5 barras comprimidas

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MÓDULO 5 – Metálicas: Barras Comprimidas 
 
1. Introdução 
 
As barras comprimidas podem ser barras de treliças, pilares de edifícios, etc. 
 
Tipos de Perfis utilizados: perfis cantoneiras, L, U, I, H, etc... 
 
O critério de dimensionamento apresentado aqui para peças comprimidas leva em 
consideração os efeitos de flambagem por flexão e de flambagem local em compressão 
simples. 
 
O esforço de tração tende a esticar a peça reduzindo assim curvaturas iniciais, já a 
compressão tende a acentuar uma deformação inicial. Uma coluna ao ser comprimida 
sofre deslocamentos laterais esse processo é conhecido por flambagem por flexão. 
N
N
δ
 
Os primeiros estudos teóricos sobre instabilidade de coluna foi apresentado por 
Leonhardt Euler. Esse estudo mostra que para uma coluna idealmente perfeita, ou seja, 
isenta de imperfeições geométricas e tensões residuais, fabricada com material de 
comportamento elástico linear e com carga perfeitamente centrada, ao se aplicar uma 
carga N ela se mantém com deslocamentos laterais nulos (δt=0) até a carga atingir a 
carga crítica ou carga de Euler (Ncr). Acima da carga crítica não é mais possível o 
equilíbrio na configuração reta e a coluna flamba (δt≠0). 
 
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N
tδl
Posição
inicial Posição
deformada
 
 
2
2
cr
IEN
l
⋅⋅pi
= Carga Crítica ou de carga de Euler para coluna biapoiada. 
 
Onde: E – Módulo de elasticidade. 
 I – Momento de inércia. 
 l – Comprimento da coluna. 
 
A tensão crítica fcr pode ser obtida dividindo a carga de Euler pela área da seção 
transversal A. 
 
2
2
cr
cr
A
IE
A
Nf
l⋅
⋅⋅pi
== 
 
Como o raio de giração é definido por: 
 
A
I
r
A
I
r 2 =⇒= 
 
Então a tensão crítica fica: 
 
2
2
2
22
cr
cr
r
ErE
A
Nf






⋅pi
=
⋅⋅pi
==
ll
 
 
O índice de esbeltez λ é definido por: 
 
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r
l
=λ 
 
Então a tensão crítica fica: 
 
( )2
2
cr
Ef
λ
⋅pi
= 
λ
fcr
fy
 
 
Colocando no gráfico de fcr x λ, observa-se que para pequenos valores de λ a tensão 
crítica fcr obtém valores máximos, e para grandes valores que λ obtém valores mínimos 
de fcr. 
A tensão crítica, num material plástico é limitada pela tensão de escoamento fy. 
 
Na prática não existe uma coluna perfeita. Elas apresentam imperfeições geométricas, 
como por exemplo, curvaturas iniciais δo, caso (a), devido ao seu processo de 
fabricação; e carga dificilmente vai ser aplicada centrada, portanto apresenta uma 
excentricidade inicial eo, caso (b). 
 
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N
tδ
Posição
inicial Posição
deformada
oδ δ
N
tδ
Posição
inicial Posição
deformada
oe
(a) (b)
l
 
 
 
Nestes casos a flambagem inicia deste o início do carregamento. 
 
Peças de aços além das imperfeições geométricas possuem tensões residuais devido 
ao processo de fabricação. Essas tensões mais as tensões devido ao carregamento 
após atingir Ny induz o início da plastificação da seção. 
 
N
N
N
c
y
oδ
Ncr Coluna idealmente perfeita de Euler
Coluna imperfeita de material elástico
Coluna imperfeita de material inelástico
Coluna imperfeita de material inelástico e com
 tensões residuais
tδ
 
 
Onde: Ncr - Carga crítica ou carga de Euler. 
 Nc – Carga última ou resistente. 
 Ny – Carga de início da plastificação. 
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A carga última Nc poderá ser bem menor do que a carga crítica Ncr. A tensão última fc 
devido ao esforço normal N, sem considerar a flexão, é obtida dividindo Nc pela seção 
transversal de área A. 
 
A
Nf cc = 
 
Pode-se representar num gráfico de 
y
c
f
f por λ. 
Coluna perfeita de Euler
x Resultados experimentais
Curva de Flambagem
λ
fc
fy
1 x
x x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x x x x x x
fcr
fy
pi E
fy
2
 
A curva tracejada poderia ser vista como um critério de resistência representando a 
coluna perfeita de Euler. 
 
Fazendo: 
ycr
y
cr ff1
f
f
=⇒= 
Então: 
( ) y
2
y2
2
f
EfE ⋅pi=λ⇒=
λ
⋅pi
 
 
Pelo gráfico acima se observa que os resultados experimentais em peças reais, com 
imperfeições geométricas e tensões residuais, marcados pelo x, esta abaixo da curva da 
coluna perfeita. 
 
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Para colunas curtas, λ pequeno, os valores experimentais das tensões últimas fc são 
maiores que da tensão de escoamento fy, portanto 1f
f
y
c > devido ao encruamento do 
aço. 
 
