Aula Estudo da Reta vistas ortográficas

Prévia do material em texto

INSTITUTO FEDERAL 
ALAGOAS 
 
CAMPUS PALMEIRA DOS ÍNDIOS 
Disciplina: Geometria Descritiva 
Professora: Renata Camelo 2017.1 
Estudo da Reta 
Estudo da Reta 
• Uma reta é determinada pelo deslocamento de um ponto em uma 
determinada direção. 
• Pode-se representá-la por dois pontos e é identificada por letras 
latinas minúsculas. 
 
 
Estudo da Reta 
• O segmento pode ter diferentes posições em relação aos planos de 
projeção, o que leva a que as suas projeções apresentem aspetos 
diferentes. 
 
Segmento de reta de perfil. 
Estudo da Reta 
Reta paralela ao Plano 
de Projeção 
Reta perpendicular ao 
Plano de Projeção 
Reta oblíqua ao 
Plano de Projeção 
Projeção em Verdadeira 
Grandeza (VG) 
 A projeção é igual à reta. 
Projeção Acumulada (PA) 
A projeção da reta é um 
ponto. 
Projeção Reduzida (PR) 
A projeção é menor que 
a reta. 
Estudo da Reta 
Reta paralela ao Plano de Projeção. 
O segmento de reta [AB] é paralelo a ambos os planos de projeção; essa posição 
designa-se por fronto-horizontal. 
O segmento [CD] é paralelo ao PH e oblíquo ao PV; designa-se por horizontal. 
O segmento [EF] é paralelo ao PV e oblíquo ao PH; a sua posição é frontal. 
Estudo da Reta 
Reta perpendicular ao Plano de Projeção. 
O primeiro segmento é perpendicular ao PH e designa-se por vertical. 
O segundo é perpendicular ao PV, sendo de topo. 
Estudo da Reta 
Reta oblíqua ao Plano de Projeção. 
Estes segmentos de reta são ambos oblíquos aos planos de projeção. 
O [KL] é também oblíquo ao eixo x; designa-se por oblíquo. 
O [MN] é também perpendicular ao eixo x; a sua posição é de perfil. 
Estudo da Reta 
Projeção lateral das retas. 
A projeção lateral de um segmento de reta oblíquo e de outro horizontal. 
O processo é o mesmo para qualquer segmento de reta. 
Estudo da Reta 
Reta paralela ao plano lateral de projeção 
Normalmente é com segmentos de reta paralelos ao plano lateral de projeção que 
há interesse em saber da sua projeção lateral. Aqui se mostra um segmento de 
reta vertical e outro de perfil. 
Exercício 04 
1) Representar, em dupla projeção, o segmento de reta [IJ] cujos 
extremos são: I(8;2;2) J(4;4;0) 
2) Representar, em dupla projeção, os seguintes segmentos de reta: 
[MN], vertical, com 3 cm de tamanho, sendo M(4;3;2) o ponto de 
menor cota. [OP], de topo, com 4 cm de tamanho, tendo P(-3;0;3) 
menor afastamento. 
3) Representar, em tripla projeção, o segmento de reta cujos extremos 
são Q(-4;2;1) e R(-4;5;4) 
Estudo da Reta 
As sete posições da reta podem ser agrupadas em três categorias: 
Retas paralelas aos planos de projeção: Horizontal 
 Frontal 
 Fronto-horizontal 
 
Retas perpendiculares aos planos de projeção: Vertical 
 Topo 
 
Retas oblíquas aos planos de projeção: Perfil 
 Oblíqua 
Estudo da Reta 
RETA HORIZONTAL 
• O segmento AB tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é 
paralela ao PH. Projeção horizontal está em VG e é oblíqua à LT. 
• Tem afastamentos diferentes em seus pontos, é oblíquo ao PV, e também 
obliqua ao PL, fazendo ângulos com estes planos tendo portanto projeção 
reduzida (PR). 
Estudo da Reta 
RETA FRONTAL 
• O segmento CD tem mesmo afastamento em todos os seus pontos, 
portanto é paralelo ao PV. Projeção vertical estará em VG e é oblíqua à LT. 
• Tem cotas diferentes em seus pontos e, é oblíquo ao PH, sendo também 
obliqua ao PL, fazendo ângulos com estes planos tendo, portanto projeção 
reduzida (PR). 
Estudo da Reta 
RETA FRONTO-HORIZONTAL 
• O segmento EF tem mesma cota – distância do ponto ao PH - em todos os 
seus pontos, portanto é paralela ao PH. 
• Tem também, mesmo afastamento – distância do ponto ao PV - em todos os 
seus pontos e, portanto é paralela ao PV. 
• Suas projeções horizontal e vertical estão em VG e paralelas à LT. 
• É perpendicular ao PL tendo, portanto projeção acumulada (PA). 
 
