Projeto de sistemas de controle

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Projeto de sistemas de controle
Os controladores cla´ssicos encontrados na literatura podem ser classificados
como:
• Controladores de duas posic¸o˜es (ou on-off ).
• Controladores proporcionais.
• Controladores integrais.
• Controladores proporcional-integrais.
• Controladores proporcional-derivativos.
• Controladores proporcional-integral-derivativos.
Os controladores tambe´m podem ser classificados de acordo com a espe´cie de
energia empregada na operac¸a˜o: controladores pneuma´ticos, controladores
hidra´ulicos ou controladores ele´tricos.
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Controlador On-Off
• O elemento atuante possui apenas duas posic¸o˜es fixas.
• Controle relativamente simples e barato.
• u(t): sinal na sa´ıda do controlador; e(t): sinal de erro atuante.
• u(t) permanece em um valor ma´ximo ou em um valor m´ınimo, conforme
e(t) seja positivo ou negativo:
u(t) =
{
U1, para e(t) > 0
U2, para e(t) < 0
onde U1 e U2 sa˜o constantes. U2 e´ normalmente zero ou −U1.
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• Geralmente, os controladores on-off sa˜o dispositivos ele´tricos.
• Costumam-se usar va´lvulas operadas por soleno´ides ele´tricos.
• Um intervalo diferencial faz com que u(t) mantenha seu valor atual ate´ que
e(t) tenha variado ligeiramente acima de zero.
• Com isso, evita-se operac¸o˜es muito frequentes do controle on-off.
• Um exemplo do uso desse controlador e´ para controle de vaza˜o.
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• Observando-se a curva t´ıpica do sistema, percebe-se que as oscilac¸o˜es dimi-
nuem ao se reduzir o intervalo diferencial.
• No entanto, o nu´mero de comutac¸o˜es por minuto aumenta, o que reduz a
vida u´til do componente.
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Controlador Proporcional
• A relac¸a˜o entre a sa´ıda do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e´ dada
por:
u(t) = Kp e(t)⇒ Gp(s) =
U(s)
E (s)
= Kp
onde Kp e´ denominado ganho proporcional.
• O controle proporcional tem a vantagem de ser de simples implementac¸a˜o.
• O aumento do ganho proporcional acelera a resposta, pois, quanto maior o
erro, maior sera´ o termo proporcional de compensac¸a˜o.
• O aumento do ganho proporcional tende a diminuir os erros em regime
permanente.
• Valores altos de Kp ajudam a reduzir os efeitos dos distu´rbios e a sensibili-
dade a` variac¸a˜o de paraˆmetros na planta.
• Pore´m, na˜o rejeita completamente distu´rbios e erros em estado estaciona´rio
geralmente ira˜o persistir.
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• O aumento excessivo do ganho pode levar o sistema em malha fechada a`
instabilidade e amplificac¸a˜o indesejada de ru´ıdos de medidas presentes no
sistema.
• Esse controlador e´ essencialmente um amplificador com ganho ajusta´vel.
• A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
Gp(s) =
V0(s)
Vi (s)
=
R4
R3
R2
R1
.
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Controlador Integrativo
• Ac¸a˜o de controle u(t) e´ dada pela integral do erro:
u(t) = Ki
t∫
0
e(t) dt ⇒ Gi (s) =
U(s)
E (s)
=
Ki
s
• As suas vantagens incluem reduc¸a˜o ou eliminac¸a˜o de erros em estado esta-
ciona´rio (aumenta o tipo do sistema).
• A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
Gi (s) =
V0(s)
Vi (s)
=
R4
R3
1
R1C2s
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Controlador Proporcional-Integrativo (PI)
• A ac¸a˜o de controle PI e´ dada por:
u(t) = Kp e(t) + Ki
t∫
0
e(t) dt
⇒ Gpi(s) =
U(s)
E (s)
= Kp +
Ki
s
= Kp
(
1 +
1
Tis
)
onde Ki = Kp/Ti .
