Questões de Cinemática: Gráficos de Movimento

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Questões Cinemática 4 – Gráficos 
Questão 1  
 
(UEL) O gráfico a seguir representa o movimento 
de uma partícula. 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
s(
m
)
 
Analise as afirmativas seguintes: 
I. A velocidade escalar média entre t = 4s e t = 6s 
é de ‐1mڄs ‐1. 
II. O módulo  do  deslocamento  entre  t  =  4s  e  t  = 
10s é de 1m. 
III. A distância total percorrida desde t = 0 até t = 
10s vale 8m. 
 
A(   ). Somente I é correta. 
B(   ). Somente I e II são corretas. 
C(   ). Somente I e III são corretas. 
D(   ). Somente II e III são corretas. 
E(   ). I, II e III são corretas. 
Resolução: 
I. No  trecho  entre  os  instantes  t  =  4s  e  t  =  6s,  a 
inclinação da reta  fornecerá a velocidade escalar 
média. Assim, 
 
13 5 1 .
2m
Sv m s
t
−∆ −= = =− ⋅∆  
 
O movimento entre esses  instantes é retrógrado. 
Certo o item. 
II. A  variação  do  espaço  vale: 
0 6 5 1S S S m∆ = − = − = . O item está certo. 
III. A  distância  total  percorrida  é  dada  por: 
3 2 3 8d m= + + = . Do gráfico, podemos observar 
que  o  móvel  percorreu  3m  do  instante  0  até  o 
instante 3s, depois mais 2m do  instante 4s até o 
instante 6s e  finalmente 3m do  instante 8s até o 
instante 10s. O item está certo.  
 
Letra “E”. 
 
Questão 2  
 
(UFES)  Uma  partícula  move‐se  numa  trajetória 
retilínea com a velocidade mostrada no gráfico a 
seguir. 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t(s)
v(
m
/s
)
 
Determine: 
a) o deslocamento da partícula no  intervalo 0s a 
9s; 
b) a velocidade média no intervalo 0s a 9s; 
c) a aceleração no instante 5s. 
Resolução: 
a) Podemos determinar o espaço percorrido por 
meio do cálculo da área da figura formada no 
gráfico (V x t). Assim, teremos: 
 
9 10 45
2 2
45 .
B hA
S m
∆
⋅ ⋅= = =
∴∆ =
 
 
b) Utilizando  a  definição  de  velocidade  escalar 
média, teremos: 
 
145 5 .
9m
Sv m s
t
−∆= = = ⋅∆  
 
c) A  aceleração  pode  ser  obtida  a  partir  da 
inclinação da  reta  entre os  instantes 4s  e 9s. 
 
 
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2 
Ou da definição de aceleração escalar média. 
Assim, teremos: 
 
20 10 2 .
5m
va m s
t
−∆ −= = =− ⋅∆  
 
Neste  trecho  o  movimento  é  progressivo  e 
retardado. 
 
Questão 3  
 
(FUVEST)  Um  automóvel  faz  uma  viagem  em  6 
horas e sua velocidade escalar varia em função do 
tempo aproximadamente como mostra o gráfico. 
A  velocidade  escalar  média  do  automóvel  na 
viagem é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A(   ). 35 kmڄh ‐1; 
B(   ). 40 kmڄh ‐1; 
C(   ). 45 kmڄh ‐1; 
D(   ). 48 kmڄh ‐1; 
E(   ). 50 kmڄh ‐1; 
Resolução: 
Previamente,  determinaremos  o  espaço 
percorrido  pelo  móvel  durante  as  6  horas  de 
movimento.  Por  meio  do  cálculo  das  áreas 
formadas  no  gráfico  (V  x  t),  teremos  o  referido 
espaço. Assim,  
 
30 2 60 3 240
240 .
tA
S km
= ⋅ + ⋅ =
∴∆ =  
  
Utilizando  a  definição  de  velocidade  escalar 
média, teremos: 
 
1240 40 .
6m
Sv km h
t
−∆= = = ⋅∆  
Letra “B”. 
 
