Introdução - Álgebra Booleana

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CEFET - UNED - PHB
Introdução a Ciência da
Computação
Unidade IV – Lógica, a Arte de Pensar
Prof. Francisco Gerson A. de Meneses
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CEFET - UNED - PHB
Conteúdo programático
- Introdução
- Álgebra Booleana
- Operador Lógico “e” (Conjunção)
- Operador Lógico “ou” (Disjunção)
- Operador Lógico “não” (Negação)
- Projeto de Circuitos - Hardware
- Portas Lógicas
- Lógica de Programação - Software
- Operadores Lógicos
- Operadores Relacionais
- Prioridades
- Refinamento de Algoritmos
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Introdução
Sendo a lógica um estilo de raciocínio, é possível compará-la 
com uma arte, a arte de pensar, sem que para isso seja 
necessário ser um filósofo.
A lógica está muito relacionada com o pensamento e estamos 
interessados em como é possível fazer a máquina “pensar”.
Como sabemos, essas máquinas, os computadores digitais 
binários são projetados para armazenar e manipular 
informações representadas apenas por dois algarismos ou 
dígitos distintos, 0 e 1.
Obs: como na prática não há máquinas digitais não-binárias, 
é mais usual simplificar-se o termo computador digital 
binário, usando apenas o termo computador digital.
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Introdução
Em um sistema de computação, uma operação lógica é obtida 
através da analogia que se faz do 0 e do 1 com: “falso e 
verdadeiro” ou “fechado e aberto” ou “não e sim” ou “baixo e 
alto” ou ainda “desligado e ligado”, etc. resolvendo problemas 
através de um conjunto de várias pequenas operações que 
juntas proporcionam uma solução para uma determinada 
necessidade.
A lógica é de suma importância para a ciência da computação 
tanto no aspecto de hardwarehardware através dos projetos de 
circuitos e suas portas lógicas, como no aspecto do softwaresoftware
onde é usada na codificação de programas.
Tais fundamentos são baseados em estudos realizados pelo 
matemático inglês George Boole.
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Álgebra Booleana
Álgebra Booleana é uma área da matemática que 
trata de regras e elementos de lógica. O nome 
“booleana” é uma retribuição da comunidade 
científica ao matemático inglês George Boole (1815 
- 1864), que desenvolveu uma análise matemática 
sobre a Lógica e em 1854 publicou um livro no qual 
propôs os princípios básicos dessa álgebra.
Tais princípios baseiam-se em um sistema de álgebra (álgebra 
das proposições) onde se pode determinar se uma sentença é
falsa ou verdadeira utilizando-se para isso as funções ou 
operadores lógicos: E, OU e NÃO (AND, OR, NOT).
Assim:
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Álgebra Booleana
Chamaremos qualquer afirmação verbal que possamos dizer se 
é falsa ou verdadeira (nunca ambas) em proposição.
Assim, “choveu ontem à tarde” é um proposição (pode ser 
falsa ou verdadeira).
Porém algumas proposições são compostas de subproposições
ligadas por conectivos, no nosso caso representado pelos 
operadores lógicos: e, ou e não.
No caso dessas proposições, o operador lógico usado é que 
definirá o valor lógico (se verdadeiro ou falso).
Vejamos cada um deles:
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Álgebra Booleana
Conjunção:
Duas proposições podem ser combinadas pelo conectivo “e”
para formar uma proposição chamada conjunção das 
proposições originais. A conjunção das proposições A e B
representaremos por: 
A Λ B (leia-se por A e B).
Sejam as proposições:
p: Paris está na França
q: Paris está na Inglaterra
r: 2+2=5
s: 2+2=4
Considerando que a conjunção exige que as duas 
subproposições sejam verdadeiras para o conjunto ser 
verdadeiro teremos:
Esse operador pode 
ser representado por 
AND (representado 
pelo ponto, “.” da 
multiplicação 
aritmética).
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Álgebra Booleana
Conjunção:
p: Paris está na França
q: Paris está na Inglaterra
r: 2+2=5
s: 2+2=4
Qual o valor lógico das conjunções?
p Λ s = p Λ r =
q Λ s = q Λ r =
verdadeiro falso
falso falso
Uma conjunção só será
verdadeira se todas as 
subproposições forem 
verdadeiras. Um meio 
conveniente de estabelecer esta 
conclusão é a utilização de uma 
tabela verdade (exemplo a e b): FFF
FVF
FFV
VVV
a Λ bba
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Disjunção:
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas com o 
conectivo “ou” (com sentido de e/ou) para formar uma nova 
proposição que é chamada de disjunção das duas proposições 
originais. Designaremos a disjunção de duas proposições A e B 
por: A V B (leia-se por A ou B).
Sejam as proposições:
p: Paris está na França
q: Paris está na Inglaterra
r: 2+2=5
s: 2+2=4
Considerando que na disjunção podemos considerar verdadeira 
a proposição que contiver pelo menos uma subproposição
verdadeira teremos:
Esse operador pode 
ser representado por 
OR (representado 
pelo sinal, “+” da 
adição aritmética).
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Disjunção:
p: Paris está na França
q: Paris está na Inglaterra
r: 2+2=5
s: 2+2=4
Qual o valor lógico das disjunções?
p V s = p V r =
q V s = q V r =
verdadeiro verdadeiro
verdadeiro falso
Uma disjunção será verdadeira 
se pelo menos uma das 
subproposições forem 
verdadeiras. Um meio 
conveniente de estabelecer esta 
conclusão é a utilização de uma 
tabela verdade (exemplo a e b): FFF
VVF
VFV
VVV
a V bba
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Álgebra Booleana
Negação:
Dada um proposição A qualquer, uma outra proposição, 
chamada negação de A pode ser formada escrevendo-se: “É
falso que...” antes de A ou, se possível, inserindo a palavra 
“não” em A. Simbolicamente designaremos a negação por:
¬ A (leia-se por não A).
Seja a proposição: 
p: Paris está na França
Concluímos que: se p é verdadeiro então ¬ p é falsa; se p é
falso então ¬ p é verdadeiro:
Esse operador pode ser 
representado por NOT 
(representado por uma 
barra em cima da 
variável “Ā” ou por 
apóstrofo à direita da 
variável A').
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Negação:
p: Paris está na França
Qual o valor lógico da negação?
¬ p = falso
Utilizando a tabela verdade temos:
VF
FV
¬ pp
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Álgebra Booleana
Exercício 1:
Usando a convenção:
1 para verdadeiro e 
0 para falso,
complete as linhas da tabela abaixo com o valor verdade 
correspondente:
0
p Λ ( ¬ q )
00
10
01
11
¬ ( p Λ ¬ q )qp
1
0
0
1
0
1
1
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Álgebra Booleana
Exercício 2:
Seja p= “Ela é alta” e seja q= “Ela é elegante”:
Escreva cada uma das proposições abaixo na forma simbólica 
usando p e q:
a-) Ela é alta e elegante
p Λ q
b-) Ela é alta mas não é elegante
p Λ ¬ q
c-) É falso que ela é baixa ou elegante
¬ (¬ p V q)
d-) Ela não é alta nem elegante
¬(p Λ q)
e-) Ela é alta, ou ela é baixa e elegante
p V (¬p Λ q)
f-) Não é verdade que ela é baixa e não é elegante
¬(¬p Λ ¬q)
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Projeto de Circuitos -Hardware
A analogia existente entre a álgebra das proposições e as 
chaves elétricas será vista a seguir:
Considere os circuitos abaixo. Em cada caso, quando é que a 
lâmpada ficará acesa?
Observa-se que em cada circuito tem-se dois interruptores.
a) Circuito em série b) Circuito em paralelo
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Projeto de Circuitos - Hardware
Seja A e B interruptores elétricos. 
No caso (a – circuito em série) a lâmpada só ficará acesa no 
caso dos dois interruptores A e B estarem ligados.
No caso (b – circuito em paralelo) a lâmpada ficará acesa se 
pelo menos um dos interruptores A e B estiver ligado.
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Portanto:
A Λ B (conjunção) designa um circuito ligado em série e
A V B (disjunção) designa um circuito ligado em paralelo
Sendo assim, um circuito elétrico significa, portanto, um 
arranjo de fios e interruptores que pode ser montado com o 
uso repetitivo de combinações em série e paralelo.
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Exercício 3:
Descreva os circuitos abaixo usando expressões:
a)
b)
A Λ (B V A') Λ C 
A Λ (C V B') V (B Λ C')
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Exercício 4:
Construa um circuito correspondente às expressões:
a)
b)
(A Λ B) V (A' Λ (B' V A V B)) 
(A V B) Λ C Λ (A' V B' V C ')
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Projeto de Circuitos - Hardware
Portas Lógicas:
Um porta lógica (gate) é um circuito eletrônico, portanto uma 
peça de hardware, que se constitui no elemento básico e mais 
elementar de um sistema de computação. Grande parte do 
hardware do sistema é fabricado através da adequada 
combinação de milhões desses elementos, como a UCP, 
memórias principal e cache, interfaces de E/S e outros.
Há diversos tipos bem definidos de portas lógicas, cada uma 
delas capaz de implementar uma operação ou função lógica 
específica. Uma operação lógica realizada sobre um ou mais 
valores lógicos produz um certo resultado (valor lógico), 
conforme a regra definida para a específica operação lógica.
Assim como na álgebra comum, é necessário definir símbolos 
matemáticos e gráficos para representar as operações lógicas 
(portas). Vejamos:
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Projeto de Circuitos - Hardware
Abaixo, a representação de um conjunto de portas básicas, 
capazes de implementar as três operações E, OU e NÃO:
• A porta E tem duas ou mais entradas e a 
saída assume o valor 1 se e somente se 
todas as entradas são 1; logo se as entradas 
são a e b a saída será: a . b
• A porta OU tem duas ou mais entradas e a 
saída será 1 se uma ou mais de uma entrada 
for igual a 1; logo as entradas são a e b a 
saída será: a + b
• A porta NÃO só tem uma entrada e sua saída 
é 1 se a entrada é 0 e será 0 se a entrada é
1; logo se a entrada é: a a saída será a'
Observe a 
equivalência da 
representação 
dos conectivos:
. Λ E
+ V OU
' ¬ NÃO 
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Projeto de Circuitos - Hardware
Exemplo: A função A = T . (H + W) + W' . P está
representada abaixo:
A = T . (H + W) + W' . P
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Projeto de Circuitos - Hardware
Exercício 5:
Descreva os circuitos abaixo usando expressões:
x . y' + (x'+ z') . z
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Projeto de Circuitos - Hardware
Exercício 6:
Descreva os circuitos abaixo usando expressões:
x . y' + x'. z
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Lógica de Programação
A lógica de programação propriamente dita dividi-se em quatro 
partes, a saber:
Ação: é um acontecimento que, a partir de um estado inicial, 
após um determinado período, produz um resultado previsível 
e bem definido, com o objetivo de obter a solução de parte de 
um problema. Por exemplo, pode-se dizer que os passos 
constantes de uma receita de bolo são definidos como estão.
Algoritmo: é a descrição de um conjunto de ações que, 
obedecidas, resulta num programa. Um exemplo bastante 
comum de algoritmo é a receita de um bolo, em que as ações 
necessárias para a execução do objetivo final estão descritas 
passo a passo de forma objetiva.
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Lógica de Programação
Diagrama de blocos: é a 
representação gráfica de um 
algoritmo. Tem como objetivo 
representar por meio de sinais 
padronizados o desenho de 
forma de raciocínio utilizada 
para a solução do problema 
computacional por meio do 
algoritmo.
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Lógica de Programação
Codificação: é a tradução 
de um fluxograma ou de um 
algoritmo para uma 
determinada linguagem de 
programação. Assim como 
existe no mundo várias 
línguas para as pessoas se 
comunicarem, também 
ocorre com os computadores 
que passaram a conversar 
em diversas linguagens.
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Lógica de Programação
Nos códigos de um programa os operadores lógicos ou 
operadores booleanos são aplicados no tratamento e 
recuperação da informação, isso, independente do sistema 
ou linguagem utilizada.
Esses operadores permitem a expressão de forma explícita 
e a relação dos termos entre si.
Trecho de código em JAVA
Corresponde ao operador lógico “e”
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Lógica de Programação
Operadores LOperadores Lóógicosgicos
Eles são também conhecidos como operadores booleanos. 
Os tipos de operadores lógicos mais utilizados são: .e.; 
.ou.; .não. e .xou. Quando representamos em português 
estruturado sempre estarão entre pontos.
Assim temos:
Vejamos cada um deles:
Disjunção (exclusiva).xou.
Negação.não.
Disjunção (não exclusiva).ou.
Conjunção.e.
Funções exercidasSímbolos
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Lógica de Programação
Operador LOperador Lóógico:gico: .e..e.
Utilizado quando dois ou mais relacionamentos lógicos de 
uma determinada condição necessitam ser verdadeiros.
Observe o 
diagrama de 
blocos, como a 
utilização do 
operador 
lógico .e. é
apresentada:
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Lógica de Programação
Operador LOperador Lóógico:gico: .ou..ou.
Utilizado quando pelo menos um dos relacionamentos 
lógicos (quando houver mais de um relacionamento) de 
uma condição necessitar ser verdadeiro.
Observe o 
diagrama de 
blocos, como a 
utilização do 
operador lógico 
.ou. é
apresentada:
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Lógica de Programação
Operador LOperador Lóógico:gico: .não..não.
Utilizado quando é necessário estabelecer que uma 
determinada condição não deve ser verdadeira. Mesmo 
quando uma for verdadeira, ela será entendida como falsa. 
Se a condição for falsa será entendida como verdadeira.
Observe o 
diagrama de 
blocos, como a 
utilização do 
operador lógico 
.não. é
apresentada:
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Lógica de ProgramaçãoOperador LOperador Lóógico:gico: ..xouxou..
É utilizado quando apenas um dos relacionamentos de uma 
condição for verdadeiro, ou seja, a outra condição é
excluída. 
A tabela verdade que segue ilustra essa situação:
Verdadeira
Verdadeira
Falsa
Falsa
Condição 2
FalsoVerdadeira
VerdadeiroFalsa
VerdadeiroVerdadeira
FalsoFalsa
ResultudoCondição 1
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Lógica de Programação
Operador LOperador Lóógico:gico: ..xouxou..
Observe o 
diagrama de 
blocos, como a 
utilização do 
operador lógico 
.xou. é
apresentada:
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Lógica de Programação
Operador Relacionais:Operador Relacionais:
São utilizados para estabelecer relações entre dois valores 
de mesmo tipo.
Esses valores podem ser representados por variáveis, 
constantes ou expressões aritméticas.
A tabela que segue mostra os operadores relacionais:
Observe os exemplos que seguem:
<= menor ou igual
>= maior ou igual a
<> diferente de
< menor que
> maior que
= igual a
Operadores relacionais
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Lógica de Programação
Operador Relacionais:Operador Relacionais:
Exemplos do uso de operadores relacionais em expressões 
lógicas:
a-) 3 X 5 = 30 : 2, 
em que 15 = 15
verdadeiro
b-) 20 : 5 < 9 : 3, 
em que 4 < 3
falso
c-) 3 + (15:3) <= 23 + 8
em que 8 <= 16
verdadeiro
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Lógica de Programação
Operador Relacionais:Operador Relacionais:
Em processamento de dados, os sinais matemáticos 
usados para realizar as quatro operações são diferentes 
em alguns casos. Veja a tabela:
Assim sendo, as expressões anteriormente mostradas 
passam a ter a seguinte configuração:
a-) 3 x 5 = 30 : 2 fica assim: 3 * 5 = 30 / 2
b-) 20 : 5 < 9 : 3 fica assim: 20 / 5 < 9 / 3
c-) 3 + (15 : 3) <= 23 + 8 fica assim: 3 + (15 / 3 ) <= 2 Ç 3 + 8
- Ö subtração- Ö subtração
+ Ö adição+ Ö adição
/ Ö divisão: Ö divisão
* Ö multiplicação
Ç Ö exponenciação (seta para cima)
Processamento de dados
X Ö multuplicação
NeÖ exponenciação
Matemática
Operadores aritméticos
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Lógica de Programação
Prioridades:Prioridades:
Expressões algébricas:
Os operadores aritméticos possuem uma hierarquia, isto é, 
primeiramente resolve-se a exponenciação, depois a 
multiplicação/divisão, adição e subtração, respectivamente, a 
não ser que se queira priorizar um dos operandos cuja hierarquia 
deve ser alterada, neste caso, colocam-se os parênteses, depois 
os colchetes e as chaves respectivamente.
Exemplos:
a) 5 + 3 * 7 = 26 b) (5 + 3) * 7 = 56
Expressões lógicas:
Os operadores lógicos também possuem uma hierarquia. Primeiro 
resolvem-se os operadores lógicos que se encontram à esquerda e 
posteriormente os da direita, assim temos respectivamente: 
.não.; .e./.ou. e finalmente o .xou.
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Lógica de Programação
Exercício 7:
Determine a resultado lógico das expressões que seguem, 
assinalando se verdadeiro ou falso, considerando que:
X = 2 , A = 5 , B = 3 , C = 7 , D = 9.
a-) .não. (X>5) ( ) verdadeiro ( ) falso
b-) (X<1) .e. .não. (B>D) ( ) verdadeiro ( ) falso
c-) (A>B) .ou. (C>B) ( ) verdadeiro ( ) falso
d-) (X>=3) ( ) verdadeiro ( ) falso
e-) (A<B) .xou. (C>B) ( ) verdadeiro ( ) falso
f-) (11>D) .xou. (3<A) ( ) verdadeiro ( ) falso
X
X
X
X
X
X
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Lógica de Programação
Refinamento de Algoritmos:Refinamento de Algoritmos:
Um algoritmo é considerado completo quando o 
destinatário consegue entender as ações nele descritas.
Quando ocorrer o fato de um comando não ser do 
entendimento do destinatário, esse comando deve ser 
desdobrado em novos comando. Esse processo denomina-
se refinamento.
Observa-se nesse momento que, após ter analisado o 
problema de forma global, efetua-se a análise dos seus 
detalhes, quebrando-o em algumas partes. Cada uma 
dessas partes pode ser dividida em outras e assim 
sucessivamente até chegar a um nível mínimo de divisão.
Como exemplo desse conceito, observe o problema 
descrito em seguida:
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Lógica de Programação
Refinamento de Algoritmos:Refinamento de Algoritmos:
Elaborar um algoritmo que descreva os passos para que 
uma pessoa possa embarcar em um ônibus, até o 
momento de pagar a passagem e ultrapassar a catraca, 
considerando que ela já esteja no ponto.
1 – visualizar o ônibus que se aproxima.
2 – dar o sinal.
3 – entrar no ônibus.
4 – ir até a catraca.
5 – pagar a passagem
6 – ultrapassar a catraca
Nesse exemplo, o problema foi analisado de forma global. 
Não foram levados em consideração os seguintes aspectos: 
se o ônibus é o desejado, se a entrada é pela frente ou por 
trás, se o passageiro estava com o dinheiro na mão, e 
outros.
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Lógica de Programação
Refinamento de Algoritmos:Refinamento de Algoritmos:
Nesse caso é necessário efetuar o refinamento do 
algoritmo, tornando-o mais detalhado e, dessa forma mais 
eficiente, conforme o que segue:
1 – visualizar o ônibus que se aproxima.
2 – dar o sinal se for o ônibus desejado.
3 – verificar a porta de entrada.
4 – ir até a catraca.
5 – pagar a passagem caso o dinheiro esteja à mão; caso 
contrário retirá-lo da carteira.
6 – ultrapassar a catraca.
Caso o ônibus visualizado não seja o desejado, aguardar o 
próximo, seguindo instruções a partir do passo 1.
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Bibliografia
GUIMARÃES, Ângelo M; LAGES, Newton A. C.; Introdução a Ciência da Computação. LTC 
– Livros Técnicos e Científicos. Edição Atualizada.
MANZANO, M. I. N. G. & MANZANO, A. L. N.G. Estudo Dirigido de Informática Básica. 
Érica, 7ª Edição, 2007.
Monteiro, Mário A. – Introdução à Organização de Computadores – 4ª Edição –
Editora LTC
Pesquisas na WEB
Notas de aula