• Ti , tempo integrativo (ou reset time), e´ o tempo para que a sa´ıda do
integrador atinja o valor Kp para uma entrada unita´ria.
• A ac¸a˜o integral acelera o movimento do processo em direc¸a˜o ao set-point,
eliminando (ou diminuindo) o erro residual que ocorre com controlador pu-
ramente proporcional.
• Como o termo integral isolado acumula erros do passado, valores elevados
para Ki provocam o efeito colateral de aumento no sobressinal. O sistema
se torna menos esta´vel.
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• A func¸a˜o de transfereˆncia do controlador PI abaixo e´ dada por:
Gpi (s) =
V0(s)
Vi (s)
=
R4
R3
R2
R1
R2C2s + 1
R2C2s
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• Para ajustar Kp e Ki separadamente, pode-se usar a configurac¸a˜o abaixo.
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Controlador Proporcional-Derivativo (PD)
• A ac¸a˜o de controle PD e´ dada por:
u(t) = Kpe(t) + Kd
de(t)
dt
⇒ Gpd(s) =
U(s)
E (s)
= Kp + Kds = Kp (1 + Tds)
onde Kd = KpTd , sendo Td chamado de tempo derivativo.
• Note que este tipo de func¸a˜o de transfereˆncia implica em um ganho que
cresce com o aumento da frequeˆncia. O sistema fica extremamente sens´ıvel
a ru´ıdos de alta frequeˆncia.
• A ac¸a˜o derivativa da´-se, geralmente, com a introduc¸a˜o de um polo em alta
frequeˆncia, o que limita o ganho em alta frequeˆncia, tal que
Gpd(s) = Kp
(
1 +
Td s
1 + γTds
)
onde γ e´ uma contante positiva com valor t´ıpico de γ = 0, 1. O diferenciador
e´ enta˜o aproximado por um integrador no ramo de realimentac¸a˜o.
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• A ac¸a˜o derivativa depende da taxa de variac¸a˜o do erro.
• O controle PD melhora o amortecimento, reduz o ma´ximo sobressinal e
diminui o tempo de assentamento.
• O controle PD pode amplificar o ru´ıdo de alta frequeˆncia.
• Geralmente, necessita de um valor de capacitor relativamente alto.
• A ac¸a˜o derivativa tambe´m e´ conhecida como ac¸a˜o antecipato´ria ou ac¸a˜o
preditiva, pois a derivada de uma func¸a˜o esta´ relacionada com a tendeˆncia
de variac¸a˜o desta func¸a˜o.
• Dessa forma, a aplicac¸a˜o de um sinal proporcional a` derivada do sinal de
erro consiste em agir de acordo com a tendeˆncia de evoluc¸a˜o desse sinal.
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• Opondo-se a todas as variac¸o˜es, a ac¸a˜o derivativa tem um grande efeito
estabilizante no controle, mas ela na˜o melhora o erro em regime.
• O tempo derivativo Td e´ o intervalo de tempo que a ac¸a˜o de controle
derivativa antecede a ac¸a˜o de controle proporcional.
• O termo derivativo na˜o atua quando na˜o existe variac¸a˜o do erro, logo ele
na˜o pode ser usado isoladamente.
• Se o erro em regime estaciona´rio for constante, o termo derivativo na˜o
interfere nesse erro.
• A func¸a˜o de transfereˆncia do controlador PD abaixo e´ dada por:
Gpd (s) =
R4
R3
R2
R1
(R1C1s + 1)
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• Para ajustar Kp e Kd separadamente, pode-se usar a configurac¸a˜o abaixo.
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Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID)
• Soma de treˆs termos: um termo proporcional ao erro, um termo proporcional
a integral do erro e um termo proporcional a derivada do erro.
• Um projeto PID completo envolve um compromisso entre os treˆs paraˆmetros
a serem sintonizados.
