UNIDADE 4_CARGA VARIADA_FADIGA

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FALHA POR FADIGA
CARGA VARIADA
MECÂNICA DOS SÓLIDOS III
Prof. Marcelo Cavalcanti Rodrigues
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ABORDAGEM
Métodos de vida sob Fadiga;
Resistência a Fadiga e Limite de Resistência a Fadiga; Gráfico resistência x vida (S-N).
Fatores Modificadores do Limite de Resistência a Fadiga;
Concentração de Tensão e Sensibilidade a Entalhe;
Tensões Flutuantes;
Combinação de Modos de Carregamento.
FADIGA!!!! 
Algumas pessoas confundem o mecanismo de fadiga com cansaço ou exaustão, e repetem frequentemente que tal peça rompeu por que o material estava fadigado. 
Fadiga é um mecanismo de degradação que se manifesta na forma de trincas e por conseqüência fratura peças e equipamentos devido a cargas repetidas (cíclicas). 
Ex: Eixos, molas, engrenagens, ventiladores, etc.
Os elementos que operam sob tensões constantes ou com variações pouco freqüentes tais como a maioria dos tanques, vasos de pressão e tubulações usualmente não sofrem fadiga.
Quando uma peça rompe por fadiga é por que a quantidade de ciclos de tensão superou seu limite de resistência, não porque o material estava "cansado".
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CARGA ESTÁTICA
LIMITE DE ESCOAMENTO
FALHA ESTÁTICA
CARGA DINÂMICA
LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA
FALHA POR FADIGA
TRINCAS
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De um modo geral para que ocorra fadiga é necessário que três fatores sejam aplicados juntos: 
solicitações dinâmicas;
solicitações de tração;
deformação plástica.
A falha por fadiga ocorre devido a nucleação e propagação de defeitos em materiais devido a ciclos alternados de tensão/deformação. 
Inicialmente as tensões cisalhantes provocam um escoamento localizado gerando intrusões e extrusões na superfície; isto aumenta a concentração de tensões dando origem a uma descontinuidade inicial. 
Á medida que esta descontinuidade vai ficando mais "aguda" a mesma pode começar a propagar gerando uma "trinca de fadiga" cujo tamanho aumentará progressivamente até a fratura do componente.
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Propagação e início da trinca e falha por fadiga
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Métodos da Vida sob Fadiga
Existem três métodos fundamentais para estimar a vida sob fadiga usados em projetos:
Método da vida sob tensão;
Método da vida sob deformação;
Método da mecânica da fratura linear elástica;
Tais métodos predizem a vida em número de ciclos (N) até a ocorrência da falha.
Obs: A vida de 1 ≤ N ≥ 103 ciclos é chamada de fadiga de baixo ciclo e a fadiga de alto ciclos ocorre em N > 103 ciclos.
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Métodos da Vida sob Fadiga (Método da vida sob tensão)
A vida sob fadiga é determinada em amostras que são submetidas a forças repetidas ou variáveis de magnitudes especificadas, onde ciclos e inversões são contados até a sua destruição.
Utiliza-se a maquina de viga rotativa de alta velocidade de R. R. Moore. Onde submete-se a amostra a flexão pura de geometria apresentada abaixo.
A amostra é usinada e polida na direção axial (evitar risco circunferenciais).
Existem outras maquinas que submetem as amostras a tensões axiais flutuantes ou invertidas, tensões torcionais ou combinadas.
1. O primeiro ensaio é feito a uma tensão um pouco inferior à resistência última do material.
2. O segundo ensaio é feito a uma tensão menor que a do primeiro ensaio onde continua o processo para traçar o diagrama S-N.
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Métodos da Vida sob Fadiga (Método da vida sob tensão)
A ordenada do diagrama S-N é denominada de resistência à fadiga Sf .
Diagrama S-N traçado a partir dos resultados de testes de fadiga axial completamente inversa. Aço normalizado; Sut = 116 kpsi; máximo Sut = 125 kpsi.
O gráfico acima jamais se torna horizontal para metais não – ferrosos ou ligas, neste caso esses materiais não tem limite de resistência à fadiga.
Limite de resistência a fadiga ou limite de fadiga Se
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2. Limite de Resistência
Para estimar os limites de resistência Mischkle analisou uma grande amostra de dados reais e concluiu que:
Em que Sut é a resistência à tração última. S’e refere-se a estimação do limite de resistência a fadiga para amostra de viga rotativa.
2.1 Resistência à Fadiga
Até cerca de 103 ciclos (baixa ciclagem), a resistência à fadiga Sf é apenas ligeiramente menor que a resistência à tração Sut .
A figura ao lado indica que o dominio de fadiga de alta ciclagem estende-se de 103 ciclos até o limite Ne (106 a 107 ciclos).
Experiências mostraram que os dados de fadiga de alto ciclo são retificados, pois os resultados são mais esparsos.
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2.1 Resistência à Fadiga
Pode-se então trabalhar com a equação que ajusta a curva da Resistência a Fadiga usando
Sf = aNb 					 		 (1)
em que N é o número de ciclos até a falha e as constantes a e b são definidas pelos pontos 103 , (Sf )103 , e 106 , Se com (Sf )103 = f Sut . Logo obtém os expoentes:
 							 (2)
								 (3)
Onde f é a fração de Sut .
