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ÁLGEBRA LINEAR Prof. Rogério Matos MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso Campus Alta Floresta Bacharelado em Zootecnia Alta Floresta - MT 2016 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim “Não se aprende matemá tica por contemp lação” E l o n L i m a IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 2 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim “Não se aprende matemá tica por contemp lação” E l o n L i m a IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 2 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinantes IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 3 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O que iremos estudar: 1 Conceito de determinante: • O que é o determinante; • Notação para o determinante. 2 Determinante de matrizes de ordem 2; 3 Determinante de matrizes de ordem 3; 4 Menor complementar e complemento algébrico; 5 Teorema de Laplace; 6 Matriz inversa: • Definição; • Cálculo da matriz inversa através do determinante. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 4 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace PropriedadesMatriz inversa Fim Introdução Historicamente, o determinante surgiu para indicar siste- mas determinados (sistemas que possuem solução única, como estudaremos em nosso próximo capítulo), porém ao longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática com diversas aplicações tais como: classificação de sistemas lineares; para calcular áreas de paralelogramos e triângulos; para obter a equação de uma reta, dentre outras. Afinal o que é o determin ante de uma matriz? IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 5 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Introdução Historicamente, o determinante surgiu para indicar siste- mas determinados (sistemas que possuem solução única, como estudaremos em nosso próximo capítulo), porém ao longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática com diversas aplicações tais como: classificação de sistemas lineares; para calcular áreas de paralelogramos e triângulos; para obter a equação de uma reta, dentre outras. Afinal o que é o determin ante de uma matriz? IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 5 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Introdução Historicamente, o determinante surgiu para indicar siste- mas determinados (sistemas que possuem solução única, como estudaremos em nosso próximo capítulo), porém ao longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática com diversas aplicações tais como: classificação de sistemas lineares; para calcular áreas de paralelogramos e triângulos; para obter a equação de uma reta, dentre outras. Afinal o que é o determin ante de uma matriz? IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 5 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi- nante. Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A, escrevemos: detA ou |A| Observação: Não existe determinante de matriz que não seja quadrada. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 6 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi- nante. Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A, escrevemos: detA ou |A| Observação: Não existe determinante de matriz que não seja quadrada. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 6 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi- nante. Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A, escrevemos: detA ou |A| Observação: Não existe determinante de matriz que não seja quadrada. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 6 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi- nante. Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A, escrevemos: detA ou |A| Observação: Não existe determinante de matriz que não seja quadrada. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 6 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de uma matriz O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determi- nante. Quando nos referirmos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A, escrevemos: detA ou |A| Observação: Não existe determinante de matriz que não seja quadrada. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 6 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplo: Dada a matriz A = [ 1 2 0 3 ] , escrevemos: detA = 3 ou ∣∣∣∣∣1 20 3 ∣∣∣∣∣ = 3. FIQUE ATENTO!!! É errado escrever [ 6 3 2 −4 ] = −30, pois não é uma matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O correto é: detA = −30 ou ∣∣∣∣∣ 6 32 −4 ∣∣∣∣∣ = −30 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 7 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplo: Dada a matriz A = [ 1 2 0 3 ] , escrevemos: detA = 3 ou ∣∣∣∣∣1 20 3 ∣∣∣∣∣ = 3. FIQUE ATENTO!!! É errado escrever [ 6 3 2 −4 ] = −30, pois não é uma matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O correto é: detA = −30 ou ∣∣∣∣∣ 6 32 −4 ∣∣∣∣∣ = −30 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 7 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplo: Dada a matriz A = [ 1 2 0 3 ] , escrevemos: detA = 3 ou ∣∣∣∣∣1 20 3 ∣∣∣∣∣ = 3. FIQUE ATENTO!!! É errado escrever [ 6 3 2 −4 ] = −30, pois não é uma matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O correto é: detA = −30 ou ∣∣∣∣∣ 6 32 −4 ∣∣∣∣∣ = −30 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 