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1 Hidrostática A Hidrostática é a parte da Física que estuda os uídos (tanto líquidos como os gasosos) em repouso, ou seja, que não estejam em escoamento (movimento). Além do estudo dos uídos propriamente ditos, serão estudadas as forças que esses uídos exercem sobre corpos neles imersos, seja em imersão parcial, como no caso de objetos utuantes, como os totalmente submersos. 1.1 Massa Especí ca e Densidade Média Para um uido homogêneo a massa especí ca � é de nida pela relação entre a massa e o volume ocupado por essa massa: � = m V Para os corpos não homogêneos essa relação é denominada densidade média: � = m V 1.2 Pressão A pressão exercida por um uido é de nida pela relação entre a força ortogonal distribuída sobre uma área e a área: p = ���~F?��� A No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de medida da pressão é Newton por metro quadrado (N/m2). A pressão pode também ser exercida entre dois sólidos. No caso dos uídos o newton por metro quadrado é também denominado Pascal (Pa): 1Pa = 1N=m2. 1.3 Lei de Stevin A lei de Stevin nos permite calcular a pressão em um líquido em repouso, estando com sua superfície livre em contato com a atmosfera. Se o uido está em equilíbrio, então a resultante das forças que atuam sobre a amostra deve ser zero: F �mg � F0 = 0 Usando as relações: F = pA; F0 = p0A; e m = �Ah, obtemos pA� �gAh� p0A = 0 que fornece a lei de Stevin: p = p0 + �gh De acordo com a lei de Stevin, em um líquido em equilíbrio as pressões são iguais em todos os pontos da mesma horizontal. 1 c. m. h A A p0 p Como ilustra a gura, a pressão hidrostática não depende da área de contato do líquido. Apesar de os dois recipientes terem bases com áreas diferentes, estas são submetidas à mesma pressão (pA = pB) uma vez que elas têm a mesma profundidade em relação à superfície livre. 1.4 Pressão atmosférica No planeta Terra em qualquer parte de sua superfície os corpos estão envoltos em um uído gasoso, o ar. Como todo uído ele causa uma pressão nos corpos nele imersos. A pressão atmosférica deve ser expressa em Pascal (Pa), mas outras unidades podem ser usadas, como o atmosfera (atm), o milímetro de mercúrio (mmHg), o centímetro de mercúrio (cmHg), o bar( 1bar = 105Pa). Essas unidades relacionam-se entre si comparando-se os valores da pressão atmosférica ao nível do mar1 : 1 atm = 1; 01325� 105 Pa = 760 mmHg 1.5 Princípio de Pascal O Princípio de Pascal a rma que uma alteração de pressão produzida em qual- quer ponto de um uído em equilíbrio transmite-se integralmente para todos os 1Outras unidades usadas em engenharia são o kgf=cm2 e libra/polegada2 (lb/pol2). As conversões são: 1atm = 1kgf=cm2 = 14; 2 lb=pol2: 2 pontos uído e às paredes do recipiente. Com esse princípio é possível construir e dimensionar macacos hidráulicos, prensas hidráulicas, etc. Na verdade, o princípio de Pascal é uma consequência direta da lei de Stevin. A diferença de pressão entre dois níveis é dada por p2 � p1 = �gh Alterando-se a pressão no nível 1 para p01 = p1 + �p1, a pressão em 2 modi ca-se para p02 = p2 +�p2 E pela lei de Stevin segue verdadeiro que p02 � p01 = �gh e portanto p2 � p1 = p02 � p01 ou p2 � p1 = (p2 +�p2)� (p1 +�p1) Mostra-se então que �p2 = �p1 Como funciona o macaco hidráulico? Funciona através do princípio de Pas- cal. O acréscimo de pressão no lado esquerdo é �p = F1 A1 O módulo da força transmitida pelo uido sobre o lado direito será 3 F2 = �pA2 F2 = A2 A1 F1 Assim, conhecida a força F1, a força exercida sobre a plataforma do lado direito é determinada pela relação entre as áreas. 2 Paradoxo Hidrostático A força devida a pressão que um uido exerce na base de um recipiente pode ser maior ou menor que o peso do líquido que contém o recipiente. Este é em essência o paradoxo hidrostático. Segundo a lei de Stevin, a pressão depende da profundidade abaixo da su- perfície do líquido, sendo independente da forma do recipiente que o contém. Lembremos primeiramente que a força que um uido em equilíbrio exerce sobre uma superfície devido a pressão é sempre perpendicular a esta superfície. Consideremos, à guisa de exemplo, um recipiente de forma cônica com raio da base R e altura h, preeenchido completamente com um líquido de massa especí