Há ajustes de curva com f tratado como uma constante, normalmente 0.9, mas variando com Sut .
Sut,kpsi
60
90
120
200
f
0,93
0,86
0,82
0,77
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2.1 Resistência à Fadiga
Se uma tensão completamente invertida a for provida, estabelecendo Sf = a na eq. (1), o número de ciclos N até a falha é:
								 (4)
A fadiga de baixo ciclo é definida como uma falha que ocorre em um intervalo de 1≤N≤103 ciclos. 
2.2 Fatores Modificadores do Limite de Resistência
Sabe-se que uma amostra usada em laboratório para determinar os limites de resistência é preparado com muito cuidado e ensaiado sob condições controladas.
Na prática alguns fatores influenciam no limite de resistência a fadiga Se:
Material: composição, etc;
Manufatura: método, tratamento térmico, corrosão por microabrasão, condição de superfície, concentração de tensão; 
Ambiente: corrosão, temperatura, estado de tensão, etc;
Projeto: tamanho, forma, vida, estado de tensão, concentração de tensão.
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Ex: Um aço 1050 HR tem resistência a tração Sut = 105 kpsi e uma resistência ao escoamento de 60 kpsi.
Estime o limite de resistência de viga rotativa a 106 ciclos;
Estime a resistência para um espécime de viga rotativa polido correspondendo a 104 ciclos até a falha;
Estime a vida esperada sob uma tensão completamente invertida de 55 kpsi.
SOLUÇÃO
Como Sut = 105 kpsi < 212kpsi.
Para N = 104 até a falha.
Com a = Se = S’e e Ne = 106 ciclos.
Então a fração f de Sut representada por (Sf)103ciclos é:
Portanto a resistência a fadiga Sf para N = 104 ciclos é:
c) N = ? Para a = 55 kpsi. 
2.2 Fatores Modificadores do Limite de Resistência
Foram identificados fatores que quantificam os efeitos de condição de superfície, tamanho, carregamento, temperatura, etc.
A equação de Marin é escrita como:
					 		 (5)
Em que 
ka = fator de modificação de condição de superfície;
kb = fator de modificação de tamanho
kc = fator de modificação de carga
kd = fator de modificação de temperatura
ke = fator de modificação de confiabilidade
kf = fator de modificação por efeitos variados
S’e= limite de resistência da amostra de viga rotativa
Se = limite de resistência no local crítico de uma peça de máquina na geometria e na condição de uso.
Obs.: Utiliza-se os fatores de Marin para estimar o limite de resistência quando os ensaios de resistência de peças não estiverem disponíveis.
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2.2 Fatores Modificadores do Limite de Resistência
2.2.1 Fator de superfície ka 
O fator de modificação depende da qualidade de acabamento da peça real, e da resistência a tração do material.
Mischke, Lipson, Noll e Horger analisaram e encontraram uma equação para quantificar os acabamentos mais comuns em peças.
							 (6)
Em que Sut é a resistência à tração mínima e a e b são encontrados da Tabela 7-4.
Acabamento superficial
Fator a
Expoente
Sut,kpsi
Sut,MPa
b
Retificado
1,34
1,58
-0,085
Usinado ou laminado
a frio
2,70
4,51
-0,265
Laminado aquante
14,4
57,7
-0,718
Forjado
39,9
272,
-0,995
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2.2.2 Fator de Tamanho kb 
O fator de Tamanho foi avaliado usando 133 conjuntos de pontos de dados. Os resultados para flexão e torção podem ser expresso como:
								 (7)
Para carregamento axial não há efeito de tamanho, kb =1.
O que fazer quando uma barra redonda em flexão não está rodando, ou quando uma seção transversal não-circular é usada. 
Ex: qual é o fator de tamanho para uma barra de 6mm de espessura e 40mm de largura? 
Resposta: “dimensão efetiva de“ que é obtida igualando o volume do material tensionado, e acima de 95% da tensão máxima ao mesmo volume em um espécime de viga rotativa. Para uma seção circular girando, a área de tensão de 95% é a área em um anel tendo um diâmetro externo d e um diâmetro interno de 0,95d, assim:
								 (8)
Equação válida também para círculo vazado rodando. 
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2.2.2 Fator de Tamanho kb 
Para um sólido não rotativo ou para elementos circulares vazados, a área de tensão de 95% é duas vezes a área externa de duas cordas paralelas tendo um espaçamento de 0,95d, em que d é o diâmetro.
								 (9)
Igualando as eqs. (8) e (9):
								 (10)
Uma seção retangular de dimensões h x b tem A0,95σ =0,05hb. Assim:
								 (11)
Ver Tabela 7-5.
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2.2.3 Fator de Carregamento kc 
Os ensaios de fadiga que são carregados com flexão rotativa, axial e torcional, os limites de resistência diferem.
								 (12)
2.2.4 Fator de Temperatura kd
Temperatura operacional baixa (menor que a ambiente) = fratura frágil;
Temperatura operacional alta (maior que a ambiente), deve observar o escoamento, pois a resistência a ele cai rapidamente com a temperatura. Fluência. 
Neste caso utiliza-se um ajuste de curva:
								 (13)
Em que 70≤TF ≤1000°F.