• A ac¸a˜o de controle PID e´ dada por:
u(t) = Kpe(t) + Ki
t∫
0
e(t) dt + Kd
de(t)
dt
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⇒ U(s)
E (s)
= Kp +
Ki
s
+ Kds = Kp
(
1 +
1
Tis
+ Tds
)
= Kp
(
1 + Tis + TiTds
2
Tis
)
• A func¸a˜o de transfereˆncia do controlador PID abaixoe´ dada por:
Gpid (s) =
R4
R3
R2
R1
(R1C1s + 1) (R2C2s + 1)
R2C2s
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• Para se ajustar Kp, Ki e Kd separadamente, pode-se usar a configurac¸a˜o
abaixo.
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A figura a seguir ilustra as ac¸o˜es P, PD e PID de controle sobre uma sistema
cuja func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por G(s) = 1/(5s2 + 6s + 1).
Pode-se observar que o termo derivativo causa uma reduc¸a˜o nas oscilac¸o˜es
e que o termo integrativo reduz o erro a zero, mas causa um aumento nas
oscilac¸o˜es.
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Implementac¸a˜o PID
• Note que o PID e´ uma estrate´gia, uma metodologia, que pode ser
implementada usando diversos equipamentos ou tecnologias
distintas. Portanto PID na˜o e´ exclusivo de um unico equipamento ou
tecnologia.
(a) PID Novus (b) PID ABB
(c) PID Matlab com
DAQ
Figura: Imagens de distintas implementac¸o˜es PID
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Integrador Antiwindup
• Pode ocorrer na pra´tica que a faixa dinaˆmica de um atuador seja limitada.
• E´ preciso limitar os sinais de controle aplicados ao processo dentro uma
faixa de operac¸a˜o especificada.
• O sinal de entrada do processo deve ser limitado dentro desta faixa de
operac¸a˜o, quando apresenta-se saturac¸a˜o.
• Quando um integrador e´ utilizado, um fenoˆmeno denominado windup pode
ocorrer. O integrador mantem-se integrando muito embora sua sa´ıda
tenha atingido o seu sinal maximo (ou seja a saida esta´ saturada).
Figura: Sistema realimentado, com saturac¸a˜o.
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Integrador Antiwindup
• Suponha que um elevado sinal de refereˆncia fac¸a com que uc(t) sature em
umax. O integrador continuara´ integrando o erro e(t), fazendo com que
uc(t) continue crescendo.
• Nesse caso, o aumento em uc(t) na˜o influencia em nada pois ja´ estamos
operando no limite umax. A sa´ıda do integrador pode ficar muito elevada,
se a saturac¸a˜o demorar um per´ıodo longo. Como a integral do erro vai de
0 a t, o erro acumulado pode gerar um grande sobresinal na resposta do
sistema.
• Idealmente, o integrador deveria ser desligado assim que a sa´ıda do
atuador saturar.
• Uma soluc¸a˜o poss´ıvel de controle PI neste caso chama-se PI com
antiwindup.
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Integrador Antiwindup
Figura: Modificac¸a˜o do Integrador: usando antiwindup.
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Sintonia de Controladores PID
• Objetivo: Determinar Kp, Ki e Kd de modo a satisfazer
especificac¸o˜es de projeto.
Os efeitos independentes dos ganhos Kp, Ki e Kd na resposta de malha fechada
do sistema sa˜o resumidos na Tabela seguinte:
tr MO ts ess Estabilidade
↑ Kp Decresce Aumenta Aumenta pouco Decresce Degrada
↑ Ki Decr. Pouco Aumenta Aumenta Decr. Muito Degrada
↑ Kd Decr. Pouco Decresce Decresce Influi Pouco Melhora
Figura: Controle PID de uma planta.
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Sintonia de Controladores PID
• Por que PID? Pois PID apresenta muitas vantagens. Ale´m disso, a maior
parte dos controladores industriais empregam esquemas de controle
baseados em PID.