7 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplo: Dada a matriz A = [ 1 2 0 3 ] , escrevemos: detA = 3 ou ∣∣∣∣∣1 20 3 ∣∣∣∣∣ = 3. FIQUE ATENTO!!! É errado escrever [ 6 3 2 −4 ] = −30, pois não é uma matriz, e sim seu determinante, um número, que é −30. O correto é: detA = −30 ou ∣∣∣∣∣ 6 32 −4 ∣∣∣∣∣ = −30 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 7 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Algumas aplicações do determinante: 1. Equação de uma reta através do determinante: • Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x y 1 1 7 1 −2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 8 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Algumas aplicações do determinante: 1. Equação de uma reta através do determinante: • Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x y 1 1 7 1 −2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 8 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Algumas aplicações do determinante: 1. Equação de uma reta através do determinante: • Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x y 1 1 7 1 −2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 8 / 66 Conceitosiniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Algumas aplicações do determinante: 1. Equação de uma reta através do determinante: • Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x y 1 1 7 1 −2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 8 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Algumas aplicações do determinante: 1. Equação de uma reta através do determinante: • Consideremos os pontos A1 = (1, 7) e A2 = (−2, 1). A equação da reta r , definida por A1 e A2 é dada por: ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x y 1 1 7 1 −2 1 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇒ 15+ 6x − 3y = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 8 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Área de um triângulo através do determinante: • Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2). A área é dada por: S = 1 2 · |D|, onde D é o determinante: D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 1 0 0 1 2 2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8. Portanto a área é: S = 1 2 · | − 8| = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 9 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Área de um triângulo através do determinante: • Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2). A área é dada por: S = 1 2 · |D|, onde D é o determinante: D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 1 0 0 1 2 2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8. Portanto a área é: S = 1 2 · | − 8| = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 9 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Área de um triângulo através do determinante: • Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2). A área é dada por: S = 1 2 · |D|, onde D é o determinante: D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 1 0 0 1 2 2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8. Portanto a área é: S = 1 2 · | − 8| = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 9 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Área de um triângulo através do determinante: • Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2). A área é dada por: S = 1 2 · |D|, onde D é o determinante: D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 1 0 0 1 2 2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8. Portanto a área é: S = 1 2 · | − 8| = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 9 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Área de um triângulo através do determinante: • Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2). A área é dada por: S = 1 2 · |D|, onde D é o determinante: D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 1 0 0 1 2 2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8. Portanto a área é: S = 1 2 · | − 8| = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 9 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Área de um triângulo através do determinante: • Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A = (4, 0),B = (0, 0) e C = (2, 2). A área é dada por: S = 1 2 · |D|, onde D é o determinante: D = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 4 0 1 0 0 1 2 2 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −8. Portanto a área é: S = 1 2 · | − 8| = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 9 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 2 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 2, A = [ a11 a12 a21 a22 ] , chama- se determinante da matriz A o número real obtido pela dife- rença: a11a22 − a12a21 Indica-se o determinante por: detA = a11a22 − a12a21 ou ∣∣∣∣a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 10 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 2 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 2, A = [ a11 a12 a21 a22 ] , chama- se determinante da matriz A o número real obtido pela dife- rença: a11a22 − a12a21 Indica-se o determinante por: detA = a11a22 − a12a21 ou ∣∣∣∣a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 10 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 2 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 2, A = [ a11 a12 a21 a22 ] , chama- se determinante da matriz A o número real obtido pela dife- rença: a11a22 − a12a21 Indica-se o determinante por: detA = a11a22 − a12a21 ou ∣∣∣∣a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 10 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 2 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 2, A = [ a11 a12 a21 a22 ] , chama- se determinante da matriz A o número real obtido pela dife- rença: a11a22 − a12a21 Indica-se o determinante por: detA = a11a22 − a12a21 ou ∣∣∣∣a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 10 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)−3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1o) O determinante da matriz A = 6 3 2 − 4 , é dado por: detA = 6 · (−4)− 3 · 2 = −24− 6 = −30. 