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www.profafguimaraes.net 1 Prof. A.F.Guimarães Questões Cinemática 7 – Lançamentos Questão 1 (UFCE) A figura a seguir mostra a trajetória da bola lançada pelo goleiro Dida, no tiro de meta. Desprezando o efeito do ar, um estudante afirmou que: I. a aceleração vetorial da bola é constante. II. a componente horizontal da velocidade da bola é constante. III. a velocidade da bola no ponto mais alto de sua trajetória é nula. Dessas afirmativas, é (são) correta(s) somente: A( ). I. B( ). II. C( ). I e II. D( ). II e III. Resolução: I. Verdadeiro. A aceleração vetorial é constante, pois é a própria aceleração da gravidade local. II. Verdadeiro. A componente horizontal da velocidade é projeção da velocidade na direção do eixo “x”. Nesta direção, não há aceleração. III. Falso. A velocidade no ponto mais alto a velocidade não pode ser nula, caso fosse, a bola não completaria a trajetória. A velocidade no ponto mais alto é exatamente a componente na direção do eixo “x”. Questão 2 (PUC) Um projétil de massa 100 g é lançado obliquamente a partir do solo, para o alto, numa direção que forma 600 com a horizontal com velocidade de 120 mڄs ‐1, primeiro na Terra e posteriormente na Lua. Considerando a aceleração da gravidade da Terra o sêxtuplo da gravidade lunar, e desprezíveis todos os atritos nos dois experimentos, analise as proposições a seguir. I. A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua que na Terra. II. A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória será a mesma na Lua e na Terra. III. O alcance horizontal máximo será maior na Lua. IV. A velocidade com que o projétil toca o solo é a mesma na Lua e na Terra. Está(ao) correta(s): A( ). apenas III e IV. B( ). apenas II. C( ). apenas III. D( ). todas. E( ). nenhuma delas. Resolução: I. Verdadeiro. A altura máxima é dada pela relação: 2 2 0 0 60 2máx v senh g = . Como a gravidade da Lua é menor do que a gravidade da Terra, conclui‐se que a altura máxima será maior na Lua do que na Terra. II. Verdadeiro. A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória é a componente na direção do eixo “x”, que não depende da gravidade. III. Verdadeiro. O alcance máximo é dado por: 2 0 máx vA g = . A gravidade na Lua é menor, portanto, o alcance máximo será maior na Lua. IV. Verdadeiro. Mesmo que tendo a Lua uma gravidade menor, o corpo tem mais tempo para desacelerar e acelerar. g www.profafguimaraes.net 2 Questão 3 (VUNESP) Um projétil é atirado com velocidade v0 = 200 mڄs ‐1, fazendo um ângulo de 600 com a horizontal. Desprezada a resistência do ar, qual será a altura do projétil quando sua velocidade fizer um ângulo de 450 com a horizontal? (Adote g = 10 mڄs ‐2). A( ). 500 m; B( ). 1500 m; C( ). 1000 m; D( ). 3000 m; E( ). 750 m. Resolução: As componentes da velocidade nos eixos “x” e “y” são dadas por: 0 1 0 0 1 0 0 60 200 0,5 100 . 360 200 100 3 . 2 x y v v cos m s v v sen m s − − = = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ Quando a velocidade instantânea do projétil fizer um ângulo de 450, o valor de vy será de: 0 145 100 .y xv v tan m s −= = ⋅ Utilizando a equação de Torricelli, teremos: 2 2 0 4 4 4 2 10 3 10 20 2 10 1000 . 