Se o limite de resistência da amostra rodando for conhecido à temperatura ambiente use:
								 (14)
a partir da Tabela 7-6 ou da eq. (13). ST - resistência a tração a temp de operação.
SRT – resistência a tração a temp ambiente.
 
Ex: 7-5 Um aço 1035 apresenta uma resistência á tração de 70 kpsi e deve ser usado em uma peça que trabalhe a 450°F. Estime o fator de modificação de temperatura de Marin e (Se )450° , se
a) O limite de resistência a temperatura ambiente por ensaio for (S’e )70° =39 kpsi.
b) Somente a resistência a tração, a temperatura ambiente, for conhecida.
SOLUÇÃO:
A partir da eq. (13),
Logo, 
b) Usar a Tab 7-6, interpolar:
Logo a resistência a tração, a 450°F é estimada:
A partir da eq 7-8,
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2.2.5 Fator de Confiabilidade ke 
Leva em consideração o espalhamento (confiabilidade) de dados para um limite de resistência médio. 
								 (15)
Onde za é a variante de transformação Gaussiana. Para isso utiliza-se a Tabela A-10 (distribuição de função normal Gaussiana) e a Tabela 7-7 que apresenta fatores de confiabilidade ke corresondentes a 8% de desvio-padrão do limite de resistência.
2.2.6 Fator de Efeitos Diversos kf 
Tensões residuais: podem melhorar (tensões de compressão) ou afetar (tensões de tração), operações de jateamento, laminação a frio constroem tensões de compressão melhorando a resistência a fadiga. Isto significa que a direção de operação modifica a resistência a fadiga.
Corrosão: Quando a corrosão e o tensionamento ocorrem ao mesmo tempo. Neste caso o projetista deve minimizar os fatores que afetam a vida de fadiga:
Tensão alternante; freqüência cíclica;
Tensão média ou estática;
Concentração de eletrólito ; fendas locais;
Oxigênio dissolvido no eletrólito; 
Temperatura; taxas de fluxo de fluido ao redor do espécime;
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EXERCICIO
Uma haste de ¼ in de perfuração foi tratada termicamente e retificado. As medidas de dureza são de 490 Brinell. Estime o limite de resistência a fadiga se a haste é usada com flexão rotativa.
SOLUÇÃO:
Para aços a relação entre a resistência última e a dureza Brinell é:
Assim: Sut = 500 (490)  30(490) = 259,7kpsi ou 230,3 kpsi. 
Observando que:
Logo, S’e = 107 kpsi.
A partir da Tab. 7-4, a = 1.34 e b = -0.085
Portanto,
Se = ka.kb.S’e = 0.843(1.02)(107)=92.00kpsi
 
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3. Concentração de Tensão e Sensibilidade a Entalhe
A existência de irregularidades ou descontinuidades (furos ou entalhes) aumenta as tensões próxima a descontinuidade.
O fator de concentração de tensão Kt (Kts) é usado com a tensão nominal para obter a máxima tensão resultante decorrente do defeito.
Alguns materiais não são sensíveis a presença de entalhes, logo:
	 ou							 (16)
Em que Kf (fator de concentração de tensão nominal em fadiga) é um valor reduzido de Kt e σ0 é a tensão nominal. Então Kf é um fator reduzido de Kt devido a sensibilidade a entalhes.
								 (17)
A sensibilidade ao entalhe q é:
		ou 						 (18)
Se q=0, Kf =1 o material não tem qualquer sensibilidade ao entalhe. Se q=1, Kf = Kt , o material tem sensibilidade completa ao entalhe.
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3. Concentração de Tensão e Sensibilidade a Entalhe
No projeto encontre Kt a partir da geometria da peça. Especifique o material, encontre q e solucione para Kf a partir de:
			ou 				eq 7-31	 (19)
Para aços e ligas de alumínio 2024, usa-se a fig 7-20 para determinar q para flexão e carga axial. Para carga de cisalhamento, usa-se a fig. 7-21. Devido as dispersões dos resultados, utiliza-se Kf = Kt toda vez que houver duvida quanto ao valor real de q.
A sensibilidade ao entalhe de ferros fundidos é muito pequena, varia de 0 a 0,20. recomenda-se que q = 0,20 seja usado para todos os graus de ferro fundido.
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3. Concentração de Tensão e Sensibilidade a Entalhe
A fig 7-20 tem como base a equação de Neuber:
						eq 7-32		 (20)
Fig 7-20: Diagrama de sensibilidade a entalhe para aços e ligas de alumínio forjado UNS A92024-T submetidas a flexão inversa ou a cargas axiais inversas. Para entalhes de raio maiores, use os valores de q correspondentes à ordenada r = 0,16 in (4mm).
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Fig 7-21: Curvas de sensibilidade a entalhe para materiais em torção inversa. Para raios de entalhe maiores, utilize os valores de qcis correspondentes a r = 0,16 in (4mm).
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Em que √a é definida como a constante de Neuber (material). Igualando as eq 7-30 e 32, tem-se:
							 7-33 (21)
Para o aço, com Sut em kpsi:
							 7-34 (22)
De modo a usar a eq 7-32 ou 33 para torção de aços de baixa liga, aumente a resistência última de 20 kpsi na eq 7-34 e aplique esse valor de √a.
