Slides Aulas Álgebra Linear: Sistemas Lineares

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ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Rogério Matos
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso
Campus Alta Floresta
Bacharelado em Zootecnia
Alta Floresta - MT
2016
Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
“Não se
aprende
matemá
tica por
contemp
lação”
E
l
o
n
L
i
m
a
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Sistemas Lineares) 2 / 68
Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
“Não se
aprende
matemá
tica por
contemp
lação”
E
l
o
n
L
i
m
a
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Sistemas Lineares) 2 / 68
Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Sistemas
Lineares
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Sistemas Lineares) 3 / 68
Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Sistemas Lineares
O que iremos estudar:
1 Introdução:
• O que é uma equação linear;
• Solução de uma equação linear.
2 Sistemas de equações lineares:
• Definição, solução e classificação de um sistema linear;
• Sistema linear homogêneo.
3 Sistemas e Matrizes:
• A forma matricial de um sistema linear;
• Teorema de Cramer.
4 Métodos diretos de resolução de sistemas lineares:
• As matrizes e a forma escalonada;
• Sistemas lineares equivalentes e operações elementares;
• O método de eliminação de Gauss;
• O método de eliminação de Gauss-Jordan.
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Introdução
Chamamos de equação linear , nas incógnitas (ou variáveis)
x1, x2, · · · , xn toda equação do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
Onde: os números a11, a12, a13, · · · , a1n , todos reais, são
chamados coeficientes e b, também real, é o termo
independente da equação.
Vejamos a seguir alguns exemplos:
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Introdução
Chamamos de equação linear , nas incógnitas (ou variáveis)
x1, x2, · · · , xn toda equação do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
Onde: os números a11, a12, a13, · · · , a1n , todos reais, são
chamados coeficientes e b, também real, é o termo
independente da equação.
Vejamos a seguir alguns exemplos:
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Introdução
Chamamos de equação linear , nas incógnitas (ou variáveis)
x1, x2, · · · , xn toda equação do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
Onde: os números a11, a12, a13, · · · , a1n , todos reais, são
chamados coeficientes e b, também real, é o termo
independente da equação.
Vejamos a seguir alguns exemplos:
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Introdução
Chamamos de equação linear , nas incógnitas (ou variáveis)
x1, x2, · · · , xn toda equação do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
Onde: os números a11, a12, a13, · · · , a1n , todos reais, são
chamados coeficientes e b, também real, é o termo
independente da equação.
Vejamos a seguir alguns exemplos:
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Exemplos:
Equações lineares:
1) 3x1+4x2−5x3+7x4 = 10
2) 2a − b − c = 0
3) x1 + x2 + x3 = 7
4) x + 2y − z = 3
Equações NÃO lineares:
1) 2x2 − 4y = 3
2) 2xy − z = 4
3) x +√y + z = 1
4) x2 − xy − yz + z2 = 1
As incógnitas x1,
x2, x3, · · · geralm
ente aparecem co
mo
x, y, z, · · ·
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Exemplos:
Equações lineares:
1) 3x1+4x2−5x3+7x4 = 10
2) 2a − b − c = 0
3) x1 + x2 + x3 = 7
4) x + 2y − z = 3
Equações NÃO lineares:
1) 2x2 − 4y = 3
2) 2xy − z = 4
3) x +√y + z = 1
4) x2 − xy − yz + z2 = 1
As incógnitas x1,
x2, x3, · · · geralm
ente aparecem co
mo
x, y, z, · · ·
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Exemplos:
Equações lineares:
1) 3x1+4x2−5x3+7x4 = 10
2) 2a − b − c = 0
3) x1 + x2 + x3 = 7
4) x + 2y − z = 3
Equações NÃO lineares:
1) 2x2 − 4y = 3
2) 2xy − z = 4
3) x +√y + z = 1
4) x2 − xy − yz + z2 = 1
As incógnitas x1,
x2, x3, · · · geralm
ente aparecem co
mo
x, y, z, · · ·
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Exemplos:
Equações lineares:
1) 3x1+4x2−5x3+7x4 = 10
2) 2a − b − c = 0
3) x1 + x2 + x3 = 7
4) x + 2y − z = 3
Equações NÃO lineares:
1) 2x2 − 4y = 3
2) 2xy − z = 4
3) x +√y + z = 1
4) x2 − xy − yz + z2 = 1
As incógnitas x1,
x2, x3, · · · geralm
ente aparecem co
mo
x, y, z, · · ·
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Solução de uma equação linear
Dizemos que a sequência ordenada de números reais
(α1, α2, α3, · · · , αn) é uma solução da equação linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
se
a11α1 + a12α2 + a13α3 + · · ·+ a1nαn = b
for uma sentença verdadeira.
Por exemplo, a sequência (1, 2, 3,−2) é uma solução da
equação linear: 2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3.
Pois,
2 · 1+ 3 · 2− 3+ (−2) = 2+ 6− 3− 2 = 3.
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Solução de uma equação linear
Dizemos que a sequência ordenada de números reais
(α1, α2, α3, · · · , αn) é uma solução da equação linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
se
a11α1 + a12α2 + a13α3 + · · ·+ a1nαn = b
for uma sentença verdadeira.
Por exemplo, a sequência (1, 2, 3,−2) é uma solução da
equação linear: 2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3.
Pois,
2 · 1+ 3 · 2− 3+ (−2) = 2+ 6− 3− 2 = 3.
