Controle de processos UFRJ

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
ESCOLA DE QUÍMICA 
 
 
Controle e Instrumentação de Processos - Profa. Ofélia de Q.F. Araújo 
ofelia@eq.ufrj.br 
 
1 
MALHA DE CONTROLE POR REALIMENTAÇÃO 
 
Uma malha de controle por realimentação tem a sua representação em blocos dada 
por: 
 
 Controlador Elemento final 
de controle 
Processo 
 Elemento de 
+ _ 
SP E P M C 
Medição 
C 
 m 
 
 
 
Processo: representa o processo controlado (por exemplo um tanque). Traduz o 
impacto sobre o processo (representado pela sua saída controlada) da variável de 
estímulo manipulada pelo controlador. 
 
Comparador: Determina o desvio entre a variável controlada e o seu valor de 
referência. 
 
Controlador: produz um sinal de saída (P) baseado no sinal de erro (E=SP-M) para 
corrigir o desvio entre a variável controlada e seu valor de referência (set-point, SP). 
Este desvio é referido como erro de realimentação por ter sido realimentado do 
processo (a saída do processo decorrente da ação do controlador é realimentada ao 
controlador). 
 
Elemento Primário: O elemento de medição ligado ao processo (sensor) e o 
transmissor, que padroniza o sinal medido (para padrão pneumático, analógico ou 
digital). 
 
Elemento Final de Controle (ou atuador): elemento atuando diretamente sobre o 
processo (quase sempre uma válvula), de acordo com o sinal proveniente do 
controlador (P). A saída do atuador é a variável de estímulo para o processo 
(freqüentemente uma vazão), M. 
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O sensor, transmissor e elemento final de controle estão, normalmente localizados no 
campo enquanto o controlador é localizado na sala de controle. 
 
INSTRUMENTAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE 
 
Sistema de Medição: 
 
A variável controlada precisa ser medida para que uma ação de controle possa ser 
tomada, já que só se pode controlar o que se pode medir. Esta tarefa é executada por 
um transdutor. Este consiste de um elemento sensor aliado a um acionador que 
converte a grandeza medida do processo em um sinal padronizado enviado ao 
controlador (transmissor). 
 
 
 
 
 
Um sensor está definido pelo princípio físico de medição, pelas faixas e pelo seu 
comportamento dinâmico. 
 
 
Sinais de Transmissão: 
 
Os sinais transmitidos pelo transdutor e recebidos pelos demais elementos da malha 
de controle devem estar padronizados. O padrão mais antigo utilizado industrialmente 
é o pneumático, na faixa de 3 a 15 psig. Atualmente, os projetos utilizam sinais 
eletrônicos padronizados na faixa de 4 a 20 mA (analógicos) ou 0 a 5 V (digitais). 
 
 
Terminologia de Controle: 
 
Utiliza-se frequentemente a seguinte terminologia: 
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alcance (“range”): limites máximo e mínimo de variáveis de processo. Exemplo: 
50ºC-250ºC. 
 
faixa (“span”): intervalo entre os limites máximo e mínimo do alcance. Do 
exemplo anterior, 200ºC. 
 
sensibilidade (ganho): razão da variação no sinal de saída (leitura) para variação 
no sinal de entrada, após atingir estado estacionário. 
 
 
 
 
 
 
repetibilidade: obtenção do mesmo valor de saída para leituras repetidas do 
mesmo sinal de entrada 
 
calibração: conjunto de testes para determinação dos valores de saída 
correspondentes a vários valores de entrada, dentro do alcance dos 
instrumentos, gerando uma curva de calibração. 
 
x
x x
x
mV
ºC
K
 
 
 
 
 
erro: diferença algébrica entre a leitura e o valor real do sinal de medida. 
 
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erro percentual: erro relacionado à faixa de medição do instrumento, em relação 
à entrada ou à saída. É dado fornecido pelo fabricante. 
 
 
sinaldofaixa
valorvalor
erro idealreal
 
% 
-
= 
 
linearidade: grau de afastamento da curva de calibração da linha reta. É desejável 
em qualquer instrumento por implicar em ganho constante. 
 
correção ou compensação: diferença entre o valor lido em condições de 
processo e o valor calibrado em T e P padrão. 
 
características dinâmicas: o tempo de resposta do instrumento (dado fornecido 
pelo fabricante) sofre influência de características de construção, do 
fluido medido (fase e velocidade), do tipo de proteção e material. 
 
 
t(min)
63.2%
isolado, com junção soldada
sem solda
Termopar
 1 14 
 
t(min)
63.2%
 líquido em movimento
 ar em movimento
 0.2 1 
 
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t(min)
63.2%
sem poço
com poço em aço
 0.6 2.0 
 
 
 
tempo de resposta (min)
velocidade do fluido (ft/min)20 40
0.12
0.04
 
 
 
Elementos de Medição: 
 
São instrumentos para medição on-line de variáveis de processo. A tabela abaixo 
resume os principais sensores empregados na indústria química/petroquímica: 
 
