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Slides de Aulas Álgebra Linear: Determinante

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ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Rogério Matos
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso
Campus Alta Floresta
Bacharelado em Zootecnia
Alta Floresta - MT
2016
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
“Não se
aprende
matemá
tica por
contemp
lação”
E
l
o
n
L
i
m
a
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 2 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
“Não se
aprende
matemá
tica por
contemp
lação”
E
l
o
n
L
i
m
a
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 2 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinantes
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 3 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O que iremos estudar:
1 Conceito de determinante:
• O que é o determinante;
• Notação para o determinante.
2 Determinante de matrizes de ordem 2;
3 Determinante de matrizes de ordem 3;
4 Menor complementar e complemento algébrico;
5 Teorema de Laplace;
6 Matriz inversa:
• Definição;
• Cálculo da matriz inversa através do determinante.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace PropriedadesMatriz inversa Fim
Introdução
Historicamente, o determinante surgiu para indicar siste-
mas determinados (sistemas que possuem solução única,
como estudaremos em nosso próximo capítulo), porém ao
longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática
com diversas aplicações tais como: classificação de
sistemas lineares; para calcular áreas de paralelogramos
e triângulos; para obter a equação de uma reta, dentre
outras.
Afinal o que
é o determin
ante de uma
matriz?
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 5 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Introdução
Historicamente, o determinante surgiu para indicar siste-
mas determinados (sistemas que possuem solução única,
como estudaremos em nosso próximo capítulo), porém ao
longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática
com diversas aplicações tais como: classificação de
sistemas lineares; para calcular áreas de paralelogramos
e triângulos; para obter a equação de uma reta, dentre
outras.
Afinal o que
é o determin
ante de uma
matriz?
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Introdução
Historicamente, o determinante surgiu para indicar siste-
mas determinados (sistemas que possuem solução única,
como estudaremos em nosso próximo capítulo), porém ao
longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática
com diversas aplicações tais como: classificação de
sistemas lineares; para calcular áreas de paralelogramos
e triângulos; para obter a equação de uma reta, dentre
outras.
Afinal o que
é o determin
ante de uma
matriz?
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 5 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz é um número real associado
às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi-
nante.
Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número
associado a uma matriz quadrada A, escrevemos:
detA ou |A|
Observação:
Não existe determinante de matriz
que não seja quadrada.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz é um número real associado
às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi-
nante.
Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número
associado a uma matriz quadrada A, escrevemos:
detA ou |A|
Observação:
Não existe determinante de matriz
que não seja quadrada.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz é um número real associado
às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi-
nante.
Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número
associado a uma matriz quadrada A, escrevemos:
detA ou |A|
Observação:
Não existe determinante de matriz
que não seja quadrada.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz é um número real associado
às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi-
nante.
Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número
associado a uma matriz quadrada A, escrevemos:
detA ou |A|
Observação:
Não existe determinante de matriz
que não seja quadrada.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz é um número real associado
às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi-
nante.
Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número
associado a uma matriz quadrada A, escrevemos:
detA ou |A|
Observação:
Não existe determinante de matriz
que não seja quadrada.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplo:
Dada a matriz A =
[
1 2
0 3
]
, escrevemos:
detA = 3 ou
∣∣∣∣∣1 20 3
∣∣∣∣∣ = 3.
FIQUE ATENTO!!!
É errado escrever
[
6 3
2 −4
]
= −30, pois não é uma
matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O
correto é:
detA = −30 ou
∣∣∣∣∣ 6 32 −4
∣∣∣∣∣ = −30
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 7 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplo:
Dada a matriz A =
[
1 2
0 3
]
, escrevemos:
detA = 3 ou
∣∣∣∣∣1 20 3
∣∣∣∣∣ = 3.
FIQUE ATENTO!!!
É errado escrever
[
6 3
2 −4
]
= −30, pois não é uma
matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O
correto é:
detA = −30 ou
∣∣∣∣∣ 6 32 −4
∣∣∣∣∣ = −30
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplo:
Dada a matriz A =
[
1 2
0 3
]
, escrevemos:
detA = 3 ou
∣∣∣∣∣1 20 3
∣∣∣∣∣ = 3.