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Solução de uma equação linear
Dizemos que a sequência ordenada de números reais
(α1, α2, α3, · · · , αn) é uma solução da equação linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
se
a11α1 + a12α2 + a13α3 + · · ·+ a1nαn = b
for uma sentença verdadeira.
Por exemplo, a sequência (1, 2, 3,−2) é uma solução da
equação linear: 2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3.
Pois,
2 · 1+ 3 · 2− 3+ (−2) = 2+ 6− 3− 2 = 3.
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Solução de uma equação linear
Dizemos que a sequência ordenada de números reais
(α1, α2, α3, · · · , αn) é uma solução da equação linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
se
a11α1 + a12α2 + a13α3 + · · ·+ a1nαn = b
for uma sentença verdadeira.
Por exemplo, a sequência (1, 2, 3,−2) é uma solução da
equação linear: 2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3.
Pois,
2 · 1+ 3 · 2− 3+ (−2) = 2+ 6− 3− 2 = 3.
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Solução de uma equação linear
Dizemos que a sequência ordenada de números reais
(α1, α2, α3, · · · , αn) é uma solução da equação linear
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b
se
a11α1 + a12α2 + a13α3 + · · ·+ a1nαn = b
for uma sentença verdadeira.
Por exemplo, a sequência (1, 2, 3,−2) é uma solução da
equação linear: 2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 3.
Pois,
2 · 1+ 3 · 2− 3+ (−2) = 2+ 6− 3− 2 = 3.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequênciasordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Exemplos:
1o) Dada a equação linear 3x + 2y = 18. Dizemos que:
O par ordenado (4, 3) é uma solução da equação.
pois: 3 · 4+ 2 · 3 = 12+ 6 = 18.
O par ordenado (6, 0) é uma solução da equação.
pois: 3 · 6+ 2 · 0 = 18+ 0 = 18.
O par ordenado (5, 1) não é solução da equação.
pois: 3 · 5+ 2 · 1 = 15+ 2 = 17 6= 18.
2o) Dada a equação linear 3x + y − 2z = 8. É fácil que ver
as sequências ordenadas (2, 4, 1), (0, 6, -1) e (0, 0, -4) são
soluções da equação.
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Sistemas Lineares
Definição:
Um sistema de equações lineares com m equações e n
variáveis (ou incógnitas) é um conjunto de equações do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
...
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
com aij , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, números reais, denominados
coeficientes do sistema
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Sistemas Lineares
Definição:
Um sistema de equações lineares com m equações e n
variáveis (ou incógnitas) é um conjunto de equações do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
...
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
com aij , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, números reais, denominados
coeficientes do sistema
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Exemplos:
1o)
 x + y = 7−x + 3y = 5 é um sistema linear 2 × 2 (2 equações e 2
variáveis) nas variáveis x e y.
2o)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3 × 3 nas
incógnitas x1, x2 e x3.
3o)
 x + 4y − 2z = 13x − y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações
e 3 variáveis) nas variáveis x, y e z.
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Exemplos:
1o)
 x + y = 7−x + 3y = 5 é um sistema linear 2 × 2 (2 equações e 2
variáveis) nas variáveis x e y.
2o)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3 × 3 nas
incógnitas x1, x2 e x3.
3o)
 x + 4y − 2z = 13x − y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações
e 3 variáveis) nas variáveis x, y e z.
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Exemplos:
1o)
 x + y = 7−x + 3y = 5 é um sistema linear 2 × 2 (2 equações e 2
variáveis) nas variáveis x e y.
2o)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3 × 3 nas
incógnitas x1, x2 e x3.
3o)
 x + 4y − 2z = 13x − y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações
e 3 variáveis) nas variáveis x, y e z.
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Exemplos:
1o)
 x + y = 7−x + 3y = 5 é um sistema linear 2 × 2 (2 equações e 2
variáveis) nas variáveis x e y.
2o)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3 × 3 nas
incógnitas x1, x2 e x3.
3o)
 x + 4y − 2z = 13x − y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações
e 3 variáveis) nas variáveisx, y e z.
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Exemplos:
1o)
 x + y = 7−x + 3y = 5 é um sistema linear 2 × 2 (2 equações e 2
variáveis) nas variáveis x e y.
2o)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3 × 3 nas
incógnitas x1, x2 e x3.
3o)
 x + 4y − 2z = 13x − y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações
e 3 variáveis) nas variáveis x, y e z.
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Exemplos:
1o)
 x + y = 7−x + 3y = 5 é um sistema linear 2 × 2 (2 equações e 2
variáveis) nas variáveis x e y.
2o)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3 × 3 nas
incógnitas x1, x2 e x3.
3o)
 x + 4y − 2z = 13x − y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações
e 3 variáveis) nas variáveis x, y e z.
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Exemplos:
1o)
 x + y = 7−x + 3y = 5 é um sistema linear 2 × 2 (2 equações e 2
variáveis) nas variáveis x e y.
2o)

