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Modelo de qualidade da água em rio

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PV066E – Modelo de qualidade da água em rio – AULA 3 
PPGEC/FECIV/UFU 
1
Universidade Federal de Uberlândia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Programa de Mestrado em Engenharia Civil 
 
 
PV066E – Modelo de qualidade da água em rio 
 
AULA 3 – Equações governantes 
 
1 Equação de advecção-difusão 
Em um curso de água ou reservatório, a mudança da concentração de um poluente no tempo e 
espaço ocorre devido à advecção, difusão molecular e difusão turbulenta (dispersão) associadas às 
alterações na concentração da substância em função de conversões ou processos físicos, químicos 
e biológicos. 
- Advecção: é o transporte resultante do gradiente de velocidade; 
- Difusão: variação da concentração com base em seu gradiente, com movimento molecular da 
parte mais concentrada para a menos concentrada; 
- Difusão turbulenta ou dispersão: considera o efeito da flutuação turbulenta sobre a 
concentração. 
Como exemplo, em uma baía (ambiente lêntico), a difusão é predominante sobre a advecção. Já 
em rios (ambiente lótico), a advecção predomina sobre a difusão, lembrando que o estudo da 
difusão em rios depende de trabalhos experimentais com traçadores (muito trabalhoso!!!). 
Desenvolvimento matemático da equação 
 
Aplicando-se a conservação da massa do composto (substância que se desloca com o escoamento) 
dentro do elemento de volume (dx, dy e dz), resulta a equação [1]. 
 
dt
MMM
dt
dM geradasaientra ±−
= [1] 
 
Na qual: dM/dt é a variação da massa do composto dentro do volume infinitesimal. A equação [1] 
pode ser escrita de outra forma, conforme equação [2]. 
 
{
{
III
o
II
sai
o
entra
o
I
GMM
dt
dM ±−=
43421
 [2] 
Na qual: 
o
G é a massa gerada (>0) ou consumida (<0) por unidade de tempo. Representa o 
conjunto de processos que geram ou consomem uma substância qualquer. Depende da 
substância que se está modelando e a explicação para cada caso será feita em aula posterior. 
 
- Equacionamento da parte I: 
 
M = M (espaço,t) = M (x, t) = M (x, y, z, t), conforme equação [3]. 
 
 
 
PV066E – Modelo de qualidade da água em rio – AULA 3 
PPGEC/FECIV/UFU 
2
{ { { dt
dt
.
t
M
dt
dz
.
z
M
dt
dy
.
y
M
dt
dx
.
x
M
dt
dM
wvu
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= [3] 
Na qual: u, v e w são componentes de velocidade do escoamento, nas direções x, y e z, 
respectivamente. Com as componentes de velocidade resulta na equação [4]. 
 
w.
z
M
v.
y
M
u.
x
M
t
M
dt
dM
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= [4] 
 
Trabalhando com concentração no lugar de massa: M = C.dVol = C.dx.dy.dz, que resulta na 
equação [5]. 
 
.dz.dy.dx
z
C
.w
y
C
.v
x
C
.u
t
C
dt
dM






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= [5] 
 
- Equacionamento da parte II: 
 
A Figura 1 ilustra o balanço de massa em um volume infinitesimal. 
 
Figura 1 – Balanço de massa em um volume infinitesimal 
 
As massas que entram e saem no volume de controle estão representadas, respectivamente, nas 
equações [6] e [7]. 
dz.dx.mdz.dy.mdy.dx.mM y
o
x
o
z
o
entra
o
++= [6] 
 
.dz.dx
y
dym
m.dz.dy
x
dxm
m.dy.dx
z
dzm
mM
y
o
y
o
o
x
x
o
o
z
z
o
sai
o








∂
∂
++








∂
∂
++








∂
∂
+= [7] 
A diferença entre a massa que entra e a que sai está representada na equação [8]. 
dz.dy.dx.
z
m
y
m
x
mMM
o
zy
oo
x
sai
o
entra
o








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=− [8] 
De acordo com a 1ª lei de Fick, a qual se baseou na teoria de calor de Fourier, o fluxo de massa de 
uma substância ou a massa que atravessa uma unidade de tempo numa direção é proporcional ao 
 
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3
gradiente de concentração da substância nesta direção, cuja representação matemática está na 
equação [9]. 
i
o
i
x
C
.Dm
∂
∂
−= [9] 
Substituindo a equação [9] em [8] resulta na equação [10] 
.dz.dy.dx
z
C
.D
zy
C
.D
yx
C
.D
x
MM sai
o
entra
o












∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=− [10] 
 
- Equacionamento da parte III: 
 
A massa gerada ou consumida 
o
G é apresentada na equação [11]. 
 