2o) O determinante da matriz A = 1 2 2 4 , é: ∣∣∣∣∣∣1 22 4 ∣∣∣∣∣∣ = 1 · 4− 2 · 2 = 4− 4 = 0. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 11 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10= 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3o) Vamos resolver a equação: ∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x + 2 5 7 ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x ·7−(x+2)·5 = 0⇔ 7x−5x−10 = 0⇔ x = 5. 4o) Determine o valor de x para que se tenha: ∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0.∣∣∣∣∣∣∣ x x 5 x ∣∣∣∣∣∣∣ = 0⇔ x · x − x · 5 = 0⇔ x2 − 5x = 0⇔ x = 0 ou x = 5. O determinante da matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11], é igu al ao número a11. Exemplo: A = [4] então: det(A) = 4. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 12 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Observação: Na prática, podemos observar que: O deter minante de uma matriz d e ordem 2, nada mais é do que o produ to dos element os da diagonal principal menos o produto dos elem entos da diago nal secu ndária. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 13 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Observação: Na prática, podemos observar que: O deter minante de uma matriz d e ordem 2, nada mais é do que o produ to dos element os da diagonal principal menos o produto dos elem entos da diago nal secu ndária. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 13 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Observação: Na prática, podemos observar que: O deter minante de uma matriz d e ordem 2, nada mais é do que o produ to dos element os da diagonal principal menos o produto dos elem entos da diago nal secu ndária. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 13 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Resolva: 1. Calcule os determinantes abaixo: a) ∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10 ∣∣∣∣∣∣ = −10 b) ∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6 ∣∣∣∣∣∣ = 0 c) ∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10 ∣∣∣∣∣∣ = 31 d) ∣∣∣∣∣∣ 1+ √ 5 3 4 1−√5 ∣∣∣∣∣∣ = −16 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 14 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Resolva: 1. Calcule os determinantes abaixo: a) ∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10 ∣∣∣∣∣∣ = −10 b) ∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6 ∣∣∣∣∣∣ = 0 c) ∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10 ∣∣∣∣∣∣ = 31 d) ∣∣∣∣∣∣ 1+ √ 5 3 4 1−√5 ∣∣∣∣∣∣ = −16 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 14 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Resolva: 1. Calcule os determinantes abaixo: a) ∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10 ∣∣∣∣∣∣ = −10 b) ∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6 ∣∣∣∣∣∣ = 0 c) ∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10 ∣∣∣∣∣∣ = 31 d) ∣∣∣∣∣∣ 1+ √ 5 3 4 1−√5 ∣∣∣∣∣∣ = −16 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 14 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Resolva: 1. Calcule os determinantes abaixo: a) ∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10 ∣∣∣∣∣∣ = −10 b) ∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6 ∣∣∣∣∣∣ = 0 c) ∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10 ∣∣∣∣∣∣ = 31 d) ∣∣∣∣∣∣ 1+ √ 5 3 4 1−√5 ∣∣∣∣∣∣ = −16 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 14 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Resolva: 1. Calcule os determinantes abaixo: a) ∣∣∣∣∣∣ 1 01 −10 ∣∣∣∣∣∣ = −10 b) ∣∣∣∣∣∣ −2 34 −6 ∣∣∣∣∣∣ = 0 c) ∣∣∣∣∣∣ 1 −37 10 ∣∣∣∣∣∣ = 31 d) ∣∣∣∣∣∣ 1+ √ 5 3 4 1−√5 ∣∣∣∣∣∣ = −16 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 14 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 3 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 3, A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 . O seu determinante é definido como sendo o número real dado por: detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição acima? Calma, não se desesperem ainda!!! A seguir aprenderemos um método bastante simples, porém muito útil, para o cálculo do determinante de ordem 3. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 15 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 3 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 3, A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 . O seu determinante é definido como sendo o número real dado por: detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição acima? Calma, não se desesperem ainda!!! A seguir aprenderemos um método bastante simples, porém muito útil, para o cálculo do determinante de ordem 3. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 15 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 3 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 3, A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 . O seu determinante é definido como sendo o número real dado por: detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição acima? Calma, não se desesperem ainda!!! A seguir aprenderemos um método bastante simples, porém muito útil, para o cálculo do determinante de ordem 3. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 15 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 3 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 3, A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 . O seu determinante é definido como sendo o número real dado por: detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição acima? Calma, não se desesperem ainda!!! A seguir aprenderemos um método bastante simples, porém muito útil, para o cálculo do determinante de ordem 3. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 15 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem 3 Definição: Dada a matriz quadrada de ordem 3, A = a11 a12 a13a21 a22 a23 a31 a32 a33 . O seu determinante é definido como sendo o número real dado por: detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 Ufaaaaa!!! E agora como lembrar da definição acima? Calma, não se desesperem ainda!!! A seguir aprenderemos um método bastante simples, porém muito útil, para o cálculo do determinante de ordem 3. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 15 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Regra de Sarrus Acabamos de ver que a expressão para o cálculo do determi- nante de uma matriz de ordem 3 não é de fácil memorização, felizmente neste caso, dispomos de um dispositivo prático que nos facilita e muito o processo do cálculo do determinante. Tal dispositivo é conhecido como regra de Sarrus1, que consiste basicamente em: 1Pierre Frédéric Sarrus (1798 - 1861): matemático francês. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 16 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Regra de Sarrus Acabamos de ver que a expressão para o cálculo do determi- nante de uma matriz de ordem 3 não é de fácil memorização, felizmente neste caso, dispomos de um dispositivo prático que nos facilita e muito o processo do cálculo do determinante. Tal dispositivo é conhecido como regra de Sarrus1, que consiste basicamente em: 1Pierre Frédéric Sarrus (1798 - 1861): matemático francês. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 16 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim i. Repetimos as duas primeiras colunas a direita da matriz, e efetuamos as seis multiplicações como indicado pelas setas a seguir: ii. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal; iii. Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal; iv. O determinante é a soma dos seis produtos assim obtidos. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 17 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Vamos calcular o determinante da matriz A = 3 1 52 0 2 1 4 3 utilizando a regra de Sarrus. = = 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 18 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Vamos calcular o determinante da matriz A = 3 1 52 0 2 1 4 3 utilizando a regra de Sarrus. = = 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 18 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Vamos calcular o determinante da matriz A = 3 1 52 0 2 1 4 3 utilizando a regra de Sarrus. = = 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 18 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Vamos calcular o determinante da matriz A = 3 1 52 0 2 1 4 3 utilizando a regra de Sarrus. = = 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 18 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Vamos calcular o determinante da matriz A = 3 1 52 0 2 1 4 3 utilizando a regra de Sarrus. = = 3·0·3+1·2·1+5·2·4−1·0·5−4·2·3−3·2·1 = 0+2+40−0−24−6 = 12. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 18 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Dadas as matrizes A = [ 2 x 3 9 ] e B = 1 −1 02 3 x −1 2 1 , vamos determinar o valor de x para que se tenha detA = detB. i. A é uma matriz de ordem 2, logo: detA = 2 · 9− x · 3 = −3x + 18. ii. B é uma matriz de ordem 3, logo usando a regra de Sarrus: detB = 3+ x + 0− 0− 2x + 2 = −x + 5. De (i.) e (ii.) segue que: detA = detB ⇒ −3x + 18 = −x + 5⇒ −3x + x = 5− 18⇒ x = 132 . IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 19 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Resolva: 1. Calcule os determinantes abaixo: a) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 4 3 0 1 −2 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ b) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 0 2 −4 5 2 2 0 5 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −3 1 −4 2 2 1 1 1 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ d) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 1 2 3 −2 0 2 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2. Resolva as equações abaixo: a) ∣∣∣∣∣∣ −2 11 2x ∣∣∣∣∣∣ = −5 b) ∣∣∣∣∣∣x − 2 34 x + 2 ∣∣∣∣∣∣ = 0 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 20 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 3. Dadas as matrizes A = [ −1 2 3 −5 ] e B = 2 −2 13 0 −1 0 1 4 , calcule: a) detA b) detB c) detA− detB c) detA · detB 4. Sabendo que a = ∣∣∣∣∣ 3 −21 −1 ∣∣∣∣∣ , b = ∣∣∣∣∣ −1 32 0 ∣∣∣∣∣ e c = ∣∣∣∣∣ −2 44 −7 ∣∣∣∣∣. Determine o número real x tal que x = 3a − 2b + c2. 