x1 + 4x2 + 3x3 = 1
2x1 + 5x2 + 4x3 = 4
x1 − 3x2 − 2x3 = 5
 é um sistema linear 3 × 3 nas
incógnitas x1, x2 e x3.
3o)
 x + 4y − 2z = 13x − y + z = 6 é um sistema linear 2× 3 (2 equações
e 3 variáveis) nas variáveis x, y e z.
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Solução de uma sistema linear
Dizemos que a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) é
solução de um sistema linear quando
(α1, α2, α3, · · · , αn) é solução de cada uma das
equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente
todas as equações do sistema.
Por exemplo, (5, 1) é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 5+ 3 · 1 = 133 · 5− 5 · 1 = 10
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Solução de uma sistema linear
Dizemos que a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) é
solução de um sistema linear quando
(α1, α2, α3, · · · , αn) é solução de cada uma das
equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente
todas as equações do sistema.
Por exemplo, (5, 1) é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 5+ 3 · 1 = 133 · 5− 5 · 1 = 10
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Solução de uma sistema linear
Dizemos que a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) é
solução de um sistema linear quando
(α1, α2, α3, · · · , αn) é solução de cada uma das
equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente
todas as equações do sistema.
Por exemplo, (5, 1) é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 5+ 3 · 1 = 133 · 5− 5 · 1 = 10
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Solução de uma sistema linear
Dizemos que a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) é
solução de um sistema linear quando
(α1, α2, α3, · · · , αn) é solução de cada uma das
equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente
todas as equações do sistema.
Por exemplo, (5, 1) é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 5+ 3 · 1 = 133 · 5− 5 · 1 = 10
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Exemplos:
1o) O par (2, 3) NÃO é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 2+ 3 · 3 = 133 · 2− 5 · 3 = −9 6= 10
2o) (1, 3,−2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 1
4x − y − z = 3
x + y − z = 6
. Verifique!
3o) (0, 2, 1) NÃO é solução do sistema