ca � em equilíbrio. O volume do cone é V = 1=3�R2h. O peso do líquido é W = 1 3 ��gR2h Mas a força na base do cilindro devido a pressão é F = p�R2 Mas p = �gh. Logo 4 F = ��gR2h que é diferente do peso do líquido. Temos que levar em conta a força que a superfície do cone exerce sobre o líquido. Vemos que dF = pdA = �gy(2�x)ds A componente vertical desta força é (com ds = dy= cos �) dFy = dF sin � = �gy(2�x)dy tan � Como tan � = R=h, otemos dFy = 2��g R h xydy Por outro lado x=y = R=h. Então dFy = 2��g R2 h2 y2dy A força resultante na direção vertical exercida sobre o líquido será Fy = Z h 0 2��g R2 h2 y2dy Fy = 2 3 ��gR2h Calculando agora F + Fy obtemos W = F � Fy = ��gR2h� 2 3 ��gR2h = 1 3 ��gR2h 2.1 Princípio de Arquimedes Deve-se a Arquimedes a de nição da força de Empuxo gerada por um corpo imerso em um uído. A força de empuxo de um corpo imerso em um uído é igual ao peso do uído deslocado. Se o empuxo for maior que o peso do corpo, a tendência do corpo é de subir com aceleração. No caso de o peso ser menor que o empuxo, a tendência é o corpo descer com aceleração. No caso de o empuxo ser igual ao peso, o corpo terá a tendência de permanecer parado. A força de empuxo, sempre vertical e ascendente, é a resultante de todas as forças exercidas pelo uido sobre a superfície do corpo que está em contato com o uido. Ora, essa força resultante (o empuxo) depende das propriedades do uido, e da forma geométrica do corpo. 5 Na gura da esquerda, um corpo qualquer está imerso em um uido de massa especí ca �. Podemos imaginar, como ilustra a gura da direita, que o interior do corpo é substituído pelo uido, mantendo a mesma forma do corpo original. Neste caso, o corpo estará em equilíbrio, e o empuxo então pode ser calculado como sendo igual ao peso desse uido: E � P = 0! E = mg mas m = �V , onde V é o volume do uido deslocado (no exemplo, o volume da parte do corpo submersa). Concluímos então que o empuxo é calculado como E = �V g 2.2 Exemplos 1. Se o uxo sanguíneo não fosse ajustado pela expansão das artérias, para uma pessoa em pé a diferença de pressão arterial entre o coração e a cabeça seria de natureza puramente hidrostática. Nesse caso, para uma pessoa em que a distância entre a cabeça e o coração vale 50 cm, qual o valor em mmHg dessa diferença de pressão? (Considere a densidade do sangue igual a 103kg=m3 e a densidade do mercúrio igual a 13; 6� 103kg=m3.) Solução. �p = �gh �p = 103 � 9; 8� 0; 5 6 �p = 4; 9� 103 Pa 1 Pa = 7; 500 6� 10�3 mmHg �p = 4; 9� 103 � 7:500 6� 10�3 mmHg �p = 36:75 mmHg 2. Temos dois tubos cilíndricos, A e B, de diâmetro D e D/4, respectiva- mente. Os cilindros formam um sistema de macaco hidráulico e os êmbolos são móveis. Considerando o sistema em equilíbrio e desprezando o peso dos êmbolos, ache a razão entre as intensidades das forças FA=FB . Solução. FA FB = SA SB = D2 (D=4) 2 ! FA FB = 16 3. As esferas maciças A e B, que têm o mesmo volume e foram coladas, estão em equilíbrio, imersas na água. Quando a cola que as une se desfaz, a esfera A sobe e passa a utuar, com metade de seu volume fora da água (a densidade da água é 1 g=cm3). a) Qual a densidade da esfera A? b) Qual a densidade da esfera B? Solução. Inicialmente: 7 E = �a(2V )g = PA + PB �AV g + �BV g = 2�aV g Logo �A + �B = 2�a Após a esfera A se soltar: E = 1 2 �aV g = �AV gEntão �A = 1 2 �a ! �A = 0; 5 g=cm3 e �B = 2�a � �A ! �B = 1; 5 g=cm3 4. Para se medir a pressão absoluta de um gás (P ) usa-se um manômetr, que consiste de um tubo em forma de U contendo Hg (� = 13; 6� 103 kg/m3). Com base na gura, e sendo a pressão atmosférica patm = 1; 0 � 105 N/m2, determine a pressão do gás. Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2. Solução. P = p0 + �gh P = 105 + 13:6� 103 � 10� 0:1 P = 105 + 0:136� 105 P = 1:14� 105 Pa 8 5. Um consumidor,descon ado da qualidade dagasolina que comprou em um posto,resolveu testar a sua densidade.Em um sistema devasos comunicantes,contendo inicialmente água (�a = 10 3 kg/m3), despejou certa quantidade da gasolina. Após o equilíbrio,o sistema adquiriua aparência representada na gura. Deter- mine a densidade da gasolina comprada. Solução. p0 + �ggh1 = p0 + �agh2 �g = h2 h1 �a �g = 8 10 � 1000! �g = 800 kg/m3 9
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