Mat Fin - Aula 05 - Rendas Uniformes. Rendas Perpétuas.

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Aula 5 
1  Séries Uniformes ................................................................................................................... 2 
1.1  Conceito ........................................................................................................................ 2 
1.2  Elementos de uma série uniforme ........................................................................... 2 
1.3  Classificação das Séries Uniformes ........................................................................ 2 
1.4  Representação em Fluxo de Caixa ......................................................................... 2 
1.5  Valor Futuro ou Montante de uma renda certa (F) ................................................ 3 
1.6  Valor Atual ou Valor Presente de uma renda certa (A) ........................................ 4 
1.7  Rendas Certas Perpétuas ou Perpetuidades ......................................................... 5 
1.8  Exercícios Resolvidos ................................................................................................ 7 
2  Tabelas Financeiras ............................................................................................................. 24 
3  Relação das questões comentadas nesta aula .................................................................... 25 
4  Gabaritos ............................................................................................................................. 30 
 
   
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1 Séries Uniformes 
1.1 Conceito 
 
O principal objetivo da Matemática Financeira é a movimentação do dinheiro na 
linha do tempo. Nas aulas anteriores, vimos que um conjunto de diferentes 
capitais podem se transformar em outros conjuntos equivalentes. 
Estudaremos nesta aula algumas sequências particulares de capitais. A esses 
casos particulares denominamos sequências ou séries uniformes. Há quem 
denomine também de rendas certas ou anuidades. 
Em diversas situações, surge uma série de valores iguais que serão pagos ou 
recebidos em períodos iguais. O seguinte fluxo de caixa ilustra uma série 
uniforme de N pagamentos iguais a P (utilizaremos a letra P, pois na 
calculadora financeira HP-12C esses pagamentos são denominados PMT - 
 Periodic Payment Amount (valor do pagamento periódico, em inglês). 
1.2 Elementos de uma série uniforme 
• Intervalo de tempo de pagamento: é o intervalo de tempo entre dois 
pagamentos. 
• Anuidade ou Renda: é o valor de cada pagamento efetuado em 
intervalos de tempos iguais. 
1.3 Classificação das Séries Uniformes 
 
• Rendas Temporárias: Número de pagamentos finito. 
• Perpétuas: Número de pagamentos infinito. 
• Antecipadas: Pagamentos efetuados no início de cada período (no ato 
do negócio). 
• Postecipadas: Pagamentos efetuados no final de cada período (um 
período após a negociação do negócio). 
• Imediata: Quando o primeiro pagamento é efetuado no primeiro período. 
• Diferida: Quando houver carência para o pagamento da primeira 
anuidade. 
1.4 Representação em Fluxo de Caixa 
 
O modelo que estudaremos como padrão será o de renda temporária, imediata e 
postecipada. 
 
Eis o fluxo de caixa correspondente. 
 
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1.5 Valor Futuro ou Montante de uma renda certa (F) 
 
Para calcular o montante de uma renda certa, devemos efetuar o transporte de 
todas as quantias para a data n. Lembre-se que para avançar um valor para o 
futuro multiplicamos por ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢔. 
 
 
 
 
 
 
 
ܨ ൌ ܲ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ܲ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵ 
ܨ ൌ ܲ · ሾ1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵሿ 
A expressão dentro dos colchetes é a soma de uma Progressão Geométrica tal 
que: 
Î O primeiro termo é igual a 1. 
Î A razão é igual a ሺ૚ ൅ ࢏ሻ࢔ 
Devemos aplicar a fórmula da soma de uma P.G. finita que consta na página 3 
da aula 4. 
ܵ௡ ൌ
ܽଵ · ሺݍ௡ െ 1ሻ
ݍ െ 1
 
1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵ ൌ
1 · ሺሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1ሻ
ሺ1 ൅ ݅ሻ െ 1
 
1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵ ൌ
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅
 
Assim, 
P P P P P  P P P P P P 
n n‐1 8 7 6 5 4 3 2 1 
F 
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ܨ ൌ ܲ · ሾ1 ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻଶ ൅ ڮ ൅ ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ିଵሿ 
ܨ ൌ ܲ ·
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅
 
O número ሺଵା௜ሻ
೙ିଵ
௜
 é denominado fator de valor futuro de séries uniformes ou 
fator de acumulação de capitais em uma série de pagamentos. 
O número ሺଵା௜ሻ
೙ିଵ
௜
 é representado por ݏ௡൓௜ ݋ݑ ݏሺ݊, ݅ሻ. 
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor futuro em 
rendas certas: 
ܨ ൌ ܲ ·
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅
 ݋ݑ ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
 