x + 2y + z = 5
4x − y − 2z = 0
x + y − z = 6
. Verifique!
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Exemplos:
1o) O par (2, 3) NÃO é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 2+ 3 · 3 = 133 · 2− 5 · 3 = −9 6= 10
2o) (1, 3,−2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 1
4x − y − z = 3
x + y − z = 6
. Verifique!
3o) (0, 2, 1) NÃO é solução do sistema

x + 2y + z = 5
4x − y − 2z = 0
x + y − z = 6
. Verifique!
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Exemplos:
1o) O par (2, 3) NÃO é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 2+ 3 · 3 = 133 · 2− 5 · 3 = −9 6= 10
2o) (1, 3,−2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 1
4x − y − z = 3
x + y − z = 6
. Verifique!
3o) (0, 2, 1) NÃO é solução do sistema

x + 2y + z = 5
4x − y − 2z = 0
x + y − z = 6
. Verifique!
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Exemplos:
1o) O par (2, 3) NÃO é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 2+ 3 · 3 = 133 · 2− 5 · 3 = −9 6= 10
2o) (1, 3,−2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 1
4x − y − z = 3
x + y − z = 6
. Verifique!
3o) (0, 2, 1) NÃO é solução do sistema

x + 2y + z = 5
4x − y − 2z = 0
x + y − z = 6
. Verifique!
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Exemplos:
1o) O par (2, 3) NÃO é solução do sistema
2x + 3y = 133x − 5y = 10 ,
pois
2 · 2+ 3 · 3 = 133 · 2− 5 · 3 = −9 6= 10
2o) (1, 3,−2) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 1
4x − y − z = 3
x + y − z = 6
. Verifique!
3o) (0, 2, 1) NÃO é solução do sistema

x + 2y + z = 5
4x − y − 2z = 0
x + y − z = 6
. Verifique!
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Resolva:
1. Diga se são lineares as equações abaixo, em caso afirmativo,
indique uma solução da equação:
a) 5x − 2y = 6 e) 3xy = 10
b) x + 4y − z = 5 f) x + y = z − 3
c) x2 + y = 10 g) 2x − y + xy = 9
d) 2x + 7 = x − 2y h) 2x + y + 3z + 4 = 16
2. Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k) seja uma
solução da equação linear 3x − 2y = 5.
3. O terno ordenado (k, 2, k+1) é uma das soluções da equação
linear 4x + 5y − 3z = 10. Determine o valor de k.
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4. Verifique se:
a) (3,−1) é uma solução do sistema
{
2x − 5y = 11
3x + 6y = 3
b) (0, 0, 0) é uma solução do sistema

x + y + z = 0
2x − 3y + 5z = 0
4x + 7y − 3z = 0
c) (4, 1,−2, 1) é solução do sistema

x + y + z − 2w = 1
2x − y + 2z − w = 2
x + 5y − z − 3w = 8
3x − y + 3z − w = 4
d) (3, 2) é solução do sistema
{
x + y = 5
x − y = 1
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Classificação de uma sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um
sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
SPD - Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
{ x + y = 8
2x − y = 1 , encontramos uma única
solução, o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e determinado (solução única).
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Classificação de uma sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um
sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
SPD - Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
{ x + y = 8
2x − y = 1 , encontramos uma única
solução, o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e determinado (solução única).
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Classificação de uma sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um
sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
SPD - Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
{ x + y = 8
2x − y = 1 , encontramos uma única
solução, o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e determinado (solução única).
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
Classificação de uma sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um
sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
SPD - Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
{ x + y = 8
2x − y = 1 , encontramos uma única
solução, o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e determinado (solução única).
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Classificação de uma sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um
sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
SPD - Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
{ x + y = 8
2x − y = 1 , encontramos uma única
solução, o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e determinado (solução única).
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Classificação de uma sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um
sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
SPD - Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
{ x + y = 8
2x − y = 1 , encontramos uma única
solução, o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e determinado (solução única).
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Classificação de uma sistema linear
De acordo com o número de soluções podemos classificar um
sistema linear em:
SPD - Sistema possível e determinado;
SPI - Sistema possível e indeterminado;
SI - Sistema impossível.
SPD - Sistema possível e determinado:
Resolvendo o sistema
{ x + y = 8
2x − y = 1 , encontramos uma única
solução, o par ordenado (3, 5). Assim, dizemos que o sistema
é possível (tem solução) e determinado (solução única).
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Equações lineares Sistemas de equações lineares Sistemas e Matrizes Métodos diretos para resolver sistemas lineares Fim
SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamosque os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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SPI - Sistema possível e indeterminado:
No caso do sistema
 x + y = 82x + 2y = 16 , verificamos que os pa-
res ordenados (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) são
algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o
sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas
soluções).
SI - Sistema impossível:
Veja que para o sistema
 x + y = 8−x − y = 8 , não existe nenhum
par ordenado que satisfaz simultaneamente as duas equações.
Portanto, nesse caso, dizemos que o sistema é impossível (não
tem solução).
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Resumindo, um sistema linear pode ser:
Sistema