• Usualmente, os controladores PID na indu´stria sa˜o ajustados
empiricamente (tentativa-erro).
• Me´todos de sintonia automa´tica veˆm sendo desenvolvidas e algumas
implementac¸o˜es industriais de controlador PID teˆm a capacidade de
efetuar a sintonia automa´tica on-line.
• Regras emp´ıricas sa˜o propostas na literatura e permitem ajustar os
paraˆmetros do PID sem conhecimento do modelo matema´tico da planta.
• Tais regras fornecem estimativas dos valores dos paraˆmetros do
controlador e proporcionam um ponto de partida para uma sintonia mais
fina, caso necessa´ria.
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Me´todos Baseados na Curva de Reac¸a˜o
• Baseados na resposta experimental da planta (em malha aberta) ao sinal
de excitac¸a˜o em degrau.
Figura: Resposta ao degrau unita´rio de uma planta.
• Caso a planta na˜o possua integradores nem polos complexos, a resposta ao
degrau pode ter o aspecto de um“S”(curva de reac¸a˜o). Os me´todos
baseados na curva de reac¸a˜o se aplicam somente em plantas com resposta
ao degrau que tenham esse aspecto.
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Me´todos Baseados na Curva de Reac¸a˜o
A curva em“S”pode ser caracterizada pelo ganho esta´tico K , pelo atraso L e
a constante de tempo T . A func¸a˜o de transfereˆncia pode ser aproximada por
um sistema de primeira ordem com atraso de transporte. A func¸a˜o de
transfereˆncia e−Ls corresponde a um atraso no tempo. Da´ı o nome atraso de
transporte (ou tempo morto).
Y (s)
R(s)
=
K e−Ls
Ts + 1
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Me´todos Baseados na Curva de Reac¸a˜o
A seguir sa˜o apresentadas treˆs formas distintas de se obter K , L e T . Na
primeira forma, desenha-se uma linha tangente ao ponto de inflexa˜o e
determina-se a intersecc¸a˜o desta linha com c(t) = 0 e c(t) = K . T e´ dado
pela distaˆncia AC , enquanto que L representa a intersecc¸a˜o da linha trac¸ada
com o eixo t. A inclinac¸a˜o da reta e´ P = K
T
, como mostrado na Figura.
Figura: Curva de resposta em forma de“S”.
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Me´todos Baseados na Curva de Reac¸a˜o
• A segunda forma consiste em determinar T tal que a resposta seja 0.63K ,
que e´ representado pelo segmento AB da Figura. Se o processo e´ dado por
K e−Ls
Ts+1
, as duas formas resultam em resultados ideˆnticos. A forma dois
costuma gerar melhores resultados.
• A terceira forma e´ denominada me´todo de identificac¸a˜o de Bro´ıda. Bro´ıda
trac¸ou a resposta do sistema de primeira ordem sobre a curva de ordem
superior obtida experimentalmente. Verificou que havia um intervalo
comum entre elas: um ponto A situado a 28% de ∆y e um ponto B
situado a 40% de ∆Y , como ilutrado na Figura.
Figura: Curva de reac¸a˜o de sistema de primeira ordem sobre a de ordem superior.
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Me´todo Broida
• Os valores de T e L sa˜o obtidos da seguinte forma:
⋆ Ca´lculo de T : T = 5.5 · (t2 − t1).
⋆ Ca´lculo de Lu: L = 2.8 · t1 − 1.8 · t2.
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Me´todo 1 de Ziegler e Nichols:
• Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguinte
tabela:
Controlador Kp Ti Td
P
T
KL
∞ 0
PI
0.9T
KL
L
0.3
0
PID
1.2T
KL
2L 0.5L
• O me´todo Ziegler-Nichols considerou a forma de identificac¸a˜o curva“S”.