1.6 Valor Atual ou Valor Presente de uma renda certa (A) 
 
Para calcular o Valor Atual ou Presente de uma renda certa basta efetuar o 
transporte do valor futuro F para a data 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para retroceder um valor para o presente dividimos por (1 )ni+ . 
ܣ ൌ
ܨ
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
 
ܣ ൌ ܨ ·
1
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
 
ܣ ൌ ܲ ·
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅
·
1
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
 
P P P P P  P P P P P P 
n n‐1 8 7 6 5 4 3 2 1 
F 
A 
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ܣ ൌ ܲ ·
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
 
O número ሺଵା௜ሻ
೙ିଵ
ሺଵା௜ሻ೙·௜
 é denominado fator de valor atual de séries uniformes ou 
simplesmente fator de valor atual. 
O número ሺଵା௜ሻ
೙ିଵ
ሺଵା௜ሻ೙·௜
 é representado por ܽ௡൓௜ ݋ݑ ܽሺ݊, ݅ሻ. 
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor atual em 
rendas certas: 
ܣ ൌ ܲ ·
ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ െ 1
݅ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡
 ݋ݑ ܣ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜ 
 
Estudaremos na próxima aula o Sistema de Amortização Francês que é 
praticamente o mesmo problema do valor atual de uma série de pagamentos. 
Neste assunto, nosso principal objetivo será calcular o valor de P em função de 
A. 
ܣ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜ 
ܲ ൌ
ܣ
ܽ௡൓௜
 
ܲ ൌ ܣ ·
1
ܽ௡൓௜
 
O número ଵ
௔೙൓೔
 é chamado de Fator de Recuperação do Capital. Esta 
nomenclatura é muito utilizada em provas da Fundação Carlos Chagas, como 
veremos na próxima aula. 
1.7 Rendas Certas Perpétuas ou Perpetuidades 
 
Neste caso, o número de pagamentos P tende ao infinito. 
Observe que não há sentido em falar no Valor Futuro de uma perpetuidade, 
visto que este valor tende ao infinito. 
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Para calcular o valor atual de uma perpetuidade, devemos transportar todos os 
valores para a data 0. 
ܣ ൌ
ܲ
1 ൅ ݅
൅
ܲ
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
ܲ
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
ܲ
ሺ1 ൅ ݅ሻଷ
൅ ڮ 
ܣ ൌ ܲ · ൤
1
1 ൅ ݅
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଷ
൅ ڮ ൨ 
A expressão dentro dos colchetes do segundo membro constitui a soma de 
uma progressão geométrica infinita com: 
i) Primeiro termo: ଵ
ଵା௜
 
ii) Razão: ଵ
ଵା௜
 
Na página 4 da aula 4 vimos que se ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷ, … , ܽ௡, … ሻ é uma P.G. com razão 
െ1 ൏ ݍ ൏ 1, então: 
ܵ ൌ ܽଵ ൅ ܽଶ ൅ ڮ ൅ ܽ௡ ൅ ڮ ൌ
ܽଵ1 െ ݍ
 
Assim, 
ܵ ൌ
1
1 ൅ ݅
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଷ
൅ ڮ 
ܵ ൌ
1
1 ൅ ݅
1 െ 11 ൅ ݅
ൌ
1
1 ൅ ݅
1 ൅ ݅ െ 1
1 ൅ ݅
ൌ
1
1 ൅ ݅
݅
1 ൅ ݅
ൌ
1
1 ൅ ݅
·
1 ൅ ݅
݅
ൌ
1
݅
 
Temos então: 
ܣ ൌ ܲ · ൤
1
1 ൅ ݅
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଶ
൅
1
ሺ1 ൅ ݅ሻଷ
൅ ڮ ൨ 
ܣ ൌ ܲ · ܵ 
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ܣ ൌ
ܲ
݅
 
 
 
 
 
1.8 Exercícios Resolvidos 
 
01. (MDIC 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas 
mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o 
montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao 
fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao 
mês? 
a) R$ 7.455,96 
b) R$ 7.600,00 
c) R$ 7.982,12 
d) R$ 8.270,45 
e) R$ 9.000,00 
Resolução 
O objetivo desta questão é calcular a prestação de uma série uniforme de 
pagamentos de forma que o montante seja R$ 100.000,00. 
Nesta prova, a ESAF forneceu as tabelas financeiras. 
Sabemos que o montante de uma série uniforme de pagamentos é dado por: 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
Serão 12 prestações (݊ ൌ 12) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao 
mês. 
100.000 ൌ ܲ · ݏଵଶ൓ଶ% 
ܲ ൌ
100.000
ݏଵଶ൓ଶ%
 
