1ª APOSTILA MATEMÁTICA 2º2017 ALUNO

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 FACULDADES INTEGRADAS DA UNIÃO EDUCACIONAL DO 
 PLANALTO CENTRAL 
Professora: Flávia de Oliveira Carvalho 
Curso: Disciplina: MATEMÁTICA 
1ª 2º Sem/2017 1º Período NOTURNO 
Revisão de operações numéricas, álgebra elementar, 
 
 
 APRESENTAÇÃO : Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido 
várias turmas anteriores de experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma 
sucinta, alguns assuntos básicos que entendemos como sendo absolutamente 
fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora 
do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam colocar suas ideias de 
novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares. 
1 – Conjuntos 
 
1.1 DEFINIÇÃO: Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, 
números, pessoas etc. 
 Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos 
por letras minúsculas. 
 Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras: 
 
 Por extensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e 
separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. Ex.: A={1,3,5}. 
 
 Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus 
elementos. Ex.: B={x /x é número ímpar menor que sete}. 
 
  Pelo diagrama de Venn. Ex.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCIPAIS SÍMBOLOS 
 

 pertence 
 

 não pertence 
 / tal que 
  ou 
 
 (conjunto vazio) 
 
 

 está contido 
 

 não está contido 
  existe ao menos um 
•1 
 • -3 
 •5 
 
 
2 
 

! existe um único 

 não existe 

 para todo ou qualquer 

 implicação 

 equivalência 

 união 

 intersecção 
 = é igual a 
  é diferente de 
  é maior que 
  é menor que 
  é maior ou igual a 
  é menor ou igual a 
  (ou) 
  (e) 
  (donde se conclui) 
 
Exemplo 
 Sendo P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determina, por extensão, os seguintes 
conjuntos: 
A = {x  P / x = 3k, k  P} = { } 
B = {x  P / x = 2k, k  P} = { } 
 
Observações 
 Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por 
  ou { }. 
 
 Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). Ex.: E = {1, 2, 3, ...}. 
 
 Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é 
subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é 
elemento de B. Ex.: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A 

 B ou A é 
subconjunto de B. 
 
 Chamamos de A  B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e 
B. Ex.: Se A = {1, 2, 3, 8} e B = {2, 8, 9} então A  B = {2, 8}. 
 
 Chamamos de A  B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B. 
Considerando os conjuntos A e B do exemplo anterior, temos A  B = {1, 2, 3, 
8, 9}. 
 
1.2 RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA: É a relação que existe entre um elemento e seu 
conjunto. 
 
Exemplos. Para o conjunto V = { a, e, i, o, u }, pode se escrever: 
 
 a  V lê-se a pertence a V 
 a  V lê-se a não pertence a V 
 
 
2 
 
 
1.3 RELAÇÕES DE INCLUSÃO: É a relação que só existe entre conjuntos. 
 
Exemplos. Para os conjuntos: A = { a , b , c , d } ; B = {a , b } ; C = { e }, temos: 
 
 
 B  A lê-se B está contido em A  ( B é subconjunto de A ) 
 A  B lê-se A contém B 
 C  B lê-se C não está contido em B 
 
 
1.4 IGUALDADE DE CONJUNTOS : Dois conjuntos são iguais se, e somente se possuem 
os mesmos elementos. 
 A = B  (  x ) (x A  x  B ) 
 
1.5 CONJUNTO UNIVERSO (U): é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que 
podem ser utilizados num determinado estudo. 
 
Convenções: 
 - n(A) = 8 lê-se, o número de elementos do conjunto A é oito; 
 
 - n (C) = 1 lê-se o número de elementos do conjunto C é um ( C é classificado 
como conjunto unitário ). 
 
 - O conjunto desprovido de elementos é chamado de conjunto vazio e indicado por  ou 
{ }. Repare que n() =0. Nunca poderá ser utilizado {  } 
 
 
2 – Operações com Conjuntos 
 
2.1 INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS (): 
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos comuns de 
A e B. 
 
 
 
{x/x  A e x  B} 
 
2.2 UNIÃO (): 
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A 
e a B. 
 
 
 
3 
 
 
 
{x/x  A ou x  B} 
 
EXEMPLOS 
1) Dados os conjuntos: A = {1,4,5,6,8}, B = {2,6,8,13,17,20} e C = {5,7,8,6}, 
determine: 
a) A

B = 
b) A

B = 
c) A

C = 
d) A

C = 
e) B

C 
f) B

C 
 
2) Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 
pessoas, constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 
10 pessoas não consomem nem A e nem B. Que parte desta população consomem 
tanto o produto A quanto o produto B? 
 