Questão 4  
 
(UFPR) O gráfico a seguir representa a velocidade 
em  função  do  tempo  para  uma  partícula  em 
movimento  retilíneo.  Com  base  nesse  gráfico,  é 
correto afirmar que: 
 
‐30
‐20
‐10
0
10
20
30
40
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
t(s)
v(
m
/s
)
 
 
(01) No instante t = 6s a velocidade é nula. 
(02) No intervalo entre t = 2s e t = 4s a velocidade 
é negativa. 
(04) No intervalo entre t = 0 e t = 6s a aceleração 
vale ‐5mڄs ‐2. 
(08) Entre t = 12s e t = 14s a aceleração é positiva. 
(16) O  deslocamento  da  partícula  no  intervalo 
entre t = 0 e t = 6s vale 45 m. 
(32) O valor de velocidade no instante t = 4s não 
volta  a  se  repetir  em  nenhum  instante 
posterior. 
 
Soma: 
Resolução: 
01‐ Observando o gráfico, podemos concluir que a 
velocidade é nula no instante t = 6s. Certo. 
02‐ A partir  do  gráfico,  podemos  observar  que  a 
velocidade  é  positiva  nesse  intervalo  de 
tempo. Errado. 
04‐ A  partir  da  inclinação  da  reta,  podemos 
determinar a aceleração do móvel. 
 
20 30 5 .
6m
va m s
t
−∆ −= = =− ⋅∆  
Certo. 
08‐ Observando o gráfico, a partir do instante t = 
10s, a inclinação da reta mostra que a velocidade 
é  crescente,  portanto  a  aceleração  é  positiva. 
Certo. 
v(kmڄh‐1) 
tሺh) 0  1  2  3  4  5  6 
30 
60 
 
 
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3 
16‐ A partir da área da figura formada no gráfico 
(V  x  t)  entre  os  referidos  instantes  podemos 
determinar o espaço percorrido. Assim, teremos: 
 
30 6 90
2 2
90 .
B hA
S m
∆
⋅ ⋅= = =
∴∆ =
 
 
Errado. 
32‐ O valor da velocidade para o  instante  t = 4s 
volta a se repetir após o instante t = 14s. Errado.  
 
Soma: 13. 
 
Questão 5  
 
(FUVEST) A  figura  representa  o  gráfico  posição‐
tempo  do  movimento  de  um  corpo  lançado 
verticalmente  para  cima  com  velocidade  inicial 
v0, na superfície de um planeta. Qual o valor: 
 
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7
tempo(s)
po
si
çã
o(
m
)
 
 
a) da  aceleração  da  gravidade  na  superfície  do 
planeta? 
b) da velocidade inicial v0? 
Resolução: 
Considerando  que  o  gráfico  de  (S  x  t)  é  uma 
parábola,  podemos  então  utilizar  a  equação 
horária do espaço para determinar a aceleração e 
a velocidade inicial. Assim, temos: 
 
2
0 0 2
pg th h v t= + − . 
 
A posição inicial do móvel, observando o gráfico é 
dada por h0 = 0. Utilizando os dados dos instantes 
t = 6s e t = 2s poderemos determinar os referidos 
valores. Assim, para t = 6s, temos: 
 
0 00 6 18 3 .p pv g v g= − ⇒ =   (5.1) 
 
Para t = 2s, temos: 
 
0 08 0 2 2 4.p pv g v g= + − ⇒ − =   (5.2) 
 
Utilizando o resultado (5.1) em (5.2) temos: 
 
23 4 2 .p p pg g g m s
−− = ⇒ = ⋅  
 
Utilizando o resultado (5.1), temos: 
 
1
0 3 6 .pv g m s
−= = ⋅  
 
a) 2mڄs ‐2. 
b) 6mڄs ‐1. 
 