5. Sabendo que x = ∣∣∣∣∣∣1 32 2 ∣∣∣∣∣∣ e y = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 1 3 1 2 2 1 3 1 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Determine x 2 − 2y. 6. Sendo A = 1 0 2 5 . Mostre que: det(2 · A) = 22 · detA. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 21 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Respostas: 1. a) det = 1 b) det = 5 c) det = −20 d) det = 0 2. a) x = 1 b) x = ±4 3. a) detA = −1 b) detB = 29 c) detA− detB = −30 c) detA · detB = −29 4. Como a = −1, b = −6 e c = −2, então: x = 13. 5. Como x = −4 e y = −8, logo: x2−2y = (−4)2−2·(−8) = 32. 6. Temos que: det(2·A) = ∣∣∣∣∣∣2 04 10 ∣∣∣∣∣∣ = 20 e 22 ·det(A) = 4· ∣∣∣∣∣∣1 02 5 ∣∣∣∣∣∣ = 4·5 = 20. Portanto, det(2 · A) = 22 · detA IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 22 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem n No cálculo dos determinantes, as regras práticas se estendem, em sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem igual ou menor que três. Para calcular o determinante das demais, é necessário usar o Teorema de Laplace2, que permite calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Para compreendermos o Teorema de Laplace, necessitamos de dois conceitos importantes, que são: Menor complemen- tar e Complemento algébrico ou cofator de um elemento qualquer da matriz. 2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827): matemático francês. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 23 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem n No cálculo dos determinantes, as regras práticas se estendem, em sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem igual ou menor que três. Para calcular o determinante das demais, é necessário usar o Teorema de Laplace2, que permite calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Para compreendermos o Teorema de Laplace, necessitamos de dois conceitos importantes, que são: Menor complemen- tar e Complemento algébrico ou cofator de um elemento qualquer da matriz. 2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827): matemático francês. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 23 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Determinante de ordem n No cálculo dos determinantes, as regras práticas se estendem, em sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem igual ou menor que três. Para calcular o determinante das demais, é necessário usar o Teorema de Laplace2, que permite calcular o determinante de uma matriz quadrada de qualquer ordem. Para compreendermos o Teorema de Laplace, necessitamos de dois conceitos importantes, que são: Menor complemen- tar e Complemento algébrico ou cofator de um elemento qualquer da matriz. 2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827): matemático francês. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 23 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Menor complementar Definição: Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij um elemento de M . Definimos menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij como sendo o determi- nante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz M . Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos melhor a definição acima. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 24 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Menor complementar Definição: Consideremos uma matriz M de ordemn ≥ 2; seja aij um elemento de M . Definimos menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij como sendo o determi- nante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz M . Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos melhor a definição acima. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 24 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Menor complementar Definição: Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij um elemento de M . Definimos menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij como sendo o determi- nante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz M . Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos melhor a definição acima. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 24 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então:D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de LaplacePropriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 4 2 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: 1. Seja M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , vamos calcular D11,D22 e D31. Temos: • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D11 = ∣∣∣∣∣1 53 2 ∣∣∣∣∣ = −13. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D22 = ∣∣∣∣∣4 43 2 ∣∣∣∣∣ = −4. • M = 4 3 42 1 5 3 3 2 , então: D31 = ∣∣∣∣∣3 41 5 ∣∣∣∣∣ = 11. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 25 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Seja M = [ 5 6 7 8 ] , vamos calcular D12 e D22. Temos: D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5. 3. Sendo M = 1 0 22 5 −1 −4 0 3 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22, D23,D31,D32 e D33. Temos: D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20 D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0 D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Seja M = [ 5 6 7 8 ] , vamos calcular D12 e D22. Temos: D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5. 