3) Num teste para verificar o aproveitamento de 130 estudantes do terceiro ano do 
Ensino Médio, observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota 
satisfatória em uma só disciplina: Matemática, 32; Física, 35; Química, 39. Em duas 
das disciplinas: Matemática e Química, 15; Química e Física, 17; Matemática e 
física, 9. Nas três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Com estas informações: 
 a) faça o diagrama de Venn para a situação; 
 
 b) obtenha o número estudantes que passaram em apenas uma disciplina avaliada; 
 
 c) obtenha o número de estudantes que passaram em pelo menos duas disciplinas; 
 
 d) obtenha o número de estudantes que não obtive nota satisfatória em nenhuma 
das disciplinas. 
 
Exercícios – Problemas envolvendo conjuntos 
 
1) Em uma academia, 200 alunos praticam natação, 250 musculação, 60 fazem as duas 
modalidades e 90 não fazem nem natação nem musculação. 
a. Quantos alunos fazem somente natação? 
b. Quantos alunos não fazem musculação? 
c. Quantos alunos têm a academia? 
 
2) Em uma escola que tem 410 alunos, 220 estudam inglês, 160 estudam francês e 50 
estudam ambas as línguas. Responda: 
a. Quantos alunos não estudam francês? 
b. Quantos alunos estudam somente inglês? 
c. Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? 
d. Quantos alunos não estudam inglês? 
 
 
4 
 
 
3) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos 
campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos 
entrevistados não assistem; 101 assistem as corridas de formula 1 e 27 assistem as 
corridas de formula 1 e de moto velocidade. Responda: 
a) Quantas das pessoas entrevistadas assistem às corridas de moto velocidade e de 
formula 1? 
b) Quantas das pessoas entrevistadas assistem somente às corridas de moto velocidade? 
 
4) Numa comunidade de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), 
novela (N) e humorístico (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses 
programas: 
 
 
 
5) Uma pesquisa sobre a preferência de três marcas de televisores M, P e S com 350 
entrevistados revelou que: 197 preferem M; 183 preferem P; 210 preferem S; 85 preferem 
M e P; 92 preferem M e S; 103 preferem P eS; 10 preferem as três marcas. Determine: 
a) Quantas pessoas não preferem nenhuma das três marcas?; b) Quantas preferem 
somente a marcaS?; c) Quantas não preferem a marca P? e d) Quantas preferem 
somente uma marca? 
 
6) Uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores por 3 marcas de refrigerantes A , 
B e K revelou que dos 500 entrevistados : 70 preferem B e K; 40 preferem A e B; 30 
gostam das três marcas; 210 preferem o refrigerante A; 230 preferem o refrigerante B; 
160 preferem refrigerante K; 90 preferem A e K. Determine: 
 
7) Numa pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lêem o jornal A, 29% lêem o jornal 
B, 22% lêem o jornal C, 13% lêem A e B, 6% lêem B e C, 14% lêem A e C e 6% lêem os 
três jornais. 
a. Quanto por cento não lê nenhum jornal? 
b. Quanto por cento lê os jornais A e B e não C? 
c. Quanto por cento lê pelo menos um jornal? 
 
Programas 
Número de 
Telespectadores 
E 
400 
N 1220 
H 1080 
E e N 220 
N e H 800 
E e H 180 
E , N e H 100 
Responda: 
a) Quantas pessoas da comunidade assistem 
somente ao programa E? 
b) Quantas pessoas da comunidade assistem dois 
desses programas? 
c) Quantas pessoas da comunidade não assistem 
nenhum desses programas? 
a) Quantas preferem somente o refrigerante K?; 
b) Quantas preferem somente os refrigerantes B e K?; 
c) Quantas não gostam do refrigerante A?; 
d) Quantas não preferem nenhuma das 3 marcas ?; 
e) Quantas não preferem os refrigerantes B ou K? 
 
 
5 
 
8) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas 
preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram 
que:210 compram o produto A; 210 compram o produto B; 250 compram o produto C; 20 
compram os três produtos; 100 não compram nenhum dos três produtos; 60 compram os 
produtos A e B; 70 compram os produtos A e C; 50 compram os produtos B e C. Quantas 
pessoas foram entrevistadas? 
 