Os valores nesta tabela foram determinados de forma emp´ırica. O
controlador PID sintonizado por esse me´todo fornece
Gc(s) = Kp
(
1 +
1
Tis
+ Tds
)
=
0.6
P
(
s + 1
L
)2
s
, (1)
Controlador Z-N possui um polo na origem e zeros duplos em s = −1/L.
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Me´todo de Cohen-Coon:
Controlador Kp Ti Td
P
T
KL
(
1 +
0, 35τ
1− τ
)
∞ 0
PI
0.9T
KL
(
1 +
0.92τ
1− τ
)
3.3− 3τ
1 + 1.2τ
0
PID
1.35T
KL
(
1 +
0.18τ
1 − τ
)
2.5− 2τ
1− 0.39τ L
0.37− 0.37τ
1− 0.81τ L
τ = L/(L+ T ) .
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Me´todo de Chien-Hrones-Reswick (CHR):
Chien, Hrones and Reswick (CHR) propuseramdois crite´rios de sintonia:
resposta mais ra´pida com 0% de ultrapassagem e resposta mais ra´pida com
20% de ultrapassagem.
Sobresinal 0% 20%
Controlador Kp Ti Td Kp Ti Td
P 0.3T
KL
0.7T
KL
PI 0.35T
KL
1.2T 0.6T
KL
T
PID 0.6T
KL
T 0.5L 0.95T
KL
1.4T 0.47L
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Exemplo
Considere um processo a ser controlado com a seguinte func¸a˜o de
transfereˆncia
G(s) =
1
(s + 0.5)(s + 1)(s + 1)(s + 2)
O sistema de controle engloba um controlador PID em se´rie com a planta
(compensac¸a˜o em se´rie) e realimentac¸a˜o unita´ria.
Utilize o me´todo de sintonia de Ziegler-Nichols em malha aberta para obter
uma estimativa dos paraˆmetros de controlador PID.
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Figura: A resposta ao degrau de G(s).
Soluc¸a˜o: Verifica-se que L = 1.3; T = 5.45; K = 1. Logo, segundo o me´todo
de Ziegler e Nichols da curva de reac¸a˜o, tem-se que Kp = 5.03; Ti = 2.6;
Td = 0.65.
A func¸a˜o de transfereˆncia do controlador PID e´ dada por
Gc(s) = 3.27
(s + 0.7692)
2
s
(2)
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Figura: Reposta ao degrau do sistema em malha fechada.
Os valores Kp = 5.03; Ti = 2.6; Td = 0.65 geram resposta bastante
oscilato´ria. Note todavia que a regra permite se ter um ponto de partida
para, logo apo´s, realizar-se uma sintonia fina.
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Me´todos Baseados na Sensibilidade Limite
• Baseado na resposta em malha fechada do sistema de controle,
considerando, inicialmente, somente a ac¸a˜o proporcional Kp para levar o
sistema a` condic¸a˜o de oscilac¸a˜o sustentada.
• Inicialmente, assuma Ti =∞ e Td = 0.
• Utilizando apenas a ac¸a˜o proporcional, aumente Kp de 0 a Kcr , no qual a
sa´ıda atinja uma oscilac¸a˜o sustentada, ou seja, o sistema equivalente
torne-se marginalmente esta´vel.
• Se a sa´ıda na˜o apresentar uma oscilac¸a˜o sustentada, enta˜o esse me´todo
na˜o se aplica, ou seja, o sistema deve ser capaz de instabilizar com o
aumento do ganho para que o me´todo seja aplicado.
Figura: Sistema em malha fechada com controlador proporcional.
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Me´todos Baseados na Sensibilidade Limite
Figura: Oscilac¸a˜o sustentada com per´ıodo Pcr .
• Se a sa´ıda apresentar uma oscilac¸a˜o sustentada, enta˜o marque o valor Pcr .