3. Sendo M = 1 0 22 5 −1 −4 0 3 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22, D23,D31,D32 e D33. Temos: D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20 D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0 D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Seja M = [ 5 6 7 8 ] , vamos calcular D12 e D22. Temos: D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5. 3. Sendo M = 1 0 22 5 −1 −4 0 3 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22, D23,D31,D32 e D33. Temos: D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20 D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0 D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Seja M = [ 5 6 7 8 ] , vamos calcular D12 e D22. Temos: D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5. 3. Sendo M = 1 0 22 5 −1 −4 0 3 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22, D23,D31,D32 e D33. Temos: D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20 D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0 D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Seja M = [ 5 6 7 8 ] , vamos calcular D12 e D22. Temos: D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5. 3. Sendo M = 1 0 22 5 −1 −4 0 3 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22, D23,D31,D32 e D33. Temos: D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20 D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0 D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim 2. Seja M = [ 5 6 7 8 ] , vamos calcular D12 e D22. Temos: D12 = |7| = 7 e D22 = |5| = 5. 3. Sendo M = 1 0 22 5 −1 −4 0 3 . Calcule D11,D12,D13,D21,D22, D23,D31,D32 e D33. Temos: D11 = 15 D12 = 2 D13 = 20 D21 = 0 D22 = 11 D23 = 0 D31 = −10 D32 = −5 D33 = 5 IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 26 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Complemento algébrico (cofator) Definição: Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij um elemento de M . Definimos complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij), e indicamos por Aij , o número (−1)i+j ·Dij , ou seja: Aij = (−1)i+j ·Dij Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos melhor a definição acima. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 27 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Complemento algébrico (cofator) Definição: Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij um elemento de M . Definimos complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij), e indicamos por Aij , o número (−1)i+j ·Dij , ou seja: Aij = (−1)i+j ·Dij Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos melhor a definição acima. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 27 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Complemento algébrico (cofator) Definição: Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2; seja aij um elemento de M . Definimos complemento algébrico do elemento aij (ou cofator de aij), e indicamos por Aij , o número (−1)i+j ·Dij , ou seja: Aij = (−1)i+j ·Dij Vejamos a seguir alguns exemplos, onde compreenderemos melhor a definição acima. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 27 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: Aij = (−1)i+j ·Dij 1. Seja M = 2 3 −21 4 8 7 5 3 , vamos calcular A11,A12 e A13. Temos: 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A11 = (−1)1+1 · ∣∣∣∣∣4 85 3 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A12 = (−1)1+2 · ∣∣∣∣∣1 87 3 ∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A13 = (−1)1+3 · ∣∣∣∣∣1 47 5 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 28 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: Aij = (−1)i+j ·Dij 1. Seja M = 2 3 −21 4 8 7 5 3 , vamos calcular A11,A12 e A13. Temos: 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A11 = (−1)1+1 · ∣∣∣∣∣4 85 3 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A12 = (−1)1+2 · ∣∣∣∣∣1 87 3 ∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A13 = (−1)1+3 · ∣∣∣∣∣1 47 5 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 28 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: Aij = (−1)i+j ·Dij 1. Seja M = 2 3 −21 4 8 7 5 3 , vamos calcular A11,A12 e A13. Temos: 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A11 = (−1)1+1 · ∣∣∣∣∣4 85 3 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A12 = (−1)1+2 · ∣∣∣∣∣1 87 3 ∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A13 = (−1)1+3 · ∣∣∣∣∣1 47 5 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 28 / 66 Conceitos iniciais Det. de ordem 2 e 3 Teorema de Laplace Propriedades Matriz inversa Fim Exemplos: Aij = (−1)i+j ·Dij 1. Seja M = 2 3 −21 4 8 7 5 3 , vamos calcular A11,A12 e A13. Temos: 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A11 = (−1)1+1 · ∣∣∣∣∣4 85 3 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−28) = −28. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A12 = (−1)1+2 · ∣∣∣∣∣1 87 3 ∣∣∣∣∣ = −1 · (−53) = 53. 2 3 −21 4 8 7 5 3 , então: A13 = (−1)1+3 · ∣∣∣∣∣1 47 5 ∣∣∣∣∣ = 1 · (−23) = −23. IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos BAC/ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Determinante) 28 / 66 Conceitos
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