VARIÁVEL DE 
PROCESSO 
 
SENSOR 
 
SÍMBOLO 
TEMPERATURA termopares, 
termorresistências, etc 
 TT
 
PRESSÃO tubos de bourdon, foles, 
diafragmas 
 PT
 
NÍVEL bóias, dispositivos de 
deslocamento 
 LT
 
VAZÃO placas de orifício, Venturi, 
turbinas, ultrassom, etc. 
 FT
 
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COMPOSIÇÃO cromatógrafos, UV, IV, 
paramagnéticos, 
potenciometros, 
condutímetros, pHmetros, 
espectrômetros, etc. 
 AT
 
 
 
Transmissores: 
 
É um dispositivo que traduz o seu sinal de entrada em sinal padrão para a 
instrumentação (pneumático, analógico ou digital), com dinâmica desprezível. É a 
interface entre o controle e o processo. Convertem o sinal dos sensores (milivolt, 
movimento mecânico, etc) em sinal de controle (3 a 15 psig, 4 a 20 mA, 1a 5 V, etc), 
com dinâmica quase sempre desprezível, sendo considerado apenas como um 
ganho. O ganho de um transmissor de pressão, por exemplo, é: 
 
psi
psi
psigpsig
psigpsig
K
500
12
0500
315
=
-
-
= 
Entrada Saída 
50ºC 4 mA 
150ºC 20 mA 
 
50 150
4
20
Tm (mA)
T(ºC)
zero
span/faixa
 
 
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7 
)(ˆ16.0)(ˆ
4)(*16.0)(
16.0
50150
420
4)50()(
CTmAT
mACT
C
mA
mAT
C
mAK
mATKmAT
m
mm
°=
+°
°
=
°
=
-
-=
+-=
 
 
Aplicando Transformada de Laplace: 
mK== 16.0
(s)Tˆ
(s)Tˆm 
 
São considerados, nas condições de operação, lineares. Um exemplo de um 
transmissor não linear está esquematizado abaixo: 
 
 
 50 150
4
20
Tm (mA)
T(ºC)
Km1
Km2
Km3
 
 
Conversores: 
 
São dispositivos para converter o sinal analógico em pneumático, normalmente 
utilizados para acionamento de válvulas. 
 
 
 
 
 
 
 
mA
psig
K PI 75.0420
315
/ =-
-= 
DIAGRAMAP&I 
 
A simbologia adotada na representação dos instrumentos segue padronização da ISA. 
A Tabela a seguir apresenta os principais símbolos empregados na construção destes 
diagramas: 
 
LT 
TT 
FT 
PT 
 AT 
LC 
TC 
FC 
PC 
 AC 
Sensor de Nível Controlador de Nível 
Sensor de Temperatura 
Sensor de Vazão 
Sensor de Pressão 
Sensor de Composição 
Controlador de Temperatura 
Controlador de Vazão 
Controlador de Pressão 
Controlador deComposição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AÇÕES DE CONTROLE 
 
A ação do controlador feedback pode ser composta por combinações de três ações: 
proporcional, integral e derivativa. 
 
 FT 
 FC 
Transmissor 
Controlador 
P (Ação) 
C (variável controlada, 
medida) 
R (Set point) 
m 
C (variável 
controlada) 
C=vazão 
 
 
 
Os controladores de 3 ações respondem pela maioria das malhas de controle industrial, 
tendo sido introduzido no mercado nos anos 40, na versão pneumática. O APÊNDICE 3 é 
um artigo de Astrom et al., 2001 que apresenta este controlador ainda como o mais usado 
em controle de processos. 
 
.Ação Proporcional 
 
Atua assim que identifica o sinal de erro: 
 
 
rcontroladodoganhoK
biasP
tEKPtP
tCtRtE
c
s
cs
m
 
""
)()(
)()()(
=
=
+=
-=
 
 
Para obter-se a função de transferência, define-se: 
 
 sPtPtP -= )()(ˆ 
 
Não há necessidade de definir desvio do erro pois o erro no estado inicial é zero. Logo: 
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 cKsE
sP
=
)(
)(ˆ
 
 
O sinal do ganho determinará a ação do controlador. Para ganhos positivos, o controlador 
é dito de ação reversa (a saída do controlador aumenta com a redução do sinal da 
variável medida). Em caso contrário, o controlador é dito de ação direta. 
 
 
A saída do controlador em função do erro tem o comportamento ideal limitado por efeitos 
de saturação do controlador. 
 
 
 COMPORTAMENTO IDEAL: COMPORTAMENTO REAL: 
 
P 
s 
E(t) 
P(t) 
P 
s 
E(t) 
P(t) 
P 
max 
P 
min 
 
 
Por sua simplicidade, sempre que adequado emprega-se o controlador proporcional. 
Contudo, este controle apresenta a desvantagem de não anular o sinal de erro 
restringindo o seu emprego. 
 