FIQUE ATENTO!!!
É errado escrever
[
6 3
2 −4
]
= −30, pois não é uma
matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O
correto é:
detA = −30 ou
∣∣∣∣∣ 6 32 −4
∣∣∣∣∣ = −30
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 7 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplo:
Dada a matriz A =
[
1 2
0 3
]
, escrevemos:
detA = 3 ou
∣∣∣∣∣1 20 3
∣∣∣∣∣ = 3.
FIQUE ATENTO!!!
É errado escrever
[
6 3
2 −4
]
= −30, pois não é uma
matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O
correto é:
detA = −30 ou
∣∣∣∣∣ 6 32 −4
∣∣∣∣∣ = −30
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Algumas aplicações do determinante:
1. Equação de uma reta através do determinante:
• Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A
equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y 1
1 7 1
−2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Algumas aplicações do determinante:
1. Equação de uma reta através do determinante:
• Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A
equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y 1
1 7 1
−2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 8 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Algumas aplicações do determinante:
1. Equação de uma reta através do determinante:
• Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A
equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y 1
1 7 1
−2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0.
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Conceitosiniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Algumas aplicações do determinante:
1. Equação de uma reta através do determinante:
• Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A
equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y 1
1 7 1
−2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Algumas aplicações do determinante:
1. Equação de uma reta através do determinante:
• Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A
equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y 1
1 7 1
−2 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Área de um triângulo através do determinante:
• Determine a área da região triangular que tem como vértices
os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2).
A área é dada por: S =
1
2
· |D|, onde D é o determinante:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 1
0 0 1
2 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −8.
Portanto a área é: S =
1
2
· | − 8| = 4.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 9 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Área de um triângulo através do determinante:
• Determine a área da região triangular que tem como vértices
os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2).
A área é dada por: S =
1
2
· |D|, onde D é o determinante:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 1
0 0 1
2 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −8.
Portanto a área é: S =
1
2
· | − 8| = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Área de um triângulo através do determinante:
• Determine a área da região triangular que tem como vértices
os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2).
A área é dada por: S =
1
2
· |D|, onde D é o determinante:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 1
0 0 1
2 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −8.
Portanto a área é: S =
1
2
· | − 8| = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Área de um triângulo através do determinante:
• Determine a área da região triangular que tem como vértices
os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2).
A área é dada por: S =
1
2
· |D|, onde D é o determinante:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 1
0 0 1
2 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −8.
Portanto a área é: S =
1
2
· | − 8| = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Área de um triângulo através do determinante:
• Determine a área da região triangular que tem como vértices
os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2).
A área é dada por: S =
1
2
· |D|, onde D é o determinante:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 1
0 0 1
2 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −8.
Portanto a área é: S =
1
2
· | − 8| = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Área de um triângulo através do determinante:
• Determine a área da região triangular que tem como vértices
os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2).
A área é dada por: S =
1
2
· |D|, onde D é o determinante:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 0 1
0 0 1
2 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −8.
Portanto a área é: S =
1
2
· | − 8| = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 2
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chama-
se determinante da matriz A o número real obtido pela dife-
rença:
a11a22 − a12a21
Indica-se o determinante por:
detA = a11a22 − a12a21 ou
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 10 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 2
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chama-
se determinante da matriz A o número real obtido pela dife-
rença:
a11a22 − a12a21
Indica-se o determinante por:
detA = a11a22 − a12a21 ou
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 2
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chama-
se determinante da matriz A o número real obtido pela dife-
rença:
a11a22 − a12a21
Indica-se o determinante por:
detA = a11a22 − a12a21 ou
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 2
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
a11 a12
a21 a22
]
, chama-
se determinante da matriz A o número real obtido pela dife-
rença:
a11a22 − a12a21
Indica-se o determinante por:
detA = a11a22 − a12a21 ou
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)−3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1o) O determinante da matriz A =
 6 3
2 − 4
, é dado por:
detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30.