9) Numa prova de 3 questões, 4 alunos erraram todas as questões; 5 acertaram só a 
primeira; 6 acertaram só a segunda; 7 acertaram só a terceira; 9 acertaram a primeira e a 
segunda; 10 acertaram a primeira e a terceira; 7 acertaram a segunda e a terceira e 6 
acertaram todas as questões. Quantos alunos possui a turma? 
 
10) Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias dadas são matemática e 
português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número 
de alunos que estudam matemática e português é: 
a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) N.d.a. 
 
11) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B; exatamente 80% dos alunos lêem o 
jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos 
jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: 
a) 48% b) 60% c) 40% 
d) 140% e) 80% 
 
12) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem 
em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto 
inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se 
matricularam em inglês? 
 
13) Num almoço, foram servidos, entre outros pratos, frangos e leitões. Sabendo-se que, 
das 94 pessoas presente, 56 comeram frango, 41 comeram leitão e 21 comeram dos dois, 
o número de pessoas que não comeram nem frango nem leitão é: 
a) 10 b) 12 c) 15 
d) 17 e) 18 
 
 
14) Numa Universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos lêem o jornal 
X e 60% o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois 
jornais, calcule o valor que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos. 
 
15) Numa pesquisa realizada com 200 pessoas, 80 informaram que gostam de música 
sertaneja, 90 música romântica, 55 de música clássica, 32 de músicas sertaneja e 
romântica, 23 de músicas sertaneja e clássica, 16 de músicas romântica e clássica, 8 
gostam dos três tipos de música e os demais de nenhuma das três. Obter o número de 
pessoas que não gostam de nenhuma das três. 
 
16) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de três embalagens: A, 
B e C, para o lançamento de um novo produto. 
O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 
90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram as 
embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; e 10 indicaram as 3 embalagens. 
Pergunta-se: 
 
 
6 
 
a) quantas pessoas não indicaram a embalagem C? 
 
b) quantos não tinham preferência por nenhuma das três embalagens? 
 
17) (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para 
escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 
100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência: 
 
a) venceu A, com 120 votos. 
b) venceu A, com 140 votos. 
c) A e B empataram em primeiro lugar. 
d) venceu B, com 140 votos. 
e) venceu B, com 180 votos. 
 
18) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra 
parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram 
vacinados contra as duas doenças. 
 
19) Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se 
que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 
3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de 
aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: 
(A) 4 000 (B) 3 700 (C) 3 500 (D) 2 800 (E) 2 500 
 
 
20) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, 
Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em 
cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram 
Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram 
Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: 
 
a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras. 
b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. 
c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. 
 
 
 
3 – Conjunto dos Numéricos 
 
3.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N) 
 
O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros positivos junto 
com o zero. 
 
N={0,1,2,3,4,5,...} 
 
 
3.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) 
 
 
 
7 
 
No conjunto dos números inteiros, representado pela letra (Z), não há números 
“quebrados”, ou frações que não representam divisões exatas. Podemos dizer então, que 
este conjunto é composto por números inteiros negativos e positivos. Vejam: 
 
Z={..., -2,-1,0,1,2,3,...} 
 
OBS: Observe que todo número natural também é um número inteiro, por isso dizemos que 
o conjunto dos Naturais está contido nos inteiros. Em símbolos: 
ZN 
 
 
3.3 CONJUNTO DOS RACIONAIS (Q) 
 
Dizemos que um racional é qualquer número que pode ser escrito na forma de uma fração 
de inteiros, ou seja: 
}0int,,{  beeirosba
b
a
Q
 
OBS: 
 Pela definição dada, vemos que todos decimais exatos são racionais; 
 Todas as dízimas periódicas são números racionais; 
 Todo número inteiro é racional 
 
3.4 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS (I) 
 
Apesar de normalmente ser usado a letra I para representar o conjunto dos números 
irracionais, este símbolo não é o único utilizado. Este conjunto pode ser representado de 
várias formas. 
Os números irracionais são todos os decimais não exatos, não periódicos e não negativos. 
Dizemos também que um irracional é um número que não pode ser escrito na forma de 
uma fração de inteiros. 
São exemplos de números irracionais: 
 
1,020304... ; 
4 3;17;2
, 
...; e
 
 
3.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R) 
 