Estudo da Reta 
RETA VERTICAL 
• O segmento GH tem mesmo afastamento em todos os seus pontos, portanto 
é paralelo ao PV. Projeção vertical estará em VG e é perpendicular à LT. 
• Tem cotas diferentes em seus pontos e, é perpendicular ao PH, tendo 
portanto projeção acumulada (PA) . 
• Sendo paralelo ao PV, sua projeção lateral também estará em VG. 
Estudo da Reta 
RETA DE TOPO 
• O segmento IJ tem mesma cota em todos os seus pontos, portanto é paralela 
ao PH. Projeção horizontal está em VG e é perpendicular à LT. 
• Tem afastamentos diferentes em seus pontos e, é perpendicular ao PV, 
tendo portanto projeção acumulada (PA). 
• Sendo perpendicular ao PV, sua projeção lateral também estará em VG. 
Estudo da Reta 
RETA DE PERFIL 
• O segmento KL é oblíquo tanto ao PV, quanto ao PH, porém é paralelo ao 
Plano Auxiliar de Projeção (PL). Projeção no PL está em VG. 
• As cotas (z) e os afastamentos (y) são diferentes ao longo do segmento. 
• As projeções horizontal e vertical são perpendiculares à LT. 
Estudo da Reta 
RETA OBLÍQUA 
• O segmento MN é oblíquo em relação ao PV, ao PH e ao PL. 
• Tanto as cotas como os afastamentos são diferentes ao longo do segmento. 
• Nenhuma de suas projeções está em VG estão todas em PR. 
• As projeções horizontais e as verticais são oblíquas em relação à LT. 
VG no PH VG no PV VG no PH e no PV 
VG no PV VG no PH VG no PL não apresenta VG 
Exercício 05 
1) Desenhar e identificar as seguintes retas: a) Que tipo de retas 
passam pelas arestas EF, EC, EG (mostrar a VG) b) Que tipo de retas 
passam pelas diagonais ED, FG, GC (mostrar a VG) c) Que tipo de 
retas passam pelas diagonais HC, GD, AF, BE 
Coordenadas: A (7;0;0) - B (3;0;0) 
- C (7;2;0) - D (3;2;0) - E (7;2;6) 
 F (3;2;6) - G (7;0;6) - H (3;0;6) 
Exercício 06 
1. A reta l é definida pelos pontos A (0;4;5) e B (8;-5;-1), 
represente as projeções da reta e os seus traços. 
2. A reta m é definida pelos pontos C, pertencente ao PV (2;?;5) 
e D pertencente ao β1/3 (8;-5;?), represente as projeções da 
reta e seus traços. 
3. Representar em dupla projeção a reta n definida pelos pontos (E)(F) e 
a reta p definida pelos pontos (G)(H) e defini-las quanto à posição. 
(E) [1;2;1] 
(F) [3;1;3] 
(G) [-3;-2;-2] 
(H)[0;-2;3] 
4. Representar, em tripla projeção, a reta q horizontal distante 2 cm do 
plano horizontal, contendo um ponto (I) no bissetor do 1º diedro e outro 
ponto (J) no plano vertical superior. 
(I) [1;?;?] 
(J) [4;?;?] 
Exercício 06.1 
1. Um ponto (A) está no bissetor par, trace uma reta (B)(C) que 
contenha o ponto (A). 
(A) [3;1,5;?] (B)[-0,5;3] (C)[5;?;?]. 
 