2o) O determinante da matriz A =
1 2
2 4
, é:
∣∣∣∣∣∣1 22 4
∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10= 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3o) Vamos resolver a equação:
∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x + 2
5 7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5.
4o) Determine o valor de x para que se tenha:
∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣
x x
5 x
∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5.
O determinante da
matriz quadrada de
ordem 1, indicada
por A = [a11], é igu
al ao número a11.
Exemplo: A = [4]
então: det(A) = 4.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Observação:
Na prática, podemos observar que:
O deter
minante
de uma
matriz d
e ordem
2, nada
mais é
do que
o produ
to dos
element
os da
diagonal
principal
menos o
produto
dos elem
entos
da diago
nal secu
ndária.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 13 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Observação:
Na prática, podemos observar que:
O deter
minante
de uma
matriz d
e ordem
2, nada
mais é
do que
o produ
to dos
element
os da
diagonal
principal
menos o
produto
dos elem
entos
da diago
nal secu
ndária.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 13 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Observação:
Na prática, podemos observar que:
O deter
minante
de uma
matriz d
e ordem
2, nada
mais é
do que
o produ
to dos
element
os da
diagonal
principal
menos o
produto
dos elem
entos
da diago
nal secu
ndária.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 13 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Resolva:
1. Calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10
∣∣∣∣∣∣
= −10
b)
∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6
∣∣∣∣∣∣
= 0
c)
∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10
∣∣∣∣∣∣
= 31
d)
∣∣∣∣∣∣ 1+
√
5 3
4 1−√5
∣∣∣∣∣∣
= −16
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 14 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Resolva:
1. Calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10
∣∣∣∣∣∣ = −10 b)
∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6
∣∣∣∣∣∣
= 0
c)
∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10
∣∣∣∣∣∣
= 31
d)
∣∣∣∣∣∣ 1+
√
5 3
4 1−√5
∣∣∣∣∣∣
= −16
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 14 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Resolva:
1. Calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10
∣∣∣∣∣∣ = −10 b)
∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6
∣∣∣∣∣∣ = 0
c)
∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10
∣∣∣∣∣∣
= 31
d)
∣∣∣∣∣∣ 1+
√
5 3
4 1−√5
∣∣∣∣∣∣
= −16
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Resolva:
1. Calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10
∣∣∣∣∣∣ = −10 b)
∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6
∣∣∣∣∣∣ = 0
c)
∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10
∣∣∣∣∣∣ = 31 d)
∣∣∣∣∣∣ 1+
√
5 3
4 1−√5
∣∣∣∣∣∣
= −16
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Resolva:
1. Calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10
∣∣∣∣∣∣ = −10 b)
∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6
∣∣∣∣∣∣ = 0
c)
∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10
∣∣∣∣∣∣ = 31 d)
∣∣∣∣∣∣ 1+
√
5 3
4 1−√5
∣∣∣∣∣∣ = −16
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 3
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
O seu determinante é definido como sendo o número real dado
por:
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição
acima? Calma, não se desesperem ainda!!!
A seguir aprenderemos um método bastante
simples, porém muito útil, para o cálculo do
determinante de ordem 3.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 3
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
O seu determinante é definido como sendo o número real dado
por:
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição
acima? Calma, não se desesperem ainda!!!
A seguir aprenderemos um método bastante
simples, porém muito útil, para o cálculo do
determinante de ordem 3.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 3
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
O seu determinante é definido como sendo o número real dado
por:
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição
acima? Calma, não se desesperem ainda!!!
A seguir aprenderemos um método bastante
simples, porém muito útil, para o cálculo do
determinante de ordem 3.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 3
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
O seu determinante é definido como sendo o número real dado
por:
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição
acima? Calma, não se desesperem ainda!!!
A seguir aprenderemos um método bastante
simples, porém muito útil, para o cálculo do
determinante de ordem 3.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem 3
Definição:
Dada a matriz quadrada de ordem 3, A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
.
O seu determinante é definido como sendo o número real dado
por:
detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição
acima? Calma, não se desesperem ainda!!!
