i n= − ⋅ ⋅ 
Finalmente colocando o “N” em evidência: 
 
 
 
08. (TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 
16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 
0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de 
resgate será: 
a) R$ 14.850,00 
b) R$ 16.119,29 
c) R$ 16.335,00 
d) R$ 16.665,32 
e) R$ 18.233,50 
D N i n= ⋅ ⋅  
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅  
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Resolução 
O desconto simples bancário é, nesse caso, o mesmo que o desconto 
comercial simples (por fora). Nesse caso, podemos utilizar a fórmula 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ 
Perceba que a taxa e o tempo estão na mesma unidade de tempo. 
Portanto, não há alterações a fazer nos dados do enunciado. 
0,0216.500 1 50
100
A ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ 
16.335,00A = 
Letra C 
09. (AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu 
vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial 
simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais 
próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: 
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês. 
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês. 
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. 
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. 
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês. 
Resolução 
O primeiro passo é colocar a taxa e o tempo na mesma unidade. 
Podemos, por exemplo, colocar a taxa e o tempo em meses. 
45 dias correspondem a 1 mês e meio. Ou seja, 45 d = 1,5 m. 
Já em relação à taxa, para transformar a taxa anual em taxa mensal 
basta dividi-la por 12. Assim, i = 60%/12 = 5% = 0,05 ao mês. 
O valor descontado (valor atual) é igual a R$ 370.000,00. 
Da teoria exposta sobre desconto comercial simples, sabemos que: 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ 
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370.000
1 1 0,05 1,5
AN
i n
= =− ⋅ − ⋅ 
400.000N = 
O problema ainda pergunta qual é a taxa efetiva da operação. O que 
é a taxa efetiva??? 
A taxa de desconto efetiva nada mais é do que a taxa de juros simples 
que aplicada ao valor descontado do título, durante um prazo 
equivalente ao que falta para o vencimento, produz como montante o 
valor nominal do título. 
??? 
Ou seja, a taxa efetiva é igual a taxa de desconto racional simples que 
produz o mesmo valor atual no mesmo tempo de antecipação. Ou, se 
preferir, pode aplicar uma capitalização simples sobre o valor atual 
para gerar o valor nominal. 
(1 )eM C i n= ⋅ + ⋅ 
(1 )eN A i n= ⋅ + ⋅ 
400.000 370.000 (1 1,5)ei= ⋅ + ⋅ 
Pode-se dividir ambos os membros por 10.000 ou “cortar 4 zeros”. 
40 37 (1 1,5)ei=⋅ + ⋅ 
40 37 55,5 ei= + ⋅ 
55,5 3ei⋅ = 
3
55,5e
i = 
Para transformar em taxa percentual multiplicamos por 100%. 
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3 300100% %
55,5 55,5e
i = ⋅ = 
5,4% . .i a m≅ 
Letra B 
ATENÇÃO!!!!!! 
Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva a partir do seu 
conceito, colocarei a sua disposição uma fórmula indispensável para 
ganhar tempo. Lembre que nos últimos 10 minutos da sua prova você 
vai implorar por um pouco mais de tempo. Então, vamos aprender a 
ganhar tempo. Guarde bem essa fórmula porque nem todos os livros a 
descreve. 
A taxa efetiva para o desconto simples comercial é dada por 
1e
ii
i n
= − ⋅ 
Onde i é a taxa do desconto! 
Um detalhe: essa fórmula só poderá ser utilizada se não houver taxas 
administrativas ou impostos cobrados pelo banco!! 
Vamos resolver novamente a segunda parte desse quesito. 
A taxa é de 5% ao mês durante 1,5 meses. 
0,05 5,4%
1 1 0,05 1,5e
ii
i n
= = ≅− ⋅ − ⋅ 
 