2. Represente as três projeções de um segmento de reta horizontal (AB), 
com 6 cm de comprimento e 3 cm de cota, situado no I Diedro, sabendo 
que esse segmento faz um ângulo de 45° à direita com o plano frontal e 
um dos seus extremos (A) pertence a este plano e tem maior abscissa = 7 
cm. Completar coordenadas. 
23 
Traços da Reta 
• Chama-se traço da reta, quando uma reta intercepta uma outra reta, 
ou mesmo um plano. 
• Quando uma reta intercepta o plano horizontal de projeção, o traço 
horizontal da reta é o seu ponto que tem cota nula. 
• Quando a reta intercepta o plano vertical de projeção, o traço 
vertical da reta é o seu ponto que tem afastamento nulo. 
Traços da Reta 
• Em épura, o traço horizontal de uma reta - designado por (H) - tem 
sua projeção vertical H' sobre a linha de terra. O traço vertical - 
designado por (V) - tem sua projeçãohorizontal V sobre a linha de 
terra. 
• Traço horizontal da reta é o seu ponto que tem cota nula. 
• Traço vertical da reta é o seu ponto que tem afastamento nulo. 
Posições particulares das Retas 
Reta Horizontal ou de Nível 
Toda reta horizontal tem projeção vertical paralela à linha de terra. 
1-Todo segmento de reta horizontal tem projeção horizontal em VG. 
2-O ângulo que uma horizontal faz com o PV é igual ao ângulo que sua projeção 
horizontal faz com a LT. 
Posições particulares das Retas 
Reta Horizontal ou de Nível 
Épura da reta horizontal. 
As projeções laterais das retas horizontais tenham cota positiva 
ou negativa, são coincidentes com as frontais. 
Projeção lateral da reta horizontal. 
Posições particulares das Retas 
Reta Frontal 
Toda reta frontal tem projeção horizontal paralela à linha de terra. 
1-Todo segmento de reta frontal tem projeção vertical em VG. 
2-O ângulo que uma frontal faz com o PH é igual ao ângulo que sua projeção 
vertical faz com a LT. 
Posições particulares das Retas 
Épura da reta frontal. 
As projeções laterais das retas frontais tenham afastamento 
positivo ou negativo, são perpendiculares à LT. 
Projeção lateral da reta frontal. 
Reta Frontal 
Posições particulares das Retas 
Reta Fronto-Horizontal ou horizontal de frente 
Toda reta fronto-hotrizontal tem ambas as projeções paralelas à linha 
de terra. 
1-Todo segmento de reta fronto-horizontal tem ambas as projeções em VG. 
2-A fronto-horizontal é perpendicular ao Plano de Perfil, isto significa que sua 
projeção lateral é um ponto. 
Posições particulares das Retas 
Épura da reta fronto-horizontal. 
Uma vez que a reta é perpendicular ao PL, a sua projeção lateral fica reduzida 
a um ponto, coincidente com a projeção lateral do traço da reta, o ponto L. 
Projeção lateral da reta fronto-horizontal. 
Reta Fronto-Horizontal ou horizontal de frente 
Posições particulares das Retas 
Retas situadas nos planos bissetores e no eixo x. 
As retas a e b situam-se no β1/3 porque as suas projeções se apresentam 
uma para cada lado da LT e com cotas e afastamentos iguais. As retas d 
e e têm projeções coincidentes, pelo que se situam no β2/4. A reta c 
coincide com a LT. 
Posições particulares da Reta Fronto-Horizontal 
Posições particulares das Retas 
Reta Vertical 
Toda reta vertical tem projeção horizontal reduzida a um ponto. 
1- A projeção vertical de uma vertical é perpendicular à LT. 
2- Todo segmento de reta vertical tem projeção vertical em VG. 
Posições particulares das Retas 
Épura da reta vertical. 
A projeção lateral da reta vertical fica perpendicular à LT, contendo 
a projeção lateral do seu traço. 
Projeção lateral da reta vertical. 
Reta Vertical 
Posições particulares das Retas 
Reta de Topo 
Toda reta de topo tem projeção vertical reduzida a um ponto. 
1- A projeção horizontal de uma reta de topo é perpendicular à LT. 
2- Todo segmento de reta de topo tem projeção horizontal em VG. 
Posições particulares das Retas 
Épura da reta de topo. 
A projeção lateral da reta de topo fica paralela à LT e passa pela 
projeção lateral do seu traço. 
Projeção lateral da reta de topo. 
Reta de Topo 
Posições particulares das Retas 
Reta de Perfil 
Toda reta de perfil tem ambas as projeções perpendiculares à LT, 
no mesmo ponto. 
1- Os ângulos que uma reta de perfil faz com os planos de projeção são 
complementares, porque o triângulo formado pela reta com suas projeções é 
retângulo. 
2- A reta de perfil é paralela ao PL, por isso sua projeção está em VG. 
Épura da reta de perfil. 
Posições particulares das Retas 
As posições particulares da reta de perfil são idênticas às da reta 
oblíqua. Por serem mais difíceis de visualizar a partir das suas 
projeções, mostram-se representações dessas retas nos planos de 
projeção vistos de lado. 
Posições particulares da Reta de Perfil 
Os traços da reta a têm medidas iguais, 
cada um representado para um lado da 
LT. 
Os traços da reta b são coincidentes. 
A reta c situa-se no β1/3, cruza o eixo x 
e contém o ponto P, que também se 
situa nesse bissetor. 
A reta d situa-se no β2/4, cruza o eixo 
x e contém o ponto Q, que se situa nesse 
bissetor. 
A reta e cruza a LT e contém o ponto R 
que é um ponto qualquer. 
As retas c, d e e são passantes, isto 
é, cruzam a LT, por que é aí que se 
situam ambos os seus traços. Para 
ficarem devidamente definidas há que 
acrescentar outro ponto que as situe no 
espaço. 
Posições particulares da Reta de Perfil 
Posições particulares da reta de 
perfil, representadas nas 
projeções e vistas de lado. 
Posições particulares das Retas 
A projeção lateral da reta de perfil obtém-se unindo as projeções 
laterais dos pontos que a definem. Neste caso a reta está definida 
pelos seus traços, mas quando está definida por outros pontos 
procede-se do mesmo modo. 
Projeção lateral da reta de perfil. 
Reta de Perfil 
Posições particulares das Retas 
Reta de perfil com traços 
acima da LT 
A projeção Hº surge à esquerda de 
y≡z em virtude de o rebatimento 
do PH se efetuar no sentido 
inverso dos ponteiros do relógio. 
 