A equação de Neuber modificada, na qual leva-se em conta o fator de concentração de tensão de fadiga Kf fornecido por
						eq 7-35		(23)
Sendo que a Tab 7-8 prevê valores de √a para aços com furos transversais, mangas e reentrâncias.
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c) A partir da Tab 7-8, a = 139/Sut =139/690=0,2015mm
Pela eq. 7-35
Ex: considere um espécime não-entalhado com um limite de resistência de 55 kpsi. Se tal espécime fosse entalhado de modo que Kf=1.6, qual seria o fator de segurança contra falha para N>106 ciclos, em uma tensão inversa de 30 kpsi?
Solucione reduzindo S’e;
Solucione aumentando a tensão aplicada.
SOLUÇÃO
O limite de resistência do espécime entalhado é fornecido por
A máxima tensão pode ser escrita como
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EXEMPLO: um eixo rotativo usinado e apoiado em mancais em A e D carregado por uma força não-rotativa F de 6.8 kN. Estime a vida da peça. 
Monta-se o gráfico dos momentos atuantes na peça, fazendo o somatório dos momentos e das forças verticais.
Pode-se ver que a falha ocorrerá provavelmente em B, em vez de C, ou no momento máximo.
O ponto B tem seção transversal menor; momento flexor maior; e fator concentração de tensão maior que C.
Calculando a resistência
em B. Da Tabela A-20 Sut = 690 MPa e Sy = 580 MPa.
			 Limite de Resistência a fadiga.
Da Tab 7-4. ka = 4.51(690)-0.265 = 0.798 (Usinado ou laminado a frio)
Da equação (7-19), kb = (32/7.62)-0.107 = 0.858 e kc = kd = ke = kf = 1. logo: Se = 0.798(0.858)347.8 = 238 MPa.
Para encontrar o fator geométrico de concentração de tensão Kt , tem-se a tabela A-15-9 com D/d = 38/32 = 1.1875 e r/d = 3/32 = 0.09375, obtendo aproximadamente Kt = 1.65.
A partir da Tab 7-8, a = 139/690 = 0.201 mm. então, utilizando a equação 7-35 para 106 ciclos ou mais é:
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Para calcular a tensão em B, o momento em B é:
Calculando a tensão de flexão em B.
Essa tensão é maior que Se e menor que Sy, logo tem-se vida finita (material falha por fadiga). Assim pode-se calcular a vida por dois procedimentos. 
O primeiro é conservador que consiste em supor Kf constante independente do número de ciclos N.
O segundo utiliza-se a equação 7-38.
A partir da equação 7-10.
Da equação 7-11, 7-9, 7-13 e 7-15 respectivamente.
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(II) Ao utilizar a equação 7-38, requere-se um valor de N que é desconhecido. Como não se conhece KN, em vez de aplicar o fator de concentração de tensão de fadiga a tensão , reduz as resistências no diagrama S-N desse fator.
							(7-38)
A tensão nominal é:
A partir da Equação 7-37, fazendo Sut = 690/6.9 = 100kpsi.
A equação de S-N incorporando o fator de concentração de tensão de fadiga pode ser escrita como:
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4. Caracterização de Tensões Flutuantes
Tensões flutuantes observadas em equipamentos rotativos tomam forma senoidal. Podendo criar outros formatos. 
Sabe-se que em tensões periódicas, o que importa são os picos (alto e baixo) e não a forma de onda.
Logo, Fmax e Fmin em um ciclo de força podem ser usados para caracterizar o padrão de força, então define-se a componente alternante e média, respectivamente:
		e 
A figura 7-23 mostra algumas relações de tempo-tensão.
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Fig 7-23: (a) tensão flutuante com ondulação de alta frequencia; (b e c) tensão flutuante não-senoidal; (d) tensão flutuante senoidal; (e) tensão repetida; (f) tensão senoidal completamente inversa.
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As componentes de tensão são:
σmin = tensão mínima;
σmax = tensão máxima;
σa = componente alternante;
σm = componente média;
σr = variação de tensão;
σs = tensão estática ou estável;
A tensão estável (estática), não é igual a tensão média podendo ter valor entre σmin e σmax e existe devido a uma carga fixa ou pré-carga aplicada a peça. Ex: mola helicoidal.
Assim,
							 (7-39)
Temos a razão de tensão:
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Na ausência de entalhe, σa e σm são iguais as tensões nominais σao e σmo induzidas pelas cargas Fa e Fm. 
Na presença de um entalhe utiliza-se Kfσao e Kfσmo contanto que o material permaneça sem deformação plástica. Assim o fator de concentração de tensão de fadiga Kf é aplicado em ambas as componentes.
Problema: quando a componente estável de tensão é grande o suficiente para provocar escoamento localizado do entalhe. (deformação plástica).
O engenheiro prudente controla o conceito, o material, condição de uso e geometria para que nenhuma deformação plástica ocorra.
Método da tensão média nominal e da tensão residual.
Neste caso estabelece que σa = Kfσao e σm = Kfσmo , dando resultados aproximados. 