.dz.dy.dxg
dt
M
G
o
gerada
o
== [11] 
Na qual: 
o
g é a massa gerada por unidade de tempo e de volume. 
 
Voltando os equacionamentos da parte I, II e III na equação [2], resulta na equação [12]. 
 
.dz.dy.dxg.dz.dy.dx
z
C
.D
zy
C
.D
yx
C
.D
x
.dz.dy.dx
z
C
.w
y
C
.v
x
C
.u
t
C o±











∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ [12] 
A divisão de todos os termos da equação [12] por dx.dy.dz resulta na equação [13], que é a 
equação de advecção-difusão. 
 
o
i
i
ii
i
o
g
x
C
.D
xx
C
.u
t
C
ou
g
z
C
.D
zy
C
.D
yx
C
.D
xz
C
.w
y
C
.v
x
C
.u
t
C
±





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
±





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 [13] 
 
Na equação [13]: 
 
• 
t
C
∂
∂
 é a parcela transiente: variação da concentração no tempo; 
• 
i
i
x
C
.u
∂
∂
é a parcela advectiva: transporte do composto por advecção; 
• 





∂
∂
∂
∂
i
i
i x
C
.D
x
 é a parcela difusiva: transporte do composto por difusão; 
• 
o
g é o termo fonte (se positivo) ou sumidouro (se negativo) de massa. 
 
Nos casos turbulentos, que corresponde à maioria dos problemas ambientais, a equação de 
advecção-difusão também é utilizada para calcular concentrações médias C temporais, utilizando 
a difusividade turbulenta Dt, conforme equação [14]. 
 
 
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4
o
g
z
C
.Dt
zy
C
.Dt
yx
C
.Dt
xz
C
.w
y
C
.v
x
C
.u
t
C ±





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ [14] 
 
A equação de advecção-difusão turbulenta, conforme demonstrada na equação [14], é uma 
formulação geral e completa. Casos particulares podem ser obtidos a partir dela. 
 
- difusão transiente sem geração de massa de um corante em água parada (ambiente lêntico) ou 
de um poluente conservativo em um lago, conforme equação [15]. 
 






∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
C
.D
zy
C
.D
yx
C
.D
xt
C [15] 
 
- a maioria dos modelos de qualidade da água em trecho de rio considera escoamento 
unidimensional (direção longitudinal ou direção x), conforme equação [16]. 
o
g
x
C
.Dt
xx
C
.u
t
C ±




∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ [16] 
- para um problema unidimensional em rio na direção longitudinal e considerando a contribuição 
lateral (difusa), resulta na equação [17] ou equação [18]. 
( ) oL gCC
A
q
x
C
.Dt
xx
C
.u
t
C ±−+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ [17] 
o
g
Vol
Sd
x
C
.Dt
xx
C
.u
t
C ±+





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ [18] 
Na qual: q é a vazão por unidade de largura de contribuição lateral (L3/T.L); A é a área de seção 
molhada (L2); CL é a concentração da contribuição lateral (M/L
3); Sd é a massa de água que entra 
no trecho de rio de forma difusa (M/T); Vol é o volume da massa líquida (L3). 
- para um problema unidimensional em rio na direção longitudinal, considerando a contribuição 
lateral (difusa) e interação rio-aquífero, resulta na equação [19]. 
o
see g
Vol
q.C
Vol
qC
Vol
Sd
x
C
.Dt
xx
C
.u
t
C ±−++





∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ [19] 
Na qual: C é a concentração da substância no rio (M/L3); Ce é a concentração da substância no 
aquífero ao qual está conectado (M/L3); qe é a vazão de entrada do aqüífero ao rio (L
3/T); qS é a 
vazão de saída do rio ao aqüífero (L3/T). 
 