Reta de Perfil 
Reta de perfil com traços 
abaixo da LT 
A projeção lateral do ponto F está 
sempre em y≡z, obtém-se através 
de uma linha paralela à LT 
 
 
Posições particulares das Retas 
Reta Oblíqua Paralela ao Bissetor Ímpar 
Toda reta paralela ao BI tem projeções fazendo ângulos iguais com a 
LT. 
Toda reta cujas projeções (concorrentes) fazem ângulos iguais com a LT é 
paralela ao BI. 
1- Se uma reta pertencer ao BI, suas projeções serão simétricas em relação à LT. 
Posições particulares das Retas 
Reta Oblíqua Paralela ao Bissetor Par 
Toda reta paralela ao BP tem em épura projeções paralelas. 
Toda reta cujas projeções são paralelas é paralela ao BP. 
1- Se uma reta pertencer ao BP, suas projeções serão coincidentes. 
Posições particulares das Retas 
Reta Oblíqua 
A reta a tem projeções coincidentes situa-se no β2/4; 
A reta b tem projeções com ângulos simétricos, situa-se no β1/3. 
Qualquer ponto da reta a tem projeções coincidentes, por isso pertence ao β2/4; 
Qualquer ponto da reta b tem projeções simétricas, pelo que pertence β1/3. 
A reta c é uma reta passante qualquer, uma vez que as suas projeções têm 
ângulos diferentes. 
Posições particulares das Retas 
Reta Oblíqua - Projeção lateral 
Para determinar as projeções laterais das retas oblíquas é necessário 
determinar as projeções laterais de dois dos seus pontos. Utiliza-se os 
seus traços, mas podem ser utilizados outros pontos. 
Pertinência de Ponto à Reta 
Reta Oblíqua 
No método da dupla projeção ortogonal, quando um ponto pertence a 
uma reta, as projeções do ponto estão situadas sobre as projeções de 
mesmo nome da reta. Em outras palavras: a projeção vertical do ponto 
pertencerá à projeção vertical da reta e a projeção horizontal do ponto, à 
projeção horizontal da reta. 
Marcação de Pontos em Retas 
Marcação de pontos nas retas fronto-horizontal, de topo e 
vertical. Para que um ponto pertença a uma reta é necessário que as 
suas projeções se situem nas projeções homônimas dessa reta. 
Marcação de pontos na reta fronto-horizontal. Todos os pontos que 
se marquem numa reta fronto-horizontal terão sempre o mesmo 
afastamento e a mesma cota (que são os da reta). Por isso, basta dar a 
medida da abscissa de cada um dos pontos. Aqui são dados os seguintes 
pontos: A, com 3cm de abscissa; B, com -2cm de abscissa; C, com 0cm 
de abscissas. 
Marcação de Pontos em Retas 
Marcação de pontos nas retas de topo e vertical. Uma reta de topo 
mantém os mesmos valores de abscissase de cota. Para marcar pontos 
nessa reta basta dar o valor do afastamento. Uma reta vertical mantém 
os valores de abscissas e de afastamento. Para marcar pontos nessa reta 
basta dar o valor da cota. J, com 2cm de afastamento; K, com -1cm de 
afastamento. L, com 2cm de cota; M, com -3cm de cota. 
Retas de Topo Retas Vertical 
Marcação de Pontos em Retas 
Marcação de pontos na reta horizontal. Todos os pontos que se 
marquem numa reta horizontal terão sempre a mesma cota (que é a da 
própria reta). Para marcar pontos nessa reta basta dar a medida da 
abscissa ou do afastamento. São dados os seguintes pontos, a título de 
exemplo: A, com 1,5cm de abscissa; B, com -1cm de afastamento; C, 
com 2,5cm de afastamento. 
Marcação de Pontos em Retas 
Marcação de pontos na reta frontal. Os pontos de uma reta frontal 
terão sempre o mesmo afastamento (que é o da própria reta). Para se 
marcar pontos nessa reta basta dar o seu valor de cota ou de abscissa. A 
título de exemplo são dados os seguintes pontos: J, com 3cm de cota; K, 
com 1cm de abscissa; L, com -2,5cm de cota. 