De acordo com a tabela fornecida na prova, ݏଵଶ൓ଶ% ൌ 13,412090. 
ܲ ൌ
100.000
13,412090
ൌ 7.455,96 
Letra A 
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02. (INSS 2002/ESAF) Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser 
depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 2% 
ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de 
dez meses. 
 
a) R$ 5.825,00 
b) R$ 5.000,00 
c) R$ 4.782,00 
d) R$ 4.566,00 
e) R$ 3.727,00 
Resolução 
O objetivo desta questão é calcular a prestação de uma série uniforme de 
pagamentos de forma que o montante seja R$ 50.000,00. 
Nesta prova, a ESAF forneceu as tabelas financeiras. 
Sabemos que o montante de uma série uniforme de pagamentos é dado por: 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
Serão 10 prestações (݊ ൌ 10) e a taxa de juros compostos é igual a 2% ao 
mês. 
50.000 ൌ ܲ · ݏଵ଴൓ଶ% 
ܲ ൌ
50.000
ݏଵ଴൓ଶ%
 
De acordo com a tabela fornecida na prova, ݏଵ଴൓ଶ% ൌ 10,949721. 
ܲ ൌ
50.000
10,949721
؆ 4.566,00 
Letra D 
03. (CVM 2003/FCC) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 
10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do 
último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor único 
feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, 
durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de 
valor único é de 
a) R$ 217.272,00 
b) R$ 231.816,00 
c) R$ 254.998,00 
d) R$ 271.590,00 
e) R$ 289.770,00 
Resolução 
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O montante ou valor futuro da série de pagamentos é dado por: 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
ܨ ൌ 20.000 · ݏଵ଴൓ଵ଴% 
ܨ ൌ 20.000 · 15,9374 ൌ 318.748,00 
Observação: ݏଵ଴൓ଵ଴% foi fornecido na prova. 
Queremos determinar o capital C tal que: 
ܥ · ሺ1 ൅ ݅ሻ௡ ൌ 318.748 
A taxa é de 25% ao ano e será aplicado durante 12 meses (1 ano). 
ܥ · ሺ1 ൅ 0,25ሻଵ ൌ 318.748 
ܥ · 1,25 ൌ 318.748 
ܥ ൌ 254.998,00 
Letra C 
04. (TRF 2006/ESAF) Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos 
mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por 
outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o 
primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor 
do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros 
compostos de 3% ao mês. 
 
a) R$ 500,00 
b) R$ 535,00 
c) R$ 542,00 
d) R$ 559,00 
e) R$ 588,00 
Resolução 
Já que as duas anuidades são equivalentes, então os valores atuais são iguais. 
ܣଵ ൌ ܣଶ 
ଵܲ · ଼ܽ൓ଷ% ൌ ଶܲ · ܽଵ଺൓ଷ% 
1.000 · 7,019692 ൌ ଶܲ · 12,561102 
ଶܲ ൌ
1.000 · 7,019692
12,561102
؆ 558,84 
Letra D 
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05. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções é 
 
a) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
 
Resolução 
 
Resolvê-la-emos agora utilizando o conceito de anuidades. 
O valor atual da série de 2 pagamentos iguais é R$ 41.600,00. 
ܣ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜ 
41.600 ൌ ܺ · ܽଶ൓଼% 
ܺ ൌ
41.600
ܽଶ൓଼%
ൌ
41.600
1,783265
ൌ 23.328,00 
Letra E 
06. (DNOCS 2010/FCC) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada 
ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de 
juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se 
que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a 
a) R$ 52.800,00 
b) R$ 52.246,00 
c) R$ 55.692,00 
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d) R$ 61.261,20 
e) R$ 63.888,00 
Resolução 
O objetivo é calcular o valor futuro (montante) de uma série de 4 depósitos. 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
ܨ ൌ 12.000 · ݏସ൓ଵ଴% 
ܨ ൌ 12.000 · 4,641 ൌ 55.692,00 
Letra C 
 
 
07. (Fiscal de Rendas SP 2009/FCC) Uma programação de investimento 
consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais 
efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será 
feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos 
montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de 
cada depósito é igual a 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.500,00 
c) R$ 11.000,00 
d) R$ 11.500,00 
e) R$ 12.000,00 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
43.692,00 
0  1  2 
3 
P P P 
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Observe que os pagamentos são efetuados no início de cada ano. Assim, 
devemos transportar o montante que se encontra três anos após a data 
do primeiro pagamento para o ano 2. Para isso, devemos dividir o valor 
do montante por ሺ૚ ൅ ࢏ሻ૚. Devemos efetuar esse transporte porque a 
exigência do nosso modelo é de que o montante seja calculado na data 
do último pagamento. 
 