O método de Dowling para material dúctil, o qual, para materiais com um ponto de escoamento pronunciado e comportamento aproximado pelo método elástico-perfeitamente plástico, o fator de concentração de tensão Kfm da componente de tensão estável é
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Para materiais dúcteis em fadiga: 
 Evite a deformação plástica localizada em um entalhe. Estabeleça σa = Kfσao e σm = Kfσmo .
 Quando a deformação plástica em um entalhe não puder ser evitada, use as eqs 7-42; ou estabeleça σa = Kfσao e utilize Kmf =1, isto é, σa = Kfσao e σm = σmo.
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CRITÉRIOS DE FALHA POR FADIGA SOB TENSÃO FLUTUANTE
Depois de definidas as várias componentes de tensão em uma peça sujeita a tensão flutuante, vamos variar a tensão média como a amplitude de tensão. 
Métodos de representação gráfica serão abordados.
Abaixo observa-se o diagrama de Goodman modificado.
Fig 7-24: Diagrama modificado de Goodman mostrando todas as resistências e os valores-limite de todas as componentes de tensão para uma tensão média particular.
Fig 7-25: Gráfico das falhas de fadiga por tensões médias em ambas as regiões, de tração e compressão.
Sm – Resistência média	 Su – Resistência última
Sa – Resistência alternante Se – Limite de resistência
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O diagrama abaixo, mostra as quatros componentes de tensão e as duas razões de tensão. A curva que representa o limite de resistência para valores de R, em R = -1 até R = 1, começa em Se no eixo σa, e termina em Sut , no eixo σm. Curvas de vida constante para N = 105 ciclos e N = 104 ciclos pode ser observada. Qualquer estado de tensão, em A, pode ser descrito pelas componentes mínima e máxima, ou pelas componentes média e alternante.
Fig 7-26: Diagrama mestre de fadiga criado para o aço AISI 4340, com Sut =158 kpsi e Sy = 147 kpsi. 
A: 
σmin = 20 kpsi
σmax = 120 kpsi
σm = 70 kpsi
σa = 50 kpsi
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O diagrama abaixo, é o diagrama de fadiga que mostra os vários critérios de falha. Para cada critério, pontos na, ou “acima” da, respectiva linha indicam falha.
Um ponto A na linha de Goodman, provê a resistência Sm como o valor limite de σm correspondente a resistência Sa que, emparelhada com σm é o valor limite de σa .
Cinco critérios de falha são marcados: Soderberg, Goodman modificado, Gerber, elíptico da ASME e do escoamento.
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Considerando a linha de Goodman modificado, o ponto A é o limite, com Sa e Sm . A inclinação da linha de carga é definida:
A equação de critério para a linha de Soderberg é:
		 (7-43)	ou				 (7-48)
Goodman modificado é:
		 (7-44)	ou					 (7-49)
O critério de falha de Gerber é:
		 (7-45)	ou					 (7-50)
O critério elíptico da ASME é:
		 (7-46)	ou					 (7-51)
O critério de escoamento de Langer e:
								 (7-47)
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Equações de intersecção
Coordenadas da interseção
Linha de carga
Linha de carga
Fator de segurança de fadiga
Tab 7-9:Amplitude e coordenadas estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para critérios de falha de Goodman e Langer 
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Equações de intersecção
Coordenadas da interseção
Linha de carga
Linha de carga
Fator de segurança de fadiga
Tab 7-10:Amplitude e coordenadas estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para critérios de falha de Gerber e Langer 
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Equações de intersecção
Coordenadas da interseção
Linha de carga
Linha de carga
Fator de segurança de fadiga
Tab 7-11:Amplitude e coordenadas estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para critérios de falha de ASME elíptico e Langer.
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Ex: 7-11 Considere uma barra de d = 1,5 in usinada a partir de uma barra AISI 1050 repuxada a frio. A peça deve suportar carga de tração flutuante variando de 0 a 16 kip. Por causa das extremidades e do raio de arredondamento, o fator de concentração de fadiga Kf é de 1,85 para vida de 106 ciclos ou mais. Encontre Sa e Sm , o fator de segurança contra fadiga e escoamento de primeiro ciclo usando:
Linha de fadiga de Gerber;
Linha de fadiga elíptica da ASME;
SOLUÇÃO
A partir da Tab A-20, com aço AISI 1050 repuxado a frio, tem-se: Sut =100 kpsi e Sy = 84 kpsi.
Como a tração é flutuante entre 0 e 16 kip:
Os fatores de Marin são:
usinado Tab 7-4.
				carga axial
				carga axial eq 7-25
			 e				Limite de resistência a fadiga.
As componentes nominais da tensão normal σa0 e σm0 são:
Assim,
Sabendo que:
					que é a linha de carga
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Ex: continuação...
a) Linha de Gerber, usando o 1º painel da Tab. 7-10
A partir da Tab 7-10, para linha de Langer (escoamento)
Obs: quando as tensões aumentam, o ponto A se desloca de encontro a primeira curva que a linha de Gerber.
Ou pela Tab 7-10, o fator de segurança contra fadiga pode ser também.
O fator de segurança contra escoamento é
				NÃO HÁ ESCOAMENTO NO LOCAL
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Ex: continuação...
O ponto D indica a mudança de falha por fadiga para escoamento.
A partir da Tab 7-10, do terceiro painel.
