lista3-vetores

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
INMA - Instituto de Matema´tica
Lista 3 - Vetores e Geometria Anal´ıtica
Prof. Dr. Bruno Dias Amaro
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1. Encontre o aˆngulo entre os vetores ~v = (2, 1, 0) e ~u = (0, 1,−1) e entre os vetores ~w = (1, 1, 1)
e ~u = (0,−2,−2).
2. Determine, se existir, os valores de x para que os vetores ~v = x~i+6~k seja paralelo ao produto
vetorial de ~w =~i+ x~j + 2~k por ~u = 2~i+~j + 2~k.
3. Determine o valor de x para que os pontos A = (x, 1, 2), B = (2,−2,−3), C = (5,−1, 1) e
D = (3,−2,−2) sejam coplanares.
4. Encontre o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores ~u,~v e ~w nos seguintes casos:
a) Dados os pontos A = (1, 3, 4), B = (3, 5, 3), C = (2, 1, 6) e D = (2, 2, 5) tome ~u =−→
AB,~v =
−→
AC e ~w =
−−→
AD.
b) ~u =~i+ 3~j + 2~k, ~v = 2~i+~j − ~k e ~w =~i− 2~j + ~k.
5. Sejam ~u e ~v vetores no espac¸o. Mostre que:
a) (~u+ ~v) ∧ (~u− ~v) = 2(~v ∧ ~u)
b) Se ~u ∧ ~v e´ na˜o nulo e ~w e´ um vetor qualquer do espac¸o, enta˜o existem nu´meros reais
a, b e c tais que ~w = a(~u ∧ ~v) + b~u+ c~v.
c) Se ~u ∧ ~v e´ na˜o nulo e ~u e´ ortogonal a ~v, enta˜o ~u ∧ (~u ∧ ~v) e´ paralelo a ~v.
6. Encontre o vetor ~w que seja ortogonal aos vetores ~u = (2, 3,−1) e ~v = (1, 2, 3) e que satisfaz
~w · (2,−1, 1) = −6.
7. Sejam ~u = (1,−1, 3) e ~v = (3,−5, 6). Encontre proj~u+~v(2~u− ~v).
8. Responda, justificando, falso ou verdadeiro a cada uma das seguintes afirmac¸o˜es:
a) Se ~u,~v e ~w sa˜o vetores no espac¸o, com ~v na˜o nulo e ~v ∧ ~u = ~v ∧ ~w, enta˜o ~u = ~w.
b) Se ~u,~v e ~w sa˜o vetores no espac¸o, enta˜o |~u·(~v∧~w)| = |~v·(~u∧~w)| = |~w·(~v∧~u)| = |~v·(~w∧~u)|.
c) Se ~u,~v e ~w sa˜o vetores no espac¸o, enta˜o ~u ∧ (~v ∧ ~w) = (~u ∧ ~v) ∧ ~w.
a) Se ~u,~v e ~w sa˜o vetores no espac¸o, ~u e´ na˜o nulo e ~u ∧ ~v = ~u ∧ ~w = ~0, enta˜o ~v ∧ ~w = ~0.
1
9. Encontre a medida em radianos do aˆngulo entre ~u e ~v nos casos abaixo.
a) ~u = (1, 0, 1) e ~v = (−2, 10, 2)
b) ~u = (
√
3
2
, 1
2
, 0) e ~v = (
√
3
2
, 1
2
,
√
3)
10. Determine ~u, de norma
√
5, ortogonal a (2, 1,−1), tal que {~u, (1, 1, 1), (0, 1,−1)} seja LD.
11. Encontre ~u tal que ||~u|| = √2, a medida em graus do aˆngulo entre ~u e (1,−1, 0) seja 45 e
~u ⊥ (1, 1, 0).
12. Calcule ||2~u+ 4~v||2, sabendo que ||~u|| = 1, ||~v|| = 2 e a medida em radianos do aˆngulo entre
~u e ~v e´ 2pi
3
.
13. Encontre a projec¸a˜o do vetor ~w na direc¸a˜o do vetor ~v, onde:
a) ~w = (1,−1, 2) e ~v = (3,−1, 1)
b) ~w = (−1, 1, 1) e ~v = (−2, 1, 2)
14. Sendo ~u = ( 1√
3
, 1√
3
, −1√
3
), ~v = (0, 1√
2
, 1√
2
) e ~w = ( 2√
6
, −1√
6
, 1√
6
), mostre que β = {~u,~v, ~w} e´ uma
base ortonormal.
15. Se A,B e C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado unita´rio, calcule
−→
AB · −−→BC +−−→BC · −→CA+−→CA · −→AB
16. A medida em radianos do aˆngulo entre ~u e ~v e´ pi
4
. Sabendo que ||~u|| = √5 e ||~v|| = 1,
determine a medida em radianos do aˆngulo entre ~u+ ~v e ~u− ~v.