10. (Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de 
R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três 
meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto 
aplicada. 
a) 6% 
b) 5% 
c) 4% 
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d) 3,3% 
e) 3% 
Resolução 
Sabemos que a taxa de desconto no desconto comercial simples é 
incidida sobre o valor nominal. Dessa forma, o desconto é dado por 
D N i n= ⋅ ⋅ 
Como estamos querendo calcular a taxa mensal do desconto. 
Podemos “isolar” a taxa na fórmula acima. O “N” e o “n” que estão 
multiplicando “vão para o outro membro dividindo”. Assim, 
Di
N n
= ⋅ 
O enunciado nos forneceu o valor nominal (R$ 20.000,00), o desconto 
(R$ 1.800,00) e o tempo de antecipação (três meses). Já que o tempo 
de antecipação é dado em meses, obviamente a taxa será mensal. E 
lembre-se que para transformar a taxa em termos percentuais devemos 
multiplicá-la por 100%. 
1.800 100%
20.000 3
i = ⋅⋅ 
180.000%
60.000
i = 
3% a.m.i = 
Letra E 
11. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto 
comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 
18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de 
saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na 
data do desconto e que termina na data do vencimento da 
promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor 
líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor 
nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser 
 
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(A) 5.104 
(B) 5.191 
(C) 5.250 
(D) 5.280 
(E) 5.344 
Resolução 
Trata-se de um desconto bancário simples. O desconto bancário leva 
em conta também despesas administrativas cobradas pelos bancos 
para a efetivação da operação de desconto. Ou seja, o desconto 
bancário é uma modalidade de desconto comercial, acrescida de 
taxas e despesas administrativas. 
Podemos afirmar que o valor líquido recebido (V) é igual ao valor 
nominal menos as despesas administrativas e menos o desconto por 
fora. As despesas administrativas são calculadas como se não houvesse 
desconto por fora, ou seja, o percentual incidirá sobre o valor nominal. 
Da mesma forma, o desconto por fora será efetuado como se não 
houvesse despesas administrativas. 
Portanto, 
F BV N D D= − − , onde DF é o desconto por fora e DB são as taxas 
e as despesas administrativas cobradas pelo banco. Lembrando que o 
desconto comercial simples (por fora) é dado por D = N.i.n, 
0,07 0,01V N N i n N N= − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ 
Além disso, o tempo de antecipação (2 meses e 20 dias) pode ser 
escrito como 80 dias (30+30+20). 
Observação: O mês comercial possui 30 dias e o ano comercial possui 
30x12 = 360 dias. 
Assim, a taxa de 18% = 0,18 ao ano para ser escrita sob a forma de taxa 
diária deverá ser dividida por 360. 
Ou seja, 
0,18
360
i = . 
Ufa! Voltemos à nossa expressão. 
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7% 1%V N N i n N N= − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ 
O valor líquido recebido foi igual a R$ 4.620,00. 
0,18 80 0,07 0,01 4.620
360
N N N N− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ = 
1 0,04 0,07 0,01 4.620N N N N⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = 
Já que 1 – 0,04 – 0,07 – 0,01 = 0,88, temos que 
0,88 4.620N⋅ = 
4.620 5.250
0,88
N = =
 
Letra C 
12. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um 
banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. 
Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa 
operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, 
(A) 5,26% 
(B) 3,76% 
(C) 3,12% 
(D) 2,75% 
(E) 2,63% 
Resolução 
A questão envolve o cálculo da taxa efetiva em uma operação de 
desconto simples comercial. Basta aplicar a fórmula descrita 
anteriormente: 
0,025 0,025 2,5%100% 2,63%
1 1 0,025 2 0,95 0,95e
ii
i n
= = = ⋅ = ≅− ⋅ − ⋅ 
Mas de qualquer forma, é bom saber resolver das duas maneiras. Nunca 
se sabe o que pode acontecer na hora da prova (esquecer a fórmula, 
por exemplo). 
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A taxa efetiva é a taxa de juros que aplicada sobre o valor líquido gera 
um montante igual ao valor de face. 
Além disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide 
sobre o valor nominal. E a fórmula que envolve o valor líquido e o valor 
de face é dada por 
(1 )A N i n= ⋅ − ⋅ 
2,51 2
100
A N ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,95A N= ⋅ 
Faremos agora uma capitalização simples em que o capital inicial é 
igual a A e o montante é igual a N. 
(1 )M C i n= ⋅ + ⋅ 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
0,95 (1 2)N N i= ⋅ + ⋅ 
1 0,95 (1 2)i= ⋅ + ⋅ 
1 0,95 1,9 i= + ⋅ 
1,9 0,05i⋅ = 
0,05 5%100%
1,9 1,9
i = ⋅ =
 
