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Prova 2C

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Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Ca´lculo Nume´rico
Prof. Alexandre Zabot
Prova 2
1 [5 pontos] Considere as func¸o˜es abaixo
f(x) = x2 − 5x− ex + 3 = 0
g(x) = (x2 − ex + 3)/5
cujo gra´fico esta´ mostrado abaixo
Com base nisso, responda as perguntas abaixo:
a) (1p) Mostre que g(x) e´ uma equac¸a˜o de ponto fixo para f(x).
b) (1p) Mostre que g(x) tem um ponto fixo
c) (1p) Mostre que esse ponto fixo e´ u´nico
d) (2p) Encontre a raiz de f(x) por meio da iterac¸a˜o de ponto fixo para g(x) com uma
precisa˜o de 10−6. Considere �n = |pn − pn−1|.
2 [2.5 pontos] Calcule a integral abaixo pelo Me´todo da Quadratura Gaussiana com n = 5.∫ 0.9
0
sin
(
pix2
2
)
dx
3 [2.5 pontos] Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es:
4x1 − x2 + x3 = x1x4
−x1 + 3x2 − 2x3 = x2x4
x1 − 2x2 + 3x3 = x3x4
x21 + x
2
2 + x
2
3 = 1
a) (0.5p) Monte ~F (~x).
b) (0.5p) Monte a matriz jacobina de ~F (~x).
c) (1.5p) Aplique 1 iterac¸a˜o do Me´todo de Newton. Use ~x(0) = (1,−1, 1,−1). Calcule o
erro com �n = ||~xn − ~xn−1||.
“Aprendi o segredo da vida,
vendo as pedras que choram sozinhas no mesmo lugar,
vendo as pedras que sonham sozinhas no mesmo lugar.”
(Raul Seixas – Medo da Chuva)

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