17. Decomponha ~w = (−1,−3, 2) como soma de dois vetores ~w1 e ~w2, com ~w1 paralelo ao vetor
(0, 1, 3) e ~w2 ortogonal ao mesmo vetor (0, 1, 3).
18. Dados ~u, ~v e ~w vetores unita´rios tais que o aˆngulo entre quaisquer dois deles e´ 45 graus,
encontre ||~u+ 2~v + 3~w||.
19. Sejam ~u e ~v vetores na˜o nulos de V3.
a) Mostre que ~u · ~v = 1
4
(||~u+ ~v||2 − ||~u− ~v||2).
b) Use o item anterior para justificar a seguinte afirmac¸a˜o: “As diagonais de um paralelo-
gramo teˆm a mesma medida se, e somente se, o paralelogramo for um retaˆngulo”.
20. Prove que
a) (||~v||~u+ ||~u||~v) ⊥ (||~v||~u− ||~u||~v).
b) Se ~u ⊥ (~v − ~w) e ~v ⊥ (~w − ~u), enta˜o ~w ⊥ (~u− ~v).
2
c) ||~u+ ~v|| ≤ ||~u||+ ||~v||.
21. Calcule ~u ∧ ~v e ~v ∧ ~u nos seguintes casos:
a) ~u = (6,−2,−4) e ~v = (−1,−2, 1).
b) ~u = (7, 0,−5) e ~v = (1, 2,−1).
22. A medida em radianos do aˆngulo entre ~u e ~v e´ pi
6
. Sendo ||~u|| = 1 e ||~v|| = 7, calcule ||~u∧ ~v||
e ||1
3
~u ∧ 3
4
~v||.
23. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo
−→
AB = (1, 1,−1) e −−→AD = (2, 1, 4).
24. Se {~u,~v} e´ uma sequeˆncia LI de vetores, prove que β = {~u ∧ ~v, ~u, (~u ∧ ~v) ∧ ~u} e´ uma base
ortogonal positiva (entende-se por base ortogonal uma base cujos vetores sa˜o dois a dois
ortogonais).
25. Dados ~u = (1, 1, 1) e ~v = (0, 1, 2), ache uma base ortonormal positiva (~a,~b,~c) tal que
(i) ~a//~u e ~a tenha o mesmo sentido que ~u;
(ii) ~b seja combinac¸a˜o linear de ~u e ~v, e sua primeira coordenada e´ positiva.
26. Resolva o sistema
{
~x · (2~i+ 3~j + 4~k) = 9
~x ∧ (−~i+~j − ~k) = −2~i+ 2~k
27. Prove que ||~u ∧ ~v||2 + (~u · ~v)2 = ||~u||2||~v||2.
28. Prove que se ~u,~v e ~w sa˜o vetores de V3 tais que {~u,~v} e´ LI e ~w∧~u = ~w∧~v = ~0, enta˜o ~w = ~0.
Interprete geometricamente.
29. Prove que a altura h do triaˆngulo ABC relativa ao lado AB mede h =
||−→AB ∧ −→AC||
||−→AB||
.
30. Calcule o volume de um paralelep´ıpedo definido pelos vetores ~u = (2,−2, 0), ~v = (0, 1, 0) e
~w = (−2,−1,−1).
31. Sejam ~u, ~v, ~z e ~w vetores de V3 e α, β, γ ∈ R. Mostre que
a) [~z, ~w, α~u+ β~v] = α[~z, ~w, ~u] + β[~z, ~w,~v].
b) [~u+ α~v + β ~w,~v + γ ~w, ~w] = [~u,~v, ~w]
32. Calcule [~u,~v, ~w], sabendo que ||~u|| = 1, ||~v|| = 2, ||~w|| = 3 e que {~u,~v, ~w} e´ uma base
ortogonal negativa.
33. A medida em radianos do aˆngulo entre ~u e ~v e´ pi
6
e ~w e´ ortogonal a ~u e ~v. Sabendo que
||~u|| = 1, ||~v|| = 1, ||~w|| = 4 e que {~u,~v, ~w} e´ uma base positiva, calcule [~u,~v, ~w].
3
34. Seja {~v1, ~v2, ~v3} base de V3 e ~x ∈ V3.
a) Prove que ~x =
[~x, ~v2, ~v3]
[~~v1, ~v2, ~v3]
~v1 +
[~x, ~v3, ~v1]
[~v1, ~v2, ~v3]
~v2 +
[~x, ~v1, ~v2]
[~v1, ~v2, ~v3]
~v3.
b) Aplique o resultado anterior para os vetores ~v1 = (1, 1, 1), ~v2 = (2, 0, 1), ~v3 = (0, 1, 0) e
~x = (4, 3, 3).
Bom Estudo!
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