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CÁLCULO IV
Aula 3: Integrais Múltiplas
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Objetivos da aula: 
Objetivo 1
Apresentar Mudança de Variáveis na Integral Tripla;
Objetivo 2
Resolver as primeiras integrais triplas com mudança de variável.
Verificação da integral sen4x.
MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAl TRIPLA
O problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas. 
Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla: 
Sistemas de coordenadas cilíndricas
Sistema de coordenadas esféricas
Definição de variáveis:
CASOS ESPECIAIS DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS 
 1) Mudança de Variáveis Cilíndricas
Um ponto P com coordenadas retangulares (x,y,z) tem coordenadas cilíndricas (r,ϴ,z), 
onde r é a distância do ponto P a origem e ϴ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P.
Veja que r e ϴ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy.
As coordenadas retangulares e polares do ponto P estão relacionas por: 
x = rcos ϴ, y = rsen ϴ, z = z e x2 + y2 = r2
O jacobiano de x, y e z em relação às novas variáveis r, Ө e z é:
x = rcos ϴ, y = rsen ϴ e z = z
EXEMPLO 1
Calcule a integral sendo Q o sólido limitado pelo cilindro x2+ y2 ≤ 1 e pelo plano z = 0 e pelo paraboloide 
z = 4 - y2 - x2.
Observe geometricamente o sólido:  
Observemos que da equações z = 4 - y2 - x2 e x2+ y2=1, concluímos que z = 3, ou seja, a interseção ocorre no plano z =3.
As coordenadas cilíndricas serão:
Considere as equações z = 4 - y2 - x2 e x2+ y2=1 Podemos escrever as equações como: 
z = 4 -( y2 + x2) = 4 - r2
Temos então z = 0 e z = 4 - r2. Portanto o limite de z será:
0 ≤ z ≤ 4 - r2
Observando a projeção do solido no plano xy podemos afirmar que teremos um disco x2+ y2≤1. 
Então o intervalo de r e ϴ podem ser definidos como 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϴ ≤ 2.
Concluímos que os limites de integração do sólido serão:
Escreveremos a integral tripla como:
Observe que trocamos a ordem de integração para começar por z, pois o limite de z contém uma função que depende de r.
Integrando primeiramente em z obtemos:
Observe que r3 não é integrado, pois ele é considerado uma constante. Estamos integrando em relação a z e os limites de integração serão aplicados apenas em z.
A próxima integral que será resolvida será em ϴ:
EXEMPLO 2
Calcule 
O sólido esta contido dentro do cilindro x2 + y2 = 4 e entre os planos z = 1 e z = 4. 
Observe a região D formada pelo sólido na figura abaixo:
Mudança de Variáveis Esféricas
Um ponto P com coordenadas retangulares (x,y,z) tem coordenadas esféricas (,ϴ,), onde:
 é a distância do ponto P a origem
 ϴ é o angulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P
 é o angulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P a origem.
EXEMPLO 5