2,63%i ≅ 
Letra E 
Um pouco mais trabalhoso, não !? 
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Relação entre os descontos simples por fora e por dentro 
Como o desconto simples comercial (por fora) é calculado sobre o 
valor nominal, ao passo que o desconto simples racional é calculado 
sobre o valor atual, é fácil constatar que, quando calculados nas 
mesmas condições, o desconto simples por fora será sempre maior do 
que o por dentro. Isso porque o valor nominal é sempre maior do que o 
valor atual. 
Acompanhe o raciocínio: Quanto maior o desconto, menor o valor 
atual do título. Pode-se concluir que o valor atual do desconto simples 
comercial é sempre menor do que no desconto simples por dentro (por 
isso é tão utilizado no mercado financeiro: experimente trocar um 
cheque e veja onde é incidida a taxa – no valor nominal). 
Assim, considerando-se uma mesma taxa de desconto, é mais 
vantajoso para o adquirente do título (o banco, ou uma empresa de 
factoring, por exemplo) utilizar o desconto bancário (daí o “apelido” do 
desconto comercial) do que o desconto racional. 
Bom... Chega de filosofia! Vamos ao que interessa. Vejamos a seguir 
qual é a relação entre os descontos simples por fora e por dentro,quando calculados nas mesmas condições, ou seja, à mesma taxa de 
desconto e pelo mesmo prazo para o vencimento do título. 
Para diferenciar, chamarei de DF o desconto simples por fora 
(comercial) e DD o desconto simples por dentro (racional). 
Vimos anteriormente que 
 e 
1D F
N i nD D N i n
i n
⋅ ⋅= = ⋅ ⋅+ ⋅ 
Logo, 
1
F
D
DD
i n
= + ⋅ 
( )1F DD D i n= ⋅ + ⋅ 
13. (Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto 
simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a 
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uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, 
calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. 
a) R$ 1.000,00 
b) R$ 950,00 
c) R$ 927,30 
d) R$ 920,00 
e) R$ 900,00 
Resolução 
Para quem conhece a fórmula que mostrei anteriormente, a questão é 
facílima!! 
( )1F DD D i n= ⋅ + ⋅ 
O enunciado nos forneceu o valor do desconto comercial simples (por 
fora) que é igual a R$ 981,00, a taxa que é igual a 3% = 0,03 ao mês e o 
tempo de antecipação que é igual a 3 meses. 
( )981 1 0,03 3DD= ⋅ + ⋅ 
981 1,09DD= ⋅ 
981 900
1,09D
D = =
 
 Letra E 
14. (AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve 
sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do 
seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto 
comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, 
considerando a mesma taxa de desconto mensal. 
a) R$ 890,00 
b) R$ 900,00 
c) R$ 924,96 
d) R$ 981,00 
e) R$ 1.090,00 
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Resolução 
A taxa de desconto será igual nas duas operações. 
A primeira operação é um desconto comercial simples com valor 
nominal R$ 10.900,00, desconto igual a R$ 981,00 e tempo de 
antecipação igual a 3 meses. Como sabemos que o desconto 
comercial simples é dado por FD N i n= ⋅ ⋅ , então 
 981 10.900 3i= ⋅ ⋅ 
981 32.700 i= ⋅ 
981 0,03
32700
i = = 
Já que a taxa utilizada será a mesma nos dois descontos, e a questão 
trocou o desconto comercial simples por um desconto racional simples, 
podemos calcular esse novo desconto com a fórmula 
( )1F DD D i n= ⋅ + ⋅ 
( )981 1 0,03 3DD= ⋅ + ⋅ 
981 1,09DD= ⋅ 
981 900
1,09D
D = = 
Letra B 
Questão copiada!!! Mesma banca... Mesmo ano.. Mesma questão... 
Mesmos valores!!! 
Essa é a importância de resolver questões anteriores da banca!! 
As questões frequentemente são repetidas... 
 