 
.Ação Integral 
 
É muito empregada pela sua capacidade de eliminar o sinal de erro, pois, enquanto 
persistir o sinal de erro, haverá mudança da ação: 
 
 ')'(1)(
0
dttEPtP
t
I
s ò+= t
 
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Esta ação, ao contrário da proporcional, não pode ser usada isoladamente pois a saída do 
controlador só será significativa após o erro persistir por um certo intervalo de tempo. 
Conseqüentemente, a ação integral é usada com a ação proporcional e é a forma mais 
comum de controladores feedback, conhecida como controle PI: 
 
 }')'(1)({)(
0
dttEtEKPtP
t
I
cs ò+= t
 
 
A função de transferência do controlador PI é: 
 
 )
1
1(
)(
)(ˆ
s
K
sE
sP
I
c t
+= 
 
A saída do controlador muda assim que for detectada variação no erro devido à ação 
proporcional. Quando t I= t , a ação integral terá "repetido" a ação proporcional. Esta 
terminologia é usada em alguns controladores comerciais que têm a ação integral 
sintonizada como "repetições por min". 
 
E(t) 
t 
K 
c 
K 
c 
t 
I 
P(t) 
t 
 
 
.Ação Derivativa 
 
A ação derivativa contribui para a saída do controlador sempre que houver variação no 
erro (derivada do erro com o tempo). Esta característica torna inapropriado o seu uso em 
sinais com ruídos (a exemplo de sinais de nível e de vazão). Por outro lado, é muito 
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usada em variáveis lentas como temperatura e composição, já que antecipa a saída do 
controlador. 
 
Esta ação é usada junto com a ação proporcional (controle PD) ou com a ação 
proporcional e integral (controle PID), quando tem a seguinte expressão matemática: 
 
 })(')'(1)({)(
0 dt
tdEdttEtEKPtP D
t
I
cs tt
++= ò 
 
A função de transferência do controlador PID é: 
 
 )11(
)(
)(ˆ s
s
K
sE
sP
D
I
c tt
++= 
 
Em diagrama de blocos: 
 
 
 1 
t s 
I 
D 
K 
c 
t s 
E ( s ) 
P ( s ) + 
 + 
 + 
1 
 
 
Observa-se pela função de transferência que a ação derivativa ideal não é fisicamente 
realizável. Os controladores comerciais aproximam a ação derivativa usando a seguinte 
função de transferência: 
 
 0.2<<0.05 ),
1
1
)(
1
1(
)(
)(ˆ
a
at
t
t +
+
+=
s
s
s
K
sE
sP
D
D
I
c
 
 
Na expressão acima, as três ações são aplicadas em série: 
 
 
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 1
t s
I
1 + + 1
 s
DK c a
t
D
 s
 + 1t
E(s) P(s)
 
 
.Ações e Sintonia 
 
A adição da ação proporcional atua no sentido de corrigir o erro. Quanto maior o ganho 
menor o desvio permanente ou off-set sem, contudo, conseguir anulá-lo. A ação integral 
garante eliminar o off-set mas introduz oscilação no sistema. Finalmente, a ação 
derivativa reduz as oscilações e acelera a resposta. O efeito das ações é apresentado 
graficamente abaixo: 
 
 
P
PI PID
SEM
 
 
 
Na ação proporcional, o efeito do ganho é reduzir o off-set: 
 
 
Kc
y(t)
t
off-set
 
 
Na sintonia do controlador PI, um aumento de Kc introduz mais oscilação no sistema 
enquanto acelera a resposta. Para um mesmo ganho, a redução da constante integral 
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aumenta a ação integral do controlador acentuando a característica oscilatória ao mesmo 
tempo que acelera a resposta: 
 
Kc
y(t)
t
y(t)
t
t
I
 
 
 
No controlador PID, o efeito do tempo derivativo é acelerar a resposta: 
 
 
 
y(t)
t
t
D
 
 
 
 
Em resumo, um aumento do ganho acelera a resposta e reduz o off-set (desvio 
permanente). Se sintonizado muito alto fará a resposta muito oscilatória (indesejável) 
levando, inclusive, à instabilidade. Por outro lado, o aumento do tempo integral torna o 
controle mais "conservador" (lento) (aumento da constante integral equivale a redução da 
ação integral). Por último, a ação derivativa reduz o "overshoot", o grau de oscilação e o 
tempo de resposta mas, em contra-partida, amplifica os ruídos de medição. A escolha do 
conjunto de valores assumidos por estes parâmetros é chamado de sintonia do 
controlador e determina o comportamento dinâmico da malha. 
 