Marcação de Pontos em Retas 
Marcação de pontos na reta oblíqua. A reta oblíqua não mantém 
constante nenhuma coordenada, mas para se traçarem pontos nela basta 
que seja dada uma das suas coordenadas, seja ela qual for. São dados os 
seguintes pontos, a título de exemplo: A, com -1,5cm de afastamento; B, 
com 1cm de cota; C, com -2,5cm de abscissa. 
Marcação de Pontos em Retas 
Marcação de pontos na reta de perfil. Uma reta de perfil mantém o 
mesmo valor de abscissa. Para se marcar pontos nessa reta recorre-se à 
projeção lateral, bastando saber o valor da cota ou do afastamento 
desses pontos. A título de exemplo são dados os seguintes pontos: M, 
com 1cm de afastamento; N, com -1,5cm de cota. 
Percurso das Retas 
Determinamos os pontos notáveis e indicamos os diedros e os octantes 
por onde cada uma destas retas passa. É nisso que consiste a 
determinação do percurso de uma reta. Pontos notáveis de uma reta 
são os seus traços nos planos de projeção e nos planos bissetores. 
Percurso das Retas 
Percurso da reta horizontal 
A reta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto 
Q traçou-se, a partir da LT, uma linha simétrica à projeção n; deste 
modo, esse ponto terá cota e afastamento iguais. Aplica-se este 
processo quando o ângulo da projeção da reta é um valor inteiro e 
conhecido. 
O percurso de uma reta horizontal com cota positiva e abertura para a direita. 
Percurso das Retas 
Percurso da reta frontal 
Cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. O ponto Q foi obtido 
traçando uma paralela à LT com medida igual à do afastamento da 
reta. É possível aplicar este processo apenas nas retas frontal e 
horizontal. 
Esta reta tem afastamento positivo e abertura para a esquerda. 
Percurso das Retas 
Percurso da reta oblíqua 
A reta cruza o β2/4 no ponto I e o β1/3 no ponto Q. Para obter o ponto 
Q pode marcar-se um ponto qualquer numa das projeções (não é 
necessário dar-lhe nome) e transpor, com o compasso, essa medida 
para o lado oposto da LT. Com uma linha simétrica à da projeção 
utilizada determina-se o ponto. 
Abaixo indicamos o percurso de uma reta oblíqua com o traço frontal com cota 
positiva e o horizontal com afastamento positivo. 
Percurso das Retas 
Percurso da reta de perfil 
Como as projeções frontal e horizontal são coincidentes, o percurso da 
reta de perfil indica-se na projeção lateral. Para determinar os pontos I 
e Q utilizam-se os traços laterais dos planos bissetores, que fazem 45º 
com os eixos. Esta reta estava, de início, definida pelos seus traços, mas 
se estiver definida por outros pontos procede-se de forma idêntica. 
Percurso das Retas 
Percurso das retas de topo e vertical 
Neste caso os pontos notáveis determinam-se diretamente. Contudo, 
como uma das projeções destas retas fica reduzida a um ponto, sugere-
se a indicação do seu percurso na projeção lateral. 
Percurso da reta de topo 
Os pontos Q e I, respectivamente do β1/3 e do β2/4, determinam-se 
diretamente, uma vez que o ponto Q tem uma projeção para cada lado 
da LT e o ponto I tem projeções coincidentes. Com recurso aos traços 
laterais dos planos bissetores, fica evidente o percurso da reta. 
Percurso das Retas 
Percurso da reta vertical 
Tal como na reta anterior, também aqui os pontos Q e I se determinam 
diretamente e se indica o percurso da reta na sua projeção lateral. 
Exercício 07 
1. Representar a reta fronto-horizontal h, que contém o ponto P(1;3;-1). 
Nela marcar os pontos: A, com 2cm de abscissa B, com 4cm de 
abscissa C, com -3cm de abscissa. 
 