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Equivalência Simples de Capitais 
Antes de qualquer coisa, deixe-me definir formalmente o que significa 
“equivalência de capitais”. 
Dois ou mais conjuntos de capitais, com datas diferentes, são ditos 
equivalentes quando, transportados para uma mesma data, a uma 
mesma taxa de juros, produzem, nessa data, valores iguais. 
Por exemplo: Imagine que você deve pagar uma dívida em duas 
prestações. A primeira no valor de R$ 50.000,00, vencível daqui a 3 anos, 
e a segunda, no valor de R$ 40.000,00, a pagar daqui a 5 anos. Mas 
você passou no seu tão sonhado concurso e deseja trocar esse débito 
por dois outros iguais, pagáveis daqui a 1 ano e 2 anos, 
respectivamente. É óbvio que você não vai pagar R$ 90.000,00 (40 mil + 
50 mil). Você irá pagar um valor menor. É aquela máxima: quem tem 
dinheiro economiza, quem não tem pagará juros. E já que você agora é 
auditor fiscal vamos saldar essa dívida e economizar!! 
Para responder os valores que você pagará, o problema precisa deixar 
claro outras duas informações: a taxa de juros e a data focal. A taxa de 
juros já é nossa conhecida. E o que é a data focal? É a data de 
referência. 
Qual a necessidade de existir uma data de referência? 
Não é permitido em Matemática Financeira comparar valores que 
estão em datas diferentes. Para ilustrar bem essa situação, basta voltar 
para a pergunta que te fiz na aula passada: 
Você prefere receber R$100.000,00 hoje ou daqui a 20 anos? 
Obviamente receber R$ 100.000,00 hoje não é a mesma coisa que 
receber esse valor daqui a 20 anos. 
 E o enunciado é obrigado a informar qual é a data focal. Se o 
enunciado nada dispuser acerca da data focal, por convenção, 
adotamos que a data focal é 0 (hoje). 
Ressalte-se ainda que, a juros simples, dois conjuntos de capitais 
equivalentes em uma determinada data focal não o serão em outra 
data focal. 
Teremos aqui ainda nossas antigas preocupações. Temos que saber o 
regime da equivalência: se é simples ou composto. 
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E mais... 
Toda questão de equivalência é resolvida com o auxílio das operações 
de desconto. Por isso, o problema deve deixar “pistas” acerca da 
modalidade de desconto. E então, usaremos o que foi dito 
anteriormente. Lembra que o desconto racional simples é a mesma 
coisa que uma operação de juros simples? Então, se o enunciado falar 
algo sobre taxa de juros, saberemos que se trata de uma equivalência 
que utiliza desconto racional, caso contrário, usaremos o desconto 
comercial. 
Para esquematizar os problemas que envolvem entradas e saídas de 
capitais ao longo do tempo, utilizamos gráficos que contém setas com 
sentidos contrários e que representam entradas e saídas de dinheiro no 
caixa em diferentes momentos. Esses gráficos são chamados fluxos de 
caixa. 
E a melhor maneira de aprender equivalência de capitais é resolvendo 
problemas. Vamos à prática! 
15. (AFTN – ESAF - 1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de 
juros simples de 10% ao mês). O valor total dos pagamentos a serem 
efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais 
prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em 
duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do 
total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda 
parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será 
paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do 
valor financiado é: 
a) $ 816,55 
b) $ 900,00 
c) $ 945,00 
d) $ 970,00 
e) $ 995,00 
Resolução 
O enunciado já deixou claro que estamos trabalhando no regime 
simples. 
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E qual o valor das parcelas? A primeira é de 70% do total dos 
pagamentos, ou seja, 
70 1400 980
100
⋅ = . A segunda parcela é de 30% 
do total dos pagamentos, ou seja, 
30 1400 420
100
⋅ = . 
Quando uma pessoa faz um financiamento (empréstimo), ela pega o 
valor na data zero (hoje) e se compromete a pagar em datas futuras. 
Então, temos duas formas para quitar o empréstimo: 
i) Devolver o valor (X) do financiamento no momento do contrato. Ou 
seja, você recebe o dinheiro e no mesmo momento devolve. 
ii) Pagar uma parcela de R$ 980,00 ao final do quarto mês e a segunda 
parcela de R$ 420,00 ao final do décimo primeiro mês. 
Temos o seguinte diagrama: 
 