Todo tipode número citado anteriormente nos outros conjuntos, são números reais. 
Dizemos que o conjunto dos reais é a união dos Racionais com os Irracionais. 
)( IQR 
 
 
O diagrama a seguir ilustra os conjuntos numéricos de uma forma que facilita a visualização 
da relação existente entre eles: 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
OBS: O diagrama mostra a relação entre os conjuntos numéricos: 
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. 
Como subconjuntos importantes de IR temos: 
 o conjunto dos números R = Q 

II e Q 

II =  
 IR* = IR - {0} 
 IR+ = conjunto dos números reais não negativos 
 IR_ = conjunto dos números reais não positivos 
 Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: 
a) Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ... 
b) Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ... 
 
4 – MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 
 
O módulo ou valor absoluto é o valor aritmético de um número relativo, isto é, sem 
considerar seu sinal. 
Podemos pensar no módulo também, como a distância do número até a origem da reta 
numérica. A representação do módulo de um número é feita por meio de barras verticais. 
Veja alguns exemplos: 
 
 |-9|=9 
 |-16|=16 
 |12|=12 
 
5 – NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS E INVERSO DE UM NÚMERO. 
 
Dois números são opostos ou simétricos quanto tem mesmo módulo, porém com sinais 
contrários. (um positivo e outro negativo ). Por exemplo, 
 O oposto de -2 é 2 
 
 
9 
 
 O simétrico do 1,3 é o -1,3; 
 E o oposto do zero?... 
 
O inverso de um número a é dado por 
a
1
 , sendo a um número diferente de zero. 
 
OBS: O único número real que não tem inverso é o zero, por quê? 
 
 
Exercício 
 
1- Preencha a tabela, com o inverso de cada número apresentado: 
 
Número inverso Número Inverso 
2 5 
-2 0,1 
-9 -11/12 
1/3 1 
-8/15 3000 
4 17 
2/7 23 
7/9 24/25 
-3/8 -8 
 
 O que acontece quando se multiplica um número pelo seu inverso? 
 
 
 
 
6– Operações com o Conjunto dos Números Reais 
 
6.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
 Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal. 
 
 Sinais diferentes: Diminui-se e dá-se o sinal do maior. 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
6.2 REGRA DOS SINAIS: Multiplicação e divisão 
 
Na multiplicação e divisão podemos seguir o esquema abaixo, onde (+) representará um 
número positivo e (-) estará representando um número negativo. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1- Elimine os parênteses e calcule o valor das expressões a seguir: 
 
 
 
11 
 






)98()123()12()56()92()23()10()
)17()89()31()87()38()21()76()
)34()45()12()54()75()90)(
)100()4()23()21()1()20()
)25()92()19()13()
)19()5()
f
e
d
c
b
a
 
2 – Encontre o valor das multiplicações e divisões a seguir: 
 











)8()13(:)26()9()
)43()7(:)14()
)9()5()6()
)27(:)81()3(:)9()
)6(:)37()12()
)97()5()
)8()12()
)12()123()
)8(:)1624()
)6(:)144()
)8(:)96()
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
 
 
6.3- OPERAÇÕES COM DECIMAIS 
 
I – Adição 
 
Na adição as partes somadas são chamadas de parcelas e o resultado é a soma. 
 
 
 
1192 
 
 
 
 
 Parcelas soma 
 
 
Com números decimais deve-se tomar o cuidado de ao se dispor as parcelas no cálculo, 
deixarmos “a vírgula debaixo da vírgula”. 
 
Exemplo: 
 
 
12 
 
 








839,12
1,1
870,9
67,2
1,1078,976,2
 
 
II – Subtração 
 
Na subtração os números são chamados de minuendo, subtraendo, a operação a 
subtração, e o resultado é a diferença: 
 
 subtração 
 
 
 
112536 
 
 
 Minuendo subtraendo diferença 
 
 
Para números decimais, deve-se observar a mesma regra para a soma: “deixar a vírgula 
debaixo da vírgula”. 
Acompanhe: 
 
 
 








813,2
87,6
890,9
78,6098,9
 
III – Multiplicação 
 
Para se multiplicar dois números decimais quaisquer, multiplicamos os números como se 
fossem inteiros e damos ao produto um número de casas decimais igual à soma de número 
de casas decimais dos fatores. 
 