2. Representar a reta horizontal n, com 2cm de cota, fazendo 45ºad, 
sendo o seu traço o ponto F com 2cm de abscissa. Nela marcar os 
pontos: D, com 4cm de afastamento E, com -1cm de abscissa G, com -
1cm de afastamento I, com 6cm de abscissa. 
 
3. Representar a reta frontal f, que contém o ponto R(4;-3;6). Nela 
marcar os pontos: H, traço da reta, com -3cm de abscissa K, com 4cm 
de cota L, com -2cm de abscissa M, com -4cm de cota. 
 
4. Representar as retas h e n dos exercícios 1 e 2. Determinar as suas 
projeções laterais. 
Posições relativas entre Retas 
Retas coplanares podem ser: coincidentes, paralelas ou concorrentes. 
Retas não coplanares são chamadas reversas. 
RETAS COINCIDENTES 
São coplanares; 
Possuem mesma direção; 
São retas de mesmo nome (horizontal, frontal,...); 
Possuem dois ou mais pontos em comum. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS PARALELAS 
São coplanares; 
Possuem mesma direção; 
São retas de mesmo nome (horizontal, topo,...); 
Não possuem ponto em comum; 
Mantêm distância constante entre sí. 
Quando duas - ou mais - retas são ditas paralelas, o ponto de concurso 
entre ambas é necessariamente impróprio. Isto significa dizer que tais 
retas têm a mesma direção. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS PARALELAS 
São coplanares; 
Possuem mesma direção; 
São retas de mesmo nome (horizontal, topo,...); 
Não possuem ponto em comum; 
Mantêm distância constante entre sí. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS PARALELAS 
São coplanares; 
Possuem mesma direção; 
São retas de mesmo nome (horizontal, topo,...); 
Não possuem ponto em comum; 
Mantêm distância constante entre sí. 
Posições relativas entre Retas 
Retas Paralelas 
Na figura abaixo, as retas representadas pelos pares, (r) e (s), (o) e (p) 
e (t) e (u), são paralelas. 
Posições relativas entre Retas 
Retas NÃO Paralelas 
Por outro lado, podemos constatar que as retas (x) e (z) não são 
paralelas, porque as projeções de mesmo nome das retas não são 
paralelas. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS CONCORRENTES 
São coplanares. 
Podem ou não serem retas de mesmo nome. 
Possuem ponto em comum. 
Poderão ser perpendiculares ou oblíquas. 
Se duas retas são concorrentes, o ponto de concorrência (ou de 
concurso) deverá ser comum às duas retas em questão, ou seja, as 
projeções do ponto deverão pertencer, simultaneamente, às projeções 
de mesmo nome da reta. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS CONCORRENTES 
São coplanares. 
Podem ou não serem retas de mesmo nome. 
Possuem ponto em comum. 
Poderão ser perpendiculares ou oblíquas. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS CONCORRENTES 
 
Nas épuras abaixo as retas representadas pelos pares (a) e (b), (r) e (s) e 
(t) e (w) são concorrentes. 
Os pontos de concurso de ambas as projeções das retas deverão estar 
numa mesma linha de chamada. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS REVERSAS 
Não são coplanares. 
Fazem entre si um ângulo qualquer. 
Não possuem ponto em comum (ponto de concorrência). 
Não mantêm distância constante entre si. 
Poderão ser ortogonais ou oblíquas(jamais serão perpendiculares). 
Posições relativas entre Retas 
RETAS REVERSAS 
 
Abaixo, os pontos de concurso de (v) e (u) não estão numa mesma 
linha de chamada, o que significa dizer que são retas reversas. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS ORTOGONAIS 
 
São retas reversas que fazem entre si um ângulo de 90º. 
Posições relativas entre Retas 
RETAS PERPENDICULARES 
 
São retas concorrentes que fazem um ângulo de 90º entre si. 
Exercício 08 
1. Representar a reta vertical v, com -2cm de afastamento e 3cm de 
abscissa. Nela marcar os pontos: H, traço horizontal Q, com 4cm de 
cota R, com -3cm de cota. 
 
2. Representar a reta oblíqua r, cujos traços são os pontos H(2;2;0) e 
F(4;0;5). Nela marcar os pontos: S, com 4cm de abscissa T, com 2cm 
de cota U, com 1cm de afastamento V, com -1cm de afastamento. 
 
3. Representar a reta c, que contém o ponto C(3;2;4) e é passante no 
ponto P com -2cm de abscissa. Determinar o percurso dessa reta. 
 
4. Representar a reta de perfil p, cujos traços são os pontos H(3;2;0) e 
F(3;0;5). Determinar, recorrendo à projeção lateral, os seus pontos: 
X, com -1cm de afastamento Y, com 2cm de cota . 
 
5. Representar a reta a, definida pelos pontos R(4;1:3) e 
S(4;4;1).Determinar os pontos notáveis e o seu percurso. 
Exercício 09 
01) Verificar se os pontos (C) e (D) pertencem à reta (A)(B). Dados: 
(A) [ 0 ; 3 ; 1 ] (B) [ 4 ; 1 ; 1 ] (C) [ 2 ; 2 ; 1 ] (D) [ 3 ; -1 ; -1,5 ] 
 
02) Verificar se os pontos (G) e (H) pertencem à reta de perfil (E)(F). 
Dados: (E) [ 2 ; 1 ; 3 ] (F) [ ? ; 3 ; 1 ] (G) [ 2 ; 2 ; 2 ] (H) [ 2 ; 2 ; 3 ] 
 
03) Dada a reta (I)(J), achar os seus traços e determinar a sua trajetória 
no espaço: (I) [ 0 ; -2 ; -1 ] (J) [ 4 ; 2 ; 2,5 ] 
 
04) Dada a reta de perfil (K)(L), determinar a sua verdadeira grandeza, 
os seus traços e a sua trajetória no espaço: (K) [ 0 ; 3 ; -3 ] (L) [ ? ; 1 ; 2 ] 
Exercício 09 
05) Determinar a posição relativa entre as retas (A)(B) e (C)(D). Dados: 
(A) [ 1 ; 2 ; 2 ] (C) [ 0 ; 4 ; 0,5 ] (B) [ 6 ; 3 ; 1 ] (D) [ 5 ; 2 ; 3 ] 
 
06) Determinar a posição relativa entre as retas (E)(F) e (G)(H). Dados: 
(E) [ 0 ; 2 ; 2 ] (G) [ 0 ; -1 ; 3] (F) [ 4 ; 2 ; 4 ] (H) [ 4 ; -1 ; 5 ] 
 
07) Determinar a posição relativa entre as retas (I)(J) e (K)(L). Dados: 
(I) [ 0 ; 4 ; -1 ] (K) [ 1 ; 2,5 ; 0,5 ] (J) [ 6 ; 1 ; 2 ] (L) [ 6 ; 2,5 ; 0,5 ] 
 
08) Determinar a posição relativa entre as retas (P)(Q) e (R)(S). Dados: 
(P) [ 0 ; 0 ; 3 ] (R) [ 2 ; 1 ; 0,5 ] (Q) [ 0 ; 3 ; 1 ] (S) [ 2 ; 4 ; 3 ] 
 
09) Determinar a posição relativa entre as retas (T)(U) e (V)(W). Dados: 
(T) [ 0 ; -2 ; 2 ] (V) [ -2 ; 1 ; 0,5 ] (U) [ 0 ; 3 ; -2 ] (W) [ 4 ; 1 ; 2 ] 
77 
PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA 
A representação gráfica é a forma pela qual se representam os 
projetos, em qualquer ramo de engenharia. Muitas vezes estas 
representações não representam o modelo ou partes dele em 
verdadeira grandeza, como é o caso das perspectivas. 
 
Perspectiva de um sólido com diferentes ângulos de deformação. 
PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA 
Para produzir um objeto, é necessário conhecer todos os seus 
elementos em verdadeira grandeza. Por essa razão, em desenho 
técnico, quando tomamos sólidos geométricos ou objetos 
tridimensionais como modelos, costumamos representar sua projeção 
ortográfica em mais de um plano de projeção. 
Representação no 1º diedro - Plano vertical, Plano horizontal e Plano lateral. 
Representação gráfica de um objeto no plano. 
• Ponto de vista ou centro de 
projeção; 
 
• Objeto ou modelo; 
 
• Quadro ou plano de projeção; 
 
• Linhas ou raios projetantes; 
 
• Projeção 
vista frontal 
PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA 
Toda superfície paralela ao plano de projeção se 
projeta neste plano exatamente na sua forma e em 
sua verdadeira grandeza. 
Quando a superfície é perpendicular ao plano de 
projeção a projeção resultante é uma linha. 
As arestas resultantes das interseções de 
superfícies são representadas por linhas. 
Projeções Ortogonais 
PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA 
As projeções ortogonais de um objeto 
visto por lados diferentes representam as 
suas três dimensões 
Comprimento 
A
lt
u
ra
 
L
ar
gu
ra
 
PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA 
As projeções ou vistas resultantes do 
paralelepípedo também correspondem 
às projeções de um prisma triangular. 
Duas vistas, apesar de representarem as três dimensões, podem não ser 
suficientes para definir a forma do objeto desenhado 
O lado da peça que for 
projetado no plano 
vertical é considerado 
como sendo a frente 
da peça. 
PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA 
A representação da forma do objeto é definida com a utilização de uma 
terceira projeção feita em um plano lateral. 
Por convenção, os 
planos de projeção 
horizontal e lateral 
sempre se rebatem 
sobre o plano vertical. 
Em função dos rebatimentos, 
em baixo da vista de frente 
aparecerá a vista superior e à 
direita da vista de frente, a 
vista lateral esquerda. 
VISTA LATERAL 
ESQUERDA 
VISTA 
SUPERIOR 
VISTA DE 
FRENTE 
 Identifique as vistas de acordo com a numeração 
Frontal 
Superior 
Lateral 
esquerda 
Lateral 
direita 
Inferior 
Posterior 
VISTAS ORTOGRÁFICAS 
Exercício – VISTAS ORTOGRÁFICAS 
Material de desenho 
Lapiseiras 
Escalímetro 
Esquadros 
Régua 
Compasso 
Borrachas