.Aplicação das Ações 
 
As ações são determinadas pela aplicação, como apresentado no quadro a seguir: 
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PROPRIE-
DADE 
VAZÃO E 
PRESSÃO 
DE 
LÍQUIDO 
PRESSÃO 
DE GÁS 
NÍVEL TEMPERATURA COMPOSIÇÃO 
Tempo morto Não Não Não Variável Constante 
Tempo 1-10seg zero 1-10 seg min - hr min - hr 
Ruído Sempre Não Sempre Não Freqüente 
Proporcional 50-200% 0-5% 5-50% 10-100% 100-1000% 
Integral 
(75 % das 
malhas) 
Essencial Desneces-
sária 
Rara-
mente 
Sim Essencial 
Derivativa Não Desneces-
sária 
Não Essencial Aconselhável 
 
.Controle ON-OFF 
 
Um caso limite do controlador proporcional é o controle ON-OFF (ou bang-bang), 
equivalente a um ganho infinito. São controladores baratos usados, normalmente, em 
termostatos. Matematicamente, é descrito como: 
 
)0)(( 
)0)(()(
min
max
£
³=
tEP
tEPtP
 
 
É usado pela sua simplicidade mas oferece desvantagens como produzir um ciclo 
contínuo na resposta e o desgastar o elemento final de controle. 
 
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P(t) 
C(t) 
E 
E 
min 
max 
P 
P 
max 
min 
C 
med 
 
 
Os controladores PID são, normalmente, de uma das três formas mostradas na Figura a 
seguir (Kc é o ganho, I é a constante de tempo integral e D a constante de tempo 
derivativa): 
 
 
Algoritmos utilizados em controladores comerciais podem ser obtidos no site 
http://bestune.50megs.com. (reproduzido nas páginas 12 a 7 deste documento). 
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DINÂMICA DE MALHA FECHADA 
A resposta dinâmica de uma malha de controle é exemplificada com tanque de nível 
representado a seguir: 
 
 h
 LC
q3
q1 q2
 
 
1)(ˆ
)(ˆ
)(
1)(ˆ
)(ˆ
)(
:
 e 
:
)(
)(
)()()(
)(
1
2
3
321
+
==
+
==
-
==
=
-+=
s
K
sQ
sH
sG
s
K
sQ
sH
sG
seTem
RKRA
Definindo
R
th
tq
tqtqtq
dt
tdh
A
p
p
L
p
p
p
pp
t
t
t 
 
As duas funções de transferência são idênticas pois o efeito na altura é o mesmo para 
qualquer das duas entradas. O diagrama de blocos para o processo é: 
 
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+
 - G (s)c G (s)v G (s)p
G (s)
m
H(s) H(s)
+
 +
G (s)
L
Q(s)
1
~
K
m
H(s)^
^
(m) (psi) (psi) (psi) (psi)
(psi)
E(s) P(s)^ Q(s)3
H(s)^
m 
 
Para: 
 
vv
mm
KsG
KsG
=
=
)(
)(
 
 
e um controlador puramente proporcional, um problema servo terá a seguinte função de 
transferência: 
 
 
cpvmma
mama
ma
cpvm
cpvm
sp
KKKKK
KK
K
K
onde
s
K
sKKKK
sKKKK
sH
sH
=
+
=
+
=
+
=
++
+
=
 
1
 
1
1)1/(1
)1/(
)(ˆ
)(ˆ
11
1
1
t
t
tt
t
 
 
A malha fechada é um sistema de primeira ordem com t t1 < . Ou seja, o sistema 
controlado responde mais rapidamente que o sistema sem controle. 
 
Para uma perturbação degrau no set-point de magnitude M, tem-se: 
 
 )1()(ˆ 
)1(
)(ˆ 1/1
1
1 t
t
teMKth
ss
K
sH --=\
+
= 
 
O off-set, definido como o erro de estado estacionário, será: 
 
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ma
sp K
M
MKMhhsetoff
+
=-=¥-¥=-
1
)(ˆ)(ˆ 1 
 
ou seja, a ação proporcional não anula o off-set. A mesma análise pode ser desenvolvida 
para um problema regulador. 
 
Quando utilizado um controlador PI no problema regulador, obtém-se a seguinte função 
de transferência: 
 
 
 
0)}/1sen(
1
{lim0
12
)(ˆ
1
)(ˆ 
 )
+1
(
2
1
= 
 :
 
12)1/()
1
1(1
)1/(
)(ˆ
)(ˆ
2/
2
3
3
3
2
3
3
1
I
33
3
2
3
3
3 =-
-
-=-
++
=
=
===
++
=
+++
+
=
-
¥® tx
xt
xtt
tt
t
t
t
x
t
xttt
t
t
tx te
K
setoff
e
ss
K
sH
s
sQpara
KKKKK
KK
K
KKK
K
onde
ss
sK
s
s
KKKK
sK
sH
sH
t
t
cpvmma
ma
I
ma
ma
mvc
I
I
cpvm
p
sp
 
 
Logo, a ação integral elimina o off-set (tanto para problemas servo quanto reguladores). 
 
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PID Controllers in BESTune 
The following PID controllers can be optimized by using the excellent PID auto-
tuning software BESTune (see http://bestune.50megs.com for details). 
Theoretically, BESTune is able to optimize any PID controllers, as long as the PID 
equations implemented in them are known. In order to include more PID controllers 
in BESTune, I am asking you to give me more information about other well-known 
brands of industrial PID controllers (brand names, PID equations implemented, 
units of the three PID constants, etc). Your help will be very much appreciated. 
 