Efetue: 
 
4,2072,0 
= 
 
 
 012,0492,3
 
 
 
OBS: 
 
 
 
13 
 
 Ao se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000, etc. basta deslocar a vírgula 
para a direita tantas casas decimais, conforme o número de zeros do fator 
multiplicativo. 
 
 
Exemplo: 
 
 
23,1100000123,0 
 
 
 
 
IV- Divisão de números decimais 
 
Para dividir dois números decimais, devemos igualar o número de casas decimais 
desses números; quando necessário, acrescentamos zeros à parte decimal do 
dividendo ou do divisor, ou ambos, para que se igualem as casas decimais, em seguida, 
eliminamos as vírgulas e efetuamos a divisão normalmente. 
 
12,0200:24200,0:024,02,0:024,0 
 
 
Efetue: 
 
0,125:0,5= 
 
6,012:0,4= 
 
OBS: Para se dividir um número por 10, 100, 1000,... basta deslocar a vírgula para a 
esquerda tantas casas decimais, conforme o número de zeros do divisor. 
 
Exemplo: 
 
003,01000:3
18723,0100:723,18


 
 
 
Exercícios 
 
1- Resolva as operações a seguir. Quando possível utilize as regras da multiplicação e 
divisão por 10, 100, etc. 
 
 
14 
 















002,0:78,2)0
7,0:014,7)
12:072,12)
005,0:625,0)
002,0:48,20)
2,14,23)
24,304,0)
4,845,2)
1000:678,45)
100:34,0)
100005,9)
10000002,0)
100:23,10)
10056,234)
3,034,12)
n
m
l
k
j
i
h
g
f
e
d
c
b
a
 
 
 
 
7. EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
Uma expressão numérica é uma sequência de operações matemáticas. 
 
Nas expressões numéricas, primeiro, efetuamos os calculamos dentro dos parênteses; 
depois, dentro dos colchetes; e por fim, dentro das chaves. 
 
Dentro dos parênteses, colchetes ou chaves, primeiro as potenciações e as radiciações; 
depois as multiplicações e as divisões; e finalmente, as adições e as subtrações. As 
operações são feitas obedecendo à ordem em que elas aparecem (da esquerda para 
direita). 
Em resumo, as operações devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de 
operações: 
 
1º - Potenciação e Radiciação; 
 
2º - Multiplicação e divisão; 
 
3º - Adição e Subtração. 
 
(Obedecendo sempre à ordem em que elas aparecem) 
 
Nessas operações são realizadas: 
 
1º - Parênteses ( ); 
 
2º - Colchetes [ ]; 
 
3º - Chaves { }; 
 
 
 
15 
 
EXEMPLOS 
 
1º) 15 + [(3 . 6 - 2) - (10 – 6 : 2) + 1]= 
 
 
 
2º) 50 - {40 – 3 . [5 - (10 - 7) + 12 : 6] + 14}= 
 
 
 
 
2) Calcule as expressões respostas 
 
a) 3 . 75 + 3 . 25 = (R:300) 
b) 12 + 16 : 8 . 3 - 5 = (R:13) 
c) 100 – 6 . 7 + 8 : 2 =(R:62) 
d) 64 : 8 + 5 . 5 - 3 = (R: 30) 
e) 7 + 15 : 3 = (R:12) 
f) (13 + 2) . 3 + 5 = (R:50) 
g) (7+2) . (3-1) = (R:18) 
h) 15+ [ 6+ (8 – 4 : 2)] = (R:27) 
i) 40- [ 3 + (10 - 2) : 2] = (R:33) 
j) 82 - 8 . 7 : ( 4 – 1 . 3) = (R:26) 
k)180 : {10 + 2 . [ 20 – 45 : (13 – 2 . 5)]} = (R:9) 
l) 1000 - [(2 . 4 - 6) + ( 2 + 6 . 4)] = (R: 972) 
m) 60 + 2 . {[ 4 . ( 6 + 2 ) - 10 ] + 12} = ( R: 128 ) 
n) [( 4 + 16 . 2) . 5 - 10] . 100 = (R: 17.000) 
o) { 10 + [ 5 . ( 4 + 2 . 5) - 8] . 2 } - 100 = ( R: 34) 
p) 67 + { 50 . [ 70 : ( 27 + 8 ) + 18 : 2 ] + 21 } = (R:638) 
 
3) Dados os números: 
 