20 y yv v gh h h m = − = ⋅ − ⋅∴ = = Letra “C”. Questão 4 (CEFET) Para a situação apresentada na figura abaixo (bolinha disparada horizontalmente da borda de uma mesa), pode‐se deduzir a seguinte relação matemática entre as grandezas d (deslocamento horizontal), h (altura da queda), v (velocidade de disparo) e g (aceleração da gravidade): A( ). 2 2 d hv g ⋅= ; B( ). 2 4 d gh v ⋅= ; C( ). 2v hg d ⋅= ; D( ). 2hd v g = ⋅ ; E( ). 2 2v g d h⋅ = ⋅ . Resolução: O tempo de queda da bolinha é dado por: 2 2 2 gt hh t g = ⇒ = . Assim, temos para d: 2 .hd v t d v g = ⋅ ∴ = ⋅ Letra “D”. Questão 5 (FEI) Um garoto gira uma pedra amarrada na extremidade de um barbante, segundo uma circunferência de raio R = 1,0 m, num plano vertical. Em determinado instante, quando o barbante faz um ângulo de 300 com a horizontal, no movimento ascendente da pedra, o mesmo arrebenta, lançando a pedra. Calcule a altura máxima atingida pela pedra, a partir do ponto de 450 vx vy v d h v www.profafguimaraes.net 3 ruptura, sendo ω = 10 radڄs ‐1 a velocidade angular naquele instante ( g = 10 mڄs ‐2). Resolução: Considere a figura abaixo. Como o barbante forma um ângulo de 300 com a horizontal, o ângulo de lançamento só pode ser de 600, pois os ângulos são complementares. A velocidade linear é dada por: 110 1 10 .v R m sω −= = ⋅ = ⋅ Desta forma, podemos determinar a altura máxima atingida pela pedra que é dada por: 2 2 0 100 3 15 2 20 4 4 3,75 . máx máx v senh m g h m θ= = ⋅ = ∴ = Questão 6 (FUVEST) Um gato, de 1 kg, dá um pulo, atingindo uma altura de 1,25 m e caindo a uma distância de 1,5 m do local do pulo. a) Calcule a componente vertical de sua velocidade inicial. b) Calcule a velocidade horizontal do gato. Resolução: a) A altura máxima é dada por: 2 0 2 0 0 1 0 2 1,25 25 20 5 . y máx y y y v h g v v v m s− = = ⇒ = ∴ = ⋅ b) O tempo de subida é dado por: 0 0 . y y y v v v gt t g = − ⇒ = Logo o tempo total vale: 0 2 yvT g = . Com isso, podemos determinar o alcance e a velocidade horizontal: 0 1 2 2 51,5 10 1,5 . x y x x x v v A v T A g v v m s− ⋅ ⋅= ⇒ = ⋅ ⋅= ∴ = ⋅ Questão 7 (UFPA) A figura representa um projétil, que é lançado do ponto A segundo um ângulo de 300 com a horizontal, com uma velocidade v0 = 100mڄs ‐1, atingindo o ponto D. Dados: AB = 40 m; BC = 55 m; g = 10 mڄs ‐2. Determine: a) O tempo que o projétil levou par atingir o ponto D. b) A distância CD. Resolução: a) Vamos escrever a equação horária para a altura do projétil. ( ) 2 0 0 0 2 2 2 55 100 30 5 55 50 5 y gth h v t h sen t t h t = + − = + ⋅ − = + − Agora devemos resolver a equação para h = 0. Assim, teremos: 20 55 50 5t= + − 300 600 v Hmáx v 300 A B C D www.profafguimaraes.net 4 ( ) ( ) 2 2 0 11 10 10 10 4 1 11 2 1 10 12 11 . 2 t t t t t s = + − − ± − − ⋅= ⋅ − = ⇒ =∓ b) A velocidade horizontal é dada por: 0 1 0 cos30 50 3 .xv v m s −= = ⋅ O alcance horizontal é dado por: ( ) 50 3 11 550 3 550 3 40 . xA v t A AB CD CD m = ⋅ = ⋅ = + = ∴ = − Questão 8 (UNICAMP) Um menino, andando de “skate” com velocidade v = 2,5 mڄs ‐1 num plano horizontal, lança para cima uma bolinha de gude com velocidade v0 = 4,0 mڄs ‐1 e a apanha de volta. (Considere g = 10 mڄs ‐2) Determine: a) a trajetória descrita pela bolinha em relação à Terra. b) a trajetória descrita pela bolinha em relação ao menino.c) a altura máxima que a bolinha atinge. d) a distância horizontal que a bolinha percorre. e) o valor da velocidade da bolinha, em relação ao solo, quando ela atinge a altura máxima. Resolução: a) A trajetória será um arco de parábola. b) Uma linha reta na vertical. c) 2 2 0 2 2 0 4 20 0,8 . y y máx máx v v gh h h m = − = − ∴ = d) 02; 0,8 . 