The actual PID equations that are implemented inside these PLCs are all in 
discrete time or digital form. One example of the discrete time form of "Allen 
Bradley Logix5550 Independent PID" can be found on the web page 
http://bestune.50megs.com/typeABC.htm. 
 
Allen Bradley Logix5550 Independent PID 
 
where 
Kp: Proportional gain No unit 
Ki: Integral gain (1/second) 
Kd: Derivative gain (seconds) 
Allen Bradley Logix5550 Dependent PID 
 
where 
Kc: Proportional gain No unit 
Ti: Reset time (min/rep) 
Td: Rate time (min) 
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 Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using Integer Blocks 
 
where 
Kp: Proportional gain (0.01) 
Ki: Integral gain (0.001/ second) 
Kd: Derivative gain (seconds) 
 Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using PD Blocks 
 
where 
Kp: Proportional gain No unit 
Ki: Integral gain (1/ second) 
Kd: Derivative gain (seconds) 
 Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using Integer Blocks 
 
where 
Kc: Proportional gain (0.01) 
Ti: Reset time (0.01min/rep) 
Td: Rate time (0.01min) 
 Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using PD Blocks 
 
 where 
Kc: Proportional gain No unit 
Ti: Reset time (min/rep) 
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Td: Rate time (min) 
 Allen Bradley SLC5/02,SLC5/03 and SLC5/04 ISA PID 
 
where 
Kc: Proportional gain (0.1) 
Ti: Reset time (0.1min/rep) 
Td: Rate time (0.01min) 
 Bailey Function Code FC19 with K=1 
 
where 
K: Gain multiplier No unit 
Kp: Proportional gain No unit 
Ki: Integral reset 1/min 
Kd: Derivative rate action Min 
 Bailey Function Code FC156 Independent Form with K=1 
 
where 
K: Gain multiplier No unit 
Kp: Proportional gain No unit 
Ki: Integral reset Resets/min 
Kd: Derivative rate action Min 
¡¡ 
Concept PID1 - PID Controller 
 
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ESCOLA DE QUÍMICA 
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15/17 
where 
Gain: Proportional gain No unit 
TI: Reset time (milliseconds) 
TD: Derivative Action 
time 
(milliseconds) 
Concept PID1P - PID Controller with parallel structure 
 
 where 
KP: Proportional gain No unit 
KI: Integral rate (1/milliseconds) 
KD: Differentiation 
rate 
(milliseconds) 
 Fischer & Porter DCU 3200 CON Ideal with KP = 1 
 
 If Kp = 1, the above equation reduces to: 
 
where 
KC: Gain constant No unit 
TR: Reset time (min/rep)TD: Derivative term (min) 
 Fischer & Porter DCU 3200 CON Parallel KP variable with KC=1 
 
 If KC=1, the above equation reduces to: 
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16/17 
 
where 
KP: Proportional gain No unit 
TR: Reset time (min/rep) 
TD: Derivative term (min) 
 GE Fanuc Series 90-30 and 90-70 Independent Form PID 
 
where 
Kp: Proportional gain (0.01) 
Ki: Reset time (0.001rep/second) 
Kd: Derivative gain (0.01 seconds) 
 Hartmann & Braun Freelance 2000 PID 
 
 where 
CP: Proportional correction value No unit 
TR: Reset time (milliseconds) 
TD: Rate time (milliseconds) 
Honeywell TDC 3000 APM Non - Interactive PID 
 
where 
K: Gain No unit 
T1: Integral time constant (min/rep) 
T2: Derivative time constant (min) 
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17/17 
Modicon 984 PLC PID2 Equation 
 
where 
PB: Proportional band No unit 
K2: Integral mode gain constant (0.01min/rep) 
K3: Derivative mode gain constant (0.01min) 
 Siemens S7 PB41 CONT_C PID 
 
where 
Gain: Proportional 
gain 
No unit 
TI: Reset time (seconds) 
TD: Derivative time (seconds) 
 Yokogawa Field Control Station (FCS) PID 
 
where 
PB: Proportional band No unit 
Ti: Integral time (seconds) 
Td: Derivative time (seconds) 
 
 
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1/1 
Exemplo 
)(
88126
8
)( 23 sLKsss
sC
C++++
= 
( )22
8
11
+
====
s
GGGG LPMV 
CC KsG =)( . 
Seja 
CKssssB 88126)(
23 ++++= 
 
· Se KC=1 
 
( )( ) ( )( )( )jsjssssssB 31314424)( 2 -++++=+++= 
Lembrem-se: ÷
ø
ö
ç
è
æ =
+
-ate
as
1
 
Logo 
A resposta ao degrau seá a soma de exponenciais negativos 
 
· Se KC=27 
 
( )( ) ( )( )( )jsjsssssssssB 33133182828224126)( 223 --+-+=+-+=+++= 
 
O ganho do controlador afetou as raízes da malha fechada. 
 