X = 1 – [4 + (4 – 2 – 5) – (- 7 + 3)] Y = 2 – [7 – (- 1 – 3 + 6) – 8] 
 
 Calcule: 
a) X + Y = 
b) X – Y = 
c) Y – X = 
 
4) Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões numéricas: 
 
a) (+21) . (-1) = 
b) (-2) . (-17) = 
c) (+8) . (+15) = 
d) (+7) . (-12) = 
e) 77 – (-8).(-9) = 
f) 61 – (-7).(+5) – 2.(+50) = 
 
 
16 
 
g) 28 – 4.(-6) + (-2).7 – 15 = 
h) 5.12 – 47 – 3.(-2) = 
i) 
         325323
 
 
 
5) Escreva dois números inteiros negativos cuja soma dá -7 e cujo produto dá +10. 
 
6) Calcule: 
 
a) 
   9108 
 = 
b) 
     36324
 
c) 
     17510
 
d) 
   23062
 
e) 
       4530
 
f) 
   250132
 
g)
     82348
 
h) 
       1864125
 
i) 
       72192184
 
 
7) Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas 
duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam 
sim à segunda. 35 responderam sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas 
feitas. Qual o número de operários da indústria? 
 
 
8) Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das 
pessoas entrevistadas fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a 
marca C; 20% fumam A e B; 30% fumam A e C; 25% fumam B e C; 8% fumam A,B e C. 
Que porcentagem das pessoas fumam exatamente duas marcas. 
 
 
9) Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }; A = { 1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = { 1, 2, 3, 
5}, 
 
Calcule: 
 
a) A  C = b) B  C = 
 
c) A  B = d) A  C = 
 
e) A – C = f) C – A = 
 
 
 
8 – POTENCIAÇÃO 
 
Potenciação com expoente inteiro maior que 1 
 
Potência de grau n de um número é o produto de n fatores iguais a esse número. 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: 
 
 Quando a base é positiva a potência é sempre positiva. 
 Quando a base é negativa, o sinal de potência depende do expoente: 
- base negativa e expoente par

potência positiva 
- base negativa e expoente ímpar 

 potência negativa. 
 
Resumindo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência de expoente zero 
 
Toda potência de base não-nula e expoente zero é igual a 1. 
 
 
 
 
 
Potência de expoente 1 
 
Toda potência de expoente 1 é igual à base 
 
 
 
 
 
Potência de base 1 
 
Toda potência de base um é igual a 1. 
 
 
 
 
 
Potência com expoente inteiro negativo 
 
1
)(......


nerealnúmeroasendo
fatoresnaaaaa n
 
)()(
)()(
)()(



ímpor
par
n
 
.,10 nulonãonúmeroumasendoa 
 
.,1 realnúmeroumasendoaa 
 
.,11 realxtodoparax 
 
 
 
18 
 
Toda potência de expoente inteiro negativo e base diferente de zero é igual a potência de 
base igual ao 
 
inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado. 
Em outras palavras, quando um número tem expoente negativo, para deixá-lo positivo 
devemos inverter sua base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
42
2
1
8
1
2
1
2
2
2
3
3















 
 
 
8.1 Regras de potenciação 
 
Produto de potência de mesma base: 
 
Para alcançar o produto de potência de mesma base, basta manter a base e somar os 
expoentes: 
 
 
mnmn aaa .
 
 
Divisão de potência de mesma base: 
 
Um quociente de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando 
a base e subtraindo os expoentes: 
 
zerodediferentenúmerouméaOnde
a
a
a
aa nm
n
m
nm
,
:  
 
 
Potência de potência 
 
.
,
11
zerodediferenteae
reaisnúmerosneasendo
a
b
b
a
aa
a
nn
n
n
n





















 
 
 
19 
 
Uma potência elevada a um dado expoente é igual à potência que se obtêm conservando 
a base e multiplicando os expoentes. 
 
  mnnm aa 
 
 
Dizemos então que eleva-se a base ao produto dos expoentes. 
 
 
Potência de um produto 
 
Um produto elevado a um expoente qualquer é igual ao produto das potências que são 
obtidas elevando-se cada fator ao expoente dado. 
 
 
  nnn baba .. 
 
 
Multiplicação de potência de mesmo expoente 
 
Um produto de potência de mesmo expoente é uma potência cuja base é o produto das 
bases anteriores elevado ao expoente dado: 
 
 nnn abba .
 
