Lista 3 Funções de várias variáveis

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Disciplina: Cálculo II – MAT224 
Turma: ________________________ 
Professor: ___________________________ Data: _______________ 
 
Aluno: ______________________________________________________ 
 
 
Lista de exercícios 3 – Funções de várias variáveis 
 
 
1) Determine o domínio de cada função abaixo e represente-o graficamente: 
 
a) 
  2
2
xy
1x
1
y,xf 


. b) 
  )yxln(.4yy,xf 2  
. c) 
   22 yxlny,xf 
. 
 
d) 
  




 

x
1yx
lny,xf
22. e) 
   yxy,xf  arccos 
. f) 
 
1x
36x9y4
y,xf
2
22


 
. 
 
 
 
2) Para esboçar o gráfico das funções abaixo, determine o domínio; determine e trace as interseções 
da superfície com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; 
 
a) 
2216 yx)y,x(f 
. b) 
22 49 yx)y,x(f 
. c) 
2x)y,x(f 
. 
 
d) 
y4x28)y,x(f 
. e) 
122  yx)y,x(f
 f) 
21 y)y,x(f 
 
 
 
 
3) Seja 
  






9
y
xlny,xf
2
2
. Determine (e esboce) a equação da curva de nível que passa pelo ponto 
 0,1 
. 
 
 
4) Para as funções abaixo, calcule as derivadas parciais no ponto Po indicado. 
 
a) 
 ; .)2,1(P)xyln(e)y,x(f o
x
 
 
b) 
   .)1,0(Pyxcosx)y,x(f o ; 
 
c) 
     .1,0P;yxlnyy,xf o222 
 
 
d) 
       .1,1P;yxyxy,xf o2222 
 
e) 
     .2,2P;xyarctgy,xf o 
 
 
f) 
     .2,1P;yxlney,xf o
x 
 
g) 
      ).4,4,4(P;ztg.ysenxz,y,xg o
2  
 h) 
       .1,1,1P;xyzzyxz,y,xg o222 
 
 
 
2 
2 
 
 
5) Considere a função 
22
2
yx
xy
z


. Verifique se a equação
z
y
z
y
x
z
x 





 é verdadeira 
   0,0y,x 
. 
 
 
6) Verifique se as derivadas parciais de segunda ordem mista 
 e 
     
   
     
f f
x y y x
 são iguais. 
 
a) 
  3xy7xy8x4y,xf 42 
. b) 
  22 yxy,xf 
. 
 
7) Mostre que a função 
   Ctxsent,xu 
é uma solução da equação da onda 
2
2
2
2
2
x
u
C
t
u





. 
8) Verifique se as funções abaixo satisfazem a equação de Laplace 
0
y
z
x
z
2
2
2
2






 para todo x e y. 
a) 
223 yxxz 
. b) 
   xcoseysenez yx 
. 
 
9) Mostre que a função 






 
C
x
senez t
, C constante, satisfaz a equação do calor 
2
2
2
x
z
C
t
z





. 
 
10) Quando dois resistores de resistências R1 ohms e R2 ohms são conectados em paralelo, sua resistência 
combinada R em ohms é 
21
21
RR
RR
R


. 
 
Mostre que 2 2 2
2 2 4
1 2 1 2
4
( )
R R R
R R R R
 
 
  
. 
 
11) Mostrar que os limites seguintes não existem: 
 
2 2
2 2( , ) (0,0)
2 2( , ) (0,0)
2 2
2 2( , ) (0,0)
) lim
3
) lim
4 5
4
) lim
x y
x y
x y
x y
a
x y
xy
c
x y
x y
e
x y








 
4 2 2 3
2 2 2( , ) (0,0)
2
4 2( , ) (1,0)
3 2
) lim
( )
( 1)
) lim
( 1)
x y
x y
y x y yx
b
y x
x y
d
x y


 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
3 
12) Usando as propriedades, calcular os limites seguintes: 
 
2
( , ) (1,2)
2 2( , ) (2, 1)
2 2( , ) (0,0)
) lim (2 )
2
) lim
1
) lim
1
x y
x y
x y
x
a xy x
y
x y
b
x y
x
c
x y xy

 

 
 


 
 
 
 
 
 
Respostas: 
01) 
a) {(x,y)  R2; x2 –1  0 e y  x2}. 
 
 
b) {(x,y)  R2; y  2 ou y  -2 e x > y }. 
 
 
c) {(x,y)  R2; x2 – y2 > 0}. 
 
 
 
d) {(x,y)  R2; x  0 e 
  0x1yx 22 
} 
 
 
 
 
e) {(x,y)  R2; -1 x – y  1}. 
 
 
f) {(x,y)  R2; (x2/4)+( y2/9) 1, 
x1 e x-1}. 
 
 
 
02) 
 
2a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2b) 
 
2c) 
 
 
2d) 
 
2f) 
 
 
2e) 
 
 
 
4 
4 
 
03) 
1
9
y
x
2
2 
 . Uma elipse de centro (0,0) e semi-eixos e tamanho 1 (ox) e 3 (oy). 
 
04) a) fx(Po) = e[ln(2) + 1]; fy(Po) = e/2; b) fx(Po) = 1 ; fy(Po) = 0; 
c) fx(Po) = 0; fy(Po) = 2; d) fx(Po) = 1; fy(Po) = 1 ; 
e) fx(Po) = 1/4 ; fy(Po) = 1/4; f) fx(Po) = eln3 + e/3; fy(Po) = e/3; 
g) gx(Po) = 1/4; gy(Po) = 1; gz(Po) = 1; h) gx(Po) = 1 ; gy(Po) =  1; gz(Po) = 1 
 
Observação: As respostas das questões 5 a 11 (mostre e verifique) serão discutidas em sala. 
 
12) a) 
2
9
 b) 
5
1

 c) 1