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Me´todo 2 de Ziegler e Nichols
Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguinte
tabela:
Controlador Kp Ti Td
P 0.5Kcr ∞ 0
PI 0.45Kcr
Pcr
1.2
0
PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr
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Me´todo 2 de Tyreus e Luyben
Tyreus e Luyblen propuseram uma tabale para o ajusta dos paraˆmetros dos
controladores PI e PID, baseados na sensibilidade limite.
Controlador Kp Ti Td
PI Kcr/3.2 2.2Pcr 0
PID Kcr/2.2 2.2Pcr Pcr/6.3
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Exerc´ıcio
Considere o sistema de controle acima. Considere
G(s) =
1
s(s + 1)(s + 5)
Aplique o 2o. metodo de Ziegler-Nichols para obter um controlador PID.
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o de transfereˆncia de malha fechada do sistema considerando
Ti =∞ e Td = 0 e´ dado por
Y (s)
R(s)
=
GC (s)G(s)
1 + GC (s)G(s)
=
Kp
s(s + 1)(s + 5) + Kp
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O valor de Kp que leva o sistema a uma oscilac¸a˜o sustentada (Kcr ) pode ser
obtido pelo crite´rio de Routh-Hurwitz.
s3 1 5
s2 6 Kp
s1
30− Kp
6
s0 Kp
Como isso, Kcr = 30. A frequeˆncia de oscilac¸a˜o sustentada e´ encontrada
substituindo-se s = jω na equac¸a˜o caracter´ıstica, ou seja,
(jω)3 + 6(jω)2 + 5(jω) + 30 = 0
⇒ 6
(
5− ω2
)
+ jω
(
5− ω2
)
= 0.
Logo, ω2 = 5⇒ ω =
√
5. Portanto,
Pcr =
2π
ω
=
2π√
5
= 2, 8099.
Encontramos:


Kp = 0.6Kcr = 18
Ti = 0.5Pcr = 1.405
Td = 0.125Pcr = 0.35124
.
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A func¸a˜o de transfereˆncia do controlador PID e´ dada por
GC (s) = Kp
(
1 +
1
Tis
+ Tds
)
= 18
(
1 +
1
1.405s
+ 0.35124s
)
=
6.3223 (s + 1.4235)2
s
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Sintonia Automa´tica de Controladores
• A sintonia automa´tica de controladores PID foi inicialmente proposta por
A˚stro¨m e Ha¨gglund. Hoje em dia, ha´ va´rios controladores comerciais com
este recurso.
• A estrutura de um controlador com sintonia automa´tica baseado em rele´ e´
apresentado na figura.
Figura: Esquema de sintonia automa´tica a rele´.
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Sintonia Automa´tica de Controladores
No me´todo de oscilac¸a˜o a rele´, uma oscilac¸a˜o com frequeˆncia adequada e´
gerada pela na˜o linearidade do dispositivo. Assumindo que o rele´ possui
amplitude h e que a oscilac¸a˜o na sa´ıda do processo possui amplitude a, a
oscilac¸a˜o sustentada na sa´ıda possui frequeˆncia cr´ıtica igual a ωcr e ganho
cr´ıtico dado por
Kcr =
4h
πa
(3)
Portanto, com Kcr e Pcr = 2π/ωcr e´ poss´ıvel fazer o ajuste dos paraˆmetros do
controlador atrave´s do segundo me´todo de Ziegler e Nichols ou de qualquer
outro me´todo baseado na sensibilidade limite.
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 B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil
Dica de atividades
Dica
1. Fazer os Exerc´ıcios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia de
Controle Moderno”.
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	Projeto de sistemas de controle
	Controlador On-Off
	Controlador Proporcional
	Controlador Integrativo
	Controlador Proporcional-Integrativo (PI)
	Controlador Proporcional-Derivativo (PD)
	Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID)
	Sintonia de Controladores PID
	Métodos Baseados na Sensibilidade Limite
	Sintonia Automática de Controladores