A seguir aprenderemos um método bastante
simples, porém muito útil, para o cálculo do
determinante de ordem 3.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Regra de Sarrus
Acabamos de ver que a expressão para o cálculo do determi-
nante de uma matriz de ordem 3 não é de fácil memorização,
felizmente neste caso, dispomos de um dispositivo prático que
nos facilita e muito o processo do cálculo do determinante. Tal
dispositivo é conhecido como regra de Sarrus1, que consiste
basicamente em:
1Pierre Frédéric Sarrus (1798 - 1861): matemático francês.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Regra de Sarrus
Acabamos de ver que a expressão para o cálculo do determi-
nante de uma matriz de ordem 3 não é de fácil memorização,
felizmente neste caso, dispomos de um dispositivo prático que
nos facilita e muito o processo do cálculo do determinante. Tal
dispositivo é conhecido como regra de Sarrus1, que consiste
basicamente em:
1Pierre Frédéric Sarrus (1798 - 1861): matemático francês.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
i. Repetimos as duas primeiras colunas a direita da matriz, e
efetuamos as seis multiplicações como indicado pelas setas a
seguir:
ii. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal
permanecem com o mesmo sinal;
iii. Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam
de sinal;
iv. O determinante é a soma dos seis produtos assim obtidos.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Vamos calcular o determinante da matriz A =
3 1 52 0 2
1 4 3
 utilizando
a regra de Sarrus.
=
= 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Vamos calcular o determinante da matriz A =
3 1 52 0 2
1 4 3
 utilizando
a regra de Sarrus.
=
= 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Vamos calcular o determinante da matriz A =
3 1 52 0 2
1 4 3
 utilizando
a regra de Sarrus.
=
= 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12.
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Exemplos:
1. Vamos calcular o determinante da matriz A =
3 1 52 0 2
1 4 3
 utilizando
a regra de Sarrus.
=
= 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Vamos calcular o determinante da matriz A =
3 1 52 0 2
1 4 3
 utilizando
a regra de Sarrus.
=
= 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Dadas as matrizes A =
[
2 x
3 9
]
e B =
 1 −1 02 3 x
−1 2 1
, vamos
determinar o valor de x para que se tenha detA = detB.
i. A é uma matriz de ordem 2, logo:
detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18.
ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus:
detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5.
De (i.) e (ii.) segue que:
detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 .
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Resolva:
1. Calcule os determinantes abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 4 3
0 1 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 2
−4 5 2
2 0 5
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−3 1 −4
2 2 1
1 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2
3 −2 0
2 2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2. Resolva as equações abaixo:
a)
∣∣∣∣∣∣ −2 11 2x
∣∣∣∣∣∣ = −5 b)
∣∣∣∣∣∣x − 2 34 x + 2
∣∣∣∣∣∣ = 0
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
3. Dadas as matrizes A =
[
−1 2
3 −5
]
e B =
 2 −2 13 0 −1
0 1 4
, calcule:
a) detA b) detB
c) detA− detB c) detA · detB
4. Sabendo que a =
∣∣∣∣∣ 3 −21 −1
∣∣∣∣∣ , b =
∣∣∣∣∣ −1 32 0
∣∣∣∣∣ e c =
∣∣∣∣∣ −2 44 −7
∣∣∣∣∣.
Determine o número real x tal que x = 3a − 2b + c2.
5. Sabendo que x =
∣∣∣∣∣∣1 32 2
∣∣∣∣∣∣ e y =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 1
2 2 1
3 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Determine x
2 − 2y.
6. Sendo A =
1 0
2 5
. Mostre que: det(2 · A) = 22 · detA.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Respostas:
1. a) det = 1 b) det = 5
c) det = −20 d) det = 0
2. a) x = 1 b) x = ±4
3. a) detA = −1 b) detB = 29
c) detA− detB = −30 c) detA · detB = −29
4. Como a = −1, b = −6 e c = −2, então: x = 13.
5. Como x = −4 e y = −8, logo: x2−2y = (−4)2−2·(−8) = 32.
6. Temos que:
det(2·A) =
∣∣∣∣∣∣2 04 10
∣∣∣∣∣∣ = 20 e 22 ·det(A) = 4·
∣∣∣∣∣∣1 02 5
∣∣∣∣∣∣ = 4·5 = 20.