 
 
 
ܸ݈ܽ݋ݎ ݂ݑݐݑݎ݋ ݊ܽ ݀ܽݐܽ 2 ൌ
43.692
1,10
ൌ 39.720 
 
 
 
 
 
 
O montante da série de pagamentos na data 2 é R$ 39.720,00. 
ܨ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
39.720 ൌ ܲ · ݏଷ൓ଵ଴% 
ܲ ൌ
39.720
ݏଷ൓ଵ଴%
ൌ
39.720
3,31
ൌ 12.000 
Letra E 
08. (Instituto de Resseguros do Brasil 2004/ESAF) Uma série de doze valores 
monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de tempo representa 
o fluxo de caixa esperado de uma alternativade investimento. Considerando 
que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$ 
30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo 
período, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período. 
(Despreze os centavos) 
 
a) R$ 94.152,00 
b) R$ 85.593,00 
P P P 
39.720,00 
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c) R$ 77.812,00 
d) R$ 70.738,00 
e) R$ 66.000,00 
Resolução 
Utilizaremos para resolver esta questão o mesmo raciocínio que foi feito na 
seção 1.6 na demonstração da fórmula para o valor atual em uma série 
uniforme de pagamentos. Foi dado o valor atual da série e para calcular o valor 
futuro devemos efetuar o transporte deste valor para a data do último 
pagamento. Lembre-se que para avançar uma quantia para o futuro devemos 
multiplicar seu valor por ሺ1 ൅ ݅ሻ௡. 
Dessa forma: 
ܨ ൌ ܣ · ሺ1 ൅ ݅ሻଵଶ 
ܨ ൌ 30.000 · ሺ1 ൅ 0,10ሻଵଶ ൌ 94.152,00 
Letra A 
09. (ATE-MS 2001/ESAF) A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente 
durante seis meses; a quantia de R$ 2.000,00 é aplicada mensalmente durante 
os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de R$ 3.000,00 é aplicada 
mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do montante 
das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as 
aplicações foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa 
de juros compostos de 4% ao mês? 
a) R$ 41.040,00 
b) R$ 47.304,00 
c) R$ 51.291,00 
d) R$ 60.000,00 
e) R$ 72.000,00 
Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, 
R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 
mensalmente durante mais seis meses. 
Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas 
que tratamos na exposição teórica porque os pagamentos não possuem os 
mesmos valores. Devemos, portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar 
as fórmulas de anuidades. 
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em 
pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. 
Observe o terceiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em 
pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. 
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, teremos três anuidades: 
i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܨଵ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
ܨଵ ൌ 1.000 · ݏଵ଼൓ସ% ൌ 1.000 · 25,645413 ൌ 25.645,41 
ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܨଶ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
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ܨଶ ൌ 1.000 · ݏଵଶ൓ସ% ൌ 1.000 · 15,025805 ൌ 15.025,80 
iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܨଷ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
ܨଷ ൌ 1.000 · ݏ଺൓ସ% ൌ 1.000 · 6,632975 ൌ 6.632,97 
Assim, o valor futuro total é dado por: 
ܨ ൌ ܨଵ ൅ ܨଶ ൅ ܨଷ 
ܨ ൌ 25.645,41 ൅ 15.025,80 ൅ 6.632,97 ൌ 47.304,18 
Letra B 
10. (AFRF 2002/ESAF) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um 
banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 
mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente 
durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 
1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas 
renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo 
do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro. 
a) R$ 36.000,00 
b) R$ 38.449,00 
c) R$ 40.000,00 
d) R$ 41.132,00 
e) R$ 44.074,00 
Resolução 
Questão idêntica em anos seguidos! 
Segue abaixo o fluxo de caixa que representa o enunciado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 1.000,00 durante seis meses, 
R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 
mensalmente durante mais seis meses. 
Utilizaremos o mesmo raciocínio da questão anterior. Aliás, a resolução é 
idêntica, apenas mudando a taxa de juros. 
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em 
pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. 
Observe o terceiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em 
pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. 
 