2 Cinética de reações 
Quando falamos de cinética de reações nos focamos no termo
o
g da equação [14]. A taxa de reação 
r descreve o desaparecimento ou a formação de um composto, conforme a equação [20]. 
n
C.kr = [20] 
Na qual: r é a taxa de reação (M/L3.T), k é a constante de reação (1/T – 1ª ordem ou M/L3.T – 
ordem zero), C é a concentração do reagente (M/L3) e n é a ordem de reação. 
 
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Em uma reação com apenas um reagente, aplicando a escala logarítma na equação [20], obtem-se 
a equação da reta log(r) = log(k)+n.log(C), cuja representação gráfica está ilustrada na Figura 2. 
 
Figura 2 – Representação gráfica de log(r) = log(k)+n.log(C) 
As ordens de reação n mais frequentemente encontradas na modelagem de qualidade da água são 
as de ordem zero e de primeira ordem ou ordem 1. A ordem de reação não necessita ser 
necessariamente um número inteiro e a determinação em laboratório das taxas de degradação de 
certos compostos industriais pode conduzir a ordens fracionárias. 
Na modelagem de qualidade da água há várias reações que são representadas por uma cinética de 
1ª ordem, como reaeração natural, redução de matéria orgânica, nitrificação, decaimento do 
fósforo total e decaimento de organismos patogênicos. 
2.1 Reações de ordem zero 
Uma reação de ordem zero de um único composto é representada pela equação [21]. 
 kdtdC ou C.kdtdC 0 ±=±= [21] 
Considerando C=C0 em t = 0, tem-se a equação [22]. 
 t.kCC 0 −= [22] 
Na qual k (mg/L.dia) e t(dia). 
2.2 Reações de primeira ordem 
Uma reação de primeira ordem de um único composto é representada pela equação [23]. 
 C.kdtdC ou C.kdtdC
1 ±=±= [23] 
Considerando C=C0 em t = 0, tem-se a equação [24]. 
 e.CC
t.k
0
−
= [24] 
Na qual k (1/dia) e t (dia). 
É importante lembrar que as equações [21] e [23] são formulações resumidas da equação de 
advecção-difusão turbulenta, na qual os termos relacionados à advecção, difusão turbulenta, 
contribuição difusa e interação com aquífero são desprezados. 
 
3 Métodos de integração das equações diferenciais 
As equações diferenciais podem ser integradas analiticamente ou numericamente, dependendo 
de sua complexidade. Como exemplo, em função da simplicidade de sua formulação, as equações 
[22] e [24] foram integradas de forma analítica. 
 
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6
Quando uma equação diferencial for complexa, com vários termos, na qual a integralização 
analítica torna-se difícil, utilizam-se métodos numéricos de integração, tais como Euler, Runge-
Kutta, etc. Pela simplicidade e eficiência para o que precisamos, o método de Euler satisfaz, cuja 
representação matemática é descrita na equação [25]. 
tr.CC 1tt ∆+= − [25] 
Na equação [25] aconselha-se adotar o passo de integração ∆t reduzido, para não incorrer em 
erros na estimativa. 
3.1 Influência da temperatura 
A taxa de reação química e bioquímica altera com a mudança da temperatura. 
- a taxa de reação química r↑ ToC↑, desde que não alterem os reagentes ou catalisadores; 
- a taxa de reação biológica r↑ ToC↑, até uma temperatura ótima, acima da qual existe destruição 
das enzimas. 
Baseado na Teoria de Arrhenius, através da equação [26] é possível corrigir a constante k da 
equação 20, levando-se em consideração as mudanças da temperatura da água. 
12
12
TT
TT kk
−
=θ [26] 
Na qual: kT2 é a constante de reação para T2; kT1 é a constante de reação para T1; Θé o coeficiente 
de temperatura (adimensional – variável para cada parâmetro de qualidade) 
 
EXERCÍCIO: Comparação entre integração analítica e numérica para reação de primeira ordem 
através de Cxt, onde Co=100 mg/L e k=0,4 dia
-1. Utilizar 0,001dia, 0,01dia, 0,05dia, 0,1dia, 0,2dia e 
1,0dia como passos de integração. 
 