Portanto, det(2 · A) = 22 · detA
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem n
No cálculo dos determinantes, as regras práticas se estendem,
em sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem
igual ou menor que três. Para calcular o determinante das
demais, é necessário usar o Teorema de Laplace2, que permite
calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer
ordem.
Para compreendermos o Teorema de Laplace, necessitamos
de dois conceitos importantes, que são: Menor complemen-
tar e Complemento algébrico ou cofator de um elemento
qualquer da matriz.
2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827): matemático francês.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem n
No cálculo dos determinantes, as regras práticas se estendem,
em sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem
igual ou menor que três. Para calcular o determinante das
demais, é necessário usar o Teorema de Laplace2, que permite
calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer
ordem.
Para compreendermos o Teorema de Laplace, necessitamos
de dois conceitos importantes, que são: Menor complemen-
tar e Complemento algébrico ou cofator de um elemento
qualquer da matriz.
2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827): matemático francês.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Determinante de ordem n
No cálculo dos determinantes, as regras práticas se estendem,
em sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem
igual ou menor que três. Para calcular o determinante das
demais, é necessário usar o Teorema de Laplace2, que permite
calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer
ordem.
Para compreendermos o Teorema de Laplace, necessitamos
de dois conceitos importantes, que são: Menor complemen-
tar e Complemento algébrico ou cofator de um elemento
qualquer da matriz.
2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827): matemático francês.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Menor complementar
Definição:
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij
um elemento de M . Definimos menor complementar do
elemento aij , e indicamos por Dij como sendo o determi-
nante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna
j da matriz M .
Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos
melhor a definição acima.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Menor complementar
Definição:
Consideremos uma matriz M de ordemn ≥ 2; seja aij
um elemento de M . Definimos menor complementar do
elemento aij , e indicamos por Dij como sendo o determi-
nante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna
j da matriz M .
Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos
melhor a definição acima.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Menor complementar
Definição:
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij
um elemento de M . Definimos menor complementar do
elemento aij , e indicamos por Dij como sendo o determi-
nante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna
j da matriz M .
Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos
melhor a definição acima.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =

4 3 4
2
1 5
3
3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =

4 3 4
2
1 5
3
3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
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 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
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• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =

4 3 4
2
1 5
3
3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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• M =
4
3
4
2 1 5
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 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
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• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =

4 3 4
2
1 5
3
3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
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 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =

4 3 4
2
1 5
3
3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
3
3
2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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• M =
4
3
4
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3
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 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
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• M =

4
3 4
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3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
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
4
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3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então:D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
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
4
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3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
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 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
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
4
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 , então: D31 =
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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 , então: D22 =
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• M =

4
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1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
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
4
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3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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• M =
4
3
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2 1 5
3
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 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
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3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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4
3
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3
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 , então: D22 =
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• M =

4
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3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4
3
4
2 1 5
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 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
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• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
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• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
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• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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Exemplos:
1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
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 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
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4 3 42 1 5
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 , então: D22 =
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∣∣∣∣∣ = −4.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
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 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
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 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =
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3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de LaplacePropriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =

4
3 4
2
1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
1. Seja M =
4 3 42 1 5
3 3 2
, vamos calcular D11,D22 e D31.
Temos:
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D11 =
∣∣∣∣∣1 53 2
∣∣∣∣∣ = −13.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D22 =
∣∣∣∣∣4 43 2
∣∣∣∣∣ = −4.
• M =
4 3 42 1 5
3 3 2
 , então: D31 =
∣∣∣∣∣3 41 5
∣∣∣∣∣ = 11.
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Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Seja M =
[
5 6
7 8
]
, vamos calcular D12 e D22.
Temos:
D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5.
3. Sendo M =
 1 0 22 5 −1
−4 0 3
 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22,
D23,D31,D32 e D33.