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, teremos três anuidades: 
i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܨଵ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
ܨଵ ൌ 1.000 · ݏଵ଼൓ଶ% ൌ 1.000 · 21,412312 ൌ 21.412,31 
ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܨଶ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
ܨଶ ൌ 1.000 · ݏଵଶ൓ଶ% ൌ 1.000 · 13,412090 ൌ 13.412,09 
iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܨଷ ൌ ܲ · ݏ௡൓௜ 
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ܨଷ ൌ 1.000 · ݏ଺൓ଶ% ൌ 1.000 · 6,308121 ൌ 6.308,12 
Assim, o valor futuro total é dado por: 
ܨ ൌ ܨଵ ൅ ܨଶ ൅ ܨଷ 
ܨ ൌ 21.412,31 ൅ 13.412,09 ൅ 6.308,12 ൌ 41.132,52 
Letra D 
 
 
11. (AFRF 2002/ESAF) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do 
primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada 
período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 
12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento 
é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto 
racional é de 4% ao período. 
a) R$ 33.448,00 
b) R$ 31.168,00 
c) R$ 29.124,00 
d) R$ 27.286,00 
e) R$ 25.628,00 
Resolução 
Questão da mesma prova que a questão anterior e muito parecida. 
Eis o fluxo de caixa do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos os seguintes conjuntos de aplicações: R$ 3.000,00 durante seis 
períodos, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis períodos seguintes e R$ 
1.000,00 mensalmente durante mais seis períodos. 
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Ora, este conjunto de aplicações não se encaixa no modelo de rendas certas 
que tratamos na exposição teórica porque os pagamentos não possuem os 
mesmos valores. Devemos, portanto, efetuar alguns ajustes para poder aplicar 
as fórmulas de anuidades. 
Observe o segundo conjunto de capitais (R$ 2.000,00). Podemos separá-lo em 
pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. 
Observe o primeiro conjunto de capitais (R$ 3.000,00). Podemos separá-lo em 
pagamentos de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00. 
 
O fluxo de caixa tomará a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dessa forma, teremos três anuidades: 
i) 18 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܣଵ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜ 
ܣଵ ൌ 1.000 · ܽଵ଼൓ସ% ൌ 1.000 · 12,659297 ൌ 12.659,30 
ii) 12 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܣଶ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜ 
ܣଶ ൌ 1.000 · ܽଵଶ൓ସ% ൌ 1.000 · 9,385074 ൌ 9.385,07 
iii) 6 pagamentos de R$ 1.000,00 
ܣଷ ൌ ܲ · ܽ௡൓௜ 
ܣଷ ൌ 1.000 · ܽ଺൓ସ% ൌ 1.000 · 5,242137 ൌ 5.242,14 
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Assim, o valor atual total é dado por: 
ܣ ൌ ܣଵ ൅ ܣଶ ൅ ܣଷ 
ܣ ൌ 12.659,30 ൅ 9.385,07 ൅ 5.242,14 ൌ 27.286,51 
Letra D 
 
 
12. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Abaixo encontram-se valores 
de uma tabela de fator de valor presente de séries uniformes de pagamento, na 
qual n é o número de prestações mensais e i a taxa de juros. 
 
 
 
Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e 
uniformes, no valor de R$ 500 cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, 
formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. Sabendo-se que a 
taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da geladeira é 
 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 1.858,55 
c) R$ 1.895,43 
d) R$ 1.914,30 
e) R$ 1.654,80 
 
Resolução 
 
Devemos projetar para o presente apenas as três últimas prestações, pois 
a primeira já se encontra na data 0 (1ª paga no ato). 
 