Possível

Determ
inado⇒
(solução
única).
Indeterm
inado⇒
(infinitas
soluções)
.
Impossív
el⇒ (não
tem soluç
ão).
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Resumindo, um sistema linear pode ser:
Sistema

Possível

Determ
inado⇒
(solução
única).
Indeterm
inado⇒
(infinitas
soluções)
.
Impossív
el⇒ (não
tem soluç
ão).
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Resumindo, um sistema linear pode ser:
Sistema

Possível

Determ
inado⇒
(solução
única).
Indeterm
inado⇒
(infinitas
soluções)
.
Impossív
el⇒ (não
tem soluç
ão).
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Sistema linear homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que
o termo independente de TODAS as equações é igual a zero.
Exemplos:
a)
{ x + y + z = 0
2x − y + z = 0 b)

2x + 2y + 2z = 0
4x − 2y − 2z = 0
2x + 2y − 4z = 0
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre
como solução a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) onde
αi = 0, ∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · ,n}. Essa solução é dita
solução trivial do sistema linear homogêneo.
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Sistema linear homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que
o termo independente de TODAS as equações é igual a zero.
Exemplos:
a)
{ x + y + z = 0
2x − y + z = 0 b)

2x + 2y + 2z = 0
4x − 2y − 2z = 0
2x + 2y − 4z = 0
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre
como solução a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) onde
αi = 0, ∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · ,n}. Essa solução é dita
solução trivial do sistema linear homogêneo.
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Sistema linear homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que
o termo independente de TODAS as equações é igual a zero.
Exemplos:
a)
{ x + y + z = 0
2x − y + z = 0 b)

2x + 2y + 2z = 0
4x − 2y − 2z = 0
2x + 2y − 4z = 0
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre
como solução a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) onde
αi = 0, ∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · ,n}. Essa solução é dita
solução trivial do sistema linear homogêneo.
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Sistema linear homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que
o termo independente de TODAS as equações é igual a zero.
Exemplos:
a)
{ x + y + z = 0
2x − y + z = 0 b)

2x + 2y + 2z = 0
4x − 2y − 2z = 0
2x + 2y − 4z = 0
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre
como solução a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) onde
αi = 0, ∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · ,n}. Essa solução é dita
solução trivial do sistema linear homogêneo.
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Sistema linear homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que
o termo independente de TODAS as equações é igual a zero.
Exemplos:
a)
{ x + y + z = 0
2x − y + z = 0 b)

2x + 2y + 2z = 0
4x − 2y − 2z = 0
2x + 2y − 4z = 0
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre
como solução a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) onde
αi = 0, ∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · ,n}. Essa solução é dita
solução trivial do sistema linear homogêneo.
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Sistema linear homogêneo
Chamamos de sistema linear homogêneo todo aquele em que
o termo independente de TODAS as equações é igual a zero.
Exemplos:
a)
{ x + y + z = 0
2x − y + z = 0 b)