· Off-set para perturbação de carga 
s
sL
1
)( = : 
CC
s
C
KK
ssYty
sKsss
sC
+
=
+
==¥=
×
++++
=
® 1
1
88
8
)(lim)(
1
88126
8
)(
0
23
 
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2/2 
Com KC grande, 0)( ®ty mas não atinge zero. Há offset com o controlador proporcional, 
que pode ser bastante grande se um aumento de KC estiver limitado por problemas de 
instabilidade. 
PID (ideal): ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++= s
s
KsG D
I
CC tt
1
1)( 
 
· Não gera offset; 
 
· Ajustar KC , It e Dt , para obter resultados satisfatórios. 
 
· Análise das raízes da Equação Característica é uma forma de estudar o 
comportamento da malha, e definir região de estabilidade. 
 
 
 
· 01 =+ MPVC GGGG 
De acordo com a posição das raízes no plano Re x Im, diferentes padrões de respostas dinâmicas são 
alcançados. 
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3/3 
 
 
Regra heurística: A resposta de malha fechada se torna menos oscilatória e mais estável 
diminuindo-se KC ou aumentando It . 
 
Considerações de estabilidade: 
· Controle Feedback pode resuoltar em malhas fechadas oscilatórias e até mesmo 
instáveis. 
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4/4 
 
 
· Comportamento típico(para diferentes valores de KC) 
 
 
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5/5 
· ESTABILIDADE 
 
Estabilidade BIBO 
 
 
Há várias definições de estabilidade de um sistema dinâmico, uma muito utilizada é a de 
estabilidade BIBO (Bounded Input Bounded Output), isto é, um sistema dinâmico é dito ESTÁVEL 
se uma perturbação finita produz uma saída finita, independente do seu estado inicial. Uma 
perturbação finita é aquela que sempre permanece entre um limite superior e um limite inferior (e.g. 
senóide e degrau). 
 
Critério de Estabilidade de Routh 
 
A estabilidade do processo pode ser testada sem que seja necessário resolver a equação 
característica para obtenção dos polos. O método de Routh indicará a existente de polos positivos, e 
é aplicável tanto a malhas fechadas quanto abertas, bastando, apenas, utilizar a equação 
característica apropriada. 
 
Para um processo de ordem N, tem-se a seguinte equação característica: 
 
 a s a s a s aN
N
N
N+ + + =-
-
1
1
1 0 0... 
 
onde aN é positivo. Uma condição necessária (mas não suficiente) para estabilidade do processo é 
que todos os coeficientes na equação característica sejam positivos e não nulos. Caso esta condição 
seja obedecida, constrói-se a MATRIZ DE ROUTH ({n+1} linhas): 
 
 
a a a
a a a
b b b
c c
n n n
n n n
b
- -
- - -
2 4
1 3 5
1 2
1 2
...
...
...
... ...
...
 
onde
b
a a a a
a
c
b a a b
b
n n n n
n
n n
:
1
1 2 3
1
1
1 3 1 2
1
=
-
=
-- - -
-
- - 
 
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6/6 
b
a a a a
a
c
b a a b
b
etc
n n n n
n
n n
2
1 4 5
1
2
1 5 1 3
1
=
-
=
-- - -
-
- - 
.
 
 
 
O Critério de Estabilidade de Routh é uma condição necessária e suficente para que todas as raízes 
da equação característica se encontrem no SPE. Esta condição é que todos os elementos da 1ª 
coluna da Matriz de Routh sejam positivos. 
 
Exemplo 
 
CCMVLP KGGGs
GG ===
+
== 1
)2(
8
3 
Equação característica para
)(
)(
sL
sC
 é 01 =+ MPVC GGGG 
088126
08)2(
0
)2(
8
1
23
3
3
=++++
=++
=
+
+
C
C
Ksss
Ks
s
 
 
Queremos saber que valor de KC causa instabilidade 
( )( )
088
0
6
881)12(6
886
3121
C
C
C
K
K
K
n
+
+-
+
=
 
Condições de estabilidade: 
( )
1088
808872
->>+
<>+-
CC
CC
KK
KK
 
 
A restrição mais importante é KC < 8. Qualquer KC ³ 8 causará instabilidade. 
 
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7/7 
 
(Fonte: Seborg) 
 
Método da Substituição Direta 
 
O eixo imaginário é a fronteira entre as regiões de estabilidade (SPE e SPD). Este eixo 
corresponde a s=wi. Logo, substituindo s por wi na equação característica do processo 
fornece o limite de estabilidade para w e outros parâmetros (e.g. ganho do controlador) de 
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8/8 
forma a satisfazer as equações resultantes da substituição. O Apêndice 12 ilustra tanto o 
Critério de Routh quanto o Método da Substituição Direta na análise de estabilidade de um 
sistema. 
 
 
Exemplo 
 
Voltando ao mesmo exemplo utilizado com Routh 
 
088126
088126
08)2(
0
)2(
8
1
23
23
3
3
=+++--
=++++
=++
=
+
+
C
C
C
Kwiwiw
Ksss
Ks
s
 
Parte Real = 0 
0886 2 =++- CKw (1) 
Parte Imaginária = 0 
0123 =+- ww (2) 
 
De (2): w = 3.4641rad/s 
Substituindo em (1): KC,CRÍTICO = 8 
 
(confirmando o resultado obtido anteriormente). 
 