ܣ ൌ 500 ൅ 500 · ܽ௡൓௜ ൌ 500 ൅ 500 · ܽଷ൓ଷ% ൌ 500 ൅ 500 · 2,8286 ൌ 1.914,30 
 
Letra D 
 
13. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos 
que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de 
pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no 
regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os 
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meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o 
valor de cada prestação mensal será: 
a) R$ 525,68. 
b) R$ 545,34. 
c) R$ 568,24. 
d) R$ 576,19. 
e) R$ 605,00. 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
Temos uma série uniforme de 2 pagamentos. O problema é que a prova não 
forneceu as tabelas financeiras. Devemos, portanto, resolver utilizando os 
conceitos de equivalência composta de capitais. 
Escolhendo a data 2 como data focal. Para transportar uma quantia para o 
futuro devemos multiplicar o seu valor por ሺ1 ൅ ݅ሻ௡. 
A equação da equivalência fica: 
ܺ ൅ ܺ · ሺ1 ൅ ݅ሻଵ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ ݅ሻଶ 
ܺ ൅ 1,1 · ܺ ൌ 1.000 · ሺ1 ൅ 0,10ሻଶ 
2,1 · ܺ ൌ 1.210 
ܺ ൌ 576,19 
Letra D 
14. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um indivíduo recebeu como 
herança um título perpétuo que paga R$ 2.000 por trimestre. Esse indivíduo 
quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, juros compostos, 
é de 44%, o valor presente de venda desse título é 
X X 
2 1 
0 
1.000,00 
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a) R$ 2.880,00 
b) R$ 4.545,45 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 16.547,85 
e) R$50.000,00 
Resolução 
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para 
sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como 
ܣ ൌ
ܲ
݅
 
Onde P é o valor da perpetuidade. 
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. 
Lembrando que um semestre é composto por 2 trimestres, 
ሺ1 ൅ ݅௧ሻଶ ൌ ሺ1 ൅ ݅௦ሻଵ 
ሺ1 ൅ ݅௧ሻଶ ൌ 1,44 
1 ൅ ݅௧ ൌ 1,2 
݅௧ ൌ 0,20 ܽ݋ ݐݎ݅݉݁ݏݐݎ݁ 
Dessa forma, o valor presente (atual) é dado por 
ܣ ൌ
2.000
0,2
ൌ 10.000,00 
Letra C 
15. (Auditor da Receita Estadual – Amapá 2010/FGV) Antônio possui um 
investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros 
compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. 
A quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de: 
a) R$ 45.000,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 54.000,00 
d) R$ 72.000,00 
e) R$ 75.000,00 
Resolução 
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para 
sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como 
ܣ ൌ
ܲ
݅
 
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Onde P é o valor da perpetuidade. 
A quantia que Antônio deve investir é o valor presente da perpetuidade. 
ܣ ൌ
450
0,006
ൌ 75.000,00 
Letra E 
16. (Pref. Municipal de Cantagalo 2010/CEPERJ) Em um país sem inflação, 
existe um investimento que rende 0,7% ao mês. Se uma pessoa decide dar ao 
seu filho uma renda mensal perpétua de $350 (trezentos e cinqüenta unidades 
monetárias), o valor que ela deve investir para que esta renda seja eterna é: 
A) $42000 
B) $50000 
C) $56000 
D) $60000 
Resolução 
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para 
sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como 
ܣ ൌ
ܲ
݅
 
Onde P é o valor da perpetuidade. 
A quantia que a pessoa deve investir é o valor presente da perpetuidade. 
ܣ ൌ
350
0,007
ൌ 50.000,00 
Letra B 
17. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um indivíduo possui um título que paga 
mensalmente de R$ 500,00, perpetuamente. O indivíduo quer vender esse 
título, sabendo que a taxa de desconto é de 1% ao mês. O preço justo desse 
título é: 
a) R$ 1.000.000,00. 
b) R$ 500.000,00. 
c) R$ 50.000,00. 
d) R$ 20.000,00. 
e) R$ 100.000,00. 
Resolução 
O preço justo a ser pago é o valor atual da perpetuidade. 
ܣ ൌ
ܲ
݅
ൌ
500
0,01
ൌ 50.000,00 
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Letra C 
18. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga 
R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a taxa de juros anual, juros compostos, 
é de 21%, o valor presente desse título é: 
a) R$ 4.761,90. 
b) R$ 5.000,00. 
c) R$ 6.857,25. 
d) R$ 7.500,00. 
e) R$ 25.000,00. 
Resolução 
Uma perpetuidade é um fluxo de caixa constante em intervalos regulares para 
sempre. O valor presente de uma perpetuidade pode ser escrito como 
VP ൌ
A
i
 
Onde A é o valor da perpetuidade. 
Devemos calcular a taxa trimestral equivalente à taxa semestral de 44%. 
Lembrando que um semestre é composto por 2 trimestres, 
ሺ1 ൅ iୱሻଶ ൌ ሺ1 ൅ iୟሻଵ 
ሺ1 ൅ iୱሻଶ ൌ 1,21 
1 ൅ iୱ ൌ 1,1 
i୲ ൌ 0,10 ao semestre 
Dessa forma, o valor presente é dado por 
VP ൌ
500
0,1
ൌ 5.000,00 
Letra B 
 