O conceito de equivalência de capitais nos diz que pagar X na data zero 
equivale a pagar $ 980,00 no 4º mês e $ 420,00 no 11º mês. 
O conceito diz ainda que os dois conjuntos de capitais são 
equivalentes:não são iguais. Não podemos dizer que X = 980 + 420. Isso 
porque não podemos somar quantias em épocas diferentes. A 
Matemática Financeira não permite operações com quantias em 
épocas diferentes. R$ 100.000,00 hoje não é a mesma coisa que R$ 
100.000,00 daqui a 20 anos. Para que possamos comparar os dois 
conjuntos de capitais, devemos compará-los em uma mesma data. Essa 
data é o que chamamos de data focal, a data de referência. 
No regime simples o problema é obrigado a dizer qual é a data focal, a 
data de referência. Quando não o fizer, adotaremos a data zero como 
data focal. É o que faremos nessa questão. 
 
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Logo, devemos transportar todos os valores para a data zero. Dessa 
forma, posso afirmar que X é igual a $ 980 transportado para a data 
zero mais $ 420 transportado para a data zero. E como fazemos esse 
transporte? Os transportes das quantias ao longo do tempo nos 
problemas de equivalência são feitos através de operações de 
desconto. Portanto devemos saber se o desconto será racional ou 
comercial. Para isso, o enunciado nos deu uma dica: disse que a taxa 
era uma taxa de juros simples. E nós sabemos que juro simples é o 
mesmo que desconto racional simples. 
Nosso próximo passo será fazer o transporte das quantias. Vamos fazê-lo 
separadamente. 
i) 1ª parcela: $ 980,00 
 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
980 (1 0,10 4)P= ⋅ + ⋅ 
980 1, 4P= ⋅ 
980 700
1,4
P = =
 
 
Isso quer dizer que pagar $980,00 daqui a 4 meses é o mesmo que pagar R$ 
700,00 hoje! 
ii) 2ª parcela: $ 420,00 
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(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
420 (1 0,10 11)Q= ⋅ + ⋅ 
420 2,1Q= ⋅ 
200Q = 
Isso quer dizer que pagar $420,00 daqui a 11 meses é o mesmo que 
pagar R$ 200,00 hoje! 
Dessa maneira, o valor que devo pagar hoje será X= 700 + 200 = 900. 
Letra B 
16. (AFRF 2002 ESAF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital 
de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinquenta dias, mais o capital de 
R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 
4.000,00 que venceu há 20 dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. 
a) R$ 10.940,00 
b) R$ 11.080,00 
c) R$ 12.080,00 
d) R$ 12.640,00 
e) R$ 12.820,00 
Resolução 
Para resolver questões de equivalência é importantíssimo desenharmos 
o fluxo de caixa. 
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O enunciado forneceu uma taxa diária e os tempos estão todos em 
“dias”. Não há necessidade de alterações. 
Outro fato importante: o enunciado colocou (na última linha) que está 
sendo utilizada uma taxa de juros simples. Portanto, o regime adotado 
será o simples. 
Toda questão de equivalência de capitais é resolvida mediante 
operações de desconto. Diante disso, precisamos descobrir qual é a 
modalidade do desconto. 
O enunciado foi omisso quanto à modalidade do desconto. Mas 
lembre-se que o desconto racional simples equivale a uma operação 
de juros simples. E na última linha o enunciado deixou explicito que a 
taxa utilizada é uma taxa de juros. Portanto, o desconto utilizado será o 
desconto racional simples (por dentro). 
Agora em relação à data focal. No regime simples o enunciado é 
obrigado a dizer qual é a data de referência. Não falou explicitamente 
“a data focal é...”, mas disse “Indique qual o capital hoje equivalente 
ao...”, portanto a data focal será 0 (hoje). 
E como se resolve uma questão de equivalência de capitais? Devemos 
transportar os dois conjuntos de capitais para a mesma data. Que 
data? A DATA FOCAL!! 
O primeiro conjunto de capitais, o que está abaixo da linha do tempo 
no fluxo de caixa já está na data focal. Nada precisamos fazer. 
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Vamos agora transportar o segundo conjunto de capitais (setas 
vermelhas) para a data focal 0. 
Vejamos cada um dos capitais componentes: 
i) R$ 4.000,00 
 