Obs: Se r=1 e rcrit < r, existe uma ameaça de fadiga em primeiro lugar.
b) Linha de Fadiga da ASME
Tab 7-11, painel 1, com r=1
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b) Linha de Fadiga da ASME
Tab 7-11, painel 1, com r=1, obtém as coordenadas Sa e Sm do ponto B.
A partir do painel 3 da Tab 7-11 o ponto D de inersecção entre a linha de Langer (escoamento) e ASME é:
A linha de carga critica.
Novamente rcrit < r, então a ameaça é de fadiga.
O fator de segurança pode ser calculado como:
Ex: continuação...
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Ex: 7-12 Uma mola de chapa plana é usada para reter um seguidor de face plana em contato com um came de placa. O intervalo de movimento do seguidor é de 2 in e está fixo logo, a componente alternante de força, o momento fletor e a tensão também estarão fixos. A mola é pré-carregada para ajustar a várias velocidades do came. A pré-carga deve ser aumentada para prevenir flutuação e salto do seguidor. Para velocidades baixas, ela deve ser diminuída para obter uma vida mais longa das superfícies do came e do seguidor. A mola é uma viga de aço em balanço com comprimento de 32 in, largura de 2 in e espessura de ¼ in. As resistências da mola são Sut =150 kpsi, Sy = 127 kpsi e Se = 28 kpsi completamente corrigidas. O movimento total do came é de 2 in. O projetista deseja pré-carregar a mola deflectindo-a 2 in para baixas velocidades, e 5 in para altas velocidades.
Trace as linhas de falha de Gerber-langer com a linha de carga;
Quais são os fatores de segurança da resistência correspondentes as pré-cargas de 2 in e 5 in?
Quais são os fatores de segurança baseados na deflexão da pré-carga?
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Ex: 7-12 SOLUÇÃO
O momento de área da seção transversal da viga é:
Da Tab A-9, viga 1, a força F e a deflexão y em viga em balanço são relacionados por:
Então a tensão σ e a deflexão y são:
Em que
Analisando: 
As componentes de tensão são:
59
Ex: 7-12 cont...
Para  = 0					Para  = 2 in,
Para  = 5 in,
a) Montando os locais geométricos de Gerber e Langer (Tab 7-10), observa-se que as deflexões de pré-carga (0, 2in e 5in) são exibidas nos pontos A, A’ e A’’.
Uma vez σa constante em 11 kpsi, a linha de carga é horizontal sem origem.
A intersecção entre a linha de Gerber e a linha de carga é calculada pela eq. 7-45 para Sm e da substituição de 11 kpsi por Sa :
A intersecção da linha de Langer e a linha de carga é calculada pela eq 7-47.
RISCO DE FADIGA = RISCO DE ESCOAMENTO
60
Ex: 7-12 cont...
b) Para  = 2 in, ponto A’
Para  = 5 in,
c) Um fator de segurança baseado na deflexão de pré-carga implica encontrar a deflexão de pré-carga associada a falha. Considerando a fadiga como ameaça, por Gerber
O fator de segurança para velocidades mais lentas,
Para velocidades altas, idem anterior,
61
Ex: 7-13 Uma barra de aço é submetida a um carregamento cíclico tal que max = 60 kpsi e min = -20 kpsi. Para o material, Sut =80 kpsi, Sy = 65 kpsi, o limite de resistência completamente corrigido é Se = 40 kpsi e f = 0,9. Estime o número de ciclos para falha por fadiga:
Critério de Goodman modificado;
O critério de Gerber;
SOLUÇÃO
A partir das tensões fornecidas,
A partir das propriedades do material, as eqs: (7-13) e (7-15)
					(1)
Em que Sf substituiu σa na eq: (7-15)
62
Ex: 7-13 cont...
Para o critério de Goodman, com n=1 e Se = Sf , a eq (7-49) produz:
Substitui na eq (1),
b) Para Gerber, pela eq: (7-50)
Substitui na eq (1),
Portanto, o critério de Goodman é conservador se comparando ao de Gerber, para o qual a diferença moderada de Sf é então aumentada por uma relação logarítmica S, N.
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Para muitos materiais frágeis, o critério de falha por fadiga segue um local geométrico côncavo para cima de Smith-Dolan, dado por:
								(7-52)
Ou como,
								(7-53)
Para uma linha de carga radial de inclinação r, substituímos Sa /r por Sm na eq. (7-52) então:
								(7-54)
A diferença entre o material frágil e do material dúctil, quanto a fadiga é que:
 Não ocorre escoamento, uma vez que o material não pode apresentar uma resistência a ele;
 A resistência a compressão última excede a resistência a tração última;
 O local geométrico no 1° quad. da falha por fadiga é côncavo para cima e tão plano quanto o Goodman. Materiais frágeis são mais sensíveis a tensão media, sendo o local geométrico mais baixo, porém tensões de compressão médias são benéficas.
O domínio mais provável de utilização pelo projetista está no intervalo de –Sut ≤ σm ≤ Sut . O local geométrico no 1° quadrante é o de Goodman, o de Smith-Dolan ou algo entre eles. No 2° quadrante, uma reta entre –Sut , Sut e 0, Se representa o local geométrico da falha com a seguinte equação.