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2 Tabelas Financeiras 
 
 
 
 
   
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3 Relação das questões comentadas nesta aula 
 
01. (MDIC 2002/ESAF) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas 
mensalmente em uma conta durante doze meses com o objetivo de atingir o 
montante de R$ 100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao 
fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao 
mês? 
a) R$ 7.455,96 
b) R$ 7.600,00 
c) R$ 7.982,12 
d) R$ 8.270,45 
e) R$ 9.000,00 
02. (INSS 2002/ESAF) Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser 
depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de rendimento de 2% 
ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de 
dez meses. 
 
a) R$ 5.825,00 
b) R$ 5.000,00 
c) R$ 4.782,00 
d) R$ 4.566,00 
e) R$ 3.727,00 
03. (CVM 2003/FCC) Depositando R$ 20.000,00 no início de cada ano, durante 
10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do 
último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor único 
feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25%ao ano, 
durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de 
valor único é de 
a) R$ 217.272,00 
b) R$ 231.816,00 
c) R$ 254.998,00 
d) R$ 271.590,00 
e) R$ 289.770,00 
04. (TRF 2006/ESAF) Desejo trocar uma anuidade de oito pagamentos 
mensais de R$ 1.000,00 vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês por 
outra anuidade equivalente de dezesseis pagamentos vencendo também o 
primeiro pagamento ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do valor 
do pagamento mensal da segunda anuidade considerando a taxa de juros 
compostos de 3% ao mês. 
 
a) R$ 500,00 
b) R$ 535,00 
c) R$ 542,00 
d) R$ 559,00 
e) R$ 588,00 
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05. (AFTE-RO 2010 FCC) A compra de um equipamento por uma indústria 
poderá ser feita por uma das duas opções seguintes: à vista por R$ 41.600,00 
ou em duas prestações anuais e consecutivas de valores iguais, vencendo a 
primeira um ano após a data da compra. Considerando-se uma taxa de juros 
compostos de 8% ao ano e o critério do desconto composto real, tem-se que o 
valor de cada prestação referente à segunda opção que torna equivalentes, na 
data da compra, as duas opções é 
 
a) R$ 20.400,00 
b) R$ 20.800,00 
c) R$ 21.600,00 
d) R$ 22.064,00 
e) R$ 23.328,00 
 
06. (DNOCS 2010/FCC) Um investidor deposita R$ 12.000,00 no início de cada 
ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de 
juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se 
que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a 
a) R$ 52.800,00 
b) R$ 52.246,00 
c) R$ 55.692,00 
d) R$ 61.261,20 
e) R$ 63.888,00 
07. (Fiscal de Rendas SP 2009/FCC) Uma programação de investimento 
consiste na realização de três depósitos consecutivos de valores iguais 
efetuados no início de cada ano. O resgate dos respectivos montantes será 
feito de uma só vez, três anos após a data do primeiro depósito. Considerando 
uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e sabendo-se que a soma dos 
montantes no ato do resgate foi igual a R$ 43.692,00, conclui-se que o valor de 
cada depósito é igual a 
a) R$ 10.000,00 
b) R$ 10.500,00 
c) R$ 11.000,00 
d) R$ 11.500,00 
e) R$ 12.000,00 
08. (Instituto de Resseguros do Brasil 2004/ESAF) Uma série de doze valores 
monetários relativos ao fim de cada um de doze períodos de tempo representa 
o fluxo de caixa esperado de uma alternativa de investimento. Considerando 
que o valor atual desse fluxo de caixa no início do primeiro período é de R$ 
30.000,00, calcule o valor futuro desse fluxo ao fim do décimo segundo 
período, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao período. 
(Despreze os centavos) 
 