Lembre-se que o desconto racional simples equivale a uma operação 
de juros simples. 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
0,14.000 (1 20)
100
P = ⋅ + ⋅ 
4.080P = 
Isso quer dizer que o capital de R$ 4.000,00 que venceu há 20 dias, hoje 
vale R$ 4.080,00. 
ii) R$ 4.620,00 
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(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
0,14.620 1 50
100
Q ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ 
4.620 1,05Q= ⋅ 
4.400Q = 
Ou seja, o capital de R$ 4.620,00, que vencerá daqui a 50 dias, vale hoje R$ 
4.400,00. 
iii) R$ 3.960,00 
 
(1 )N A i n= ⋅ + ⋅ 
0,13.960 1 100
100
R ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ 
3.960 1,1R= ⋅ 
3.600R = 
 
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Temos, agora, o seguinte fluxo de caixa: 
 
A equivalência simples de capitais não é um assunto muito comum em 
provas de concursos, mas a teoria servirá de base para o entendimento 
da equivalência composta de capitais. Este sim, é um assunto muito 
comum em provas e que é de fundamental importância para o estudo 
das rendas certas. 
Aconselho que você dê uma olhada na minha parte aberta do site. 
Coloquei várias resoluções de provas de Matemática Financeira do ano 
de 2010. 
Um abraço e até a próxima aula. 
Guilherme Neves 
guilherme@pontodosconcursos.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
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Questões comentadas nesta aula 
01. (BNB 2004 – ACEP) Em uma operação de desconto racional com 
antecipação de 5 meses, o valor descontado foi de R$ 8.000,00 e a taxa 
de desconto foi 5% ao mês. Qual o valor de face desse título? 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.666,67 
c) R$ 32.000,00 
d) R$ 40.000,00 
e) R$ 160.000,00 
02. (AFRE-MG 2005 ESAF) Um cheque pré-datado é adquirido com um 
desconto de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes 
de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operação 
considerando um desconto simples por dentro. 
a) 6,25%. 
b) 6%. 
c) 4%. 
d) 5%. 
e) 5,5%. 
03. (BNB 2003 – ACEP) José tomou emprestado R$ 10.000,00, 
pretendendo saldar a dívida após dois anos. A taxa de juros combinada 
foi de 30% a.a. Qual valor José pagaria a dívida 5 meses antes do 
vencimento combinado sem prejuízo para o banco se nesta época a 
taxa de juros simples anual fosse 24% e fosse utilizado desconto simples 
racional? 
a) R$ 16.000,00 
b) R$ 13.800,00 
c) R$ 17.600,00 
d) R$ 14545,45 
e) R$ 14.800,00 
04. (AFT 2010 ESAF) Um título sofre um desconto simples por dentro de R$ 
10.000,00 cinco meses antes do seu vencimento a uma taxa de 
desconto de 4% ao mês. Qual o valor mais próximo do valor nominal do 
título? 
a) R$ 60.000,00. 
b) R$ 46.157,00. 
c) R$ 56.157,0 
d) R$ 50.000,00. 
e) R$ 55.000,00. 
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05. (UnB/CESPE – PMCE 2008) Julgueo item seguinte. Caso um título de 
R$ 15.000,00 seja resgatado 3 meses antes de seu vencimento, sob o 
regime de juros simples e à taxa de juros de 12% ao ano, então o valor 
do desconto racional, ou por dentro, será superior a R$ 450,00. 
 
06. (Economista – IBRAM – UnB/CESPE - 2009) Com relação a desconto, 
julgue o item abaixo. Considere que um título de valor nominal igual a 
R$ 5.000,00, com vencimento em um ano, esteja sendo liquidado dois 
meses antes. Nesse caso, se a taxa nominal de juros simples corrente é 
de 36% ao ano e se o desconto considerado é o racional (ou por 
dentro), então a quantia que o devedor está deixando de pagar por 
liquidar o título antecipadamente é inferior a R$ 290,00. 
 