 (ferro fundido)			(7-55)
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Na Tab A-24, apresenta-se as propriedades de ferro fundido cinza.
Diagrama de fadiga Smith-Dolan para ferro fundido
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Ex: 7-14 Uma barra de ferro fundido cinza, grau 30, está sujeito a uma carga F aplicada a um conector de seção transversal de 1 in por 3/8 in, com um orifício de diâmetro de ¼ in furado no centro. As superficies são usinadas. Nos arredores do orifício, indique qual é o fator de segurança protegendo contra falha sob as seguintes condições:
A carga F = 1000 lbf em tração, permanente;
A carga é de 1000 lbf e aplicada repetidamente;
A carga flutua entre -1000 lbf e 300 lbf. Use o local geométrico de fadiga de Smith-Dolan.
SOLUÇÃO
A partir da Tab A-24, Sut =31 kpsi, Suc = 109 kpsi (compressão), ka kb S’e = 14 kpsi. Visto que kc para carregamento axial é 0,9, então Se = ka kb S’e kc =14(0,9)=12,6 kpsi.
Pela Tab A-15-1, A = t(w-d) = 0,375(1-0,25) = 0,281 in2
d/w = 0,25/1 = 0,25 e Kt = 2,45. O q = 0,20 para ferro fundido.
				Fator concentração de tensão de fadiga	
Para F = 1000 lbf permanente Fa = 0 e Fm = 1000 lbf.
		logo,
Portanto,
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Ex: 7-14 cont...
b) F = 1000 lbf, repetidamente.
						
					 é linha de carga
O fator de segurança é
Pela eq. (7-54), pois:
Portanto,
			fator de segurança
c) Carga flutua entre -1000 e 300 lbf.
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A partir da eq (7-55)
		e Sm = Sa /r.
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RESISTÊNCIA A FADIGA TORCIONAL SOB TENSÕES FLUTUANTES
TEORIA: 
Alguns ensaios mostram a existência de uma componente de tensão torcional estável, não maior que a resistência ao escoamento torcional, não tem efeito sobre o limite de resistência torcional, contanto que o material seja dúctil, polido, sem entalhe e cilíndrico.
No segundo momento dos ensaios, Smith, usou materiais com concentração de tensão, entalhes ou imperfeições superficiais. 
Observa-se que o limite de fadiga torcional decresce com a tensão torcional permanente. Esse resultado indica que Gerber, ASME elíptica são úteis. 
Joerres recomenda o uso da relação de Goodman para torção flutuante:
LIMITE DE FADIGA
TORCIONAL
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COMBINAÇÃO DE MODOS DE CARREGAMENTO
O que fazer quando o carregamento for uma combinação de cargas axiais, flexionais e torcionais?
Calcular um limite de resistência separado? 
Calcular múltiplos fatores de concentração de tensão, para cada carregamento?
PROCEDIMENTOS PARA CARREGAMENTOS COMBINADOS
“Assume-se que todas as componentes de tensão estejam se invertendo completamente e que estejam sempre em fase”:
Calcular as componentes alternadas e médias de tensão;
Aplique os fatores de concentração de fadiga correspondentes para cada tipo de tensão, Kf (flexão), Kf (axial) e Kfs (torção);
Calcule as tensões de Von Mises para as duas componentes de tensão alternada σ’a e média σ’m ;
Selecione o critério de falha por fadiga (Goodman modificado, Gerber, ASME-eliptico ou Soderberg);
Para o cálculo de Limite de Resistência à Fadiga Se, use os modificadores ka, kb e kc para flexão. Para Torção o fator de carga kc = 0,59 não deve ser aplicado. Então deve-se dividir as componentes de tensão axial alternada e média por kc = 0,85 (axial).
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Se o escoamento ocorre o fator de falha estática é calculada pela divisão da Resistência ao escoamento Sy pela tensão máxima de Von Mises
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Ex: 7-15 Um eixo rotativo é feito de um tubo de 42 x 4 mm, AISI 1018 repuxado a frio, com diâmetro de orifício de 6 mm furado transversalmente em relação a si. Estime o fator de segurança protegendo contra fadiga e falhas estáticas mediante o uso de critérios de falha de Gerber e Langer para as seguintes condições de carregamento:
O eixo está sujeito a um torque completamente inverso de 120 N.m, em fase com um momento flexor completamente inverso de 150 N.m;
O eixo está sujeito a um torque pulsante flutuando de 20 a 160 N.m e a um momento flexor permanente de 150 N.m;
SOLUÇÃO
Pela Tab A-20, Sut = 440 MPa e Syt = 370 MPa.
Os fatores de Marin calculados e assim:
Na Tab A-16, a/D = 6/42 = 0,143 e d/D = 34/42 = 0,810, por interpolação obtemos:
A = 0,798 e Kt =2,366 para flexão e A = 0,89 e Kts = 1,75 para torção.
Para flexão,
Para Torção,
72
Ex: 7-15 cont...
Para a sensibilidade ao entalhe, utiliza-se as Fig. 7-20 e 7-21 para raio de entalhe r = 3mm, assim q = 0,78 para flexão e qcis = 0,96 para torção. Os fatores de concentração de tensão sob fadiga são:
A tensão de flexão é:
A tensão torcional é:
A componente de tensão média (permanente) de von Misses σ’m é zero.
