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Universidade Federal de Santa Catarina Campus de Joinville Ca´lculo Nume´rico Prof. Alexandre Zabot Prova 2 1 [5 pontos] Considere as func¸o˜es abaixo f(x) = x2 − 5x− ex + 3 = 0 g(x) = (x2 − ex + 3)/5 cujo gra´fico esta´ mostrado abaixo Com base nisso, responda as perguntas abaixo: a) (1p) Mostre que g(x) e´ uma equac¸a˜o de ponto fixo para f(x). b) (1p) Mostre que g(x) tem um ponto fixo c) (1p) Mostre que esse ponto fixo e´ u´nico d) (2p) Encontre a raiz de f(x) por meio da iterac¸a˜o de ponto fixo para g(x) com uma precisa˜o de 10−6. Considere �n = |pn − pn−1|. 2 [2.5 pontos] Calcule a integral abaixo pelo Me´todo da Quadratura Gaussiana com n = 5.∫ 0.9 0 sin ( pix2 2 ) dx 3 [2.5 pontos] Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es: 4x1 − x2 + x3 = x1x4 −x1 + 3x2 − 2x3 = x2x4 x1 − 2x2 + 3x3 = x3x4 x21 + x 2 2 + x 2 3 = 1 a) (0.5p) Monte ~F (~x). b) (0.5p) Monte a matriz jacobina de ~F (~x). c) (1.5p) Aplique 1 iterac¸a˜o do Me´todo de Newton. Use ~x(0) = (1,−1, 1,−1). Calcule o erro com �n = ||~xn − ~xn−1||. “Aprendi o segredo da vida, vendo as pedras que choram sozinhas no mesmo lugar, vendo as pedras que sonham sozinhas no mesmo lugar.” (Raul Seixas – Medo da Chuva)
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