Questão 6  
 
(UNICAMP)  O  gráfico  a  seguir  representa 
aproximadamente  a  velocidade  de  um  atleta  em 
função do tempo em uma competição olímpica. 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tempo(s)
V
el
oc
id
ad
e 
(m
/s
)
 
a) Em  que  intervalo  de  tempo  o  módulo  da 
aceleração tem o menor valor? 
b) Em  que  intervalo  de  tempo  o  módulo  da 
aceleração é máximo? 
c) Qual  é  a  distância  percorrida  pelo  atleta 
durante os 20 s? 
d) Qual  a  velocidade média  do  atleta  durante  a 
competição? 
Resolução: 
 
 
 
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4 
a) e  b)  
 
Observando  o  gráfico  podemos  determinar  a 
aceleração no intervalo de 0 a 6 s: 
 
2
0 6
12 2 .
6
va m s
t
−
→
∆= = = ⋅∆  
 
Já  no  intervalo  de  16  a  20  s,  a  aceleração  é 
negativa e vale: 
 
2
16 20
10 12 1 .
20 16 2
va m s
t
−
→
∆ −= = =− ⋅∆ −  
 
No  intervalo  de  6  a  16  s,  a  aceleração  é  nula. 
Assim,  a  aceleração  possui  o  menor  módulo  no 
intervalo  de  6  a  16s  e  possui  maior  módulo  no 
intervalo de 0 a 6 s. 
 
c) O  espaço  percorrido  pelo  atleta  será  dado 
pela área no gráfico (V x t). Assim, tomaremos 
a  área  de  dois  trapézios,  do  intervalo  de  0  a 
16s e do intervalo de 16 a 20 s. Teremos: 
 
( )
( )
1
2
0 20
16 10 12
156.
2
12 10 4
44.
2
156 44 200 .
A
A
S m→
+= =
+= =
∴∆ = + =
 
 
d) 
1200 10 .
20m
Sv m s
t
−∆= = = ⋅∆  
 
Questão 7  
 
(ITA) A curva da figura é a representação gráfica 
da  equação  horária  de  um movimento  retilíneo. 
Ela  é  constituída  por  um  trecho  deum  ramo de 
parábola  cujo  vértice  está  localizado  no  eixo  s. 
Neste movimento: 
 
 
 
 
 
 
 
A(   ). A  velocidade  escalar  inicial  é  nula  e  a 
aceleração é de ‐6 mڄs ‐2. 
B(   ). A velocidade escalar inicial é 48 mڄs  ‐1 e a 
aceleração escalar é de 6 mڄs ‐2. 
C(   ). A aceleração escalar é de ‐39 mڄs ‐2. 
D(   ). A velocidade escalar média no intervalo de 
zero a 2 s é de 9 mڄs ‐1. 
E(   ). O  espaço  inicial  é  de  45  m,  a  velocidade 
escalar  inicial  é nula e a  aceleração escalar é 
de +6 mڄs ‐2. 
Resolução: 
Se  o  vértice  da  parábola  se  encontra  no 
eixo  s,  significa  então  que  a  velocidade  escalar 
inicial é nula. Assim,  tomando o valor do espaço 
igual a 48m com o seu respectivo instante t = 1 s, 
teremos: 
 
2
0 0
0
2
48 .
2
atS S v t
aS
= + +
= +
  (7.1) 
 
Agora  tomando  o  espaço  igual  a  57  m  com  seu 
respectivo instante t = 2 s, teremos: 
 
057 2S a= + . (7.2) 
 
Utilizando os resultados (7.1) e (7.2), teremos: 
 
2
57 48 2 18 3
2
6 .
aa a
a m s−
− = − ⇒ =
∴ = ⋅
 
 
Logo o espaço inicial vale: 
 
0 057 12 45 .S S m= + ⇒ =  
 
Letra “E”. 
 