A componente de amplitude de von Misses σ’a é:
Como Se = Sa , o fator de segurança contra fadiga é:
O fator de segurança para o escoamento é:
PORTANTO A AMEAÇA É DE FADIGA!!!
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Ex: 7-15 cont...
b) Torção pulsante e uma componente permanente de flexão.
				São as tensões devido a torção pulsante.
A componente de tensão de flexão permanente é:
As componentes de von Misses são:
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Ex: 7-15 cont...
Linha de carga
Da Tab 7-10, a componente de resistência Sa e a componente permanente de resistência Sm são:
					ou
80,93
85,7
Langer
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EXERCICIO
EX: 7.10 A fig mostra um eixo rotativo, sustentado em mancais de esferas em A e D e carregado por uma força não – rotativa F de 6,8kN. Empregando as resistências mínimas ASTM, estime a vida da peça.
SOLUÇÃO
A falha provavelmente ocorrerá em B, em vez de C, ou no ponto de momento máximo. O ponto B tem uma seção transversal menor, um momento flexor maior e um fator de concentração de tensão mais alto que C; além disso, na localização de momento máximo existe um tamanho maior e nenhum fator de concentração de tensão.
A partir da Tab A-20, tem-se: Sut=690MPa e Sy=580MPa.
A partir da Tab 7-4, usinado ou laminado a frio.
A partir da eq 7-19,
Onde kc=kd=ke=kf=1, O limite de resistência a fadiga é:
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Para encontrar o fator geométrico de concentração de tensão Kt, a partir da figura A-15-9 com D/d=38/32=1,1875 e r/d=3/32=0,09375, tem-se Kt=1,65.
A partir da Tab 7-8, a=139/690=0,201mm. A partir da eq. (7-35),
É o fator de concentração de tensão por fadiga que se aplica a 106 ciclos ou mais.
Observando o ponto B, o momento fletor em B é:
Logo a esquerda de B, o módulo da seção I/c=d3/32= (3,2)3/32=3,22cm3. A tensão de flexão inversa é, para vida infinita,
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Essa tensão é maior que Se é menor que Sy. Significa que temos vida finita e nenhum escoamento no primeiro ciclo.
Existe 2 procedimentos, o primeiro é conservador, consiste em supor que Kf seja constante, independente do número de ciclos N.
O segundo consiste em usar a eq (7-38).
(Procedimento 1)
Usando a eq (7-10)
Pela eq (7-11),
Pela eq (7-13),
A partir da equação 7-15,
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(Procedimento 2)Para a eq 7-38, requere-se um valor de N, desconhecido.
Como não tem-se KN, em vez de aplicar o fator de concentração de tensão de fadiga a tensão , reduziremos as resistências no diagrama S-N desse fator.
Obs: Esse procedimento não é aconselhável para tensões combinadas.
Pela eq (7-37) com Sut=690/6,0=100kpsi, para Sut<330kpsi e Kf é o fator de concentração de fadiga para 106 ciclos.
A eq S-N incorporando o fator de concentração de tensão de fadiga pode ser escrita como 
Assim:
Logo:
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7-10
Uma barra retangular é cortada a partir de um perfil plano de aço AISI 10 18 repuxado a frio. Ela tem 60 mm de largura por 10 mm de espessura e um orifício de 12 mm feito pelo centro, como na Tab A-15-1. Essa barra é carregada concentricamente, em fadiga puxa-empurra, por forças axiais Fa, uniformemente distribuídas ao longo da largura. Empregando um fator de projeto de nd=1,8, estime a maior força Fa possível de ser aplicada, ignorando a ação de coluna.
SOLUÇÃO
Tab A-20, Sut=440 Mpa e Sy=370MPa.
Logo:
2. Tab 7-4,
3. eq. 7-25
4. Tab A-15-1
d/w=12/60=0,2 logo: Kt=2,5
5. Da eq 7-35,
80
Então:
Por outro lado:
						Força devido ao escoamento.
A maior força possível para evitar fadiga é 21,6 kN.
81
7-11
As reações de mancal R1 e R2 são exercidas no eixo abaixo. O eixo gira a 1150 rpm e suporta uma força flexora de 10 kip. Use um aço 1095 laminado a quente. Especifique o diâmetro d utilizando um fator de projeto de nd=1,6 para uma vida de 3 min. As superfícies são usinadas.
SOLUÇÃO
Decisões de Projeto: diâmetro d;
Material e condições: 1095 laminado a quente HR Tab A-20, Sut=120kpsi e Sy=66kpsi.
Fator de projeto nd=1,6;
Vida finita: 1150 rpm x 3 min = 3450 ciclos;
Função: carga de 10000lbf.
Limite de resistência a fadiga estimado:
				Usinada
Temos :
O momento onde ocorre mudança de seção é:
				 ou
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Que é o local crítico, em x = 12 in. A partir da fig A-15-9, com D/d=1,5d/d=1,5 e r/d=0,1 assim: Kt=1,68.
Usando f = 0,9 e fazendo tentativas para o valor de d.
1ª tentativa:
d = 1,0 in.
Portanto, a resistência a fadiga é:
A tensão é:
e r = d/10=1/10=0,1
					Portanto: