Questões de Cinemática - Movimento Circular

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Questões Cinemática 5 – Movimento Circular 
Questão 1  
 
(MACK) Os ponteiros dos relógios convencionais 
descrevem,  em  condições  normais,  movimentos 
circulares  uniformes  (M.C.U.).  A  relação  entre  a 
velocidade angular do ponteiro das horas e a do 
ponteiro dos minutos  h
min
ω
ω
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠é: 
A(   ). 1/12; 
B(   ). 1/24; 
C(   ). 1/48; 
D(   ). 1/60; 
E(   ). 1/1.440. 
Resolução: 
A  velocidade  angular  do  ponteiro  das  horas  é 
dada por: 
12 .
12 6h
rad hπ πω −= = ⋅  
E a velocidade angular do ponteiro dos minutos é 
dada por: 
12 2 .
1min
rad hπω π −= = ⋅  
Assim, 
16
2 12
h
min
πω
ω π
/
= =/ . 
Letra “A”. 
 
Questão 2  
 
(FUVEST) O raio do cilindro de um carretel mede  
2  cm.  Uma  pessoa,  em  10  s,  desenrola 
uniformemente  50  cm  de  linha  que  está  em 
contato com o cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual o valor da velocidade linear de um ponto 
da superfície do cilindro? 
b) Qual  a  velocidade  angular  de  um  ponto  P 
distante 4 cm do eixo de rotação? 
Resolução: 
a) A velocidade linear de um ponto da superfície 
do  cilindro  é  dada  pela  velocidade  escalar 
média do fio. Assim, 
 
150 5 .
10m
Sv cm s
t
−∆= = = ⋅∆  
 
b) A  velocidade  linear  para  um  ponto  na 
superfície do cilindro (r = 2m) é dada por: 
 
1
5 2
2,5 .
v r
rad s
ω ω
ω −
= ⇒ = ⋅
= ⋅  
 
Logo para um ponto a 4 cm do eixo de rotação a 
velocidade vale 2,5 radڄs ‐1. 
 
Questão 3  
 
(FEI) Um móvel em trajetória circular de raio r = 
5  m  parte  do  repouso  com  aceleração  angular 
constante  de  10  radڄs  ‐2.  Quantas  voltas  ele 
percorre nos 10 primeiros segundos? 
A(   ). 500; 
B(   ). 250/π; 
C(   ). 100π; 
D(   ). 500/π; 
E(   ). 500π. 
Resolução: 
O móvel  executa  um MCUV. Assim,  teremos  que 
utilizar a equação horária angular: 
 
2
0 0
2
2
10 100 0
2
500 .
tt
rad
γθ θ ω
θ
θ
= + +
⋅= + +
=
 
 
Para  uma  volta  o  ângulo  descrito  vale  2π  rad. 
Então,  
P 
 
 
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2 
500 250º .
2
n π π= =  
 
Totalizando 250/π voltas. Letra “B”. 
 
Questão 4  
 
(UNAERP) Um “motorzinho” de dentista gira com 
frequência de 2000 Hz até a broca de raio 2 mm 
encostar  no  dente  do  paciente,  quando  após  1,5 
segundo, o mesmo passa a ter frequência de 500 
Hz. O módulo da aceleração escalar média, nesse 
intervalo de tempo, é em mڄs ‐2: 
A(   ). 2π; 
B(   ). 3π; 
C(   ). 4π; 
D(   ). 5π; 
E(   ). 6π. 
Resolução: 
A velocidade angular inicial vale: 
 
1
0 02 4000 .f rad sω π π −= = ⋅  
 
A velocidade angular final vale: 
 
12 1000 .f rad sω π π −= = ⋅  
 
A aceleração angular é dada por: 
 
21000 4000 2000 .
1,5
rad s
t
ω π πγ π −∆ −= = =− ⋅∆  
 
A aceleração linear é dada por: 
 
3
2
2000 2 10
4 .
a r a
a m s
γ π
π
−
−
= ⇒ =− ⋅ ⋅
∴ =− ⋅
 
 
 
Em  módulo  a  aceleração  linear  (escalar  média) 
vale: 4π mڄs ‐2. Letra “C”. 
 
Questão 5  
 
(UFPR) Um  ventilador  gira  à  razão  de  900  rpm. 
Ao  desligá‐lo,  seu  movimento  passa  a  ser 
uniformemente  retardado,  até  parar  após  75 
voltas.  Qual  o  tempo  transcorrido  desde  o 
momento de desligá‐lo até sua parada completa? 
Resolução: 
A velocidade angular inicial vale: 
 
1
0 02 1800 .f rad minω π π −= = ⋅  
 
A  velocidade  angular  final  é  nula,  o  ventilador 
para de girar. 
Ao completar 75 voltas, o ventilador terá descrito 
um ângulo dado por: 
 
75 2 150 .radθ π π∆ = ⋅ =  
 
Para o MCUV, podemos escrever: 
 
0
2
150150 0 1800 900
2
1
6
m t
t t
t min=10s.
ω ωθω
ππ π π
+∆= =∆
+ /= ⇒ = /∆ ∆
∴∆ =
 
 
Questão 6  
 
(MACK)  Determine  o  número  de  rotações  que 
uma roda faz em 20 s, se sua velocidade angular 
varia, nesse intervalo de tempo, de 3 radڄs ‐1 para 
10 radڄs ‐1, com aceleração angular constante. 
Resolução: 
A velocidade angular média é dada por: 
 
0
2
10 3 130 .
20 2
m t
rad
ω ωθω
θ θ
+∆= =∆
∆ += ⇒∆ =
 
 
Para esse ângulo, temos que o nº de voltas vale: 
 
130 65º .
2
n π π∴ = =  
 
Questão 7  
 
(UNICAMP)  Um  disco  de  100  mm  de  raio  rola 
sem escorregar sobre um plano. O gráfico mostra 
como varia a velocidade v do centro do disco, em 
função do  tempo  t. Obtenha  o  número de  voltas 
dadas pelo disco. 
 
 
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3 
‐72
28
128
228
328
428
528
628
0 5 10 15 20
t(s)
v(
m
m
/s
)
 
 
a) do instante inicial até t = 10 s. 
b) de t = 10 s até t 0 20s. 
Considere π=3,14. 
Resolução: 
a) A velocidade do centro do disco é exatamente 
igual  a  velocidade  linear  do  referido  disco. 
Podemos  determinar  o  espaço  percorrido 
pelo disco utilizando a área da figura formada 
no gráfico. Assim, 
 
0 10
0 10
10 628 3140.
2 2
3140 .
B hA
S mm
→
→
⋅ ⋅= = =
∴∆ =
 
 
Mas,  o  comprimento  da  circunferência  do  disco 
vale: 
2 200 3,14 628 .C R C mmπ= ⇒ = ⋅ =  
 
Assim, o nº de volta do instante inicial até t = 10s, 
vale: 
 
3140º 5.
628
n = =  
 
b) Do instante t = 10 s até o  instante t = 20 s, o 
disco  não  executa  movimento  circular, 
portanto, o nº de voltas é nulo. 
 
Questão 8  
 
(FUVEST)  Uma  criança  montada  em  um 
velocípede se desloca em trajetória retilínea, com 
velocidade constante em relação ao chão. A roda 
dianteira  descreve  uma  volta  completa  em  um 
segundo. O raio da roda dianteira vale 24 cm e o 
das  traseiras  16  cm.  Podemos  afirmar  que  as 
rodas  traseiras  do  velocípede  completam  uma 
volta em, aproximadamente: 
A(   ). 1/2 s; 
B(   ). 2/3 s; 
C(   ). 1 s; 
D(   ). 3/2 s; 
E(   ). 2s. 
Resolução: 
Como  as  rodas  dianteira  e  traseiras  estão  com 
contato com o chão sem derrapar, as velocidades 
linear das rodas traseiras e dianteiras são iguais. 
Logo, 
 
2;
16 24
1
2 .
3
t d
t t d d
t d
t d t
t
v v
R R
T
R R
T T T
T s
πω ω ω
=
= =
= ⇒ =
∴ =
 
 
Letra “B”. 
 
Questão 9  
 
(PUC  –  SP)  Numa  polia  diferencial,  ligados  por 
cordas inextensíveis, que distam respectivamente 
10  cm  e  6  cm do  eixo  da  polia,  estão  suspensos 
dois corpos, A e B. Num certo instante, o corpo A 
tem  aceleração  constante  de  10  cmڄs  ‐2  e 
velocidade de 15 cmڄs ‐1, ambas dirigidas de baixo 
para  cima.  Neste  instante,  a  velocidade  e  a 
aceleração  de  B  têm  valores  respectivamente 
iguais a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B
A 
6cm 10cm 
 
 
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4 
A(   ). 25 cmڄs ‐1 e 6 cmڄs  ‐2; 
B(   ). 25 cmڄs ‐1 e 10 cmڄs  ‐2; 
C(   ). 9 cmڄs ‐1 e 6 cmڄs  ‐2; 
D(   ). 9 cmڄs ‐1 e 10 cmڄs  ‐2; 
E(   ). 15 cmڄs ‐1 e 5 cmڄs  ‐2. 
Resolução: 
Como  as  polias  possuem  os  eixos  em  comum, 
podemos escrever para a velocidade angular: 
 
1
15
10 6
9 .
A B
A B B
A B
B
v v v
R R
v cm s
ω ω
−
=
= ⇒ =
∴ = ⋅
 
 
Para a aceleração angular temos: 
 
2
10
10 6
6 .
A B
A B B
A B
B
a a a
R R
a cm s
γ γ
−
=
= ⇒ =
∴ = ⋅
 
 
Letra “C”. 
 
Questão 10  
 
(FUVEST)  A  figura  ilustra  uma  roda  d’água 
constituída  de  16  cubas.  Cada  cuba  recebe  5  
litros  de  água  de  uma  bica  cuja  vazão  é  de  160 
litrosڄmin ‐1. A roda gira em movimento uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Qual o período de rotação da roda? 
b) Qual  a  quantidade de água utilizada  em uma 
hora de funcionamento do sistema? 
Resolução: 
a) A  quantidade  de  água  para  uma  volta 
corresponde a um total de 80  litros. Assim, para 
uma  bica  cuja  vazão  é  de  160litros,  a  roda 
executa  2  voltas  por  minuto  (2  rpm).  Logo  o 
período é de ½ minuto. Ou 30 s. 
 
b) Em  uma  hora  de  funcionamento,  o  consumo 
correspondente é de 60mim x 160 litrosڄmin  ‐1 = 
9600 litros. 
 
Questão 11  
 
(FCMSC‐SP)  A  plataforma  P,  representada  no 
esquema  a  seguir,  está  em movimento  retilíneo 
uniforme de velocidade escalar v. 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: C é um ponto fixo da plataforma. 
A  extremidade  Q  da  haste  rígida  QC  está  em 
movimento circular uniforme em torno do ponto 
C,  com  velocidade  escalar  v,  em  relação  à 
plataforma.  Enquanto  a  haste  QC  descreve  um 
ângulo  de  900,  a  plataforma  percorre  uma 
distância igual a: 
A(   ). R; 
B(   ). R/2; 
C(   ). 2πR; 
D(   ). πR; 
E(   ). πω/2. 
Resolução: 
Se  a  extremidade  Q  possui  velocidade  v  com 
relação  à  plataforma,  o  intervalo  de  tempo  que 
ela  leva  para  descrever  um  ângulo  de  900 
executando um MCU é dado por: 
 
2 .
2
RS Rt
v v v
π π⋅∆∆ = = =  
 
Neste  intervalo  de  tempo,  a  plataforma  com 
velocidade  v  com  relação  ao  solo,  percorre  um 
espaço dado por: 
; .
2
.
2 2
Pla
Pla
R vS v t v
v R
v RS
π ω
π π
ω
∆ = ⋅∆ = ⋅ =
∴∆ = =
 
• 
Q
P C 
R 
v?
v?
 
 
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5 
Questão 12  
 
(DESAFIO) Dois discos de raios RA = 4 cm e RB = 
40  cm,  perpendiculares  entre  si,  giram  sem 
deslizar  um sobre o outro, como mostra a figura. 
A distância entre o ponto de contato do disco A e 
o centro do disco B é x e a velocidade angular do 
disco B é de 20 radڄs ‐1.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual  é  a  expressão  da  velocidade  angular  do 
disco A em função de x? (x medido em cm). 
Resolução: 
Para que o disco A rotacione sobre o disco B, sem 
deslizar,   a velocidade linear do disco A deve ser 
igual  a  velocidade  linear  do  disco  B  no  ponto  x. 
Assim, 
 
20
4
5 .
A B
A A B
B
A A
A
A
v v
R x
x x
R
x
ω ω
ωω ω
ω
=
=
= ⇒ =
∴ =
 
 
Sendo que x deve ser medido em centímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disco A 
Disco Bx