Questão 8  
 
(UDESC) Dois  ciclistas,  A  e B,  partem da mesma 
posição  no  instante  t  =  0  e  movimentam‐se  no 
mesmo sentido e em trajetória retilínea. Na figura 
são  mostrados  os  gráficos  da  velocidade  em 
função do tempo dos dois ciclistas. 
 
 
s(m) 
t(s) 
57 
48 
1  2 0 
 
 
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5 
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0
t(s)
v(
m
/s
)
A
B
 
Leia com atenção e analise as afirmações sobre os 
gráficos. 
I. A aceleração do ciclista B no intervalo de t = 0 
a  t  =  10,0s  foi  maior  do  que  a  aceleração  do 
ciclista A no intervalo de t = 0 a t = 25,0 s. 
II. No instante t = 15,0 s, o ciclista A ultrapassou o 
ciclista B. 
III. Decorridos 20,0 s, o ciclista A estava na frente 
do ciclista B. 
IV. Decorridos 25,0 s, o ciclista A estava na frente 
de B e a distância entre eles era igual a 2,5 m. 
Assinale a alternativa correta: 
 
A(   ). Todas as afirmativas estão corretas; 
B(   ). Somente  estão  corretas  as  afirmações  I  e 
IV; 
C(   ). Somente estão corretas as afirmações I, III e 
IV; 
D(   ). Somente  estão  corretas  as  afirmações  II  e 
III; 
E(   ). Somente estão corretas as afirmações II, III 
e IV. 
Resolução: 
I. No  intervalo  de  0  a  10s,  o  ciclista  B, 
desenvolveu uma aceleração dada por: 
 
23 0,3 .
10B
va m s
t
−∆= = = ⋅∆  
 
O ciclista A, no intervalo de 0 a 25 s, desenvolveu 
uma aceleração dada por: 
 
25 0,2 .
25A
va m s
t
−∆= = = ⋅∆  
 
Logo o item está correto. 
 
 
II. O  espaço  percorrido  pelo  ciclista  A,  no 
intervalo  de  0  a  15  s,  é  dado  pela  área  do 
triângulo: 
 
15 3 22,5 22,5 .
2A A
A S m⋅= = ∴∆ =  
 
O  espaço  percorrido  pelo  ciclista  B,  para  esse 
mesmo  intervalo  de  tempo,  é  dado pela  área  do 
trapézio: 
 
( )15 5 3
30 30
2B B
A S m
+ ⋅= = ∴∆ =  
 
Como eles partiram simultaneamente da mesma 
posição,  o  ciclista  B  se  encontra  à  frente  do 
ciclista A. Logo o item está errado. 
 
III. O  espaço  percorrido  pelo  ciclista  A,  no 
intervalo de tempo de 0 a 20 s, é dado pela área 
do triângulo: 
 
20 4 40 40 .
2A A
A S m⋅= = ⇒∆ =  
 
O espaço percorrido pelo ciclista B, nesse mesmo 
intervalo de tempo, é dado pela área do trapézio: 
 
( )20 10 3
45 45 .
2B B
A S m
+ ⋅= = ⇒∆ =  
 
O ciclista B ainda se encontra à frente do ciclista 
A. Item errado. 
 
IV. Utilizando  os  mesmos  procedimentos  acima, 
temos: 
 
( )
25 5 62,5 62,5 .
2
25 15 3
60 60 .
2
A A
B B
A S m
A S m
⋅= = ⇒∆ =
+ ⋅= = ⇒∆ =
 
 
O ciclista A percorreu 62,5  m enquanto o ciclista 
B  percorreu  60  m.  Como  eles  partiram 
simultaneamente  do mesmo  espaço,  o  ciclista  A 
ultrapassou  o  ciclista  B  e  se  encontra  a  2,5 m  à 
frente. Item correto. 
Letra “B”. 
 