2,5 0,8 2 . y x v A v T T s g A m = ⋅ = = = ⋅ = e) Na altura máxima, a bolinha possui velocidade de 2,5 mڄs ‐1. Questão 9 (ITA) Um corpo C1 de pequenas dimensões escorrega, sem atrito, a partir do ponto A pela superfície AB, que tem em B tangente horizontal. Em B, o corpo aciona um dispositivo elétrico, de modo que nesse instante o eletroímã E deixa cair um outro corpo C2, a partir de um ponto ao nível de B. São dados h = 1,52 m e g = 9,8 mڄs ‐2. Para que distância d haverá encontro entre os móveis? Resolução: Resolução: Quando o corpo C1 alcançar o ponto B, o corpo C2, partindo do repouso começará a cair. Os dois corpos cairão com a mesma aceleração e conseqüentemente ao mesmo tempo. Porém, o corpo C1 continuará com sua velocidade na horizontal e atingirá o corpo C2 independentemente da distância d. Desde que os dois não cheguem ao solo antes. Questão 10 (CESGRANRIO) Na superfície horizontal do patamar superior de uma escada, uma esfera de massa 10 g rola de um ponto A para um outro B, projetando‐se no ar a partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada degrau tem altura de 20 cm e largura de 30 cm. A B h EC1 C2 d 20cm 30cm A B www.profafguimaraes.net 5 Considerando‐se desprezíveis a resistência do ar e g = 10 mڄs ‐2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau logo abaixo, é, em mڄs ‐1, igual a: A( ). 0,6; B( ). 0,8; C( ). 1,0; D( ). 1,2; E( ). 1,5. Resolução: O tempo de queda é dado por: 2 2 0,2 0,2 . 10 ht s g ⋅= = = Nesse tempo, a bola deve percorrer no mínimo a distância de 30 cm. Logo, temos: 10,3 1,5 . 0,2x xv m s t −∆= = = ⋅∆ Logo, a menor velocidade que a bola deve ter ao alcançar o ponto B é: vx > 1,5 mڄs ‐1. Questão 11 (FCC) Se um pequeno furo horizontal for feito na parede de um reservatório que contenha um líquido ideal (sem viscosidade), um filete de líquido escoará pelo furo, e sua velocidade inicial terá intensidade 2v gh= , onde g é o módulo da aceleração da gravidade. Considere o movimento do fluido como o de um projétil lançado no vácuo, a partir do furo, com velocidade vG . a) Podemos afirmar que o valor de L é: A( ). ( )H h v g − ; B( ). 2vg ; C( ). 24 4h Hh− + ; D( ). ( ) 2 H h v g − ; E( ). ( )4 H h v − . Resolução: O tempo de queda é dado por: ( )2 H h t g −= . Logo, ( ) 2 2 ; 2 4 4 . H h L v v gh g L hH h −= ⋅ = ∴ = − Letra “C”. b) O gráfico que melhor representa a distância L em função de h é: A( ). B( ). H h H‐h F G L vG x h 0 H h x 0 H www.profafguimaraes.net 6 C( ). D( ). E( ). Resolução: Para h = 0, L = 0 e para h = H, L = 0. Então o gráfico que melhor representa a função L é o da letra “D”. c) Se desejarmos que o filete incida em um ponto G o mais afastado possível de F, o furo deverá ser feito a uma altura tal que: A( ). 2 3 h H= ; B( ). 1 4 h H= ; C( ). 1 3 h H= ; D( ). 1 2 h H= ; E( ). 3 4 h H= . Resolução: Seja a função: 2( ) 4 4f h h Hh=− + . Esse tipo de função apresenta o ponto de máximo pela relação dada por: 2 bx a −= . Ou seja, a média aritmética das raízes da função. Logo: ( ) 4 2 4 . 2 Hh Hh −= − ∴ = Letra “D”. x h 0 H x h 0 H x h 0 H
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