 
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SINTONIA DE CONTROLADORES 
 
1. Método da Sensibilidade Limite (Método do Ganho Limite) 
 
O método, proposto por Ziegler e Nichols em 1942, baseia-se em encontrar o LIMITE DE 
ESTABILIDADEda malha, KC,LIM , isto é, o valor do ganho proporcional que promove a oscilação com 
amplitude sustentada da variável controlada em resposta a uma perturbação (de SP ou de carga), com o 
controlador dotado exclusivamente de ação proporcional. O procedimento consiste em: 
 
a) Com a planta no estado estacionário, remover a ação integral (tI =¥) e derivativa (tD =0) 
b) Escolher um valor para KC 
c) Perturbar o sistema (degrau de SP ou de carga) 
d) Observar o transiente. Se a resposta se apresentar subamortecida, aumentar KC e retornar à 
etapa c. Repetir o procedimento até atingir oscilação sustentada, como mostrado na Figura 1 . 
Para este valor de Kc, o KC limite de estabilidade, registrar o período de oscilação (PLIM). 
 
Com KC,LIM e PLIM , determina-se os parâmetros de sintonia do controlador utilizando-se as 
Correlações de Ziegler-Nichols: 
 
 
 KC tI tD 
P KC,LIM /2 - - 
PI KC,LIM /2,2 PLIM /1.2 - 
PID KC,LIM /1,7 PLIM /2 PLIM /8 
 
 
 
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Figura 1 
 
O conjunto de parâmetros obtidos promove uma razão de decaimento de ¼. Ressalta-se 
que, antes do experimento, deve-se determinar se a ação proporcional deve ser positiva ou 
negativa. 
 
O método, se experimentalmente conduzido, é demorado (precisa ser estabelecidoo 
estado estacionário antes de voltar a perturbar), é arriscado (atinge-se o limite de estabilidade); 
e alguns processos não apresentam ganho limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Método da Curva de Reação 
 
Também proposto por Ziegler-Nichols, baseia-se em teste com controle em modo manual, após 
estabelecido estado estacionário. 
 
 
Curva de Reação é o gráfico CM(t) x t, a resposta do processo a uma perturbação da saída 
do controlador (em modo manual). Caracteriza-se por dois parâmetros: s (inclinação no ponto de 
inflexão) e q (tempo em que a tangente intercepta o eixo t). Assume-se que o processo possa ser 
representado por modelo de de primeira ordem com tempo morto (CM(s)/P(s)): 
1
)(
+
=
-
s
Ke
sG
P
s
t
q
. 
 
 
 
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Seja 
s* = s /P 
 Ziegler-Nichols definiram as seguintes correlações de sintonia: 
 
 
 KC tI tD 
P 1 / (q / s*) - - 
PI 0,9 / (q / s*) 3,3q - 
PID 1,2 / (q/s*) 2q 0,5q 
 
 
 O método apresenta a vantagem de só necessitar de um teste mas tem a desvantagem de 
ser executado em malha aberta. Logo, processos instáveis em malha aberta não podem ser 
sintonizados por este procedimento. Como outra desvantagem, tem-se a dificuldade em 
determinar s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Método Cohen-Coon 
 
 O método, proposto em 1953, é usado como alternativa ao método Ziegler-Nichols. È um 
procedimento em malha aberta, como o da Curva de Reação. Assume processo de primeira 
ordem com tempo morto: 
1
)(
+
=
-
s
Ke
sG
P
s
t
q
. 
 
 
 KC tI tI 
P ( )[ ]311 +qt
PK
 
- - 
PI ( )[ ]083.09.01 +qt
PK
 ( )[ ]
( )tq
t
qqt
2.20.1
33.033.3
+
+
 
- 
PID ( )[ ]270.035.11 +qt
PK
 ( )[ ]
( )tq
t
qqt
813
632
+
+
 ( )tq
q
2.00.1
37.0
+
 
 
 Os parâmetros são função do grupo adimensional t
q . Quanto maior t
q mais rápida 
poderá ser a sintonia. Quanto menor o KP, maio poderá ser o KC. 
 
 
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Sumário das Relações de Sintonia 
 
1. KC é inversamente proporcional a KPKVKM 
2. KC decresce com o aumento de t
q 
3. It e Dt aumentam com o aumento de t
q (tipicamente, ID tt 25.0= ) 
4. Reduzir KC, quando aumentar a ação integral; aumentar KC quando adicionar ação derivativa 
5. Para reduzir oscilações, diminuir KC e aumentar It 
 
Disvantagens das Correlações de Sintonia 
1. Ignora problemas de interações entre as malhas de controle (que diminuem o limite dde 
estabilidade) 
2. A Ação derivativa é normalmente dependente do controlador comercial empregado; 
3. As correlações adotam modelo de primeira ordem com tempo morto que podem ser 
inapropriados para o processo em questão. 
4. PPK t, podem variar 
5. Resolução dos equipamentos e erros de medição podem diminuir as margens de estabilidade 
6. Razão de decaimento de ¼ decay ratio não é um padrão conservador: é muito oscilatório 
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3. Sintonia de Controlador Baseada em Resposta Transiente 
 