 
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6 
Questão 9  
 
(UNICAMP) A  figura  a  seguir mostra  o  esquema 
simplificado de um dispositivo colocado em uma 
rua  para  controle  de  velocidade  de  automóveis 
(dispositivo  popularmente  chamado  de  radar). 
Os sensores S1 e S2 e a câmera estão ligados a um 
computador.  Os  sensores  enviam  um  sinal  ao 
computador  sempre  que  são  pressionados  pelas 
rodas  de  um veículo.  Se  a  velocidade  do  veículo 
está acima da permitida, o computador envia um 
sinal  para  que  a  câmera  fotografe  sua  placa 
traseira no momento em que esta estiver sobre a 
linha  tracejada.  Para  um  certo  veículo,  os  sinais 
dos sensores foram os seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine a velocidade do veículo em kmڄh ‐1. 
b) Calcule a distância entre os eixos do veículo. 
Resolução: 
a) De acordo com o gráfico, o intervalo de tempo 
para  que  as  rodas  dianteiras  percorram  a 
distância  que  separam  o  dois  sensores  é  de 
0,1  s.  Assim,  podemos  determinar  a 
velocidade  escalar  média  do  automóvel 
utilizando  a  distância  de  2  m  entre  os  dois 
sensores. Logo, 
12 20
0,1m
Sv m s
t
−∆= = = ⋅∆ . 
 
Ou ainda,  120 3,6 72 .km h−⋅ = ⋅  
 
b) No instante em que as rodas traseiras passam 
pelo  sensor 1,  as  rodas dianteiras percorrem 
uma  distância  x  para  além  do  sensor  2.  De 
acordo com o gráfico, esse instante vale 0,15s. 
Então,  poderemos  determinar  x.  O  intervalo 
de tempo que as rodas dianteiras levam para 
percorrer x vale 0,15 – 0,1 = 0,05 s. Assim, 
 
20 0,05 1 .mx v t x m= ⋅∆ ⇒ = ⋅ =  
 
Logo, a distância entre os eixos vale: 2 + 1 = 3m. 
 
 
Questão 10  
 
(DESAFIO) O espaço (e) de uma partícula variou 
com  o  tempo  (t),  conforme  indica  o  diagrama  a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No  gráfico,  os  trechos  AB,  e  CD  são  arcos  de 
parábola,  ao  passo  que  o  trecho  BC  é  um 
segmento de reta. Determine: 
a) o espaço inicial (e0) da partícula; 
b) a aceleração escalar no trecho CD; 
c) o espaço (e10) da partícula em t = 10 s. 
Resolução: 
 
Vamos,  previamente,  fazer  algumas 
observações.  Por  se  tratar  de  arco  de  parábola, 
vamos admitir então que o ponto A é o vértice do 
arco  AB.  Assim,  podemos  concluir  que  a 
velocidade da partícula no ponto A é nula. Para o 
Figura 2
S1 
S2 
0,1  0,2  0,3 
t(s) 
t(s) 
Figura 1
S1  S2 
Computador 
Câmera 
d=2m
1  2  3  4  5  6   7   8   9   10 
10 
16 
e10
0 
e(m) 
t(s) 
e0 A 
B 
C 
D 
 
 
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7 
arco CD vamos fazer a mesma colocação. Ou seja, 
o ponto D é o vértice do arco CD e a velocidade da 
partícula no ponto D também será nula.  
No  segmento  BC,  a  partícula  executa  um 
MU (movimento uniforme), pois, o gráfico é uma 
reta.  Desta  forma,  a  velocidade  da  partícula 
durante  todo o  intervalo de  tempo de 5 até 7s é 
constante e vale: 
 
16 3 .
2
B C
B C
B C
Sv m s
t
−→
→
→
∆= = = ⋅∆   (10.1) 
 
a) Para o arco AB podemos escrever a expressão 
para a velocidade escalar média dada por: 
 
0
0
0
2
10 0 3
5 2
20 2 15
2,5 .
A B
A B A B
m
A B
S v vv
t
e
e
e m
→
→
→
∆ += =∆
− +=
− =
∴ =
 
 
b) Para o arco CD podemos escrever a expressão 
da aceleração escalar instantânea dada por: 
 
20 3 1 .
3
C D
m
C D
va constante a
t
a m s
→
→
−
∆= = = ∆
−= =− ⋅
 
 
c) A  equação  horária  para  o  trecho  CD  é  dada 
por: 
( ) ( )
2
10
2
10
10
2
1 316 3 3
2
20,5 .
D C
C C D C
a t t
e e v t t
e
e m
−= + −+
⋅= + ⋅ −
∴ =