Temos:
D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20
D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0
D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Seja M =
[
5 6
7 8
]
, vamos calcular D12 e D22.
Temos:
D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5.
3. Sendo M =
 1 0 22 5 −1
−4 0 3
 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22,
D23,D31,D32 e D33.
Temos:
D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20
D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0
D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Seja M =
[
5 6
7 8
]
, vamos calcular D12 e D22.
Temos:
D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5.
3. Sendo M =
 1 0 22 5 −1
−4 0 3
 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22,
D23,D31,D32 e D33.
Temos:
D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20
D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0
D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Seja M =
[
5 6
7 8
]
, vamos calcular D12 e D22.
Temos:
D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5.
3. Sendo M =
 1 0 22 5 −1
−4 0 3
 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22,
D23,D31,D32 e D33.
Temos:
D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20
D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0
D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Seja M =
[
5 6
7 8
]
, vamos calcular D12 e D22.
Temos:
D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5.
3. Sendo M =
 1 0 22 5 −1
−4 0 3
 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22,
D23,D31,D32 e D33.
Temos:
D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20
D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0
D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
2. Seja M =
[
5 6
7 8
]
, vamos calcular D12 e D22.
Temos:
D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5.
3. Sendo M =
 1 0 22 5 −1
−4 0 3
 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22,
D23,D31,D32 e D33.
Temos:
D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20
D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0
D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Complemento algébrico (cofator)
Definição:
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij
um elemento de M . Definimos complemento algébrico do
elemento aij (ou cofator de aij), e indicamos por Aij ,
o número (−1)i+j ·Dij , ou seja:
Aij = (−1)i+j ·Dij
Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos
melhor a definição acima.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 27 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Complemento algébrico (cofator)
Definição:
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij
um elemento de M . Definimos complemento algébrico do
elemento aij (ou cofator de aij), e indicamos por Aij ,
o número (−1)i+j ·Dij , ou seja:
Aij = (−1)i+j ·Dij
Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos
melhor a definição acima.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 27 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Complemento algébrico (cofator)
Definição:
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij
um elemento de M . Definimos complemento algébrico do
elemento aij (ou cofator de aij), e indicamos por Aij ,
o número (−1)i+j ·Dij , ou seja:
Aij = (−1)i+j ·Dij
Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos
melhor a definição acima.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 27 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
Aij = (−1)i+j ·Dij
1. Seja M =
 2 3 −21 4 8
7 5 3
, vamos calcular A11,A12 e A13.
Temos: 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A11 = (−1)1+1 ·
∣∣∣∣∣4 85 3
∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A12 = (−1)1+2 ·
∣∣∣∣∣1 87 3
∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A13 = (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣1 47 5
∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 28 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
Aij = (−1)i+j ·Dij
1. Seja M =
 2 3 −21 4 8
7 5 3
, vamos calcular A11,A12 e A13.
Temos: 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A11 = (−1)1+1 ·
∣∣∣∣∣4 85 3
∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A12 = (−1)1+2 ·
∣∣∣∣∣1 87 3
∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A13 = (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣1 47 5
∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 28 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
Aij = (−1)i+j ·Dij
1. Seja M =
 2 3 −21 4 8
7 5 3
, vamos calcular A11,A12 e A13.
Temos: 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A11 = (−1)1+1 ·
∣∣∣∣∣4 85 3
∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A12 = (−1)1+2 ·
∣∣∣∣∣1 87 3
∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A13 = (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣1 47 5
∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23.
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 28 / 66
Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim
Exemplos:
Aij = (−1)i+j ·Dij
1. Seja M =
 2 3 −21 4 8
7 5 3
, vamos calcular A11,A12 e A13.
Temos: 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A11 = (−1)1+1 ·
∣∣∣∣∣4 85 3
∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A12 = (−1)1+2 ·
∣∣∣∣∣1 87 3
∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53.
 2 3 −21 4 8
7 5 3
 , então: A13 = (−1)1+3 ·
∣∣∣∣∣1 47 5
∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23.
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