lista2

Prévia do material em texto

uiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiit
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
INMA - Instituto de Matema´tica
Lista 2 - Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof. Dr. Bruno Dias Amaro
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
viiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiw
1. Prove que se {~u,~v, ~w} e´ LI enta˜o {~u+ ~v, ~u+ ~w,~v + ~w} tambe´m e´ LI.
2. Prove que {~u,~v} e´ LI se, e seomente se, {~u+ ~v, ~u− ~v} e´ LI.
3. Decida se os vetores sa˜o LI ou LD:
a) ~u = (0, 1, 0) e ~v = (1, 0, 1);
b) ~u = (1,−3, 14) e ~v = (1
7
, −3
7
, 2); (modifiquei o exerc.)
c) ~u = (1, 2, 1), ~v = (1,−1,−7) e ~w = (4, 5,−4);
4. Se o conjunto {~e1, ~e2, ~e3} e´ LI e definimos
~u = ~e1 + ~e2 + ~e3
~v = ~e1 + ~e2
~w = ~e3
enta˜o o conjunto {~u,~v, ~w} e´ LI ? Justifique.
5. Sejam P,A e B pontos do espac¸o.
a) Se C e´ o ponto do segmento AB tal que
d(A,C)
d(C,B)
=
3
5
, escrever o vetor
−→
PC como
combinac¸a˜o linear dos vetores
−→
PA e
−−→
PB.
b) De maneira geral, se C e´ o ponto do segmento AB tal que
d(A,C)
d(C,B)
=
m
n
, escrever o
vetor
−→
PC como combinac¸a˜o linear dos vetores
−→
PA e
−−→
PB.
6. a) Sejam ~a e ~b vetores na˜o paralelos. Prove que se α~a+ β~b = ~0, enta˜o α = β = 0.
b) Calcule α e β, sabendo que os vetores ~a e ~b na˜o sa˜o paralelos e que (α−β+ 1)~a+ (2α+
β − 4)~b = ~0.
7. Prove que (~u,~v) e´ LI se, e somente se, (~u+ ~v, ~u− ~v) e´ LI.
8. Seja (~u,~v, ~w) uma sequeˆncia LI de vetores. Dado um vetor ~t qualquer, sabemos que existem
escalares α, β e γ tais que ~t = α~u+ β~v + γ ~w (por que?). Prove que (~u+ ~t, ~v + ~t, ~w + ~t) e´ LI
se, e somente se α + β + γ 6= −1.
1
9. Prove que (~u− 2~v + ~w, 2~u+ ~v + 3~w, ~u+ 8~v + 3~w) e´ LD, quaisquer que sejam os vetores ~u,~v
e ~w.
10. Mostre que se S = {~v1, ~v2, ~v3} e´ um conjunto de vetores de V3 ao qual pertence o vetor nulo,
enta˜o S e´ LD.
11. Mostre que se S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} e´ um conjunto LD de vetores de V3, enta˜o um dos vetores
de S e´ combinac¸a˜o linear dos demais.
12. Seja S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} um conjunto LD de vetores de V3. Mostre que se L e´ um conjunto
de vetores de V3 tal que S ⊂ L, enta˜o L e´ tambe´m um conjunto LD.
13. Seja S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} um conjunto LI de vetores de V3. Mostre que se L e´ um conjunto
de vetores de V3 tal que L ⊂ S, enta˜o L e´ tambe´m um conjunto LI
14. Verificar que o vetor ~v = (2, 1, 3) pode ser escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear
dos vetores ~v1 = (1, 1, 3), ~v2 = (2,−1, 3) e ~v3 = (1, 1, 0).
15. Decida se sa˜o LI ou LD os conjuntos formados pelos seguintes vetores:
a) ~u = (0, 2, 1) e ~v = (0, 1, 3).
b) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (−2, 4,−2).
c) ~u = (1, 2, 1), ~v = (1,−1, 7) e ~w = (4, 5,−4).
16. Determine o valor de m de modo que ~u = (1, 2, 2) seja combinac¸a˜o linear de ~v = (m −
1, 1,m− 2) e ~w = (m+ 1,m− 1, 2). Em seguida, determine m para que (~u,~v, ~w) seja LD.
17. Prove que se β = {~b1, ~b2, ~b3} e´ base de V3, enta˜o β1 = {α1~b1, α2~b2, α3~b3} e´ base de V3 desde
que os escalares α1, α2 e α3 sejam todos na˜o nulos.
18. Determine o versor (vetor unita´rio) dos seguintes vetores:
a) ~v = (1, 0, 2)
b) ~u = (1,−1,−1)
c) ~w = (2, 1, 2).
19. Determine um vetor de V3 paralelo ao vetor ~v = ~e1 + ~e2 + ~e3 e que tenha norma igual a 5.
20. Se ~v = (0, 1,−1), ~w = (−1,−2, 2), ~u = (0,−1, 3) e ~t = (4, 2, 4), determine:
a) ~u+ ~v b) ~u− ~w c) 2~t− ~v d) −~v + 2~u− 2
3
~w + 2~t
e) Se {~v, ~w} e´ LI f) Se ~v//~w g) Se {~w, ~u,~t} e´ LI h) Se ~v//~t
i) Se {~t, ~w} e´ LI j) Se {~u,~v,~t} e´ LD k) ||~v|| l) ||~v + ~w||
2
21. Se ~v = (1, 2,−1), ~w = (−2,−4, 2), ~u = (−3, 3, 3) e ~t = (−2, 0, 1), determine:
a) Se ~v//~w b) Se {~w, ~u,~t} e´ LI c) Se ~v//~t
d) Se ~u ⊥ ~w e) Se ~t//~w
22. Decomponha o vetor ~w = (1, 3, 2) como soma de dois vetores ~w = ~u + ~v, onde ~u e´ paralelo
ao vetor (0, 1, 3) e ~v e´ ortogonal ao vetor (0, 1, 3).
23. Encontre um vetor ~u que seja ortogonal aos vetores (2, 3,−1) e (2,−4, 6) tal que ||~u|| = 3√3.
24. Demonstre que na˜o existe x tal que os vetores ~v = (x, 2, 3) e ~u = (x,−2, 3) sejam perpendi-
culares.
25. Em cada caso, determine o valor de m para que os vetores dados sejam LD.
a) ~u = (m, 1,m) e ~v = (1,m, 1)
b) ~u = (1−m2, 1−m, 0) e ~v = (m,m,m)
c) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (1, 2,m) e ~w = (1, 1, 1)
d) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (0, 1,m) e ~w = (0,m, 2m)
26. Seja OABC um tetraedro e M o ponto me´dio de BC.
a) Explique porque (
−→
OA,
−−→
OB,
−→
OC) e´ uma base de V3.
b) Determine as coordenadas de
−−→
AM nessa base.
27. Sendo E = {~e1, ~e2, ~e3}, F = {~f1, ~f2, ~f3} e G = {~g1, ~g2, ~g3} bases de V3 tais que
~e1 = ~f1 + 2~f2
~e2 = ~f1 − ~f3
~e3 = ~f2 + 2~f3
e