 
 
Potência de um quociente 
 
Um quociente elevado a um dado expoente é igual ao quociente das potências que são 
obtidas elevando-se o dividendo e o divisor ao expoente dado: 
 
n
nn
b
a
b
a





 
 
 
Potência de base 10 e notação científica 
 
Para as potências de base 10 observamos que 
 
.,0...1010 zerosnn 
 
 
 
.1...00,0
0...10
1
10 decimaiscasasnn 
 
 
Diz-se que um número está escrito em notação científica quando ele está na forma: 
 
nk 10.
 
Em que k é um número tal que 0<k<10 e n é um número inteiro. 
 
 
20 
 
A notação científica é usada para diminuir a escrita de um número tornando mais fácil as 
operações por meio das propriedades de potência. 
 
Exemplo: 
 
6,4102103,2102000023,0 555  
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 – Calcule o valor das expressões: 































001,0
100)².01,0.(0001,
)
70000.01,0.2,1
100.280.003,0
)
)¹2.(89:³39)
)²12(:²325,0.48)
]2:)3¹5².3(45[2)
³]2)68(:²6[2)
500.9,0.10.5
270.5000.005,0
)
}1600²]2)1113(:²14[39{)
2
3
.
3
2
.
3
2
)
)5²3(:]7)²42(:1224[)
])981.(2:)2[(²2)²2.(3)
³)2².2(:2)
0
046
0
172035
0
045
39
0
1
3
e
l
k
j
i
h
g
f
d
c
b
a
 
 
 
 
21 
 
9- FRAÇÕES 
 
Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o numerador e o divisor é o 
denominador. 
 
Veja abaixo que podemos representar uma fração também na sua forma decimal. Para isso 
basta, como visto na definição, dividir o numeradorpelo denominador: 
 
 
A fração é própria quando o numerador é menor do que o denominador: 
 
Exemplos: 
...,
101
100
,
16
9
,
5
3
,
7
1
etc
 
 
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o denominador, sendo possível 
representá-la por um número misto e reciprocamente. 
 
Exemplos: 
 
 
Em qualquer fração, ao multiplicarmos ou dividirmos numerador e denominador por um 
mesmo número, o que se altera é apenas a escrita do número, seu valor é preservado. 
A fração resultante quando multiplicamos ou dividimos uma fração por um número natural 
diferente de zero é chamada de fração equivalente. 
A partir de uma determinada fração chamada irredutível, podemos encontrar infinitas 
frações equivalentes. 
Exemplos: 
)(
5
4
6:30
6:24
30
24
...
6
2
3*2
3*1
2
1
lirredutíve

 
 
 
22 
 
 
9.1 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
 Soma e Subtração 
 
Na soma e subtração algébrica de frações, reduzem-se ao menor denominador comum as 
frações a serem somadas e somam-se algebricamente os numeradores das frações 
equivalentes encontradas. 
OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos 
denominadores. 
 
Exemplos: 
 

3
1
5
1
 
Veja que na soma acima o mmc(3,5)=15. As frações equivalentes às frações citadas, que 
tem denominador 15 são trocadas pelas primeiras. Assim obtemos: 
 
15
8
15
5
15
3

 
 
Na subtração o processo é o mesmo, veja: 
 

2
1
3
2
 
 
O mmc (3,2)=6. As frações equivalentes a dois terços e um meio que tem denominador seis 
são respectivamente 
6
3
6
4
e
 logo obtemos: 
 
6
1
6
3
6
4

 
 
 Multiplicação de frações 
 
Na multiplicação de frações, “multiplica-se numerador com numerador e denominador com 
denominador”. Veja: 
 
9
5
45
1
15
*
5
3
15*
5
3
35
6
7
3
*
5
2


 
 
Obs: Ao se fazer uma multiplicação com várias frações é possível, em alguns casos, 
fazermos algumas simplificações antes de obter o produto final para que o cálculo se torne 
menor. 
 