2x + 2y + 2z = 0
4x − 2y − 2z = 0
2x + 2y − 4z = 0
É fácil notar que um sistema linear homogêneo admite sempre
como solução a sequência (α1, α2, α3, · · · , αn) onde
αi = 0, ∀ i ∈ {1, 2, 3, · · · ,n}. Essa solução é dita
solução trivial do sistema linear homogêneo.
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Exemplos:
1o) O par (0, 0) é solução do sistema
2x + 3y = 03x − 5y = 0 .
2o) (0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 0
4x − y − z = 0
x + y − z = 0
.
3o) (0, 0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + z + w = 0
4x − y − 2z − 2w = 0
x + y − z + 5w = 0
.
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Exemplos:
1o) O par (0, 0) é solução do sistema
2x + 3y = 03x − 5y = 0 .
2o) (0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 0
4x − y − z = 0
x + y − z = 0
.
3o) (0, 0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + z + w = 0
4x − y − 2z − 2w = 0
x + y − z + 5w = 0
.
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Exemplos:
1o) O par (0, 0) é solução do sistema
2x + 3y = 03x − 5y = 0 .
2o) (0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 0
4x − y − z = 0
x + y − z = 0
.
3o) (0, 0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + z + w = 0
4x − y − 2z − 2w = 0
x + y − z + 5w = 0
.
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Exemplos:
1o) O par (0, 0) é solução do sistema
2x + 3y = 03x − 5y = 0 .
2o) (0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + 3z = 0
4x − y − z = 0
x + y − z = 0
.
3o) (0, 0, 0, 0) é solução do sistema