Características Desejáveis do Controlador 
1. Resposta Rápida 
2. Rejeição adequada a perturbações 
3. Insensível a erros de modelagem e erros de medição 
4. Evitar ação de controle excessiva 
5. Adequado sob uma larga faixa de condições operacionais 
 
Como já visto anteriormente, alguns destes objetivos são conflitantes, exigindo uma 
sintonia de compromisso entre estes 5 objetivos. Esta sintonia pode ser conduzida de 
acordo com: 
 
1. Correlações para sintonia, limitadas a modelos de primeira ordem com tempo morto 
(Métodos 2 e 3) 
2. Análise de estabilidade da função de transferência de malha fechada. Porém assegurar 
estabilidade não garante a qualidade do controle. 
3. Simulações sucessivas 
4. Resposta Freqüencial 
5. Sintonia no campo 
 
Síntese de Controladores no Domínio do Tempo 
1. Critérios baseados em alguns pontos da curva de resposta: tempo de subida, razão de 
decaimento (c/a), tempo de acomodação (ts), tempo de subida (tr), etc. 
 
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2. Critérios baseados na totalidade dos pontos da curva de resposta: buscam-se os 
parâmetros dos controladores que minizem critérios de desempenho (integrais do erro). 
 
 
a) Integral do erro quadrático (Integral of square error - ISE): conduz a tempo de 
acomodação maior. 
[ ]ò
¥
=
0
2)( dtteISE 
b) Integral do erro absoluto (Integral of absolute value of error - IAE): permite maiores 
desvios e, consequente, implica em menores overshoots. 
ò
¥
=
0
)( dtteIAE 
c) Integral do erro absoluto ponderado pelo tempo (ITAE): penaliza mais fortemente 
os erros que ocorrem mais tarde, i.e., penaliza off-set. 
ò
¥
=
0
)( dttetITAE 
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Na Figura abaixo, a área é o IAE, para um determinado conjunto tq ,,K . 
 
 
 
 
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Ref: Seborg 
4. Síntese Direta de Controlador 
 
Seja 
PC
PC
GG
GG
R
C
+
=
1
 (fazendo GMGV=1), o método especifica a resposta em malha 
fechada desejada 
dR
C
÷
ø
ö
ç
è
æ . Com um modelo do processo, GP, resolve-se para GC : 
 
÷÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
d
d
P
C
R
C
R
C
G
G
1
1
 
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4.1. PI 
 
Introduzindo-se a ação integral (PI), e processo de 2a. ordem. Dado 
( )( )11)( 21 ++
=
ss
K
sGP tt
 e 
( )
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=
+
=
s
K
s
sK
sG
I
C
I
IC
C tt
t 1
11
)( . Seleciona-se, por conveniência, 1tt =I (e 21 tt > ), e 
obtém-se: 
 
( ) C
C
KKss
KK
R
C
++
=
121 tt
. 
 
Para C/R de segunda ordem, i.e. 
12
1
22 ++
=÷
ø
ö
ç
è
æ
ssR
C
d xtt
, tem-se 
 
CKK
21ttt = e 
CKK2
1
2
1
t
t
x = . Seleciona-se KC que forneça 5,04,0 -=x . 
 
4.2. Processo com Tempo Morto 
 
1
)(
1 +
=
-
s
Ke
sG
s
t
q
 
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Utiliza-se aproximação de Padé: 
s
s
e s
2
1
2
1
q
q
q
+
-
»- , tal que 
s
s
s
K
sG
2
1
2
1
1
)(
1
q
q
t +
-
+
» . Deseja-se 
que a malha fechada tenha função de transferência 
1
2
1
+
-
=÷
ø
ö
ç
è
æ
s
s
R
C
cd t
q
. Pela síntese direta, 
tem-se: 
 
( )( )
( )
( )( )
( )sK
ss
s
s
s
s
sK
ss
R
C
R
C
G
G
c
c
c
d
d
C
tq
qt
t
q
t
q
q
qt
+
++
=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
-
-
+
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
++
=
÷÷
÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ-
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
2
211
211
1
21
21
211
1
1 11
 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ +
+
÷
ø
ö
ç
è
æ +
+
÷
ø
ö
ç
è
æ +
=
÷
ø
ö
ç
è
æ +
+÷
ø
ö
ç
è
æ ++
=
sK
s
KKsK
ss
G
ccc
C
1
2
1
2
2
2
2
2
1
22 11
1
21
t
q
t
q
qt
t
q
q
t
t
q
q
t
qt
 
Com 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
=
c
C
K
K
t
q
q
t
2
21 ; 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
=
c
I
C
K
K
t
qt
2
1
; 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
=
t
q
qt
t
2
2
1
K
K DC , 
 
temos um PID!