a) R$ 94.152,00 
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b) R$ 85.593,00 
c) R$ 77.812,00 
d) R$ 70.738,00 
e) R$ 66.000,00 
09. (ATE-MS 2001/ESAF) A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente 
durante seis meses; a quantia de R$ 2.000,00 é aplicada mensalmente durante 
os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de R$ 3.000,00 é aplicada 
mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do montante 
das aplicações ao fim dos dezoito meses de prazo, considerando que as 
aplicações foram sempre realizadas ao fim de cada mês e renderam uma taxa 
de juros compostos de 4% ao mês? 
a) R$ 41.040,00 
b) R$ 47.304,00 
c) R$ 51.291,00 
d) R$ 60.000,00 
e) R$ 72.000,00 
10. (AFRF 2002/ESAF) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um 
banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 
mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente 
durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 
1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas 
renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo 
do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro. 
a) R$ 36.000,00 
b) R$ 38.449,00 
c) R$ 40.000,00 
d) R$ 41.132,00 
e) R$ 44.074,00 
11. (AFRF 2002/ESAF) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do 
primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada 
período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 
12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento 
é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto 
racional é de 4% ao período. 
a) R$ 33.448,00 
b) R$ 31.168,00 
c) R$ 29.124,00 
d) R$ 27.286,00 
e) R$ 25.628,00 
12. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Abaixo encontram-se valores 
de uma tabela de fator de valor presente de séries uniformes de pagamento, na 
qual n é o número de prestações mensais e i a taxa de juros. 
 
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Um indivíduo comprou uma geladeira em 4 prestações mensais, sucessivas e 
uniformes, no valor de R$ 500 cada, com a 1ª prestação a ser paga no ato, 
formando uma série uniforme de pagamentos antecipada. Sabendo-se que a 
taxa de juros é de 3% ao mês, o valor presente da geladeira é 
 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 1.858,55 
c) R$ 1.895,43 
d) R$ 1.914,30 
e) R$ 1.654,80 
 
13. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Uma empresa parcela a venda de seus produtos 
que podem ser financiados em duas vezes, por meio de uma série uniforme de 
pagamentos postecipada. A taxa de juros efetiva cobrada é de 10% ao mês no 
regime de juros compostos e o cálculo das parcelas é feito considerando-se os 
meses com 30 dias. Se um indivíduo comprar um produto por R$ 1.000,00, o 
valor de cada prestação mensal será: 
a) R$ 525,68. 
b) R$ 545,34. 
c) R$ 568,24. 
d) R$ 576,19. 
e) R$ 605,00. 
14. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um indivíduo recebeu como 
herança um título perpétuo que paga R$ 2.000 por trimestre. Esse indivíduo 
quer vender o título. Sabendo que a taxa de juros semestral, juros compostos, 
é de 44%, o valor presente de venda desse título é 
a) R$ 2.880,00 
b) R$ 4.545,45 
c) R$ 10.000,00 
d) R$ 16.547,85 
e) R$50.000,00 
15. (Auditor da Receita Estadual – Amapá 2010/FGV) Antônio possui um 
investimento que dá uma renda líquida de 0,6% ao mês (no sistema de juros 
compostos) e deseja dar à sua filha uma renda mensal perpétua de R$ 450,00. 
A quantia que Antônio deve investir para que sua filha tenha essa renda é de: 
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a) R$ 45.000,00 
b) R$ 27.000,00 
c) R$ 54.000,00 
d) R$ 72.000,00 
e) R$ 75.000,00 
16. (Pref. Municipal de Cantagalo 2010/CEPERJ) Em um país sem inflação, 
existe um investimento que rende 0,7% ao mês. Se uma pessoa decide dar ao 
seu filho uma renda mensal perpétua de $350 (trezentos e cinqüenta unidades 
monetárias), o valor que ela deve investir para que esta renda seja eterna é: 
A) $42000 
B) $50000 
C) $56000 
D) $60000 
17. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) Um indivíduo possui um título que paga 
mensalmente de R$ 500,00, perpetuamente. O indivíduo quer vender esse 
título, sabendo que a taxa de desconto é de 1% ao mês. O preço justo desse 
título é: 
a) R$ 1.000.000,00. 
b) R$ 500.000,00. 
c) R$ 50.000,00. 
d) R$ 20.000,00. 
e) R$ 100.000,00. 
18. (SEFAZ-RJ 2010/FGV) Um indivíduo comprou um título perpétuo que paga 
R$ 500,00 por semestre. Sabendo que a taxa de juros anual, juros compostos, 
é de 21%, o valor presente dessetítulo é: 
a) R$ 4.761,90. 
b) R$ 5.000,00. 
c) R$ 6.857,25. 
d) R$ 7.500,00. 
e) R$ 25.000,00. 
 
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4 Gabaritos 
 
01. Letra A 
02. Letra D 
03. Letra C 
04. Letra D 
05. Letra E 
06. Letra C 
07. Letra E 
08. Letra A 
09. Letra B 
10. Letra D 
11. Letra D 
12. Letra D 
13. Letra D 
14. Letra C 
15. Letra E 
16. Letra B 
17. Letra C 
18. Letra B