 Divisão de frações 
 
 
 
23 
 
Na divisão de frações, multiplicamos a primeira fração (dividendo) pelo inverso da segunda 
fração, a fração divisora. 
 Exemplos: 
 
 
32
3
64
6
4
1
*
16
6
4:
16
6
)
2
1
8
4
1
4
*
8
1
4
1
:
8
1
)


b
a
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1- Resolva as operações com frações a seguir: 
a) 

4
3
3
2
 
b) 
5
1
2
3
 
c) 

5
1
3
2
 
d) 

4
5
3
4
 
 
2 - Resolva as expressões: 
 
a) 





 







22
3
4
2
3
2
3
2 
b) 

3
1
7
3
*
4
5
 
c)  2
4
5
5
3
3
2
 
d) 














4
5
5
7
3
7
4
7
2
3
2
2
 
 
 
3- 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
4- 
 
 
 
 
10. Radiciação 
 
A operação para se obter a raiz n-ésima é denominada de radiciação. Se é exata, a 
radiciação é a operação inversa da potenciação. 
 
1quemaiorenaturalncom
abba nn 
 
 
Exemplos: 
42.2.2.2,216
82.2.2,28
25²55.5,525
4
3



pois
pois
pois
 
 
e assim por diante. 
 
Potência com expoente fracionário 
 
Sendo a um númeo real positivo, n um número natural positivo e m/n um número racional 
na forma irredutível, definimos: 
n mnm aa 
 
 
Exemplos: 
 
2
1
2
33
3434

 
 
Algumas propriedades: 
 
 
 
25 
 
pn
pm
n m
n n
n
n
n
n
aad
aac
zerodediferenteb
b
a
b
a
b
babaa








)
)
,)
..)
 
Obs: Na soma de radicais só se pode unir os coeficiente das raízes se as mesmas tiverem 
o mesmo índice e mesmo radicando. 
 
Exemplo: 
 
5242352 
 
 
Nos casos em que o índice são iguais mas os radicandos são diferentes, pode-se tentar 
uma fatoração do mesmo para tentar se obter um radicando comum. 
 
 
Exercícios: 
1- Resolva as operações com radicais indicadas: 
 
 













9
1
4
1
)
)]1.41(²4[6)
200128162)
8
2
)
9.54)
323502987722)
50452032)
12/10
1
3/1
0
63
g
f
e
d
c
b
a
 
 
 
 
 
26 
 





752273124)
985632722283)
28
3
7
2
5
4
8
1
81
49
)
j
i
h
 
 
2) Calcule as potências: 
a) 
26
 
b) (-6)2 
c) -62 
d) (-2)3 
e) -23 
f) 50 
g) (-8)0 
h) 
4
2
3






 
i) 
4
2
3







 
j) 
3
2
3







 
k) 028 
l) 132 
m) (-1)20 
n) (-1)17 
o) 
2
5
3







 
 
3) O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é: 
a) 16 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
4) Sendo 
7.3.2 87a
 e 
65 3.2b
, o quociente de a por b é: 
a) 252 
b) 36 
c) 126 
d) 48 
e) 42 
 
 
18 
 
 
5) Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária: 
 
a) 

100
1
 
b) 

16
1
 
c) 

9
4
 
d) 
 01,0
 
e) 
81,0
 
f) 
25,2
6) Calcule a raiz indicada: 
 
a) 
9 3a
 
b) 
3 48
 
 
c) 
7t
 
d) 
4 12t
 
 
7) Escreva na forma de potência com expoente fracionário: 
 
a) 
7
 
b) 

4 32
 
c) 

5 23
 
d) 

6 5a
 
e) 

3 2x
 
f) 

3
1
 
g) 

3 4
1
 
h) 

5 3
3
a
8) Calcule as seguintes raízes: 
169
; 
3 125
; 
4 625
; 
3 343
; 
4 81
; 
6 729
; 
7 128
; 
10 1024
. 
9) Determine as raízes: 
 
 
  

3
5
3
a) 81 e) 27
b) 100 f) 32
c) 8 g) 25
9
d) 
16

9
 h) 
49
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Observe qual o caso de simplificação de radicais e simplifique-os: 
 
 

10 4 5
8 6
8
a) 2 g) 2 
b) 27 h) 2 
c) 3 
 
 

3 3 3 7
32 6
2
 i) 40
d) x j) 3 
e) 9 k) a 
f) (a-b) 7 21 l) 3
 
 
 
 
 
13) Qual é o valor de 
911432 
? 
 
10) Resolva as expressões abaixo: 
a) 
 
 
    
 
  
0
3
2
3
1
9 8
2
2 27
 c) 
46 1 64 
 
 b) 
  

3 3 1 8 4 
9 16
 
 
12) Simplifique os radicais: 
98
; 
27
; 
3 729
; 
363
; 
3 108
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5 224
; 
4 240
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