Prova calculo 2015 2 cederj Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AD1 – Tutor
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Questa˜o 1 [2,5 pts]: Calcule a integral I =
∫∫
D
(x+ y)2 sen(x− y) dA,
onde D e´ o quadrado com ve´rtices (0, 1), (−1, 2), (−2, 1) e (−1, 0).
Soluc¸a˜o:
O esboc¸o da regia˜o D e´:
x
y
D
(0, 1)(−2, 1)
(−1, 2)
(−1, 0)
x−y =−3
x+y =−1
x+y =1
x−y =−1
Figura 1: Regia˜o D
Observamos que D esta´ limitado pelas retas x+ y = −1, x+ y = 1, x− y = −3 e x− y = −1.
u
v
Duv
1−1
−1
−3
Figura 2: Regia˜o Duv
Fazendo u = x+ y e v = x− y, temos
J−1 =
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∣∣∣∣∣∂u∂x ∂u∂y∂v
∂x
∂v
∂y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣1 11 −1
∣∣∣∣ = −1− 1 = −2.
Logo, J = −1
2
e dA = |J | du dv = 1
2
du dv. Vemos que a
regia˜o Duv esta´ limitada pelas retas
u = −1, u = 1, v = −3 e v = −1.
O integrando (x+y)2 sen(x−y) transforma-se em u2 sen v.
Aplicando a fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis, temos:
I =
∫∫
Duv
u2 sen v |J | du dv = 1
2
∫ 1
−1
u2
∫ −1
−3
sen v dv du
=
1
2
[
− cos v
]−1
−3
[
u3
3
]1
−1
=
1
2
· 1
3
· 2(cos(−3)− cos(−1))
=
1
3
(cos 3− cos 1).
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 2
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Considere a integral
I =
∫ 1
−1
∫ 1
x2
∫ 1−y
0
dz dy dx.
(a) Esboc¸e o so´lido W cujo volume e´ dado pela integral I.
(b) Reescreva a integral I em uma integral iterada na ordem de integrac¸a˜o dx dz dy.
Soluc¸a˜o:
(a) Temos W = {(x, y, z) ; (x, y) ∈ Dxy e 0 ≤ z ≤ 1− y}, com Dxy : −1 ≤ x ≤ 1 e x2 ≤ y ≤ 1.
x
y
Dxy
1
1−1
Figura 3: Regia˜o Dxy
x
y
z
W
1
1
−1
Figura 4: So´lido W
(b) Projetando o so´lido W sobre o plano yz obtemos a regia˜o Dyz da figura abaixo
y
z
Dyz
1
1
y+z=1
Figura 5: Regia˜o Dyz
Enta˜o, Dyz : 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1− y.
Por um ponto (x, y, z) no interior de W consideramos uma paralela ao eixo x orientada como o eixo
x. Tal paralela entra em W num ponto do cilindro parabo´lico y = x2 onde x = −√y e sai de W
num ponto onde x =
√
y. Logo, −√y ≤ x ≤ √y. Assim,
I =
∫ 1
0
∫ 1−y
0
∫ √y
−√y
dx dz dy.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 3
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Transforme
∫ 1
0
∫ 1
0
f(x, y) dy dx em uma ou mais integrais repetidas em
coordenadas polares.
Soluc¸a˜o: Temos
I =
∫ 1
0
∫ 1
0
f(x, y) dy dx =
∫∫
D
f(x, y) dx dy,
onde D : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1.
x
y
D
1
1
Figura 6: Regia˜o D
Consideramos D = D1 ∪D2, conforme a figura abaixo:
x
y
D1
D2
1
1
Figura 7: Regia˜o D = D1 ∪D2
Passando para coordenadas polares, temos:
x = r cos θ , y = r sen θ , dx dy = r dr dθ , x2 + y2 = r2
D1 rθ : 0 ≤ θ ≤ pi
4
, 0 ≤ r ≤ sec θ e D2 rθ : pi
4
≤ θ ≤ pi
2
, 0 ≤ r ≤ csc θ.
Assim,
I =
∫∫
D1 rθ
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ +
∫∫
D2 rθ
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ
=
∫ pi/4
0
∫ sec θ
0
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ +
∫ pi/2
pi/4
∫ csc θ
0
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ.
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Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 4
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Ao calcular, por integral dupla, o volume V do so´lido W situado abaixo do
paraboloide e acima de uma regia˜o D do plano xy, obteve a seguinte soma de integrais repetidas:
V =
∫ 1
0
∫ y
0
(x2 + y2) dx dy +
∫ 2
1
∫ 2−y
0
(x2 + y2) dx dy.
(a) Esboc¸e a regia˜o D.
(b) Expresse V por integrais repetidas nas quais a ordem de integrac¸a˜o esteja invertida.
(c) Calcule o valor de V
Soluc¸a˜o:
(a) Temos V =
∫∫
D
(x2 + y2) dx dy, onde D = D1 ∪D2, com
D1 : 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ y e D2 : 1 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ 2− y.
x
y
D1
1
1
Figura 8: Regia˜o D1
x
y
D2
1
1
2
Figura 9: Regia˜o D2
x
y
D
1
1
2
Figura 10: Regia˜o D = D1 ∪D2
(b) Descric¸a˜o de D como regia˜o do tipo I:
D : 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 2− x.
Logo,
V =
∫ 1
0
∫ 2−x
x
(x2 + y2) dy dx.
(c) Ca´lculo de V :
V =
∫ 1
0
[
x2y +
y3
3
]2−y
x
dx =
∫ 1
0
[
x2(2− x) + (2− x)
3
3
− x3 − x
3
3
]
dx
=
∫ 1
0
[
2x2 − 7x
3
3
+
(2− x)3
3
]
dx =
[
2x3
3
− 7x
4
12
− (2− x)
4
12
]1
0
=
2
3
− 7
12
− 1
12
+
16
12
=
4
3
u.v.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