07. (Auditor Fiscal do Tesouro Municipal – Vitória – 2007 – Unb/ Cespe) 
Considere que uma pessoa pretenda quitar, 4 meses antes do 
vencimento, um título de valor nominal de R$ 7.800,00. Nesse caso, se for 
usado o desconto racional simples à taxa de 60% ao ano, a pessoa 
deve pagar menos de R$ 6.300,00. 
 
08. (TCE – Piauí 2002 – FCC) Uma duplicata, de valor nominal R$ 
16.500,00, será descontada 50 dias antes do vencimento, à taxa de 
0,02% ao dia. Se for utilizado o desconto simples bancário, o valor de 
resgate será: 
a) R$ 14.850,00 
b) R$ 16.119,29 
c) R$ 16.335,00 
d) R$ 16.665,32 
e) R$ 18.233,50 
09. (AFC 2005 – ESAF) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu 
vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial 
simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do título e o valor mais 
próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: 
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês. 
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês. 
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano. 
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano. 
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês. 
 
10. (Fiscal de Fortaleza – 2003 – ESAF) Um título no valor nominal de 
R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1800,00 três 
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meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto 
aplicada. 
a) 6% 
b) 5% 
c) 4% 
d) 3,3% 
e) 3% 
11. (BNDES 2009 CESGRANRIO) Uma promissória sofrerá desconto 
comercial 2 meses e 20 dias antes do vencimento, à taxa simples de 
18% ao ano. O banco que descontará a promissória reterá, a título de 
saldo médio, 7% do valor de face durante o período que se inicia na 
data do desconto e que termina na data do vencimento da 
promissória. Há ainda IOF de 1% sobre o valor nominal. Para que o valor 
líquido, recebido no momento do desconto, seja R$ 4.620,00, o valor 
nominal, em reais, desprezando-se os centavos, deverá ser 
(A) 5.104 
(B) 5.191 
(C) 5.250 
(D) 5.280 
(E) 5.344 
12. (CEF 2004 FCC) Em suas operações de desconto de duplicatas, um 
banco cobra uma taxa mensal de 2,5% de desconto simples comercial. 
Se o prazo de vencimento for de 2 meses, a taxa mensal efetiva nessa 
operação, cobrada pelo banco, será de, aproximadamente, 
(A) 5,26% 
(B) 3,76% 
(C) 3,12% 
(D) 2,75% 
(E) 2,63% 
13. (Fiscal PA 2002 – ESAF) Uma nota promissória sofre um desconto 
simples comercial de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento, a 
uma taxa de desconto de 3% ao mês. Caso fosse um desconto racional, 
calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa. 
a) R$ 1.000,00 
b) R$ 950,00 
c) R$ 927,30 
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d) R$ 920,00 
e) R$ 900,00 
14. (AFPS 2002 – ESAF) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve 
sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do 
seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto 
comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, 
considerando a mesma taxa de desconto mensal. 
a) R$ 890,00 
b) R$ 900,00 
c) R$ 924,96 
d) R$ 981,00 
e) R$ 1.090,00 
15. (AFTN – ESAF - 1996) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de 
juros simples de 10% ao mês). O valor total dos pagamentos a serem 
efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais 
prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em 
duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do 
total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda 
parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será 
paga ao final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do 
valor financiado é: 
a) $ 816,55 
b) $ 900,00 
c) $ 945,00 
d) $ 970,00 
e) $ 995,00 
16. (AFRF 2002 ESAF) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital 
de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinquenta dias, mais o capital de 
R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 
4.000,00 que venceu há 20 dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. 
a) R$ 10.940,00 
b) R$ 11.080,00 
c) R$ 12.080,00 
d) R$ 12.640,00 
e) R$ 12.820,00 
 
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Gabaritos 
01. Letra A 
02. Letra A 
03. Letra D 
04. Letra A 
05. Errado 
06. Certo 
07. Errado 
08. Letra C 
09. Letra B 
10. Letra E 
11. Letra C 
12. Letra E 
13. Letra E 
14. Letra B 
15. Letra B 
16. Letra C