A curva de flambagem ou curva de resistência à compressão com flambagem 
representa o limite de resistência para coluna. 
 
As colunas são classificadas em três categorias pelo gráfico acima: 
• Colunas esbeltas (valores elevados λ) – A flambagem ocorre em regime elástico 
onde fcr < fy então fc ≅ fcr. 
• Colunas mediamente esbeltas – Nessas há maior influencia das imperfeições 
geométricas e das tensões residuais. 
• Colunas curtas (valores baixos de λ) – Onde fcr > fy então fc = fy 
 
 
2. Curva de flambagem 
 
A curva de flambagem apresentada na NBR 8800/08 mostra 
y
c
f
f
, chamado de χ (chi), 
em função do índice de esbeltez reduzido λo. A curva é apresentada na figura 11 ou na 
tabela 4 da NBR 8800/08. 
 
E
f
r
K
f
E
r
2
y
y
2
fl
o
⋅pi
⋅
⋅
=
⋅pi
=λ l
l
 
 
Onde: lfl=K . l – é o comprimento de flambagem para uma coluna qualquer. 
 
O índice de esbeltez reduzido λo pode ainda ser escrito na forma: 
 
cr
yg
g
cr
y
2
2
y
2
2
y
2
y
o N
fA
A
N
f
E
f
E
f
E
f
r
K ⋅
==
λ
⋅pi
=
⋅pi
λ⋅
=
⋅pi
⋅
⋅
=λ l 
 
Introduzindo o fator de redução associado à flambagem local, tem-se: 
 
e
yg
cr
yg
o N
fAQ
N
fAQ ⋅⋅
=
⋅⋅
=λ 
 
Onde: K – é o coeficiente que define o comprimento de flambagem mostrado no 
 ANEXO E da NBR 8800/08. 
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 Ne – é a força axial de flambagem elástica, obtida conforme ANEXO E da 
 NBR 8800/08. 
 
Para 
2
o
o 658,05,1
λ
=χ⇒≤λ 
 
Para 2
o
o
877,05,1
λ
=χ⇒>λ 
 
3. Critérios de Dimensionamento - Estado limite último 
 
Rd,cSd,c NN ≤ 
 
Onde: Nc,Sd – é a força axial de compressão solicitante de cálculo; 
Nc,Rd – é a força axial de compressão resistente de cálculo; 
 
A força axial de compressão resistente de cálculo Nc,Rd é dado por: 
 
1a
yg
Rd,c
fAQ
N
γ
⋅⋅⋅χ
= 
 
Onde: χ - é o fator de redução associado à resistência à compressão. 
 Q – é o fator de redução associado à flambagem local, cujo valor deve ser obtido 
 no ANEXO F da NBR 8800/08. 
 Ag – é a área bruta da seção transversal da barra. 
 
4. Comprimento de flambagem 
 
Comprimento de flambagem é a distancia entre os pontos de momento nulo (ou pontos 
de inflexão) da coluna comprimida deformada lateralmente. 
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l K=0,5
K=0,7
K=1
K=1,0
K=2,0
K=2,0
 
 
5. Limitação do índice de esbeltez 
 
O índice de esbeltez máximo 
r
lk
máx
⋅
=λ não deve ser superior a 200. 
 
6. Flambagem local 
 
Seções transversais formadas por chapas esbeltas podem sofrer de flambagem local. 
b t
Flambagem local da alma
Mesa
Alma
 
 
Os elementos que fazem parte das seções transversais usuais para efeito de flambagem 
local são classificados em: 
 
• AA - dois bordos “apoiados”. 
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t b
t (uniforme)
b
bt
 
 
• AL – um bordo livre e o outro “apoiado”. 
t
b
t
b
t
 
 
As barras submetidas à força axial de compressão, nas quais todos os elementos 
componentes da seção transversal possuem relações largura espessura, 
t
b
 , que não 
superam os valores de 
limt
b






, dados na Tabela F1 da NBR 8800/08, têm o fator de 
redução total Q igual a 1,0. 
 
Referências Bibliográficas: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 8800: Projeto de 
estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro, 
2008. 
 
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MÓDULO 5 – Madeira: Critério de dimensionamento à 
compressão inclinada às fibras 
 
1. MÉTODO DOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 
1.1 Compressão inclinada às fibras 
No critério de dimensionamento quando as tensões atuantes agem inclinadas em 
relação às fibras segundo um ângulo α (maior que 6o) deve-se aplicar a fórmula de 
Hankinson. 
 
α
 
 
Condição de Segurança (Fórmula de Hankinson): 
 
 
 
Onde: 
σcα,d → tensão de compressão inclinada às fibras solicitante de cálculo; 
 Fd → força axial de compressão inclinada às fibras solicitante de cálculo; 
 A → área de compressão; 
 fco,d → resistência à compressão paralela às fibras resistente de cálculo; 
 α → ângulo de inclinação; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas: 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. NBR 7190: Cálculo e 
execução de estruturas de madeira. Rio de Janeiro, 2004.