x + 2y + z + w = 0
4x − y − 2z − 2w = 0
x + y − z + 5w = 0
.
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Observação:
Como
um sis
tema
linear
homo
gêneo
admite
sempr
e,
pelo m
enos a
soluçã
o trivi
al, ele
será S
PD ou
SPI.
• SPD
: se ad
mitir s
oment
e a so
lução
trivial;
• SPI:
se adm
itir a s
olução
trivial
e outr
as solu
ções.
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Observação:
Como
um sis
tema
linear
homo
gêneo
admite
sempr
e,
pelo m
enos a
soluçã
o trivi
al, ele
será S
PD ou
SPI.
• SPD
: se ad
mitir s
oment
e a so
lução
trivial;
• SPI:
se adm
itir a s
olução
trivial
e outr
as solu
ções.
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Resolução de sistemas lineares 2 × 2 (REVISÃO!!!)
Vamos fazer uma breve revisão sobre a resolução de sistemas
lineares 2×2. Os dois métodos mais utilizados para a resolução
de um sistema linear 2 × 2 são o método da substituição e
o método da adição.
Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2×2 abaixo usando
os dois métodos citados.
2x + 3y = 8x − y = −1
IFMT/Alta Floresta, Prof. Rogério Matos ZOOTECNIA - Álgebra Linear (Sistemas Lineares) 21 / 68
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Resolução de sistemas lineares 2 × 2 (REVISÃO!!!)
Vamos fazer uma breve revisão sobre a resolução de sistemas
lineares 2×2. Os dois métodos mais utilizados para a resolução
de um sistema linear 2 × 2 são o método da substituição e
o método da adição.
Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2×2 abaixo usando
os dois métodos citados.
2x + 3y = 8x − y = −1
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Resolução de sistemas lineares 2 × 2 (REVISÃO!!!)
Vamos fazer uma breve revisão sobre a resolução de sistemas
lineares 2×2. Os dois métodos mais utilizados para a resolução
de um sistema linear 2 × 2 são o método da substituição e
o método da adição.
Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2×2 abaixo usando
os dois métodos citados.
2x + 3y = 8x − y = −1
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Vamos fazer uma breve revisão sobre a resolução de sistemas
lineares 2×2. Os dois métodos mais utilizados para a resolução
de um sistema linear 2 × 2 são o método da substituição e
o método da adição.
Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2×2 abaixo usando
os dois métodos citados.
2x + 3y = 8x − y = −1
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lona equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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1o) Método da substituição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Da equação (II), obtemos x = y − 1. Agora substituímos esse
valor de x na equação (I), daí:
2 · (y − 1) + 3y = 8⇒ 2y − 2+ 3y = 8⇒ 5y = 10⇒ y = 2.
Encontrado o valor de y = 2, basta substituí-lo na equação
(I), por exemplo, para obter o valor de x (poderíamos ter
substituído o valor y = 2 também na equação (II)):
2x+3y = 8⇒ 2x+3·2 = 8⇒ 2x+6 = 8⇒ 2x = 2⇒ x = 1.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x− 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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2o) Método da adição: Considere o sistema2x + 3y = 8 (I)x − y = −1 (II)
Multiplicamos a equação (II) por 3, obtemos o seguinte
sistema: 2x + 3y = 8 (I)3x − 3y = −3 (II)
Agora somando membro a membro as duas equações, temos:2x + 3y = 83x − 3y = −3
+
5x + 0 = 5
De onde vem que: 5x = 5⇒ x = 1.
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Agora, encontrado o valor de x = 1, basta substituí-lo em
qualquer uma das duas equações do nosso sistema linear.
Vamos substituir na equação (I):
2x+3y = 8⇒ 2·1+3y = 8⇒ 2+3y = 8⇒ 3y = 6⇒ y = 2.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
Qual o melhor método? Isso depende do sistema linear e
digamos da preferência de quem vai resolvê-lo. Porém, o que
devem ter sempre em mente é que ambos os métodos resolvem
o sistema.
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Agora, encontrado o valor de x = 1, basta substituí-lo em
qualquer uma das duas equações do nosso sistema linear.
Vamos substituir na equação (I):
2x+3y = 8⇒ 2·1+3y = 8⇒ 2+3y = 8⇒ 3y = 6⇒ y = 2.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
Qual o melhor método? Isso depende do sistema linear e
digamos da preferência de quem vai resolvê-lo. Porém, o que
devem ter sempre em mente é que ambos os métodos resolvem
o sistema.
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Agora, encontrado o valor de x = 1, basta substituí-lo em
qualquer uma das duas equações do nosso sistema linear.
Vamos substituir na equação (I):
2x+3y = 8⇒ 2·1+3y = 8⇒ 2+3y = 8⇒ 3y = 6⇒ y = 2.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
Qual o melhor método? Isso depende do sistema linear e
digamos da preferência de quem vai resolvê-lo. Porém, o que
devem ter sempre em mente é que ambos os métodos resolvem
o sistema.
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Agora, encontrado o valor de x = 1, basta substituí-lo em
qualquer uma das duas equações do nosso sistema linear.
Vamos substituir na equação (I):
2x+3y = 8⇒ 2·1+3y = 8⇒ 2+3y = 8⇒ 3y = 6⇒ y = 2.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
Qual o melhor método? Isso depende do sistema linear e
digamos da preferência de quem vai resolvê-lo. Porém, o que
devem ter sempre em mente é que ambos os métodos resolvem
o sistema.
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Agora, encontrado o valor de x = 1, basta substituí-lo em
qualquer uma das duas equações do nosso sistema linear.
Vamos substituir na equação (I):
2x+3y = 8⇒ 2·1+3y = 8⇒ 2+3y = 8⇒ 3y = 6⇒ y = 2.
Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.
Qual o melhor método? Isso depende do sistema linear e
digamos da preferência de quem vai resolvê-lo. Porém, o que
devem ter sempre em mente é que ambos os métodos resolvem
o sistema.
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Resolva:
1. Resolva os sistema lineares abaixo:
a)
{ x + 2y = 10
−x + 3y = 5 b)
{2x − 5y = 7
x + 2y = 3
c)
{ 3x + 5y = 12
−2x − y = 1 d)
{−x − y = 8
3x + 2y = 4
2. A soma de dois números é 37 e a diferença entre eles é 9. Quais
são esses números?
3. Em uma fazenda há 1.280 animais entre bovinos e caprinos,
sendo que a quantidade de bovinos é igual a três vezes a
quantidade de caprinos. Nestas condições, a quantidade exata
de bovinos e caprinos que há nesta fazenda é de?
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Sistemas e Matrizes
Usando a notação de matrizes e, especialmente, a maneira como
o produto de matrizes foi definido, um sistema linear pode ser
representado na seguinte forma matricial:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn

︸ ︷︷ ︸
Matriz dos coeficientes
·

x1
x2
...
xn