~g1 = ~e1 − 2~e2
~g2 = ~e1 + ~e3
~g3 = ~e2 − ~e3
,
determine as matrizes de mudanc¸a de base de
a) F para E .
b) E para F .
c) E para G.
d) G para E .
e) F para G.
28. Utilizando as bases E , F e G do exerc´ıcio anterior, determine as coordenadas do vetor:
a) ~v = (1, 0, 2)G em relac¸a˜o as bases E e F .
a) ~v = (1, 1, 1)F em relac¸a˜o as bases G e E .
3
a) ~v = (0, 1, 2)E em relac¸a˜o as bases G e F .
29. Determine a, b e c sabendo que (1, 1, 2)E = (2, 1, 0)F e que a matriz de mudanc¸a da base F
para a base E e´  −1 0 a2 1 b
1 0 c
 .
30. Sejam E = {~u,~v, ~w} uma base e F = {~a,~b,~c} tais que ~u = 2~a+2~b, ~v = 2~a−~b e ~w = ~a+~b−5~c.
Prove que F e´ base e verifique se {~x, ~y} e´ LI ou LD nos casos
a) ~x = (2, 2, 0)F e ~y = (−4, 0,−2)E .
b) ~x = (1, 0, 2)F e ~y = (1115 ,
2
3
,−4
5
)E .
Bom Estudo!
4