4 Equação da advecção-difusão - formulação matemática mais simples 
O balanço de massa em um compartimento de rio pode ser aplicado em um volume infinitesimal, 
em um sub-trecho, trecho ou todo o rio principal. A extensão da discretização ao longo do curso 
de água depende dos objetivos da modelagem e dos afluentes existentes. O balanço de massa é 
representado na Figura 3 e na equação [27]. 
( )
Vol.rVol.rC.QC.QdtdC.VoldtdVol.C
ou 
Vol.rVol.rC.QC.QdtV.Cd
cp0
cp0
−+−=+
−+−=
 [27] 
 
Figura 3 – Balanço de massa 
 
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7
A maioria dos modelos de qualidade da água considera estado estacionário dC/dt = 0. Significa que 
a modelagem apenas é iniciada após a estabilização na zona de mistura (ou seja, não considera o 
período de formação da ‘pluma” para uma concentração afluente constante). 
Em estado estacionário dC/dt = 0, considerando Vol constante, resulta na equação [28]. 
Vol.rVol.rC.QC.Q0 cp0 −+−= [28] 
Em estado dinâmico dC/dt ≠ 0, estado real, resulta na equação [29]. 
Vol.rVol.rC.QC.QdtdC.Vol cp0 −+−= [29] 
Os modelos dinâmicos têm sido menos utilizados devido à maior complexidade na solução das 
equações. 
 
5 Representação hidráulica de rios 
Conhecidas as taxas de reações, para que se possa calcular a concentração do composto no rio é 
necessário ainda definir o modelo hidráulico a ser atribuído. 
- Fluxo em pistão: a difusão turbulenta é nula, atuando apenas a advecção e as conversões. O 
fluxo em pistão é muito utilizado em modelagem de qualidade da água em rios; 
- Mistura completa (dispersão infinita): não se adequa em rios, visto que a hidráulica de mistura 
completa considera dispersão ou difusão turbulenta instantânea em x, y e z, mantendo a 
concentração igual em todos os pontos dentro do volume de controle (trecho de rio). Mesmo 
assim, o conceito de mistura completa é importante para entender a hidráulica de células em 
série; 
- Células em série: a difusão turbulenta ou dispersão longitudinalainda é considerada nula ao 
longo das células (similar ao fluxo em pistão), sendo considerada a dispersão inifinita e máxima em 
x, y e z apenas no interior de cada célula (similar à mistura completa). O decaimento da 
concentração de um poluente ao longo das células ocorre por conversão. 
- Fluxo disperso: é o fluxo real, com regiões escoando-se mais rapidamente e outras mais 
lentamente que a velocidade média de fluxo. O fluxo disperso considera a Lei de Fick para a 
difusão molecular como resultado de um movimento aleatório da região mais concentrada para a 
menos concentrada. O espalhamento do traçador ocorre devido a uma ação combinada de difusão 
turbulenta e variações de velocidade (advecção). A determinação experimental do coeficiente de 
dispersão longitudinal DL em curso de água é feito por meio de estudos com traçadores (a 
apresentação das metodologias foge do objetivo desta disciplina). 
 
6 Equação de mistura 
As equações da mistura esgoto/rio principal e afluente/rio principal apresentadas nos modelos de 
qualidade da água geralmente pressupõem uma mistura perfeita e instantânea no ponto de 
contribuição, considerando nos modelos que a distância longitudinal para mistura é muito 
pequena quando comparada à distância do trecho a modelar, podendo ser desprezada (ver 
esquema na Figura 4). 
 
 
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Figura 4 – Esquema simplificador da região de mistura 
Considerando a região onde ocorre a mistura total e instantânea como objeto de estudo, é a partir 
desta região que se inicia a modelagem longitudinal de qualidade da água. Através de uma simples 
média ponderada das concentrações com suas respectivas vazões dos dois componentes da 
mistura, chega-se na equação geral da mistura perfeita e instantânea, conforme equação [30]. A 
Figura 5 traz um esquema situacional das concentrações e vazões pertencentes à mistura. 
 rio.rio1122 CQQ.CQ.C += 
 
2
rio.rio11
2
Q
CQQ.C
C
+
= 
rio1
rio.rio11
2
QQ
CQQ.C
C
+
+
= [30] 
 
Figura 5 – Esquema situacional das concentrações e vazões pertencentes à mistura

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